Прямые разложения артиновых модулей

Центральной темой этой работы является теорема Крулля-Шмидта о единственности прямых разложений. Этот результат в буквальном смысле лежит в основе теории представлений. Существуют разнообразные формулировки этой теоремы для различных алгебраических систем. А. Г. Курошу, например, принадлежит вариант этой теоремы для групп. Нас будут интересовать разложения модулей в прямую сумму конечного числа слагаемых. Напомним классическую формулировку:

Теорема Крулля-Щмидта. Пусть М — артинов и нетеров модуль над произвольным кольцом Н и даны два разложения в прямую сумму неразложимых слагаемых;

М = М1@М2@—-®Мк и М = N1 ф N2 © • • • © N1.

Тогда к = I и существует такая перестановка о, что М, изоморфен Ыаф при г = 1 .к.

Кратко говорят, что разложение в прямую сумму неразложимых слагаемых единственно с точностью до изоморфизма. В этой ситуации будем говорить, что для модуля выполняется теорема Крулля-Шмидта. Позже было замечено, что в доказательстве этой теоремы определяющую роль играет локальность колец эндоморфизмов неразложимых модулейона имеет место для артиновых и нетеро-вых модулей, но не только для них. Теорема о единственности прямых разложений для модуля, раскладывающегося в прямую сумму модулей с локальными кольцами эндоморфизмов, носит в литературе название теоремы Крулля-Шмидта-Ремака-Адзумая [1, Глава 7]. Независимо от Г. Адзумая этот факт был использован З. И. Боревичем и Д. К. Фаддеевьщ при изучении р-адических представлений.

Обсудим вопрос об обращении Теоремы Адзумая. Для этого введем понятие замены. Говорят, что модуль М обладает свойством замены, если любых модулей А, X, Y таких, что М ® А = X © Y, найдутся подмодули Xi С X, Yi С Y такие, что М ф, А = JTi ф ф А. Обращаем внимание, что имеется ввиду именно равенство, а не изоморфизм. Справедливо.

Утверждение. Неразложимый модуль обладает свойством замены тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально.

Для модулей со свойством замены разложение в прямую сумму однозначно, точнее, любые два разложения одного и того же модуля в конечную прямую сумму имеют изоморфные уплотнения. Таким образом, из свойства замены вытекает теорема Крулля-Шмидта. Обратное, вообще говоря, неверно, примером чему являются вполне разложимые абелевы группы без кручения: теорема Крулля-Шмидта для них выполняется, но кольцо эндоморфизмов группы ранга 1 не обязано быть локальным [6, Глава 14].

Весьма любопытным является ослабление свойства заменысвойство сокращения. Говорят, что модуль М обладает свойством сокращения, если для любых модулей АиВжзАфМ = ВфМ следует, А = В. Оказывается, модуль обладает свойством сокращения тогда и только тогда, когда стабильный ранг его кольца эндоморфизмов равен 1. В частности, это так, если кольцо эндоморфизмов полулокально.

Большая часть понятий, связанных с прямыми разложениями, может быть переформулирована на языке колец эндоморфизмов. Назовем идемпотенты ей/ кольца R изоморфными, если проективные Д-модули Re и Rf изоморфны. Если идемпотенты сопряжены внутри кольца й, то они изоморфны. Для полулокального кольца верно и обратное: изоморфные идемпотенты обязательно сопряжены.

Между разложениями модуля М = Mi ф М2 ф • • - Ф Mk в прямую сумму подмодулей и разложениями кольца Е = End (М) в прямую сумму левых идеалов Е = Ее ф Ее? Ф — • - © Ее^ имеется естественное соответствие. При этом слагаемому Мгсоответствует идемпотент ег-такой, что е8-(М) = М4-, е4(М?) = 0 при г ф 3- Очевидно, что изоморфным прямым слагаемым соответствуют изоморфные идемпотенты. Если прямое слагаемое неразложимо, то ему соответствует неразложимый идемпотент.

В настоящей работе исследуется, как обстоит дело с единственностью прямых разложений артиновых модулей. Впервые подобная проблема была поднята Круллем в 1932 годуон задал следующий вопрос: имеет ли место единственность разложения в прямую сумму для артинова модуля над произвольным кольцом Я [2]? Иначе говоря, является ли условие нетеровости существенным?

Опишем вкратце прогресс в этой области. Напомним, что ключевым моментом в доказательстве классического варианта теоремы Крулля-Шмидта является лемма Фиттинга, которая утверждает, что для любого эндоморфизма / модуля конечной длины М существует натуральное п такое, что М = Кег /" ' ф 1 т /та. Из нее непосредственно следует, что кольцо эндоморфизмов неразложимого модуля конечной длины локально и его радикал состоит из хшльпотептных эндоморфизмов. Поэтому попытки найти аналог леммы Фиттинга, который был бы справедлив не только для модулей конечной длины, представлялись весьма обоснованными.

