Системы алгебраических уравнений, гипергеометрические функции и интегралы рациональных дифференциалов

Проблема решения алгебраических уравнений интересует математиков уже более двух тысячелетий и до сих пор является актуальной.

В 1921 году Н. Меллин [35] получил формулу для решения общего алгебраического уравнения, приведя его к виду ym + xiymi +. + хрут" -1 = 0. (1).

Для решения у (х) = у (хi,., xp) Меллин привел две формулы: интегральное представление в виде интеграла Меллина-Барнса, и разложение в степенной ряд, который представляется гипергеометрическим по Горну.

Идеи Меллина получили дальнейшее развитие в работах Б. Штурмфель-са [38], А. Ю. Семушевой и А. К. Циха [12]. Достаточно исследовать основную ветвь у (х) вблизи х = 0 с условием у (0) = 1, все остальные решения получаются из основного по формуле.

УЛХ) = ?jy{eTXl> ¦ • • >£?" хР)> где^{-первообразные} корни из единицы степени т (то есть е&trade- = 1). В статье [12] изучены аналитические продолжения решения у (х) и области сходимости рядов Лорана-Пюизо для решений yj{x).

Существенно более сложной является задача нахождения решений системы алгебраических уравнений. И. А. Антипова [2], [3] получила основное решение для нижнетреугольной системы алгебраических уравнений, когда первое уравнение зависит только от первой неизвестной у1} второе — от первых двух ?/!, г/2 и т. д., последнее n-ое зависит от всех п переменных yi,., уп.

В настоящей диссертации результаты Меллина и Антиповой обобщаются на случай общей системы п алгебраических уравнений от п неизвестных.

Интегралы от рациональных функций по Rn встречаются во многих разделах математики и теоретической физики. Например, к ним приводятся фейма-новские интегралы и интегралы, выражающие топологические заряды инстан-тонных полей. Одна из трудностей вычисления таких интегралов заключается в том, что они не выражаются через локальные вычеты подынтегрального рационального дифференциала (см., например, [17]). Впоследствии интегралы рациональных функций по Rn были исследованы А. К. Цихом, Т. О. Ермолаевой [8], которые использовали технику торических многообразий и доказанную ими многомерную формулу Сохоцкого о скачке интеграла.

Метод вычисления интегралов, предложенный диссертантом, основан на идее гомогенизации подынтегрального выражения и понятии экрана, введенного автором.

Задача описания рациональных дифференциальных форм имеет приложения в теории вычетов, вариациях смешанных структур Ходжа и т. д. Классическая работа Ф. Гриффитса [30] посвящена построению внешних дифференциальных форм на проективном пространстве. Естественным обобщением является предложенное в диссертации описание рациональных форм на произведении проективных пространств. Заметим, что эта задача получила развитие в дальнейшем и полностью решена в случае гладких торических многообразий [20].

Теория торических многообразий возникла относительно недавно и в настоящее время активно развивается. Торические многообразия являются естественными компактификациями С" и обобщениями проективного пространства. В современных работах математиков появляются все новые конструкции торических многообразий. В диссертационной работе предлагается конструкция торического многообразия как фундаментальной области действия дискретной группы.

Цель диссертации.

Получить разложение в ряд для решений системы нелинейных алгебраических уравнений с переменными коэффициентами.

Развить методы вычисления кратных интегралов по Rn от рациональных функций с квазиэллиптическими знаменателями.

Описать рациональные диффереициальные формы на произведении проективных пространств.

Связать торическое многообразие с действием определяемой им дискретной группы.

Перейдем к изложению основных результатов.

В первой главе исследуется проблема решения систем алгебраических уравнений. Многомерным аналогом нормального вида (1) скалярного уравнения является следующая система: + = г = 1,., гг, (2) к=1 где jt? j — число слагаемых (кроме первого и последнего) в г-м уравнении, тк < т* (к = 1,., pi), х — произвольные буквенные коэффициенты.

Главным решением системы (2) назовем ветвь алгебраической вектор-функции у (х) = (у (х),., Уп{х)), удовлетворяющей системе (2) и отмеченной свойством у (0) = (1,., 1) — здесь х = ({х1к},.,{хпк}) вектор из всех переменных коэффициентов системы (2).

Основной результат первой главы составляет.

Теорема 1.1. При условии rrii > rrijk в (1.2), для любого вектора ц G Щ. мономиальная функция главного решения у (х) системы (1.2) представляется степенным рядом nnw^ft rfm^fo+EZmtk})).

