Лучевые разложения в динамике деформирования в качестве алгоритмического средства выделения разрывов

Импульсная, или ударная, обработка материалов является одним из фундаментов современной промышленности. Ковка, высокоскоростная штамповка и другие технологии обработки материалов, основанные на ударном воздействии на них, известны и используются продолжительное время. Тем не менее, по настоящий момент сохраняется ряд трудностей в области математического моделирования подобных процессов. Вызваны они не только преградами расчетного характера, связанными с количественным описанием процессов интенсивного деформирования, но и с постановочными проблемами. Среди них следует особо выделить явление возникновения и распространения поверхностей разрывов деформаций (ударных волн). В отличие от газовой динамики, где это явление наиболее изучено, в механике деформируемого тела помимо характерных для газообразных сред деформаций изменения объема присутствуют также изменения формы. Процесс распространения последних имеет ряд отличий от процесса распространения объемных деформаций. Кроме того, в общем случае эти процессы взаимосвязаны. Явление возникновения ударных волн в твердых телах в процессе их интенсивного деформирования является принципиально нелинейным и должно изучаться на основании нелинейных математических моделей. Таким образом, простейшей моделью, в рамках которой имеется возможность изучить взаимовлияние процессов распространения различных видов деформаций, является модель нелинейной упругой среды.

К настоящему моменту в газовой динамике наработан ряд методов для выделения поверхностей разрывов при численных расчетах гиперзвуковых течений газа, и созданы специальные алгоритмические приемы, включаемые в программы расчетов. Однако, взаимосвязанность процессов распространения деформаций формы и объема не позволяет осуществить их прямой перенос в задачи динамики деформирования. Вследствие этого, численное моделирование ударных процессов в твердых телах основывается главным образом на использовании схем сквозного счета, в известной степени игнорирующих наличие поверхностей разрывов в среде. При существенной нестационарности задачи (взаимодействие ударных волн между собой и с преградами) алгоритмические эффекты схем сквозного счета, такие, как вносимая в математическую модель движения среды искусственная вязкость, появление осцилляций в окрестности волновых фронтов и собственно размывание поверхностей разрывов, могут приводить к недопустимым количественным и качественным погрешностям. Вследствие этого, сохраняется потребность в разработке эффективных вычислительных методик, избавленных от указанных недостатков. Одна из возможностей состоит в использовании современных достижений нелинейной динамической теории упругости для отслеживания положений волновых фронтов и конструирования вычислительных схем с выделением поверхностей разрывов.

Основы механики сплошных сред, и, в частности, теории упругости, заложены в XIX веке Л. Эйлером, Г. Кирхгофом, О. Копш, Дж. Грином и др. При этом теория упругости (как, впрочем, и другие разделы механики сплошных сред) нелинейна по своей сути, однако до начала прошлого столетия развивался ее линейный вариант (Навье, Пуассон, Бетти, Митчелл, Галеркин, Релей и др.).

В начале XX века линейная теория упругости приобретает классическую форму. Основное направление исследований в этот период — разработка математических методов решения краевых задач. Необходимо отметить выдающийся вклад отечественных ученых: Г. В. Колосова, Н. И. Мусхелишвили, Г. Н. Савина, С. К. Соболева, М. А. Лаврентьева.

Авторство первой фундаментальной работы по нелинейной теории упругости принадлежит Ф. Д. Мурнагану [154]. Огромный вклад в детальную разработку нелинейной теории упругости внесли В. В. Новожилов [99], Л. И. Седов.

115, 116], A.A. Ишльюшин [77], В. Прагер [102], А. Грин и Д. Адкинс [57], Л. А. Толоконников [118], Е. М. Черных [128, 126, 129], А. И. Лурье [93], Д. Д. Ивлев [75, 76], К. Трусделл [121], Л. Треалор [120], Г. С. Тарасьев [117]. Здесь не упомянуты работы по теории нелинейно-упругих конструкционных элементов (стержни, пластины, оболочки). Часть таких результатов указана в обзоре В. В. Новожилова, Л. А. Толоконникова и К. Ф. Черных [100]. Отметим области теории упругости, где учет нелинейности лежит в основе. Это прежде всего теория устойчивости деформируемых тел и элементов конструкций [22, 25], нелинейная акустика [66, 111] и проблема изучения переходных процессов деформирования в нестационарных краевых задачах распространения граничных возмущений. В дальнейшем обзоре уделим внимание последней проблеме.

