Бета-и гамма-функции

функция эйлер раабе гамма В отличие от дифференцирования, интегрирование не есть действие, всегда позволяющее найти элементарную функцию, являющуюся первообразной от заданной элементарной функции. Строго доказано, что во многих случаях и не существует такого элементарного выражения для первообразной. Другими словами, можно указать элементарные функции, интегралы от которых не выражаются никакими конечными комбинациями основных элементарных функций. Про такие функции говорят, что они не интегрируемы в элементарных функциях (или не интегрируемы в конечном виде).

Рассмотрим разностное уравнение Г (z+1) = z Г (z).

Несмотря на простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением. Гамма-функция тесно связана с бета-функцией. Обе эти функции определяют эйлеровы интегралы первого и второго рода, введённые великим математиком, физиком и астрономом Л. Эйлером (1707−1783 гг.). Ему принадлежат важнейшие работы по математическому анализу. Долгие годы живя в России, он оказал большое влияние на развитие отечественной математике.

Проблема исследования: При изучении темы «Интегральное исчисление» в педагогических вузах математических факультетов уделяется основное внимание технике вычисления первообразных функций, при этом у студентов складывается ошибочное представление, что большинство интегралов вычисляются через элементарные функции, хотя этот класс функций уже, и большая часть функций не выражается через элементарные функции. При вычислении некоторых из них используют эйлеровы интегралы.

Цель работы: Изучить бетаи гамма-функции, их свойства, связь между ними и научиться применять их для вычисления интегралов; показать эквивалентность двух разных определений гамма-функции.

Задачи: — изучение и систематизация литературы по теме «Эйлеровы интегралы»;

— показать, что гамма-функция является продолжением факториала;

— составление тестовых заданий и контрольных вопросов;

— подбор и решение практических задач.

Объект исследования: явления окружающей действительности, для моделирования которых используются интегралы, вычисляемые через В-Г-функции.

Предмет исследования: Свойства бетаи гамма-функций и их применение.

1. Функция «Бета»

1.1 Определение функции «Бета»

Рассмотрим Эйлеров интеграл первого рода. Так называется (по предложению Лежандра) интеграл вида:

В (а, b) =, (1.1)

где a, b > 0. Он представляет функцию от двух переменных параметров, а и b, или бета-функцию (функцию В).

Докажем, что данный интеграл (1.1) для положительных значений, а и b (хотя бы и меньших единицы) сходится.

Доказательство. При, а < 1 особая точка 0, при b < 1 особая точка 1. разложим предложенный интеграл на два, например, так:

.

Так как подинтегральная функция при х0 является бесконечно большой (если, а < 1) порядка 1 — а, то первый интеграл сходится лишь при условии 1 — а < 1, то есть, а > 0. аналогично, второй сходится при b > 0. Итак, интеграл (1) сходится в том и только в том случае, если одновременно, а > 0, b > 0.

Так как рассматриваемый интеграл (1.1) сходится, следовательно, может быть положен в основу функции В.

Установим некоторые ее свойства.

1.2 Свойства функции «Бета»

а) Прежде всего, подстановкой х = 1 — t получаем:

В (а, b) = B (b, a),

так как функция В является симметричной относительно, а и b.

б) С помощью интегрирования по частям из формулы (1.1) при b > 1, находим В (а, b)=

=

= = =

= =

= =

= B (a, b-1) — B (a, b).

С помощью преобразований получим:

B (a, b) = B (a, b-1) — B (a, b).

B (a, b) + B (a, b) = B (a, b — 1)

B (a, b) = B (a, b — 1)

B (a, b) = B (a, b — 1)

B (a, b) = B (a, b — 1). (1.2)

Эту формулу можно применять с целью уменьшения b, пока b остается больше 1; таким образом, всегда можно достигнуть того, чтобы второй аргумент стал не больше 1.

Этого же результата можно добиться и в отношении первого аргумента, так как бета-функция является симметричной. Имеет место и другая формула приведения (а > 1):

B (a, b) = B (a — 1, b). (1.2)

Если b равно натуральному числу n, то, последовательно применяя формулу (1.2), найдем:

B (a, n) = B (a, 1).

