Поточечные принципы выбора для функций одной и нескольких вещественных переменных

Диссертация посвящена исследованию поточечных принципов выбора для функций одной и нескольких вещественных переменных со значениями в метрическом пространстве, а также нахождению условий, при которых заданная последовательность функций содержит всюду или почти всюду сходящуюся подпоследовательность.

Исторически первый принцип выбора был найден Хелли ([50]) в классе всех монотонных функций, определенных на отрезке [а, 6] вещественной оси Ж: равномерно ограниченная последовательность монотонных функций, определенных на отрезке [а, Ь], содержит подпоследовательность, которая поточечно на [а, Ъ] сходится к некоторой монотонной функции. Эта теорема Хелли справедлива и для произвольного непустого множества Т из М, как это установлено, например, в [36], и для равномерно ограниченной последовательности функций, жордановы вариации которых равномерно ограничены. Условие равномерной ограниченности последовательности функций и их обобщенных вариаций лежит в основе большинства обобщений принципа выбора Хелли (для вещественных функций — [46], [56], [61], [65]- для функций со значениями в метрическом или банаховом пространстве — [14], [15], [25], [26], [29], [30], [31], [33], [34],[36]). Упомянутые принципы выбора имеют многочисленные применения ([7], [10], [14], [26], [25], [29], [31], [33], [34], [36], [51], [64]), поскольку являются эффективным инструментом при доказательстве теорем существования. Например, они широко используются в теории функций, функциональном анализе, теории оптимизации, комплексном анализе и теории стохастических процессов ([7], [10], [25], [51]). Обобщения теоремы Хелли также находят свое приложение в многозначном анализе при доказательстве существования регулярных селекций для мультифункций ограниченной обобщенной вариации и исследовании нелинейных операторов суперпозиции Немыцкого ([36]).

Рассмотрим более детально некоторые из этих обобщений для вещественных функций одной переменной ([71]). Для этого нам потребуются следующие определения.

Для отрезка I — [a, b] вещественной оси R, где, а < 6, обозначим через Reg (/) множество всех регулярных функций /: / —> R, т. е. тех функций, для которых предел слева f (t — 0) Е R существует в каждой точке, а < t ^ Ь и предел справа f (t + 0) Е К. существует в каждой точке a^t < Ь. Множество регулярных функций Reg (/) играет важную роль, например, в теории всюду сходящихся рядов Фурье и в теории стохастических процессов. Известно, что каждая функция / Е Reg (/) ограничена, имеет не более чем счетное число точек разрыва и является пределом равномерно сходящейся последовательности ступенчатых функций. Поскольку множество всех мотононных функций, определенных на отрезке I, содержится в классе Reg (/), то теорема Хелли относится к принципам выбора в классе регулярных функций.

Пусть <р> R+ — [0, оо) —> М+ есть ip— функция, т. е. ip является неубывающей непрерывной функцией, такой, что <�р (р) ~ 0 лишь при р = 0, и Hindoo ip (p) = оо. Говорим, что функция /: I —> R является функцией ограниченной tp—вариации на I в смысле Винера ([66]) и Янга ([67]), и в этом случае пишем / Е BV?,(/), если конечна (р—вариация функции /, определяемая по правилу:

Г п.

Vv (f, I) = supj — №-01) -neN, ti1 < ti, t = 1,., 71 i=1.

В частном случае, когда ip (u) = w, значение V.

Г 71.

V (/, I) = sups f (U) — f (ti-i): n E N, ii! < ii, i = 1,., n в этом случае также используем запись BV (/) вместо ВУ<�Д/). Известно ([56], [67]), что BV<Д/) С Reg (J), и, если ip выпуклая и ip{u)/u —* 0 при и —" +0, то ВV (/) является собственным подмножеством BV?,(/). С другой стороны, Гоффман, Моран и Уотерман ([47]) предложили следующую характеристику множества Reg (J): если / Е Reg (/) и min{/(?— 0) j /(^ + 0)} ^ /СО ^ тах{/(£ — 0), f (t + 0)} в каждой точке разрыва У t € I функции /, то / Е ВУ<�р (/) для некоторой выпуклой у?—функции ср такой, что (р (и)/и —> 0 при и —> +0.

