Подмодели динамики политропного газа

Свойства симметрии математической модели отражают факт независимости законов природы от систем отсчета, в которых наблюдаются и измеряются основные величины и выражаются в инвариантности модели относительно некоторых преобразований пространства значений этих величин. Такие преобразования образуют группу. Следуя С. Ли говорят, что математическая модель допускает данную группу преобразований.'.

Выдвинутая академиком Л. В. Овсянниковым научно-исследовательская программа ПОДМОДЕЛИ [1] содержит концепцию систематического использования свойств симметрии в механике сплошных сред. Эта программа дает общий теоретико-групповой подход к математическим моделям с целью максимального использования заложенных в них свойств симметрии путем формирования и упорядочения банка данных точных решений (подмоделей) математической модели. Для уравнений газовой динамики (УГД) программа ПОДМОДЕЛИ успешно реализуется в лаборатории дифференциальных уравнений Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

Точные решения играют важную роль при исследовании различных задач газовой динамики. Они применяются для анализа конкретных начально-краевых задач, выявления новых эффектов, описываемых моделью, исследования качественных свойств системы, тестирования численных методов. В настоящее время в газовой динамика накоплен достаточно большой опыт получения и использования точных решений. Классическими примерами могут служить простые волны Рима-на в одномерных движениях газа или двумерные течения Прандтля-Майера. На основе автомодельного решения Л. И. Седовым [2] получено решение задачи о точечном взрыве в газе. Различные обобщения этого решения содержатся монографии [3]. Большой набор точных решений можно найти в монографиях [4, 5]. Обширный класс решений, так называемые кратные волны, исследован в [6] на основе метода дифференциальных связей. Отметим, что большинство полученных в этих работах решений имеют групповую природу [7].

В рамках программы ПОДМОДЕЛИ точные решения УГД строятся с помощью подгрупп допускаемых уравнениями расширений группы Галилея. Очевидно, что каждая подгруппа допускаемой группы также допускается исходной моделью. В то же время она имеет инварианты, конечные и (или) дифференциальные. Установление дополнительных соотношений между инвариантами подгруппы выделяет из множества решений модели определенный класс точных решений. Такие решения выражаются через новые искомые функции (инварианты), удовлетворяющие некоторой системе уравнений, более простой по сравнению с исходной. Эта система уравнений называется подмоделью исходной модели. Большинство известных точных подмоделей в виде систем уравнений пониженной размерности, таких как одномерные, двумерные, плоскопараллельные, осесимметричные, винтовые, стационарные, конические, автомодельные, дают примеры инвариантных решений. Ясно, что этот перечень можно пополнить.

Существенно различаются два типа подмоделей: инвариантные (ИП) и частично инвариантные (ЧИП). Для первых все искомые функции выражаются через инварианты, поэтому система уравнений подмодели является определенной. Напротив, в частично инвариантных подмоделях только часть искомых функций имеет инвариантное представление. На оставшиеся «лишние» функции при построении подмодели не накладывается никаких дополнительных ограничений. Поэтому уравнения ЧИП содержат переопределенную подсистему для лишних функций. Приведение этой подсистемы в инволюцию зачастую является очень непростой задачей, что и определяет относительную сложность получения и исследования ЧИП. Иногда в процессе приведения переопределенной подсистемы в инволюцию лишние функции получают инвариантное представление. Это означает, что данная подмодель совпадает с ИП, построенной на подгруппе меньшей размерности. В этом случае говорят, что ЧИП редуцировалась к ИП. Установление редукции позволяет избежать большого количества фактически ненужной работы. Важно иметь по возможности простые признаки редукции ЧИП.