Но B (a, 1) = .

Поэтому для B (a, n) и, одновременно, для B (n, а) получается окончательное выражение

B (n, а) = B (a, n) =. (1.3)

Если и, а равно натуральному числу m, то

B (m, n) = .

Эту формулу можно применять и при m = 1 или n = 1, если под символом 0! Разуметь 1!

в) Дадим для функции В другое аналитическое представление, которое часто бывает полезно. Если в интеграле (1.1) произвести подстановку, где у — новая переменная, изменяющаяся от 0 до, то и получим

B (a, b) = (1.4)

B (a, b) = = =

=

= = =

= = .

Таким образом

B (a, b) = (1.4)

г) Положим в формуле (1.4) b = 1 — а, считая, что 0< а < 1; мы найдем:

B (a, 1 — а) = .

Полученный интеграл также связан с именем Эйлера. Вычислим его.

Разобьем интеграл на два интеграла: I = = I₁ + I₂, вычислим их порознь.

Для 0 < х < 1 имеем разложение в ряд ,

этот ряд сходится равномерно лишь если 0 < у 1- ' < 1. Но частичная сумма имеет интегрируемую в [0, 1] мажоранту

0 ,

следовательно, интеграл от нее сходится равномерно (как при у = 0, так и при у = 1). Интегрируя почленно, получим:

I₁ = = .

Интеграл I₂ подстановкой приводим к виду Применяя полученное выше разложение, найдем: I₂ = .

Таким образом:

I = I₁ + I₂ = + .

Полученное выражение есть разложение на простые дроби функции. Окончательно получаем: = .

Таким образом, В (а, 1 — а) = (0 < а < 1). (1.5)

Если, в частности, взять, а = 1 — а =, то получим:

В (;) =. (1.5_а)

Функция «Бета» очень просто выражается через другую функцию «Гамма», которую мы рассмотрим в следующем параграфе.

2. Функция «Гамма»

2.1 Определение Эйлерова интеграла второго рода

Это название было присвоено Лежандром замечательному интегралу:

Г (а) =, (2.1)

который сходится при любом, а > 0, так как особые точки и 0 (при, а < 0). существует лишь при, а > 0 (бесконечно малая порядка, а — 1 по отношению к). существует, каково бы ни было а, так как, взяв > 1, имеем: = 0 при .

Следовательно, существует при, а > 0. Интеграл (а) = определяет функцию Г («Гамма»).

Функция «Гамма», после элементарных, является одной из важнейших функций для анализа и его приложений. Глубокое изучение свойств функции «Гамма», исходя из ее интегрального определения (2.1), послужит одновременно и прекрасным примером применения теории интегралов, зависящих от параметра. Положим в формуле (2.1) х =, найдем:

(а) = = =

= = - = .

Как известно, =, причем выражение при возрастании n стремится к своему пределу, возрастая. В таком случае, на основании предельного перехода под знаком интеграла, оправдано равенство: Г (а) = .

Если сделать подстановку z = yⁿ, получим:

Г (а) = = =

= = .

Но, согласно формуле (1.3):

= В (а) = .

Таким образом, мы пришли к знаменитой формуле Эйлера-Гаусса:

Г (а) = n^a. (2.2).

В дальнейшем свойства функции Г мы будем извлекать из ее интегрального представления (2.1).

2.2 Свойства функции «Гамма»

2.2.1 Непрерывность

Функция Г (а) при всех значениях, а > 0 непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков. Достаточно доказать лишь существование производных. Дифференцируя интеграл (2.1) под знаком интеграла, получим:

=. (2.3)

применение правила Лейбница оправдано тем, что оба интеграла и сходятся равномерно относительно а: первый при х = 0 для, а а₀ > 0 (мажоранта), а второй сходится при х = для, а А < (мажоранта х^А е^-х).

Таким же путем можно убедиться и в существовании второй производной

= (2.3*)

и всех дальнейших.

