Мартингально-эргодические и эргодико-мартингальные процессы с непрерывным временем

Проблемой унификации эргодических средних и обращенных мартингалов начали заниматься с середины прошлого века. Любопытное совпадение поведения и сходство доказательств теорем сходимости для этих стохастических процессов привели к задаче о нахождении суперструктуры, унифицирующей и мартингалы, и эргодические средние.

Совпадение параметров в максимальном и доминантном неравенствах, в неравенствах пересечения полосы, в различных колебательных характеристиках — все это привело к мысли о наличии глубоких связей между этими процессами.

Приведем для сравнения некоторые из этих характеристик — обращенный мартингал и Anf — эргодические средние).

Максимальное неравенство [2, 27]: fdX,.

А{ max? fc > е} < - [ frdA, А{ max Akf > ej < - f.

1<�к<�п? J 1<�к<�п? J.

1 Шп (к~е} {^nAkf~E}.

A{ max dk>?}< ?Etf, A {max Akf > e} < ?E fp.

Доминантное неравенство (для неотрицательных процессов) [13, 27]: max^lli<-b" (l+ [6bg+ei^A), || max Akf\, < -^-(1 + //log+/dA), l.

I? 11 s ftt11'11' •.

Неравенства пересечения полосы [2, 16, 29].

Пусть — число пересечений последовательностью хп интервала [а, Ь] снизу вверх (сверху вниз), тогда:

— а)+, Еи1ь (Ап/) < - а)+,.

Еи^п) < ~ Ь)+, Е<^Е (/ - Ь)± в случае неотрицательности процессов [3, 17]:

Неравенство для е-флуктуаций [4].

Пусть — множество, на котором последовательность хп допускает к с-флуктуаций, тогда:

МЛ^п/П <

Неравенство для квадратической варигщии [4, 13].

Для Н2(хп) = Iхп ~ х&bdquo-+1|2)½ верно: н2кп)\р < сыР, т2(лпл\р < ?>11/11,.

Много других интересных примеров совпадения характеристик поведения эрго-дических средних и мартингалов можно найти в [4, 25].

Наличие особенностей в поведении процессов привело С. Какутани в 1950 году к постановке вопроса о нахождении причин такого поведения [26]. Была поставлена задача о нахождении общего унифицирующего максимального неравенства, которое бы включало максимальное неравенство и для мартингалов, и для эргодических средних.

С тех пор было разработано шесть подходов к решению этой проблемы (М. Дже-рисон, Дж.-К. Рота, А. и К. Ионеску-Тулча, А. М. Вершик и А. М. Степин, А. Г. Качуровский). Кроме того, есть ряд работ, так или иначе связанных с задачей унификации (см., например, [3, 16, 21, 28]).

М. Джерисои в своей работе [24] доказал, что эргодические средние можно рассматривать как мартингалы на некотором пространстве с а-копечпой мерой. Однако, поведение таких мартингалов и обычных (на вероятностном пространстве) различно.

Рассматриваемый в его работе унифицирующий процесс, давая возможность унификации формулировок теорем, не обладает, тем не менее, в достаточной мере свойствами ни эргодических средних, ни (стандартных) мартингалов. И не отвечает на вопрос о причинах совпадения поведения мартингалов и эргодических средних. Подход применим и к эргодическим средним для сжатий в пространствах суммируемых функций, и к эргодическим средним для ограниченных линейных операторов в абстрактных банаховых пространствах.

Кроме того, в рамках подхода был получен вывод индивидуальной эргодической теоремы по некоторым подпоследовательностям из теоремы Дуба о сходимости мартингалов. Вывод теоремы Дуба из индивидуальной эргодической теоремы был проделан Ж. Неве в [28].

Дж.-К. Рота в работах [32, 33] рассмотрел так называемые обобщенные мартингалы, которые унифицируют мартингалы и эргодические средние относительно суммирования по Абелю, и доказал теорему сходимости для этих объектов: и по норме, и п.в.

Основой работы было исследование структуры так называемых операторов Рей-нольдса (связанных с системой Навье-Стокса), образующих при определенных алгебраических условиях обобщенный мартингал. Для таких операторов было найдено интегральное представление, благодаря которому удалось доказать основные результаты.