К первым работам, направленным на исследование ударных волн, необходимо отнести работы Д. Бленда [139, 140, 141], Чжу Бо-Те [144, 145] и Е. М. Черных [128,126,129]. Д. Бленд рассмотрел условия существования ударных волн в недеформированиой упругой среде на примере плоских адиабатических и изоэнтропических волн при линеаризации определяющей системы уравнений. Рассмотрены продольные ударные волны со сферической симметрией. Решена задача с ударной волной постоянной интенсивности. В [141] рассмотрены цилиндрические продольные волны в случае изоэнтропическо-го приближения и при отсутствии предварительных деформаций. Все полученные результаты опубликованы в монографии [16], в которых проведено изучение ударных волн в переменных Лагранжа. В случае плоских поверхностей разрывов показана невозможность существования чисто поперечных ударных волн в недеформированиой упругой среде.

В нашей стране также проводились подобные исследования, первыми из них следует отметить работы Е. М. Черных [128, 126, 129]. Им также рассмотрены условия существования ударных волн [128] и получено решение автомодельной задачи для материала, подчиняющегося закону Гука, но допускающего большие деформации. Геометрически нелинейная модель получалась путем замены в законе Гука тензора малых деформаций на тензор деформаций Альманси и учетом нелинейности во всех кинематических соотношениях. Развитием данного направления исследований послужили работы А. Д. Чернышова [130] и Г. Ф. Филатова [124, 122, 123]. В них получены условия существования поверхностей сильных разрывов с учетом предварительных деформаций и скорости распространения возможных типов ударных волн. Все эти исследования относятся к шестидесятым годам прошлого века.

В семидесятые-восьмидесятые годы получен ряд новых важных результатов. Их основное отличие от предыдущих заключается в отказе от ограничений, с помощью которых строились первые математические модели. В более общей форме выбираются основные соотношения рассматриваются задачи с учетом предварительных деформаций, указываются условия существования продольных, квазипродольных и квазипоперечных ударных волн, вычисляются скорости их распространения, проводится термодинамический анализ необратимого процесса в ударной волне, рассматривается вопрос о поляризации волн. Решен ряд задач, допускающих автомодельный подход [59]. Здесь необходимо отметить работы А. А. Буренина и А. Д. Чернышова [35, 36, 38], которые показали, что производство энтропии в квазипродольных ударных волнах не зависит от предварительных деформаций, для некоторых материалов получен аналог теоремы Цемплена для идеального газа, т. е. показано, что и в упругой среде существуют только квазипродольные волны сжатия. Обнаружено, что в большинстве случаев на квазипродольных удварных волнах происходит уменьшение предварительных сдвиговых деформаций, а на квазипоперечных всегда присутствует уменьшение предварительного сжатия. Отметим работы [50, 59, 58, 65, 94, 124,122, 123,140, 147, 152,164, 166]. В них рассмотрены особенности распространения ударных волн в нелинейной динамической теории упругости.

Чжу-Бо-Те [144, 145] рассмотрел распространение ударной волны в случае несжимаемой упругой среды. Им впервые получена замкнутая система уравнений в разрывах, вычислены скорости распространения волн, зависящие от предварительных деформаций, разрыва касательного напряжения и деформаций. На примере идеальной несжимаемой резины получено условие существования ударной волны нагрузки, как следствие термодинамических ограничений на возможные разрывы. Проблемам распространения ударных волн в несжимаемой упругой среде посвящены работы [25, 91, 90, 103, 104, 146].

Важный вклад в развитие нелинейной теории упругости внесли А. Г. Куликовский и Е. И. Свешникова [89, 87, 86, 88, 113]. Система уравнений в разрывах в их работах записывается в переменных Лагранжа. В результате авторы детально изучили плоские ударные волны, условия их существования и условия эволюционности разрывов, а также ряд других вопросов, которые ставит математическая физика в краевых задачах с плоскими ударными волнами. Аналогичный метод исследования применялся в [167].

