Биматричные игры. 
Поиск равновесных ситуаций

Московский городской университет управления правительства Москвы Факультет управления Кафедра прикладной математики

Реферат

по учебной дисциплине

" Математические методы исследования систем управления"

На тему: «Биматричные игры. Поиск равновесных ситуаций»

1. Биматричные игры Абсолютно любая управленческая деятельность не может существовать без конфликтных ситуаций. Это ситуации, где сталкиваются двое или больше сторон с разными интересами. Совершенно естественно, что каждая из сторон хочет решить конфликт в свою пользу и получить максимальную выгоду. Решение такой задачи может быть осложнено тем, что конфликтующая сторона не имеет полной информации о конфликте в целом. Иначе можно сказать, что в конфликтной ситуации необходимо принять оптимальное решение в условиях неопределённости.

Для решения такого рода задач используется математическое моделирование. Введём несколько основных понятий. Математическая модель конфликтной игрой называется игрой. Стороны конфликта — игроки, действие игрока — ход, совокупность ходов — стратегия, результат игры — выигрыш.

Обязательным моментом перед решением задачи является выявление определённых правил. Как правило, эти правила представляют собой совокупность требований и ограничений на действия игроков, обмен информацией игроков о действиях противников, функций выигрышей противников и т. п. Правила должны быть чёткими, иначе игра не состоится.

К настоящему времени существует несколько способов классификации игр. Основным является деление на бескоалиционные конечные парные игры с выигрышами (матричные, позиционные, биматричные) и коалиционные. В данном реферате мы рассмотрим биматричные игры.

Игры с фиксированной суммы — игры, в которых интересы игроков хоть и не совпадают, но не являются полностью противоположными. Частным случаем являются биматричные игры.

Биматричная игра — это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец — стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице — выигрыш игрока 2.)

Рассмотрим парную игру, в которой каждый из участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:

игрок, А — может выбрать любую из стратегий А₁, …, А_m;

игрок В — любую из стратегий В₁, …, В_n;

Если игрок, А выбрал стратегию А_i, игрок В — В_j, то в итоге выигрыш игрока, А составит а_ij, игрока В — b_ij. Выигрыши игроков, А и В можно записать в виде двух таблиц.

А=

В=

Таким образом, если интересы игроков различны, но не обязательно противоположны, для описания игры используются две платёжные матрицы. Данный факт и дал название подобным играм — биматричным.

2. Состояние равновесия в биматричных матрицах Решением биматричной игры есть такое решение, которое в том или ином смысле устраивает обоих игроков. Данная формулировка очень расплывчата, что обуславливается тем, что в биматричных играх довольно трудно чётко сформулировать цели для игроков. Как один из возможных вариантов — желание игрока навредить своему сопернику в ущерб собственному выигрышу, или цель будет противоположна.

Обычно рассматриваются два подхода к решению биматричной игры. Первый — поиск равновесных ситуаций: ищутся условия, когда игра находится в некотором равновесии, которое невыгодно нарушать ни одному из игроков в отдельности. Второй — поиск ситуаций, оптимальных по Парето: нахождение условий, при которых игроки совместными усилиями не могут увеличить выигрыш одного игрока, не уменьшив при этом выигрыш другого.

Остановим своё внимание на первом подходе.

В данном подходе используются смешанные стратегии, т. е. случай, когда игроки чередуют свои чистые стратегии с определёнными вероятностями.

Пусть игрок, А выбирает стратегию А₁, с вероятностью р₁, А₂ — р₂, …, А_m — p_m, причём Игрок В использует стратегию В₁ с вероятностью q₁, B₂ — q₂, …, B_n — q_n, причём В качестве критерия «удачности» игры возьмём математические ожидания выигрыша игроков, которые вычисляются по формулам:

Таким образом, можно сформулировать основное определение:

Распределение вероятностей Р^* () и Q () определяют равновесную ситуацию, если для любых других распределений P и Q одновременно выполнены следующие неравенства:

Если равновесная ситуация существует, то отклонение от неё невыгодно самому игроку.

Также справедлива теорема Дж. Нэша. Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию в смешанных стратегиях.

3. Общий принцип решения биматричных игр В первое неравенство системы последовательно подставляются все чистые стратегии игрока А, при предположении, что В придерживается своей оптимальной стратегии. Во второе неравенство подставляются все чистые стратегии игрока В, при предположении, что, А придерживается своей оптимальной стратегии.

Полученная система m+n неравенств, решение которой дает значение элементов оптимальных смешанных стратегий (P*, Q*) и платежи, получаемые игроками в точке равновесия.

Пример: борьба за рынок.

А=

В=

Решение задачи

v_A=-10?1q₁+2?1*(1-q₁)+(1-p₁)q₁-(1-p₁)(1-q₁)=-14?1q₁+3?1+2q₁-1

v_B=5?1q₁-2?1*(1-q₁)-(1-p₁)q₁ +(1-p₁)(1-q₁)=9?1q₁-3?1−2q₁+1

Пусть

p₁=1 тогда v_A=2−12q₁ -14?1q₁+3?1+2q₁-1

p₁=0 тогда v_A=-1+2q₁ -14?1q₁+3?1+2q₁-1

q₁=1тогда v_B=-1+6?1 9?1q₁-3?1−2q₁+1

q₁=0 тогда v_B=1−3?1 9?1q₁-3?1−2q₁+1

Cоставляем 4 системы, преобразовываем, получаем:

(p₁-1)(-14q₁+3) 0

p₁ (-14q₁+3) 0

(q₁-1)(9?1−2) 0

q₁ (9?1−2) 0

p₁=0 следовательно -(-14q₁+3) 0 q₁ 3/14

p₁=1 следовательно (-14q₁+3)>=0 q₁ 3/14

1<1 следовательно -(-14q₁+3) 0 и (-14q₁+3) 0->q₁=3/14

q₁=0 следовательно p₁ 2/9

q₁=1 следовательно p₁ 2/9

01< 0-p₁=2/9

Строим график по всем p и всем q, получается на пересечении точка p₁=2/9, q₁=3/14 — решение системы неравенств.

P (2/9;7/9), Q (3/14;11/14)

v_A=4/7, v_B=1/3

Вывод: 2/9 товара предлагать на первом рынке и 7/9 на втором рынке и тогда минимальный проигрыш — 4/7. 3/14 -защищать 1-й рынок, 11/14-защищать второй рынок.