Следующее обобщение принципа выбора Хелли принадлежит Хелли ([50]), если V, = V и ВУ* = ВУ, и Мущелаку и Орличу ([56]), если V* = V (р и ВУ, = ВУу: поточечно ограниченная последовательность функций = отображающих I в К. и удовлетворяющая условию эирУ*(/,-,/) < оо, (0.1) содержит поточечно сходящуюся подпоследовательность, предельная функция которой / лежит в ВУ*(/) — Заметим, что эта теорема также является приципом выбора в классе регулярных функций.

Имеются также описания регулярных функций, не связанные с приведенными выше понятиями ограниченной вариации. Одно из них принадлежит Чантурия ([12], [13]- см. также [48, раздел 11.3.7]), который ввел определение модуля вариации {^{п, /, 1)}™=1 функции /: I —> М по правилу: п.

— /Ы1: Ы" =1, {&"}" = 1 С I такие, что г=1.

0−1 ^ Ь < а2 ^ Ь2^. < ап-1 ^ Ьп-1 ^ ап ^ Ъп где п Е М, и показал, что = {/:/—> М | т/(п, /, I) = о (гг)}. Здесь условие ^(п,/, I) — о (п) означает, что г/(п,/,/)/п —"¦ 0 при п —" оо. Используя это понятие, в работах [37], [38] Чистяков заменил условие равномерной ограниченности вариаций Бир^^ У*(/:/, I) < оо значительно более слабым условием.

Пт /,-,/) = о{п) (0.2).

3~* оо и получил обобщение принципа выбора Хелли, в котором поточечный предел извлекаемой подпоследовательности лежит в классе и который содержит в себе как частные случаи все упомянутые выше принципы выбора и многие другие ([19], [20], [39]). В отличие от предыдущих принципов выбора этот новый результат выводит за рамки регулярных функций. В самом деле, если Т>: [0,1] —^ Ж есть функция Дирихле (т. е. Р (£) = 1, если? рационально, и ?>(?) = 0, если? иррационально) и /,(*) = I е [0,1], з еК, ТО Ф Шг6([0,1]) для всех ] 6 N и и (п: [0,1]) = так что Нт^оо и (п, I) = о (п), в то время как У (/7-,/) = оо. Более того, ограничение на модуль вариации функций исходной последовательности, лежащее в основе принципа выбора из [37], [38], является необходимым для последовательности равномерно сходящейся к функции /, такой, что и (п: /, I) = о (п), и почти необходимым для поточечно сходящейся последовательности функций (подробнее см. [20], [38], [39]) в отличие от принципов выбора с условием (0.1).

Заметим, что при условии (0.1) или (0.2) поточечно ограниченная последовательность функций на самом деле является равномерно ограниченной. Отметим также, что все приведенные выше принципы выбора были обобщены на последовательности функций, отображающих непустое подмножество Ж в метрическое пространство или даже равномерное пространство ([14], [15], [37], [19], [20], [26], [29], [30], [31], [36], [38], [39] и ссылки в этих работах) и для последовательностей монотонных функций между линейно упорядоченными множествами ([54]).

В первой главе настоящей работы развивается теория функций одной переменной и выделяется класс функций, относительно компактных в топологии поточечной сходимости без условия равномерной ограниченности каких-либо обобщенных вариаций.

Теоремы типа Хелли для функций нескольких вещественных переменных в большой степени зависят от понятий (ограниченной) вариации, используемых для этих функций, которые обобщают различные аспекты классической вариации по Жордану функции одной переменной и которых в литературе встречается достаточно много (например, [2], [3], [4], [23], [43], [51], [58], [69], и эти ссылки далеко не исчерпывающие). При некоторых подходах к многомерным вариациям ([2], [9], [22]), в той или иной мере использующих процедуры интегрирования, принципы выбора типа Хелли связаны в основном со сходимостью почти всюду извлекаемой последовательности, и более сильной сходимости в этом случае ожидать нельзяоднако такая сходимость является слишком слабой для некоторых приложений (таких как в работе [36] и § 5 ниже). С другой стороны, для вещественных функций нескольких переменных имеются определения понятия вариации ([8], [51]), которые восходят к работам Витали ([63]), Харди ([49]) и Краузе ([21], [43]), такие, что имеет место полный аналог теоремы Хелли относительно поточечной сходимости извлекаемой подпоследовательности. Эти аналоги принципа выбора Хелли базируются на понятии монотонной вещественной функции нескольких переменных ([27], [51], [68]) и соответствующего обобщения теоремы Жордана о декомпозиции, согласно которой функция ограниченной вариации представима в виде разности двух монотонных функций.