Ej-ly-1'-1 i=ls=l J=1 у A=1 s=lLp (k ь.\ I b. n un ' n / n Pi Vj ^ '' п г/ 1(/i. + Е Еj2k3r + i) j=1 i=l s=l г=1 / где P (k) — полиномиальная функция от переменного суммирования к (см. формулу (1.6)). Таким образом, у'1 (х) представляется рядом гипергеометрического типа.

Утверждение Теоремы 1.1 вытекает из более общей Теоремы 1.3, доказательство которой основано на формуле Лаграпжа-Южакова [1] для неявных вектор-функций. В § 1 главы 1 также приводится идея доказательства Теоремы 1.1 с помощью вычисления преобразования Меллина для у^^х), с последующим применением метода разделяющих циклов А. К. Циха, позволяющим выразить интеграл Меллина в виде степенного ряда.

Замечание 1. При п = 1 утверждение Теоремы 1.1 составляет результат Меллина [35]. В случае нижнетреугольной системы (1.2), когда первое уравнение зависит только от у, второе — от у, yi и т. д., утверждение Теоремы 1.1 было доказано И. А. Антиповой [2].

Замечание 2. Б. Штурмфельс отмечал в [38], что уже для линейных систем уравнений (которые можно решать по правилу Крамера) решение не представляется Л-гипергеометрическими рядами. Значение Теоремы 1.1 состоит в том, что решение общей системы (1.2) представляется суммой гипергеометрических рядов после разложения полинома Р (к) в виде суммы произведений соответствующих линейных функций fij + Ea=i Es=i mjs^sТаким образом, y, l{x) представляется рядом гипергеометричесного типа.

С помощью Теоремы 1.1 в § 1.3 получено интегральное представление по кубу [0,1]п в котором подынтегральная функция является элементарной (формула (1.47)). В одномерном случае (n = 1) такой интеграл был выписан Е.Н. Михал-киным (см. [11] для случая триномиального уравненияслучай общего уравнения рассмотрен в статье, представленной в Сибирский математический журнал). Ценность указного интегрального представления состоит в более широкой области сходимости, чем у соответствующего интеграла Меллина-Барнса. Тем самым, формула (1.47) может быть использована в исследованиях моно-дромии решения у (х). В заключительном параграфе первой главы приводятся любопытные тождества (1.53) и (1.54), связывающие рациональные выражения от гамма-функций с некоторыми специальными функциями. Такие тождества перекликаются с известными соотношениями между присоединенными функциями Лежандра [4]. Они получаются сравнением результатов вычислений для решений у (х) на основе Теоремы 1.1 и формулы обращения голоморфного отображения Кэли — Сильвестра — Сакка (см. [24], [39], [37], [1]).

Во второй главе приводится алгоритм вычисления интегралов по пространству Rn от рациональных функций с квазиэллиптическими знаменателями. Квазиэллиптические полиномы были введены в статье Т. О. Ермолаевой и А. К. Циха [8] и характеризуются тем свойством, что они не обращаются в нуль на «бесконечности» в некоторых торических компактификациях пространства Rn. В отличии от статьи [8], в диссертации развит метод вычисления интегралов на основе гомогенизации (введении однородных координат в торических многообразиях) и понятия экрана, введенного автором диссертации.

В главе 3 доказывается одно тождество, возникшее при исследовании проблемы якобиана. А именно, используя классическую формулу Кэли — Сильвестра — Сакка применительно к попытке обращения полиномиального отображения /: С2 —> С2 с единичным якобианом, была высказана гипотеза [45] о справедливости следующего комбинаторного тождества: Ж к.

2n — + l)!(2fc — 2)!(Si1} + fc=l 771=1.

2л. — 2к + 2)!(2к — З)!^1* + = ^.

П! ' где j (l) V V (2fc-j).2gfc-ai-am+i.

2к-1 сКЧ * V * Zj Z> (n-4fc+i+j+l)!(2A—2i-j)!t!(2A:+m-j-l)!(j-2m+l)!(m-l)!' j=2m—1 i=0.

2t-j-3).

CO)-* V (2fcy.1)22*-«-2m+l.

2 Z/ Z-, (n-4fc+i+j+2)!(2*—2"-j-l)!i!(2Jfc+m-i-2)!(j-2m+2)!(m-l)!" j'=2m-l i=0.

2*:—j—1) c (2) * ^ V (2k—j)22k~2i~2m Z^ Z^ (n-4fc+i+j+2)!(2fc-2i-j)!i!(2ifc+m-j-l)!(j-2m)!(m-l)!' j=2m— 1 i=0.

2k-j-3) c (2). V V (2fc—j—l)22*~2'~2m.

2 Z^ Zy (n—4fc+t4-j+3)!(2A-—2i—l)!i!(2fc+m—j—2)!(j—2m+l)!(m—1)!'.

2m— 1 i=0.