Э.В. Ленский изучал свойства комбинированных сильных разрывов для упругой среды, определяемой упругим потенциалом, зависящим от первых двух инвариантов тензора деформаций. В [150] рассматривались поверхности разрывов в материалах. В [132] рассматривались квазистационарные плоские разрывы в условиях плоской деформации при наличии анизотропии в свойствах материалов. Поверхностные разрывы на плоских границах нелинейно-упругих тел изучались Г. И. Быковцевым и его учениками [14, 15]. В [113] исследуются свойства упругой среды, имеющей слабую анизотропию, в [125] рассматриваются материалы, по-разному сопротивляющиеся сжатию и растяжению. Решению краевых задач динамики упругой среды с ударными волнами посвящены работы [1, 2, 33, 34, 35, 41, 113, 62, 78, 26], в которых рассматривались автомодельные задачи. В числе последних достижений в данной области следует отметить работы О. В. Дудко и Д. А. Потянихина [63].

Для решения неавтомодельных задач используются, в основном, различные модификации метода возмущений и лучевой метод.

Метод возмущений в динамике упругой среды впервые использовал У. К. Нигул [96] и А. Н. Гузь [60]. Нелинейные волновые уравнения [96] заменялись последовательностью линейных неоднородных уравнений. Обобщение данного метода на случай, когда в среде присутствуют поверхности разрывов деформаций, провели A.A. Буренин и В. А. Шаруда [41, 39]. Более того, было показано, что динамическая задача нелинейной теории упругости сбодится к сингулярной задаче метода возмущений, в которой в качестве внутреннего разложения выступает прифронтовая асимптотика. Данное асимптотическое разложение может быть построено на основе эволюционного уравнения [24, 68, 69, 70, 97, 103]. В [104] продемонстрированы приемы численного сращивания прифронтовых асимптотик с конечно-разностной аппроксимацией уравнений в областях, удаленных от ударных волн, на основе построения неявной конечно-разностной схемы.

Другой возможностью для построения приближенных решений является лучевой метод. Лучевой метод известен с 50-х гг прошлого века и является признанным мощным инструментом решения волновых задач, включающих нестационарные поверхности (объемные волны) или линии (поверхностные волны) сильных и слабых разрывов. Для этого используются одночленные или многочленные степенные ряды, коэффициентами которых служат скачки производных искомых функций. Обстоятельный обзор работ данного направления содержится в статье Ю. А. Россихина и М. В. Шитиковой [155]. Эту статью они посвятили светлой памяти своего учителя, выдающегося ученого-механика, профессора Г. И. Быковцева.

Лучевые разложения можно разделить на два основных типа. Первые используются преимущественно для аппроксимации физических полей регулярных функций, вторые — для аппроксимации физических полей сингулярных функций. В России разработкой лучевого метода, основанного на разложениях первого типа, активно занимались ученые-механики Ленинградской научной школы, идейным руководителем которой был Г. И. Петрашень. Этот метод используется главным образом в задачах отражения, преломления и дифракции волн, популярен в сейсмологии и сейсморазведке. Метод развивался в работах В. М. Бабича и A.C. Алексеева при вычислении интенсивно-стей волновых фронтов в нестационарных задачах теории упругости [4, 3], включая случай неоднородной анизотропной среды [7] для определения напряжений. Впоследствии В. М. Бабич, B.C. Булдырев и И. А. Молотков [9] использовали разложения первого типа при исследовании волновых процессов различной природы.