Таким образом, подход Дж.-К. Рота дает унификацию формулировок теоремы о сходимости регулярного мартингала (класса Зигмунда) и утверждения о сходимости эргодических средних (с усредняемой функцией из того же класса), не давая при этом унифицирующего и мартингалы, и эргодические средние стохастического процесса, поскольку в эргодических теоремах усреднение идет по Чезаро, а не по Абелю. Кроме того, подход неприменим к унификации эргодических теорем для действий сжатий (не порожденных сохраняющими меру преобразованиями).

Позднее М.М. Pao в [30, 31] детализировал результаты Рота.

Содержание абстрактной эргодической теоремы Ионеску-Тулча [23] состоит в рассмотрении общего унифицирующего максимального неравенства, которое решает проблему Какутани в случае с «модулями» .

Поскольку из этого неравенства немедленно следуют максимальные неравенства и для эргодических средних, и для обращенных мартингалов, из которых в свою очередь немедленно вытекают утверждения о сходимости п.в. и тех и других, то подход дает (опирающееся на более ранние идеи Р. Чакона и Дж. Окстоби) единственное независимое унифицированное доказательство индивидуальной эргодической теоремы (для сжатий) и теоремы Дуба о сходимости обращенного мартингала.

Кроме того, все результаты формулируются и доказываются в общем случае ба-наховозначных стохастических процессов. В частности, получено независимое доказательство сильной сходимости ¿-^-ограниченного мартингала со значениями в банаховом пространстве со свойством Радона-Никодима.

Однако, в этом подходе, имеющем унифицированное доказательство сходимости, нет унифицирующего процесса.

Еще два независимых доказательства сходимости индивидуальной эргодической теоремы и теоремы о сходимости мартингалов получены в работах Э. Бишопа [16] и В. В. Иванова [3]. Их глубокие результаты основаны на рассмотрении характеристик, связанных с пересечением величинами полосы у одного и колебанием хорды монотонных функций у другого автора. Однако, в работах нет ни унифицирующей структуры, пи унифицированного доказательства.

Подход A.M. Вершика и A.M. Степина (см. работы [1, 35] и примыкающую к ним [12]) основан па рассмотрении локально конечных групп, действующих свободно на фазовом пространстве. Эргодическая теорема для таких действий выводится из теоремы сходимости для некоторого однородного обращенного мартингала. И обратно, теорема сходимости для однородного обращенного мартингала может быть реализована как эргодическая для некоторой локально-конечной группы.

Таким образом, теория сходимости (обращенных) мартингалов оказывается почти идентичной теории сходимости в рассматриваемых эргодических теоремах.

Последние два подхода А. Г. Качуровского [5, 6] состоят в нахождении унифицирующей суперструктуры для мартингалов и эргодических средних — мартингально-эргодических (5-й подход) и эргодико-мартингальных (б-й подход) стохастических процессов. Рассматривая композицию операторов усреднения и условного математического ожидания, удалось показать, что полученные унифицирующие процессы обладают свойствами и мартингалов, и эргодических средних.

Для процессов с дискретным параметром были получены:

1. теоремы сходимости по норме и п.в. (мартингально-эргодическая и эргодико-мартингальная теоремы), которые включают в себя как индивидуальную и статистическую эргодическую теоремы, так и теоремы сходимости мартингалов;

2. максимальное и доминантное неравенства;

3. все результаты обобщены также на действия сжатий и решеток.

В работе также предложена интересная интерпретация теоремы сходимости мартингалов с точки зрения эргодической теории. В этой теореме с эргодической точки зрения на каждом шаге происходит усреднение по однократному покрытию фазового пространства измеримыми множествами («чешуйками»), монотонно растущими или убывающими, в зависимости от фильтрациив индивидуальной же теореме на каждом п-ом шаге идет п-кратное усреднение вдоль траекторий динамической системы (траектория рассматривается покрывающей фазовое пространство п раз). «Чешуйками» здесь являются п точечные отрезки траекторий.

Такой взгляд на мартингально-эргодическую теорему приводит к замечательному результату: в ней па п-ом шаге идет усреднение по покрытию фазового пространства любой кратности от 1 до п.

Резюмируя сказанное, можно сказать, что подход Качуровского, единственный пока, дает унифицирующую структуру и унифицированные формулировки теорем сходимости (доказательства используют в качестве составляющих и эргодические и мартингальные аналоги) из рассмотренных выше.