Р.Уорфилд установил [10], что такой аналог имеет место для модулей, длина ряда Леви которых равна со. В частности, кольцо эндоморфизмов неразложимого артинова модуля длины со локально. Арти-новы модули над коммутативными и над нетеровыми слева кольцами всегда имеют длину, не превосходящую со. Таким образом, Уорфилд решил проблему Крулля для случая, когда кольцо, над которым рассматриваются модули, нетерово слева или коммутативно.

В работе [12] показано, что теорема Крулля-Шмидта справедлива для артиновых модулей над так называемыми 7гг кольцами, то есть кольцами, всякий сюръективный гомоморфизм конечно порожденных модулей над которыми является изоморфизмом. Там же сформулировано некоторое специальное условие на кольцо, при выполнении которого всякий неразложимый артинов модуль над ним будет иметь локальное кольцо эндоморфизмов. При этом рассматриваемые артиновы модули могут иметь уже сколь угодно большую длину.

Основная теорема раздела 3 данной работы имеет аналогичный характер.

Теорема 1.1. Пусть R — кольцо с центром Zr. Обозначим через R факторколъцо R/ Rad Ii и положим Zr — (Zu + Rad R) f Rad R. Предположим, что R ~ локально конечная алгебра над Zr. Тогда для любого артинова модуля над R выполнена обобщенная лемма Фит-тинга и категория артиновых модулей над R является категорией Крулля-Шмидта.

Вопрос о справедливости теоремы Крулля-Шмидта для артиновых модулей в общем случае оставался открытым до 1994 года.

Основополагающей работой, проливающей свет на свойства прямых разложений была работа [4], в которой было показано, что кольцо эндоморфизмов артинова модуля полулокально. Этот факт имеет три важнейших следствия. Во-первых, артинов модуль обладает свойством сокращения. Во-вторых, он обладает свойством извлечения корня n-ой степени, то есть если, А — артинов модуль и Ап = Вп, то, А = В. В-третьих, существует лишь конечное число неизоморфных разложений артинова модуля в прямую сумму неразложимых слагаемых.

В работе А. Факкини, Д. Херберы, П. Вамоша и Л. С. Леви [5] была частично решена обратная задача: при каких условиях полулокальное кольцо реализуется как кольцо эндоморфизмов артинова модуля. Оказывается, такими являются нетеровы коммутативные полулокальные кольца и алгебры конечного типа над ними. Приведенная в этой статье конструкция была неявной и не позволяла сколько-нибудь детально изучить природу возникающих аномалий прямых разложений. Вопрос, для артиновых модулей над какими кольцами могут возникать аномалии прямых разложений, оставался нисколько не проясненным.

Из теоремы Уорфилда следует, что это кольцо должно быть нене-теровым слева и некоммутативным. Простейшее матричное кольцо, удовлетворяющее этим условиям — это кольцо.

Оно хорошо известно, как пример кольца, которое нетерово справа, но ненетерово слева. Категория Д-модулей и категория абелевых групп без кручения оказываются очень близки по строению.

Следствие 1.1. Категория редуцированных артиновых Н-модулей и категория полулокальных абелевых групп канонически эквивалентны.

Соответствие между Д-модулями и абелевыми группами — простое и прозрачное. Тот факт, что оно ни разу ранее не появилось в литературе, вызывает удивление. Примеры аномалий прямых разложений абелевых групп без кручения конечного ранга, приведенныые в монографии [6], переносятся на артиновы модули в том случае, если в конструкции задействовано конечное множество простых чисел. Например, аналогом теоремы 90.1 из [б] является утверждение: для любого натурального п > 2 существует артинов Д-модуль обладающий разложениями как в прямую сумму двух, так и в прямую сумму п неразложимых слагаемых.

Если назвать рангом артинова модуля М его дуальную размерность Голди — то есть максимальное п такое, что существует подмодуль N С М, фактормодуль по которому раскладывается в прямую сумму п слагаемых — то можно будет задуматься о ранговой природе аномалий прямых разложений. Ранговые аномалии прямых разложений абелевых групп конечного ранга без кручения были полностью изучены в [7], где приведено необходимое и достаточное условие, которому должны удовлетворять ранги неразложимых слагаемых в двух разложениях в прямую сумму одной и той же группы конечного ранга. Сформулированное там достаточное условие автоматически переносится на случай артиновых модулей.

После того как выяснилось, что контрпримеры к теореме Крулля-Шмидта для артиновых модулей возникают уже в такой простой ситуации, как описанная выше, вопрос о характеризации колец, над которыми возникают аномалии, становится особенно интересным. Эта задача не была решена полностью и, мы полагаем, в принципе не может быть исчерпана. Даже вопрос о характеризации колец, над которыми существует циклический артинов модуль бесконечной длины, представляется весьма содержательным. Этому вопросу в контексте свободных колец посвящена работа [3].