2.2.2 Основное функциональное уравнение

Из формулы (2.1) интегрированием по частям получаем:

a. Г (а) = а = =

= + = + =

= = Г (а + 1), то есть Г (а + 1) = а Г (а) (2.4)

Эта формула, повторно примененная, дает Г (а+n) = (a+n-1) (a+n-2)… (a+1) a Г (а). (2.5)

Таким образом, вычисление Г для сколь угодно большого значения аргумента может быть приведено к вычислению Г для аргумента меньше 1.

Если в формуле (2.5) взять, а = 1 и принять во внимание, что

Г (1)==1, (2.6)

то окажется, что Г (n + 1) = n! (2.7)

Функция «Гамма» является естественным распространением — на область любых положительных значений аргумента — факториала n!, определенного лишь для натуральных значений n.

2.2.3 Ход изменения функции «Гамма»

Теперь мы можем составить общее представление о поведении функции Г (а) при возрастании, а от 0 до .

Из формул (2.6) и (2.7) имеем: Г (1) = Г (2) = 1, так что по теореме Ролля, между 1 и 2 должен лежать корень а₀ производной Г'(а). Эта производная постоянно возрастает, ибо вторая производная Г''(а), как видно из ее выражения (2.3*), всегда положительна. Следовательно, при 0 < а < а₀ производная Г'(а) < 0, и функция Г (а) убывает, а при а₀ < а < будет Г'(а) > 0, так что Г (а) возрастает; при, а = а₀ налицо минимум, вычисление которого дает: а₀ = 1,4616…, min Г (а) = Г (а₀) = 0,8856.

Установим еще предел для Г (а) при приближении, а к 0 или к. Из формул (2.6) [и из свойства 1⁰] ясно, что Г (а) = при, а. С другой стороны, ввиду (2.7) Г (а) > n!, лишь только, а > n + 1, то есть Г (а) и при, а .

2.2.4 Связь между функциями «Бета» и «Гамма»

Для того, чтобы установить связь между функциями В и Г, мы сделаем подстановку x = ty (t>0) в формуле (2.1) и получим:

Г (а) = = =

= = = .

Умножим обе части этого равенства на, получим:

. (2.8)

Заменяя здесь, а на a + b и одновременно t на 1 + t, получим:

= .

Умножим теперь обе части этого равенства на t^a-1 и проинтегрируем по t от 0 до :

Г (a+b) = .

В интервале слева мы узнаем функцию В (а, b) [см. 4]; справа же переставим интегралы. В результате получим [с учетом (2.7) и (2.1)]:

Г (а+b) В (а, b) = = = = = Г (а). Г (b).

Таким образом, получаем:

Г (а+b) В (а, b) = Г (а). Г (b), откуда, наконец, В (а, b) =. (2.9)

Приведенный изящный вывод этого соотношения Эйлера принадлежит Дирихле. Но для его обоснования надо еще оправдать перестановку интегралов. Ограничимся поначалу предположением, что, а > 1, b > 1. Тогда для функции t^a-1 y^a+b-1 e^-(1+t)y оказываются выполнимыми все условия следствий интегрирования интеграла по параметру.

А именно: эта функция непрерывна и притом положительна для, а интегралы

= Г (а + b).

= Г (а) y^b-1 e^-y

в свою очередь представляют собой непрерывные функции: первый — от t для t0, второй — от у для у0. Ссылка на упомянутое следствие оправдывает перестановку интегралов, а с нею и формулу (2.8) — для случая, а > 1, b > 1.

Если же известно лишь, что, а > 0 и b > 0, то — по доказанному — имеем В (а+1, b+1) = .

А отсюда, используя формулы привидения (1.2), (1.2') для функции В и (2.4) для функции Г, легко вновь получить формулу (2.8) уже без ненужных ограничений.