Второй тип лучевых разложений используется при решении одномерных, плоских и трехмерных краевых задач, включающих поверхности сильных и слабых разрывов. Метод основан на теории условий совместности разрывов на движущихся поверхностях. Разработка теории таких поверхностей берет начало с работ Дж. Адамара [149], который заметил, что разрывы величин на движущихся поверхностях не могут быть произвольными, но связаны ограничениями, следующими из геометрии и кинематики таких поверхностей. Обобщение соотношений Дж. Адамара на случай разрывов производных от функций, терпящих разрыв на движущихся поверхностях, осуществил Т. Томас [119]. Выписанные им ограничения на разрывы производных были названы им геометрическими и кинематическими условиями совместности первого порядка. С их помощью Т. Томас [119] исследовал распространение и затухание криволинейных волн в однородной упругой изотропной среде. Теория рекуррентных условий совместности разрывов функций и их производных, обобщающая представления Т. Томаса, была разработана Г. И. Быковцевым и его учениками при параметрическом задания движения поверхности в прямоугольной декартовой системе координат [45]. В работах Е. А. Герасименко и В. Е. Рагозиной построена законченная теория рекуррентных условий совместности, включая случай декартовых [54] и произвольных криволинейных [55] координат. Объединение лучевой теории и теории разрывов Т. Томаса позволило двум группам исследователей, Дж. Ахенбаху и Д. Редди [137, 136] и Воронежской школе под руководством Г. И. Быковцева [11], независимо друг от друга и в различных формах предложить метод построения приближенных решений за поверхностями разрывов в линейных средах, названной авторами лучевым методом по аналогии с [8]. Способ построения лучевых разложений решения за фронтом волны разрывов основан на представлении его в виде степенного ряда по типу ряда Тейлора, коэффициентами которого являются неизвестные разрывы. Для последних, следуя условиям совместности, получают рекуррентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, называемых уравнениями затухания. Подход, предложенный Г. И. Быковцевым, оказался наиболее перспективным. В дальнейшем Г. И. Быковцеву и его ученикам удалось таким способом решить целый ряд нестационарных динамических задач механики деформируемого твердого тела [11, 14, 15, 65, 107, 142, 160, 133, 44].

Н.А.Заварзина и В. М. Бабич развили лучевой метод для динамических задач в гипоупругой среде [10, 64]. Г. И. Быковцев и А. Г. Шаталов рассмотрели задачу о влиянии теплового потока на границу термоупругого полупространства с учетом конечной скорости распространения тепла и термоупругой связи [47]. Для трех типов термоупругих волн были получены рекуррентные соотношения на коэффициенты лучевого ряда. В работах Ю. А. Россихина и др. рассмотрены задачи о распространении плоских волн сильных разрывов в анизотропном термоупругом пространстве [110] и анизотропной пластине постоянной толщины [161], об ударе абсолютно жесткой сферы по границе упругого изотропного полупространства [156]. Таким образом, лучевые разложения второго типа удобны при решении задач, связанных с кратковременным приложением нагрузки к границам рассматриваемых тел, а также ударным воздействием, термическим ударом и т. д.

A.B. Чигарев [131] рассматривал распространение ударных воли в стохастически неоднородной упругой среде. Ю. А. Россихин [157, 106] изучал распространение поверхностей сильных разрывов произвольной формы в упругой слабо анизотропной среде с произвольной симметрией, в т. ч. с кубической и гексагональной. В 1989 г. Ю. А. Россихин [108] указал способ регуляризации волновых характеристик, которые оказались неравномерно пригодными в области существования волнового решения. Дж. Ахенбах [135] изучал движение поверхностей сильных разрывов в термоупругой среде с конечной скоростью распространения тепла. Было показано, что две поверхности сильных разрывов: квазиупругая и квазитермическая, обладают экспоненциальным характером затухания.

Дж. Эриксен [148] изучал распространение эквиволюминальных поверхностей слабых разрывов в несжимаемых упругих материалах и показал, что для гладко изменяющихся полей внешних сил и тепловых источников, волны третьего и более высоких порядков в несжимаемой упругой среде подчиняются тем же законам, что и волны ускорений. К. Трусделл [165] обобщил этот результат на весь класс упругих материалов. Волнам ускорений в упругих средах посвящена также работа Р. Хилла [151] и др.

М.А. Гринфельд [58] рассматривал поверхности слабых разрывов (волны ускорений) и слабые ударные волны в нелинейном гипоупругом теле. Для таких волн были получены нормальные скорости и уравнения переноса, описывающие изменения разрывов производных произвольного порядка от искомых функций по норимали к волновой поверхности вдоль лучей. Слабые ударные волна в деформированной нелинейно-упругой среде рассматривали также H.A. Заварзина и Г. Ф. Филатов [65]. Авторы получили систему рекуррентных уравнений, определяющую характер распространения и затухания слабых ударных волн.