Каждая подгруппа допускаемой группы служит потенциальным источником некоторой точной подмодели. При этом, подмодели, построенные относительно разных подгрупп допускаемой группы могут совпадать (с точностью до замены переменных). Такое происходит всякий раз, когда выбранные подгруппы сопряжены (подобны) относительно внутренних автоморфизмов допускаемой группы. В этой связи актуален вопрос построения ее оптимальной системы подгрупп — максимального набора несопряженных подгрупп допускаемой группы. Массив решений, получаемых при реализации программы ПОДМОДЕЛИ определяется именно оптимальной системой подгрупп. О его широте в случае уравнений газовой динамики можно судить по следующим цифрам: для общего уравнения состояния газа оптимальная система подгрупп допускаемой группы содержит 221 представитель [8], а для одноатомного газа уже 1817 представителей [9].

Программа ПОДМОДЕЛИ предполагает также выполнение предварительного анализа качественного поведения решений получаемых подмоделей. Такое «одевание» подмодели может включать описание типа системы, изучение структур множества траекторий, характеристик и т. д.

Настоящая диссертация основана на материале, полученном автором при участии в реализации программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики. Этим и объясняется тематическая направленность изложенного ниже материала.

Диссертация объемом 116 страниц состоит из введения, двух глав, заключения, двух приложений, 5 таблиц, 12 иллюстраций и списка литературы из 60 наименований.

Заключение

.

В заключении формулируются основные результаты диссертации.

• Построена нормализованная оптимальная система подалгебр для 13-мерной алгебры Ли, допускаемой уравнениями динамики политроп-ного газа. Каждый из 1342 представителей этой оптимальной системы служит потенциальным источником точных решений уравнений газовой динамики.

• В явном виде получено точное решение уравнений газовой динамики, описывающее пространственное барохронное движение газа с коллапсом плотности в конечный момент времени. Дано описание траекторий частиц на этом движении. Для частного случая движения построен характеристический коноид. Исследовано поведение характеристического коноида при времени близком к времени коллапса.

• Показана редукция частично инвариантной подмодели, порождаемой комбинациями переносов и галилеевых переносов по осям координат, а также вращениями. Для соответствующей инвариантной подмодели с двумя независимыми переменными проведена групповая классификация относительно уравнения состояния. Приведены примеры ее точных решений.

• Дан простой признак редуцируемости к инвариантным большого класса регулярных частично инвариантных решений дефекта 1. Конструктивное доказательство редуцируемости позволяет точно установить подалгебру, относительно которой соответствующая подмодель является инвариантной. Этот признак позволяет сократить число подмоделей, нуждающихся в исследовании более, чем на 200.

• На основе программы ПОДМОДЕЛИ проведено исследование подмоделей, порождаемых проективным преобразованием в уравнениях двумерной газовой динамики со специальным показателем адиабаты.

Построены канонические формы всех инвариантных подмоделей с двумя независимыми переменными. Все они имеют смешанный эллип-тико-гиперболический тип. Найдены области гиперболичности. Допускаемая этими подмоделями группа непрерывных преобразований совпадает с группой, наследуемой из уравнений газовой динамики. Найдены первые интегралы (Бернулли, завихренности, энтропийный) полученных подмоделей.

Проведено исследование всех инвариантных подмоделей, сводящихся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдены первые интегралы. Некоторые подмодели проинтегрированы полностью. Для них дано описание траекторий частиц.

Построено точное решение, обладающее дискретной симметрией — инвариантностью относительно поворота вокруг начала координат на конечный угол.

В явном виде найдено непрерывное решение, описывающее движение газа с областями вакуума. Газ занимает два симметричных сектора, в смежных секторах — область вакуума.

В явном виде найдено решение, описывающее растекание с одновременным вращением полосы газа в вакуум. Решение содержит произвольную функцию — распределение давления в начальном сечении полосы.

Построены все «простые» (аналоги постоянного) решения. На них проинтегрированы уравнения звуковых и контактных характеристик.

Исследованы регулярные частично инвариантные подмодели с одной лишней функцией. Найдено решение с функциональным произволом. Интегрирование сведено к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения первого или второго порядка.

• Предложен способ «наследования» первых интегралов из подмоделей с двумя независимыми переменными в подмоделях с одной независимой переменной. Приведены нетривиальные примеры полученных таким путем интегралов различных подмоделей.