2.2.5 Формула дополнения

Если в формуле (2.9) положить b = 1-а (считая 0 < а < 1), то, используя формулы (1.5) и (2.6), получим соотношение:

В (а, 1-а) = = Г (а) Г (1-а) В (а, 1-а) = ,

Г (а) Г (1-а) =

Эта формула называется формулой дополнения. При находим (так как Г (а)>0)

Г (). Г (1-) =

Г² () = ,

Г () =. (2.11)

Если в интеграле сделать подстановку z= x², то получим значение интеграла Эйлера-Пуассона:

= = = 2 = .

2.2.6 Формула Эйлера

В качестве применения формулы дополнения определим (вместе с Эйлером) величину произведения (где n — любое натуральное число) Е = Г () Г () … Г () Г ().

Перепишем это произведение в обратном порядке Е = Г () Г () … Г () Г (),

перемножим оба выражения:

Е² =

и к каждой паре множителей применим формулу дополнения. Мы получим:

Е² = = .

Теперь для вычисления произведения синусов рассмотрим тождество:

=

и устремим в нем, получим:

n =

или, приравнивая модули:

n = = =

= = =

= = = 2 sin = 2 ^n-1 ,

получили

= .

Подставляя это выражение для Е ², окончательно получаем:

Е = =. (2.12)

2.2.7 Интеграл Раабе

С формулой дополнения связано и вычисление важного интеграла:

R₀ = .

Заменяя, а на 1 — а, можно написать:

R₀ =

и, складывая это выражение с предыдущим и пользуясь вторым функциональным уравнением () для гамма-функции, получим:

2 R₀ = R₀ = + = =

= = = - =

= = - = - .

Второй из полученных интегралов после замены u = - переходит в, и объединяя его с первым, находим I = ln2 + 2I, откуда I =-ln2. Таким образом, получаем:

R₀ = = + =. (2.13)

Раабе рассмотрел боле общий интеграл (при а>0):

R (a) = = а (ln a — 1) +. (2.14)

3. Другое определение функции «Гамма»

Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением, что мы и делали в предыдущих параграфах. Но гамма-функцию можно представить и в виде ряда. Значение этой функции видно хотя бы из того, что она является естественным распространением факториала на дробные и даже комплексные значения аргумента. Это соображение мы и положим в основу другого определения гамма-функции.

3.1 Определение

Рассмотрим функциональное уравнение

(3.1)

которому для всех целых неотрицательных значений удовлетворяет функция

(3.2)

Будем искать аналитическую функцию, удовлетворяющую уравнению (3.1) для всех комплексных z и, для определенности, равную 1 при (условие 1).

Надо заметить, что искомая функция для любых целых положительна. должна удовлетворять уравнению

. (3.3)

которое получается повторным применением формулы (3.1).

Полагая в соотношении (3.3), получаем, что для всех целых положительное значение совпадает с .

Заменив в (3.3) и переписав это соотношение в виде

(3.4)

мы видим, что искомая функция должна иметь полюса во всех целых неположительных точках (= 0, 1, 2, …). В самом деле, при числитель выражения (3.4) стремится к 1, а знаменатель к нулю. Из той же формулы (3.4) видно, что

(3.5)

Но мы знаем, что вычет в полюсе первого порядка определяется по формуле

.

В формуле (3.5) все полюсы — первого порядка, значит вычет в полюсе равен .

Мы предположим еще, что не имеет других особенностей, кроме z = 0, -1, -2, …, и нигде не обращается в нуль (условие II).

Тогда логарифмическая производная функции равна:

и будет мероморфной функцией, имеющей в точках z = 0, -1, -2, …, простые полюса с вычетами, равными -1.

Прологарифмируем формулу (3.3).

.

Продифференцируем полученную функцию:

.

Подставим здесь z = 0 и обозначим :

;

вычитая полученное равенство из предыдущего, найдем:

(3.6)

Ряд с общим членом

очевидно сходится при любом ибо отношение его общего члена к члену сходящегося ряда стремится к конечному пределу — z. Кроме того, в любой ограниченной области, начиная с некоторого, имеем, где М — некоторая постоянная, следовательно, этот ряд сходится равномерно. Таким образом, по теореме Вейерштрасса сумма ряда представляет собой функцию, аналитическую во всех конечных точках, кроме точек, где она имеет полюсы первого порядка с вычетом, равным -1.