Исследования, посвященные распространению и затуханию слабых и сильных разрывов в упруговязкопластической среде, проводили Г. И. Быковцев и Н. Д. Вервейко [42], а также Ю. А. Россихин [109]. Позднее Г. И. Быковцев и др. [43] рассматривали движение ступенчатой нагрузки со сверхзвуковой скоростью по границе упруговязкопластического полупространства. Исследованию лучевым методом пространственных динамических задач упруговязкопластичности и одномерных динамических задач течения реальной жидкости в трубах посвящена монография Н. Д. Вервейко [48]. В ней изложены основы лучевого метода решения пространственных задач и приведены примеры применения лучевого метода к распространению пластических волн нагрузки и разгрузки, волн гидроудара в гидролиниях переменного сечения. В [84, 85] рассматривались вопросы построения аналитического или численного решений динамических волновых задач в упруговязкопластических средах.

Распространение волн ускорений в трехмерных упругопластических телах рассматривали Т. Томас [119], Р. Хилл [151], Г. И. Быковцев и др. [46]. Были получены три типа волн ускорений и вычислены их скорости. Также исследованы процессы распространения и изменения со временем интенсивности пластических волн, волны разгрузки и волны нагрузки. Теория разрывов применялась для исследования волн разрывов в стержнях, слоях, пластинах и оболочках [153, 49], а также поверхностных волн сильных и слабых разрывов в нелинейно-упругих и упругопластических средах [13, 14] и поверхностных воли вдоль поверхностей кристаллических тел с конечной анизотропией [158]. Также одночленные лучевые разложения часто применяются в задачах об ударном взаимодействии, например в [162].

В краевых задачах, в которых решение необходимо строить во всей области движения волны, т. е. от фронта волны до граничной поверхности в фиксированный момент времени, или когда необходимо определить временную зависимость интересующих нас величин в фиксированной точке поля в данный момент времени, необходимо использовать многочленные лучевые разложения. Ю. Н. Подильчук и Ю. К. Рубцов [101] рассматривали задачи о распространении нестационарных волн в бесконечной изотропной упругой среде, возникающих при мгновенном нормальном нагружении на границе сферических и цилиндрических полостей в среде. В данном случае для построения временных зависимостей напряжений в каждой фиксированной точке граничной поверхности понадобилось вычислить около 20 членов лучевого ряда. Что касается приближения по пространственной переменной в фиксированный момент времени, то этот вопрос изучался в работах Дж. Ахенбаха и Д. Редди [137], С.Т.Sun [163], Ю. А. Россихина и М. В. Шитиковой [162] и др.

Лучевой метод, предложенный в [11], непригоден для нелинейных сред при наличии ударных волн. Связано это, главным образом, с тем, что ударная волна имеет скорость, отличную от скорости распространения возмущений в среде, в силу чего не удается получить обыкновенные дифференциальные уравнения для коэффициентов лучевого ряда на каждом шаге. Однако видоизменение методики, предложенное в [37], позволяет использовать лучевой метод и в этом случае. Идея заключалась в разложении коэффициентов лучевого ряда в степенные ряды в окрестности начального момента времени. На основе этого предположения был решен целый ряд одномерных задач динамики деформирования [142, 24, 159]. Построенные таким способом приближенные прифронтовые разложения могут использоваться в схемах численных расчетов краевых задач динамики деформирования с целью выделения поверхностей разрывов. Разработкой этого направления активно занимаются A.A. Буренин, Е. А. Герасименко, П. В. Зиновьев, В. Е. Рагозина [28, 30] и интерес к этим задачам все возрастает.

Метод выделения разрыва, позволяющий рассчитывать разрывные решения без размывания скачков, изначально был предложен С. К. Годуновым и основан на использовании подвижных сеток. В расчетной области, с помощью известного соотношения на скачке, выделяется поверхность разрыва. Течение за фронтом является гладким и расчет его по явным или неявным схемам не вызывает больших проблем. Метод широко известен и эффективно используется при расчете газодинамических течений, для которых характерно присутствие различных поверхностей разрыва, положения которых неизвестны.