Рассмотрение мартингально-эргодических процессов получило также продолжение в работе китайских математиков [22], в которой они исследовали уже банахо-возпачный случай.

Обстоятельный обзор всех перечисленных подходов можно найти в обзоре [6].

Настоящая работа посвящена исследованию мартингально-эргодических и эргодико-мартингальных стохастических процессов с непрерывным временем. Главный вектор работы направлен па исследование сходимости почти всюду этих процессов при стремлении их параметров к бесконечности.

Проблемой в исследовании сходимости процессов с непрерывным параметром является возможное наличие несчетного числа множеств, на которых процесс обладает патологическими свойствами. Для эргодических средних переход к непрерывному времени осуществляется достаточно «безболезненно», для мартингалов также имеются свои методы, связанные с понятием сепарабельности. Однако, при композиции возникают технические трудности.

Рассмотрение сходимости исследуемых процессов в диссертации происходит при двух различных условиях:

1. при условии интегрируемости супремума (супремума эргодических средних для мартингально-эргодических процессов и супремума регулярного мартингала для эргодико-мартингальных);

2. при условии коммутируемости операторов эргодического усреднения и условного математического ожидания.

При этом второе гарантирует совпадение между собой рассматриваемых процессов.

Оба условия являются унифицирующими, т. е при этих условиях оба процесса сохраняют свое главное свойство — унификацию регулярных мартингалов и эргодических средних. Второе из них распространяет унификацию на все интегрируемые фуикции, участвующие в построении процессов, в отличие от первого, которое справедливо для функций из класса Зигмунда.

Полученные в работе новые результаты, в соответствии с рассматриваемыми условиями, можно разбить на следующие пункты.

1. Доказана сходимость по норме для обоих процессов при стремлении их параметров к бесконечности.

2. В случае интегрируемого супремума: a) Доказана сходимость обоих процессов п.в. при стремлении их параметров к бесконечностиb) Получены доминантные и максимальные неравенства для обоих процессовc) Рассмотрен процесс, унифицирующий абелевские эргодические средние и регулярные мартингалы, обобщающий унификацию Дж-К. Рота. Для него доказана сходимость п.в. и по норме при стремлении параметра процесса к бесконечности.

3. В случае коммутируемости операторов усреднения и условного математического ожидания: a) Доказана сходимость п.в. процесса с дискретным временем, построенного по эндоморфизму, при стремлении параметров процесса к бесконечностиb) Доказана сходимость п.в. этого же процесса с непрерывным временем, построенного по полупотоку, при стремлении параметров процесса к бесконечности.

В работе используются методы эргодической теории, теории меры, элементы теории стохастических процессов, а также ряда общих разделов функционального анализа.

Структурно работа состоит из введения, четырех разделов и списка литературы. Каждый из разделов разбит на подразделы. Каждый из подразделов делится на пункты. Нумерация теорем, лемм и замечаний сквозная. Нумерация формул также сквозная, и нумеруются только формулы, которые считаются наиболее важными и на которые в дальнейшем в тексте есть ссылка. Конец доказательства утверждений обозначается значком ?.

Перейдем к подробному обсуждению разделов.

В первом разделе вводятся определения процессов, и доказывается их сходимость по норме (теорема 1). Необходимые для определения понятия разделены на мартии-гальную и эргодическую части. Доказательство сходимости по норме в основном соответствует доказательству аналогичной теоремы в дискретном случае: сходимость в нормированном пространстве следует из свойства сжатия в этом пространстве обоих образующих процессы операторов.

Во втором разделе рассматривается случай интегрируемого супремума. Центральным результатом этого раздела является теорема 2 о сходимости почти всюду. Трудности при ее доказательстве носят технический характер. Важной для доказательства является лемма 2 (см. также замечание 3), в которой строится модификация мартингальио-эргодического процесса. Доказывается, что эта модификация обладает свойством сходимости п.в., и для нее справедливы доминантное и максимальное неравенства (теорема 3). Построение такой модификации возможно из-за п.в. непрерывности (эргодических) усреднений по параметру и сепарабельности регулярного мартингала. Для эргодико-мартингальиых процессов доказательство несколько проще. Их сходимость зависит от сепарабельности регулярного мартингала и положительности обоих образующих процесс операторов. Для них также доказываются доминантное и максимальное неравенства (теорема 4). Доказательство этих неравенств для обоих процессов следует аналогичному доказательству в дискретном случае и последовательно использует в качестве ключевых составляющих неравенства для эргодических средних и мартингалов с непрерывным временем.