Здесь * перед знаком означает суммирование по всем нечетным числам из указанного промежутка. Если факториалы с отрицательными аргументами возникают под знаком суммы, то полагаем эти слагаемые равными нулю.

Указанное тождество было доказано в совместной работе с Г. П. Егорычевым [47].

Глава 4 посвящена описанию рациональных дифференциальных форм на проп изведении пространств fj Pmi. Пусть 77®, (г = 1,., п) — однородные t=i п координаты в г-том экземпляре Pmi из произведения и рациональная t=i дифференциальная А>форма (р в переменных т?1,^ • • • >Ст, > • • • ^" jCIN • • • >Cm"> которые единообразно обозначим w = (wi,. ., wn), представлена в виде вЬ) S Ah. ikHdwil Л. A dwik. (3).

Здесь Aix. ikiyj) и B (w) — полиоднородные полиномы с условием degi B (w) = ki + degj Ai},.ik (w)y где degj означает степень полинома по г-той группе переменных, N = mi +. + тп +п.

Основной результат главы составляет п.

Теорема 4.2. Рациональная к-форма (3) на IfKC4″ 1″ 1 — {0}) является обраi=i и зом к-формы на П Pmi при каноническом отображении г=1.

Г ¦¦ n (f[Fmi) ^ n (f[(C"<+1 — {0})) i=i t=i тогда и только тогда, когда a) degj B (w) = kt+ clegД-, .ifc (w), b) Oip = 0, где в — оператор, полиномиально зависящий от операторов Эйлера в1 на Pmi.

Теорема 4.2 обобщает результат Ф. Гриффитса [30] для проективного пространства, соответствующего случаю п = 1. Отметим, что после опубликования автором диссертации результата Теоремы 4.2, он был распространен на произвольные торические многообразия [20].

В заключительной пятой главе по исходной мономиальной группе Ли G, определенной веером Е, строится дискретная группа GL, действующая на экране 5сг (Д), ортогональном орбитам группы G. При этом действии естественно возникает фундаментальная область A (G'J-), и торическое многообразие Xц, определенное веером S, гомеоморфно, а экран Scr® есть конечное накрытие над.

Основные результаты.

1. Получено разложение в ряд гипергеометрического типа для решений системы нелинейных алгебраических уравнений с переменными коэффициентами.

2. Разработан новый метод вычисления кратных интегралов по Rn от рациональных функций с квазиэллиптическими знаменателями.

3. Описаны рациональные дифференциальные формы на произведении проективных пространств и доказано новое комбинаторное тождество.

4. Введено понятие экрана для fc-параметрических, которые интерпретируются как фундаментальные области дискретных групп.

Диссертация состоит из введения, пяти глав основного содержания и заключения.

Список литературы

содержит 47 наименований. Работа изложена на 81 странице.

1. Айзенберг J1.A., Южаков А. П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе// Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1979. 366 с.

2. Антипова И. А. Преобразования Меллина для суперпозиции общих алгебраических функций/ / Труды международной конференции «Математические модели и методы их исследования», Т.1, Красноярск, 2001. С. 31−35.

3. Антипова И. А. Выражение суперпозиции общих алгебраических функций через гипергеометрические ряды // «Сиб. мат. журнал» 2003. Т.44, № 5, С. 972−980.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция, функции Лежандра// М: Наука, 1965. 296 с.

5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц// М: Наука, 1966. 576 с.

6. Гельфанд И. М., Зелевинский А. В., Капранов М. М. Гипергеометрические функции и торические многообразия// Функ. ан. и его прил. 1989. Т.23, № 2, С. 12−26.

7. Данилов В. И. Геометрия торических многообразий// Успехи мат. наук. 1978. Т. ЗЗ, 2, С.85−134.

8. Ермолаева Т. О., Цих А. К. Интегрирование рациональных функций по пространству R" с помощью торических компактификаций и многомерных вычетов// Мат. сб. 1996. Т.187. С. 45−64.

9. Жданов О. Н. Цих А.К. Исследование кратных интегралов Меллина-Барнса с помощью многомерных вычетов//' Сиб.матем. журнал. 1988. Т.39. № 2. С. 282−298.

10. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. А. Интегралы и ряды//М: Наука, 1981. 800 с.

11. Михалкин Е. Н. Решение триномиальных алгебраических уравнений с помощью интегралов от элементарных функций// Вестник КрасГУ, Серия физ.- мат. науки. 2005. Вып.1. С. 136−139.

12. Семушева А. Ю. Цих А.К. Продолжение исследований Меллина о решении алгебраических уравнений// Сб. научн. трудов, КрасГУ. 2000. С. 31−35.