При выборе численной схемы сквозного счета для исследования распространения ударных волн и их взаимодействия нужно отдавать предпочтение схемам повышенного порядка точности, позволяющим точнее описать картину решения, экономить время решения задач на ЭВМ. Однако, линейные разностные схемы второго и выше порядка аппроксимации немонотонны: возникающие при расчетах нефизические осцилляции существенно искажают картину решения. Помехи, вызванные немонотонностью, для ряда задач принципиальны. Это приводит к необходимости разработки приемов борьбы с ними. Таким приемом является, например, процедура введения в дифференциальные уравнения дополнительных членов, называемых искусственной вязкостью.

Другой способ основан на процедуре монотонизации, т. е. подстройки численного алгоритма в зависимости от характера решения на предыдущем временном слое. В результате строится нелинейная разностная схема, сохраняющая высокий порядок точности. К этому семейству методов можно отнести алгоритмы, предложенные И. О. Вогульским [17, 18, 20].

С.К. Годунов предложил метод для расчета одномерных и многомерных задач газовой динамики. На каждом слое решение рассматривается как кусочно-постоянное, а для вычисления некоторых вспомогательных величин на промежуточных этапах используются формулы распада произвольного разрыва. На основе метода Годунова и его модификаций получено решение ряда задач динамической теории упругости как в плоской геометрии, так и в криволинейных системах координат [105]. Существенная сложность определяющих уравнений твердого тела и специфика этих задач не позволяют непосредственно переносить результаты из области гидромеханики на задачи твердого тела. Подробный обзор и анализ различных подходов к решению задач динамической упругости и пластичности можно найти в работе С. Б. Афанасьева и В. Г. Баженова [5]. Существующие методы решения задач динамики твердых тел можно представить в виде трех направлений: методы конечных элементов, характеристические и сеточно-характеристические методы, сеточные и конечно-разностные методы.

Под методами конечных элементов понимают подходы, основанные на дискретизации расчетной области и формировании конечных соотношений между искомыми величинами на основе механики в вариационной форме, минуя стадию формулирования краевых задач для систем дифференциальных уравнений. Такой подход дает определенные преимущества при описании процесса деформирования тел со сложной геометрией. Метод зарекомендовал себя для решения статических задач и интенсивно используется при исследовании нестационарных процессов в деформируемюх твердых телах. Среди отечественных работ этого направления отметим работы С. Б. Афанасьева, В. Г. Баженова, A.B. Кочеткова и др. [6], И. О. Вогульского [19], Н. Г. Бураго и В. Н. Кукуджанова [23], С. Н. Коробейникова [83]. Как сочетание и обобщение методов конечных элементов и вариационно-разностных методов можно упомянуть дискретно-вариационный метод, разработанный для исследования нестационарных процессов в слоистых и композитных средах. Характеристические и сеточно-характеристические методы основаны на записи системы дифференциальных уравнений в характеристической форме с последующей их конечно-разностной аппроксимацией. Различают прямой и обратный характеристический метод. Среди работ, посвященных применению сеточно-характеристического метода для решения динамических задач деформирования упругих и упругопластических тел, можно указать работы В. И. Кондаурова и В. Н. Кукуджанова [80], В. И. Кондаурова, И. Б. Петрова, A.C. Холодова [82, 81].

Сеточные методы решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела основаны на аппроксимации гиперболической системы дифференциальных уравнений, описывающей движение среды, краевых и начальных условий для нее. В настоящее время это один из наиболее разработанных способов численного интегрирования задачи. Алгоритм представляет собой последовательный пересчет известного решения с нижнего слоя по времени на следующий верхний слой, начиная с известных начальных условий.

Известны и многослойные методы, когда в вычислении решения на каждом временном шаге участвуют несколько предыдущих слоев.

В зависимости от того, дает ли такое вычисление непосредственно значения величин на очередном слое, или же для их определения необходимо решить систему алгебраических уравнений, различают явные и неявные схемы. Явные схемы имеют следующие приимущества: решение получается сразу, в явном виде, не нужно решать дополнительные системы уравнений, в силу этого упрощается оценка решения, получаемого на очередном шаге метода.