Перейдем в формуле (3.6) к пределу при; по только что доказанному существует предел, следовательно, существует и предел, который мы обозначим через. В пределе будем иметь:

(3.7)

Так как по доказанному имеет в точках полюсы первого порядка, то главные части ее логарифмической производной в этих полюсах равны. Отсюда следует, что функция должна быть целой. Очевидно, что и обратно, какова бы ни была целая функция, функция, определяемая по своей логарифмической производная будет удовлетворять условию II.

Условие I налагает на функцию дополнительное ограничение. В самом деле, из функционального уравнения (1) логарифмированием и дифференцированием получаем следующее уравнение для функции :

. (3.8)

Но из равенства (3.7) следует:

(постоянная С и все слагаемые, кроме первого, при вычислении сокращаются), поэтому для того, чтобы удовлетворилось соотношение (8), функция должна быть периодической с периодом 1, т. е.. Обратно, для любой такой функция будет удовлетворять уравнению (3.8) и, интегрируя и дифференцируя последнее, найдем:

где, А — некоторая постоянная. Если функция удовлетворяет еще условиям, то, подставляя в последнее уравнение z = 1, найдем, А = 0, т. е. после потенцирования получим функциональное уравнение (3.1).

Таким образом, для любой целой периодической с периодом 1 функции соответствующая функция (если для нее) удовлетворяет обоим условиям I и II.

Иными словами, условиям I и II удовлетворяет целый класс мероморфных функций. Простейшую из этих функций мы получим, если положим в (3.7) — она и называется гамма-функцией Эйлера и обозначается символом Г (z). Для логарифмической производной гамма-функции имеем, следовательно, разложение:

(3.9)

где С — постоянная, которую мы сейчас определим. Проинтегрируем разложение (3.9) вдоль некоторого пути, соединяющего точку z = 0 с произвольной точкой и не одержащего точек, получим разложение логарифма гамма-функции:

. (3.10)

Постоянная С определяется условием Г (2)=1, которое мы наложили выше на гамма-функцию (второе условие Г (1)=1 имеет место при любом С в силу нашего выбора начала пути интегрирования).

Подставим в (3.10) z=1, получим:

.

Последнее произведение равно; добавляя в сумму, стоящую под знаком предела, стремящейся к нулю член и заменяя еще через, получим:

(3.11)

Эта постоянная носит название постоянной Эйлера, ее приблизительное значение равно .

Из формулы (3.10) потенцированием получаем представление функции в виде бесконечного произведения

.

.

.

(3.12)

Полученное бесконечное произведение сходится для всех конечных z, для () это следует из доказанной сходимости ряда (3.9) и теоремы — «для сходимости бесконечного произведения необходима и достаточна сходимость ряда при надлежащем выборе значений логарифмов». А для непосредственно видно, что она сходится к нулю.

3.2 Основные свойства

Перечислим основные свойства гамма-функции, которые мы получили при ее определении:

1) Г (z) аналитична всюду, кроме целочисленных отрицательных точек и точки z=0.

2) Г (z) удовлетворяет функциональному уравнению Г (z+1)=zГ (z). (3.13)

или более общему

(3.14)

3) При всех целых положительное значение Г (n+1) совпадает с n!

(3.15)

4) Все полюсы гамма-функции первого порядка, причем вычет Г (z) в полюсе равен .

Из сходимости произведения (3.12) заключаем:

5) Функция — целая, следовательно, гамма-функция не обращается в нуль.

Свойства 3) — 5) выясняют общий характер графика функции действительного аргумента. На рисунке 2 изображены графики функций и (пунктиром).

Максимумы и минимумы для отрицательных приближаются к нулю при, это связано с тем, что по свойству 4) вычет, т. е. коэффициент при главной части разложения в окрестности точки, сильно убывает с ростом :

Ниже приведен рельеф гамма-функции (рис. 3), т. е. поверхность с уравнением .