Третий раздел посвящен рассмотрению условия коммутирования операторов (эр-годического) усреднения и условного математического ожидания. Главным и самым общим результатом этого раздела является теорема 8. Она есть конечный итог цепочки теорем: теорем 5,6 и 7. Ключевой из них является теорема 5, в которой показывается сходимость мартипгально-эргодических процессов (совпадающих с эргодико-мартингальными), построенных по автоморфизму и убывающей фильтрации атомических <�т-алгебр. Оказалось, что в этом случае условие коммутирования, эквивалентное сохранению фильтрации (см. лемму 5), выглядит наиболее просто. Благодаря ему, удается ограничить рассматриваемый процесс некоторым обращенным одно-параметрическим мартингалом, инвариантным относительно автоморфизма. После этого сходимость процесса легко следует из мартипгально-эргодической теоремы Качуровского и обобщенного принципа Банаха.

Этот простой случай переносится затем на автоморфизмы (теорема 6) и эндоморфизмы (теорема 7) пространства Лебега. Процесс при этом ограничивается уже суммой некоторого обращенного мартингала и эргодических средних, зависящих каждый от своего параметра. При доказательстве в этом случае использовалась развитая теория измеримых разбиений пространства Лебега. Переход от автоморфизмов к эндоморфизмам осуществлен за счет интересной конструкции естественного расширения эндоморфизма.

Наконец, доказательство в случае полупотока (теорема 8) опирается на технику Данфорда-Шварца перехода к дискретному случаю.

В последнем разделе обсуждается вопрос о связи мартипгально-эргодических и эргодико-мартипгальиых процессов с другими процессами: обобщенными и асимптотическими мартингалами.

Важным результатом этого раздела является теорема 9, в которой доказывается сходимость по норме и п.в. аналога эргодико-мартингального процесса для усреднений по Абелю. Этот результат обобщает унификацию мартингалов и абелевских эргодических средних в подходе Дж.-К. Рота. В его подходе рассматривались только операторы, порождаемые сохраняющими меру преобразованиями, а не более общий случай как в теореме 9. Доказательство этого результата опирается на известный переход от суммируемости по Чезаро к суммируемости по Абелю к одному и тому же пределу. Суммируемость по Чезаро содержится как раз в теореме 2.

В заключении раздела обсуждается вопрос о доказательстве мартиигально-эргодической теоремы с помощью понятия асимптотического мартингала, частным случаем которого является мартингально-эргодический процесс с условием интегрируемости супремума.

Результаты работы рассказывались па Международной научной студенческой конференции в Новосибирском государственном университете (2007 г.), на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С. J1. Соболева (2008 г.), и Международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» (2009 г.) в Институте математике СО РАН, на семинарах в Новосибирском (2007;2009 гг.) и Московском (семинар Д. В. Аносова и A.M. Степина, 2008 г.) государственных университетах и в Институте математики СО РАН (2009 г.).

Имеются четыре публикации по теме диссертации [37, 38, 39, 40]. Основные результаты содержатся в [39].

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю А. Г. Качуровскому за поставленную задачу и постоянное внимание к работе.

1 Определение мартингально-эргодического и эргодико-мартингального процессов.

1. Вершик А. М. Теория убывающих последовательностей измеримых разбиений // Алгебра и анализ. 1994. Т. 6, № 4. С. 1—68.

2. Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

3. Иванов В. В. Геометрические свойства монотонных функций и вероятности случайных колебаний // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 1. С. 117−150.

4. Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // УМН. 1996. Т. 51, № 4. С. 73−124.

5. Качуровский А. Г. Мартингально-эргодическая теорема // Мат. заметки. 1998. Т. 64, № 2. С. 311−314.

6. Качуровский А. Г. Единые теории, унифицирующие эргодические средние и мартингалы // Динамические системы и оптимизация. Труды МИАН. 2007. Т. 256. С. 172−200.