Преимущество неявных схем состоит в том, что они в большинстве случаев абсолютно устойчивы, а значит, допускают больший шаг по времени, что позволяет значительно сократить количество вычислений.

Сеточным методам посвящены работы И. О. Вогульского, Ю. М. Волчкова, Г. В. Иванова, В. Д. Кургузова [51, 52, 53]. В [112] В. М. Садовский провел численное моделирование разрывных решений задач динамики упругопластиче-ских сред на основе теории вариационных неравенств. Преимущество такого подхода в том, что в виде вариационных неравенств единообразно формулируются как ограничения, содержащиеся в определяющих соотношениях упру-гопластических тел, так и кинематические ограничения на контактных границах. В [112] предложен ряд численных алгоритмов решения задач, допускающих постановку в виде вариационных неравенств. Полный обзор работ, посвященный численному моделированию динамических задач, приводится в [71].

В настоящей работе предлагается использовать специально построенные прифронтовые лучевые разложения для расчета краевых задач динамики деформирования с целью выделения разрывов. Она состоит из трех глав.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней обсуждаются особенности постановок краевых задач динамики нелинейно упругой среды. Приводятся основные соотношения, выписаны условия существования ударных волн, вычислены скорости их распространения.

Во второй главе рассматриваются решения ряда одномерных задач динамики деформируемого тела. Для получения приближенных аналитических решений используется лучевой метод. Рассматриваются особенности конструирования конечно-разностных схем решения, основанных на сращивании прифронтовых лучевых разложений и сеточных методов интегрирования уравнений движения среды в областях деформирования.

В третьей главе рассматривается решение лучевым методом плоских задач с поверхностями разрывов ненулевой кривизны, а также изложены особенности сращивания численного и аналитического решений в данном случае. Построены конечно-разностные схемы расчетов ударного деформирования упругого полупространства, которые за счет включения в них прифронтовых лучевых асимптотик позволяют отслеживать на каждом временном слое положения ударных волн.

В главах используется двойная нумерация формул. Первый номер обозначает главу. На протяжении главы нумерация сквозная. Рисунки и формулы размещены в тексте.

Заключение

.

В первой главе.

1. Рассмотрены основные соотношения динамической теории упругости.

2. Выписаны геометрические, кинематические и динамические условия совместности разрывов.

3. Выписаны соотношения, определяющие возможные типы и скорости ударных воли в нелинейной упругой среде. Указаны условия существования и скорости квазипродольной, квазипоперечной и нейтральной ударных волн в сжимаемой упругой среде, волн нагрузки и поворота в несжимаемой упругой среде.

4. Приведено описание лучевого метода и его модификации для динамических задач нелинейной теории упругости.

Во второй главе.

1. Решена задача об ударном нагружении упругого несжимаемого полупространства, не имеющего предварительных деформаций.

2. Решена задача об ударном нагружении несжимаемого предварительно деформированного массива.

3. Указан способ конструирования численно-аналинических схем решения указанных задач с выделением разрывов, основанный на использовании лучевых разложений решений, построенных в окрестностях волновых фронтов. Приведены результаты расчетов.

4. Построены приближенные аналитические решения задач о нормальном и косом ударе по плоской границе сжимаемого нелинейно упругого полупространства, задач с осевой симметрией об антиплоском и скручивающем нагружении несжимаемой упругой среды, заданном на границе цилиндрической полости.

5. Методика конструирования численно-аналитического решения обобщена на случай рассматриваемых задач. Приведены результаты расчетов.

В третьей главе.

1. Построено аналитическое решение задачи об антиплоском нагружении несжимаемой нелинейно-упругой среды лучевым методом и модификация численно-аналитической схемы решения на случай плоской задачи.

2. Построено аналитическое решение плоской задачи об ударном нагружении нелинейно-упругой среды, осложненное наличием двух поверхностей разрывов.

3. Способ конструирования численно-аналитических схем решения задач нелинейной динамики с выделением поверхностей разрывов обобщен на случай плоских задач.