Мы решили сузить формулировку и задуматься на заданную тему применительно к кольцам без кручения конечного ранга и локальным кольцам. Вопрос о справедливости теоремы Крулля-Шмидта для артиновых модулей над локальными кольцами числится под номером 7 в списке открытых задач в книге А. Факкини [9]. По нашему мнению, следствия теоремы 1.1. удовлетворительно описывают класс тех колец конечного ранга, для артиновых модулей над которыми теорема Крулля-Шмидта выполнена.

Следствие 1.2. Пусть И — кольцо, аддитивная группа которого является абелевой группой конечного ранга. Тогда теорема Крулля.

Шмидта справедлива для артиновых модулей над ним в следующих случаях: 1) все простые П-модули конечны- 2) К — локальное кольцо.

Сформулированная выше теорема 1.1. была открыта при изучении артиновых модулей над локальными кольцами. В этом контексте она звучит следующим образом.

Следствие 1.3. Пусть к — поле, й — локальная к-алгебра с максимальным идеалом J, такая, что тело вычетов К = К[3 является конечномерной алгеброй над к. Тогда для произвольного артинова К-модуля М и его эндоморфизма / верна обобщенная лемма Фит-тинга.

Какого сорта, аномалии прямых разложений могут возникнуть для артиновых модулей над кольцами без кручения конечного ранга, было описайо выше. Оказалось, что абсолютно аналогичная ситуация возникает при конструировании аномалий прямых разложений для артиновых модулей над локальным кольцом, с той разницей, что роль абелевых групп без кручения начинают играть модули без кручения над кольцом многочленов к[х]. Для этого прежде всего требовалось найти пример локального кольца, не удовлетворяющего посылке теоремы 1.1. и обладающего циклическим артиновым модулем бесконечной длины. Кольцо, описываемое ниже, является локальной^{-алгеброй,} поле вычетов которой есть к (х).

Пример 1.1. Пусть F = к{х), А-локализация кх] по идеалу, порожденному х, А — локализация РЩ по идеалу, порожденному I. Рассмотрим к-алгебру Я —< Л, а >, в которой выполнены соотношения аАа = 0, а1 = 0, ta = ах. 9.

Тогда существует цепной Ш-модуль длины и- +1, который обладает необратимым и не локально нильпотентным эндоморфизмом.

Придумать более простую конструкцию, которая приводила бы к ненетерову некоммутативному локальному кольцу, не удовлетворяющему посылке теоремы 1.1., по нашему мнению, затруднительно. Выяснилось, что между А-модулями конечного ранга и артиновыми й-модулями специального вида существует биективное соответствие, сохраняющее неразложимость и неизоморфность прямых слагаемых.

Примеры нарушения единственности разложения в прямую сумму для модулей конечного ранга над к[х]^ известны. Они полностью аналогичны примерам аномалий прямых разложений батлеровского типа для />локальных абелевых групп конечного ранга [13, ГлаваЗ]. Таким образом, мы даем отрицательный ответ на вопрос Факкини.

Завершающие два раздела этой работы посвящены вопросу обобщения только что изложенной конструкции. В разделе 4 приведен общий взгляд на модули конечного ранга над полулокальной областью главных идеалов и на артиновы модули над кольцом специального вида, там же описано, как задавать структуру этих модулей матрицами. С матричным заданием абелевых группы без кручения можно ознакомиться по монографии [6]. Для случая абелевых групп наш метод приводит к тому же результату, что и классический, но проливает на него свет благодаря взаимосвязи между абелевыми группами и модулями над матричным кольцом из раздела 5. Матричный способ задания группы без кручения, который мы обобщили на модули над областями главных идеалов, позволяет по-новому взглянуть на классическую теорему Корнера, обобщение которой приводится в разделе 8.

Напомним, что исходная теорема гласит, что любое редуцированное счетное кольцо без кручения реализуется как кольцо эндоморфизмов некоторой абелевой группы без кручения. Нам потребовался вариант этой теоремы для модулей без кручения над областями главных идеалов. В результате получено следующее: любая алгебра конечного типа без кручения над полулокальной областью главных идеалов может быть реализована как кольцо эндоморфизмов некоторого артинова модуля над кольцом специального вида. Причем если рассматривать кольца с точностью до факторизации по нилыю-тентным идеалам, то это кольцо специального вида можно выбрать локальным. В частном случае, если область главных идеалов есть негензелево локальное кольцо, то алгебру конечного типа над ним можно реализовать как кольцо эндоморфизмов модуля без кручения конечного ранга.