Ярко выраженные пики над точками соответствуют полюсам. Два семейства линий на поверхности представляют собой семейства линий равного модуля и равного аргумента, цифровые отметки на них указывают значения модуля и аргумента (последнее — в градусах).

Приведем еще несколько свойств гамма-функции. Наряду с соотношением (3.13) во многих вопросах полезно еще второе функциональное уравнение для гамма-функции:

6) Для всех комплексных z

(3.16)

(при, б обе части равенства обращаются в бесконечность).

Для вывода этого соотношения подставим сначала в формулу (3.12), получим:

(3.17)

затем заменим в той же формуле (3.12) z на — z:

.

Перемножив полученные произведения (это законно в силу их абсолютной сходимости), найдем:

.

Остается воспользоваться разложением в бесконечное произведение, и мы получим искомую формулу (3.16).

Отметим некоторые следствия полученных формул. Полагая в формуле (3.16), находим, откуда .

Применив теперь формулу (14), в которой положено найдем:

(3.18)

Полагая в (3.16), будем иметь:

откуда по (3.18) получим формулу:

(3.19)

7) Для всех z из правой полуплоскости

(3.20)

где интегрирование производится по положительной полуоси t (Эйлер).

Для доказательства прежде всего заметим, что интеграл (3.20) сходится для всех z, для которых. В самом деле,, и мы видим, что при сходимость интеграла (для любого) обеспечивается множителем, а при подынтегральная функция имеет порядок, так что для интеграл будет сходиться.

Далее, рассмотрим еще функцию ;

вводя здесь новое переменное интегрирования и применяя затем формулу интегрирования по частям, находим:. (подынтегральная часть исчезает).

Повторив этот прием до тех пор, пока не исчезнет множитель, получим:

Умножим числитель и знаменатель полученного выражения на, тогда найдем:

.

Перейдем теперь к пределу при, на основании формул (3.11), (3.12), (3.13) получим:

.

С другой стороны, так как при, то естественно ожидать, что

. (3.21)

и тогда формула (3.20) будет доказана.

Для доказательства последнего соотношения мы воспользуемся неравенством

при (3.22)

Оценим разность между предполагаемым пределом и :

.

В силу сходимости интеграла (3.20) для любого фиксированного найдется такой номер, что при

(3.23)

Фиксируем этот номер и для любого представим в виде Для оценки первого слагаемого воспользуемся неравенством (3.22), получим:

откуда видно, что при достаточно больших (и фиксированном) это первое слагаемое по модулю не превосходит .

Для второго слагаемого имеем:

(мы отбросили вычитаемое и увеличили интервал интегрирования, а затем воспользовались неравенством (3.23)). Модуль третьего слагаемого при любом не превосходит и, следовательно,. Соотношение (3.21) доказано, а значит, доказана и формула (3.20).

Список источников

Балк М.Б., Виленкин Н. Я., Петров В. А. Математический анализ. Теория аналитических функций. — М.: Просвещение, 1985. — 159 с.

Бермант А.Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа. — М.: Наука, 1966. — 735 с.

Бронштейн И.Н., Смендяев К. А. Справочник по математике для студентов вузов. — М., Наука. 1965. — 360 с.

Бугров Я.С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, Ряды. Функции комплексного переменного. — Ростов-н/Д. Феникс. 1997. — 511 с.

Виленкин Н.Я., Куницкая Е. С, Мордкович А. Г., Математический анализ: интегральное исчисление. — М.: Наука, 1979. — 435 с.

Виленкин Н. Я. Специальные функции. — М.: Наука, 1976. — 412 с.

Краснов М.Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1980. — 507 с.

Лаврентье., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 620 с.

Орлов Ф. Асимптотика и специальные функции. — М.: Наука, 1973 — 215 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление: т. 1, — М.: Интеграл-пресс, 2002. — 415 с.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2. — М.: Физматгиз, 1962. — 807 с.

Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: — М.: Наука, 1987. — 243 с.