13. Умемура X. Решения алгебраических уравнений с помощью тэта-констант// Приложение в книге Д. Мамфорд «Лекции о тэта-функциях». М.: Мир, 1988. С. 362−370.

14. Хованский А. Г. Многогранники Ньютона и торические многообразия// Функциональный анализ и его приложения. 1977 Т.11, 4, С. 56⁵⁷.

15. Цих А. К. Интегралы рациональных функций по пространству Rn// ДАН СССР. 1989. Т.307. С. 1325−1329.

16. Цих А. К. Многомерные вычеты и их применения// Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 236 с.

17. Южаков А. П. Кратные вычеты и вычисление интегралов в W1 // Материалы межд. конф. по компл. анализу и его приложениям к дифференциальным уравнениям. Галле, 1983. С. 16.

18. Южаков А. П., Куприков А. В. О логарифмическом вычете// Некоторые свойства голоморфных функций многих комплексных переменных. Красноярск: ИФ СО АН СССР, 1973. С. 181−191.

19. Audin M. The Topology of Torus Actins on Sumpletic Manifonlds Progress in Math. 93, Birkhauser, Boston Basel Berlin, 1991.

20. Batyrev V., Cox D. On the Hodge structure of projective hypersurfaces in toric varieties // Duke Math. J. 75, 1995, P. 293−338.

21. Birkeland R. Uber die Aufldsung algebraischer Gleichungen durch hypergeometrische Funktionen// Math. Z. 26, 1927, P. 566−578.

22. Candelas P., de la Ossa X., Green P. and Parkes L. A pair of Calabi-Yau manifols as an exactly soluble superconformal fild theory)/ Essays on Mirror Manifolds, S.-T. Yau, editor, International Press, Hong Kong, 1992, P. 31−95.

23. Cartan H. Thiorie ilimentaire des fonctions analytiques d’une on plusieurs variables complexes Hermann, Paris, 1961.24. cayley A. Note sur une formule pour la reversion des series j j J. Angew Math. 52. 1856, P. 276−284.

24. Cox D.A. The Homogeneous Coordinate Ring of Toric Variety// J. Algebraic Geom. 4. 1995. P. 17−55.

25. Gelfand I., Kapranov M., Zelevinsky A. Discriminants, resultants and multidimensional determinants Birkhauser, Boston, 1994.

26. Griffiths P. A. On the periods of certain rational integrals// Ann. of Math., P. 460−541.

27. Henrici P. Applied and computational complex analysis John Wiley, New York, 1991.

28. Horn J. Uber hypergeometrische Funktionen in zweier Veranderlichen// Math. Ann. 117. 1940. P 384−414.

29. Kapranov M. Hypergeometric functions on reductive groups// Proc. Northwestern Uneversity, Evanston II, 60 208, P. 1−33.

30. Keller O.H. Game Cremona-Transformationen// Monatsh. Math. Phys., 47. 1939, P. 299 306.

31. Mellin H.J. Resolution de I’equation algebrique general a I’aide de la fonction// C.R. Acad. Sc. T.172. 1921. P. 658−661.

32. Passare M., Tsikh A. Algebraic equations and hypergeometric series// In the book «The legacy of N.H. Abel». Springer-Verlag, 2004, P. 653−672.

33. Sack R.A. Generalization of Lagrange’s expansion for functions of several implicitly defined variables// J. Soc. Industr. Appl. Math. 13. 1965, P. 913−926.

34. Sturmfels B. Solving algebraic equation in terms of A-hypergeometric series// Discrete Math. 210, no. 1−3. 2000. P. 171−181.

35. Sylvester J.J. On the change of systems of independent variables// Quart. J. Pure Appl. Math. 1. 1857, P. 126−134.Работы автора по теме диссертации.

36. Степаненко В. А. Описание рациональных дифференциальных форм на произведении проективных пространств// Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа. -Красноярск: ИФ СО АН СССР, 1980. С. 247−252.

37. Степаненко В. А. О вычислении интеграла по от рациональных дробей с эллиптическими знаменателями// «Комплексный анализ и математическая физика. Межвузовский сборник.» Красноярск, 1998. С. 203−211.

38. Степаненко В. А. Об интегрировании рациональных дробей noW1 // «Вопросы математической физики. Сборник научных статей. КГТУ», Красноярск, 1999. С. 148−155.

39. Степаненко В. А. О решении системы п алгебраических уравнений от п неизвестных с помощью гипергеометрических функций // Вестник КрасГУ, № 2, 2003. С. 35−48.

40. Stepanenko V.A., Egorychev G.P. The combinatorial identity on the Jacobin conjecture // Acta applicandae mathematicae, Vol. 82, № 2, 2004. Kluwer Academic Publishers.