7. Козлов В. В. Весовые средние, равномерное распределение и строгая эргодичность // УМН. 2005. Т. 60, № 6. С. 115−138.

8. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986.

9. Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969.

10. Рохлин В. А. Об основных понятиях теории меры // Матем. сб. 1949. Т. 25, № 1. С. 107−150.

11. Рохлин В. А. Точные эндоморфизмы пространства Лебега // Известия АН, серия матем. Т. 25. 1961. С. 499−530.

12. Степип А. М. Энтропийный инвариант убывающих последовательностей измеримых разбиений // Функц. анализ и его прил. 1971. Т. 5, № 3. С. 80−84.

13. Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

14. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962.

15. Argiris G., Rosenblatt J. М. Forcing divergence when the supremum is not integrable // Positivity. 2006. V. 10, N 2. P. 261−284.

16. Bishop E. An upcrossing inequality with applications // Michigan Math. J. 1966. V. 13, N 1. P. 1−13.

17. Dubins L. E. Rises and upcrossings of nonnegative martingales // 111. J. Math. 1962. V. 6, N 2. P. 226−241.

18. Dunford N., Miller D.S. On the ergodic theorem // Trans. Amer. Math. Soc. 1946. V. 60. P. 538−549.

19. Dunford N., Schwartz J.T. Convergence almost everywhere of operator averages // Journal of Rational Mechanics and Analysis. 1956. V. 5, N 1. P. 129−178.

20. Edgar G.A., Sucheston L. Stopping times and directed processes. Cambridge: University Press, 1992.

21. Goubran N. Pointwise inequalities for ergodic averages and reversed martingales // J. Math. Anal, and Appl. 2004. V. 290, N 1. P. 10−20.

22. Guangzhou L., Peide L. B-valued martingale ergodic theorems and maximal inequalities // J. Wuhan Univ., Nat. Sci. Ed. 2007. V. 53, N 3. P. 255−258.

23. Ionescu Tulcea A., Ionescu Tulcea C. Abstract ergodic theorems // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. V. 107, N 1. P. 107−124.

24. Jerison M. Martingale formulation of ergodic theorems // Proc. Amer. Math. Soc. 1959. V. 10, N 4. P. 531−539.

25. Jones R. L., Rosenblatt J.M., Wierdl M. Counting in ergodic theory // Canad. J. Math. 1999. V. 51, N 5. P. 996−1019.

26. Kakutani S. Ergodic theory // Proc. Intern. Congr. Math. 1950. Providence (R.I.): Amer. Math. Soc., 1952. V. 2. P. 128−142.

27. Krengel U. Ergodic Theorems. Berlin New York: Walter de Gruyter, 1985.

28. Neveu J. Deux remarques sur la theorie des martingales // Ztschr. Wahrscheinlichkeitsth. unci verw. Geb. 1964. V. 3. P. 122−127.

29. Neveu J. Discrete parameter martingales. Amsterdam: North Holland Publishind Co., 1975.

30. Rao M. M. Abstract martingales and ergodic theory // Multivariational analysis III. Proc. Third Intern. Symp. Wright State Univ., Dayton (Ohio), 1972. New York: Acad. Press, 1973. P. 45−60.

31. Rao M. M. Foundations of Stochastic Analysis. New York: Academic Press, 1981.

32. Rota G.-C. Une theorie unifiee des martingales et des moyennes ergodiques // C. r. Acad. sci. Paris. 1961. V. 252, N 14. P. 2064;2066.

33. Rota G.-C. Reynolds operators // Proc. Symp. Appl. Math. 1964. V. 16. P. 70−83.

34. Stroock D. Probability Theory, an Analytic view. Cambridge: University Press, 1993.

35. Vershik A.M. Amenability and approximation of infinite groups // Sel. Math. Sov. 1982. V. 2, N 4. P. 311−330.

36. Widder D.V. The Laplace Transform. Princeton: Univ. Press, 1941. Работы автора по теме диссертации.

37. Подвигин И. В. Мартингалыю-эргодические процессы с непрерывным временем // Материалы XLV международной науч. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. С. 105−106.

38. Подвигин И. В. Мартингалыю-эргодическая теорема без условия интегрируемости супремума. Новосибирск, 2009. 10 с. (Препринт/ РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики- № 228).