Во второй главе диссертации при минимальных условиях на область значений, являющейся метрической полугруппой, установлен аналог теоремы Хелли относительно поточечной сходимости, который не опирается на теорему Жордана о декомпозициипри этом разработана совершенно другая техника по сравнению со случаем вещественных функций (для функций двух переменных см. работу [24]). Отметим, что большинство подходов к многомерным вариациям теряет смысл, если предположить, что значения функций лежат в метрическом пространстве. С этой целью приведено развитие понятия полной вариации функции нескольких переменных со значениями в метрической полугруппе в смысле Витали, Харди и Краузе, которое введено Чистяковым ([32]) и обобщает классическое определение вариации по Жордану для функций одной переменной и понятия полной вариации в смысле Хилдебрандта ([51]) для вещественных функций двух переменных и Леонова ([8]) для вещественных функций произвольного конечного числа переменных.

Переходим к изложению основных результатов диссертации.

В главе I (§§ 1−5) рассматриваются функции одной вещественной переменной со значениями в метрическом пространстве, устанавливается несколько вариантов поточечного принципа выбора. В главе II (§§ 6−10) для функций нескольких вещественных переменных со значениями в метрической полугруппе изучены свойства полной вариации в модификации Витали, Харди и Краузе и получены два варианта теоремы типа Хелли для функций со значениями в метрической полугруппе и рефлексивном сенарабельном банаховом пространстве.

В § 1 для числа е > 0 и функции f: Т X (в другой записи / G Хт), отображающей непустое множество Т вещественной прямой Ж в метрическое пространство (X, d), вводится понятие величины N (e, /, Т) G {0} UNU {оо} (для Т = [а, Ь] и X = 1R см. [45, часть III]), как супремума множества тех номеров та G N, для которых в множестве Т существует набор из та пеналегающих отрезков [s^^L концы Si и ti которых лежат в Т, г = 1,., та, таких, что d (f (si), /(??)) > е для всех i = 1,., та (с соглашением о том, что sup0 = 0). Если 0^сТи/е Хт, то N (s, f, E) = N (e, /е, Е), где /|Е —> x есть сужение функции / на множество Е. Поведение введенной величины рассмотрено на некоторых классах функций ограниченной обобщенной вариации и множестве непрерывных функций.

Основные свойства величины N (e, /, Т) для произвольной функции / G Хт собраны в лемме 1.1. Перечислим некоторые из них:

1) N{62, /) Т) ^ N (ei, /, Т) для 0 < < ?2 (монотонность по первому аргументу) ;

2) N (e, f, Ei) ^ N{?, f: E2) для 0 ф Ег С Е2 с Т и всех? > 0 (монотонность по третьему аргументу);

3) если {fj} = {fj}fz=1 С Хт сходится поточечно на Т к некоторой функции / G Хт, то N (e, f, T) < limj^^NU, fj, T) для всех в > 0 (полунепрерывность снизу) ;

4) для в > 0 и точек s ut из Т, s < t, величина nt = N (b, /, (—сю, ¿-]ПТ) конечна тогда и только тогда, когда величины ns = N (s, /, (—00, s] П T) и nSit — N (e, f, [s, t] n T) конечны, и в этом случае существует число n* G {0,1} такое, что nt = ns + nS) i + п* (полуаддитивность).

Еще одним важным свойством величины N (e, /, Т) является то, что с ее помощью можно описывать регулярные функции на отрезке Т = [а, Ъ], т. е. имеющие односторонние левый и правый пределы (в смысле, указанном ниже). Пусть S — фиксированное всюду плотное подмножество [а, 6]. Обозначим через Us ([a, Щ]Х) множество, состоящее из всех функций /: [a, b] —> X, для которых выполнены условия Коши относительно S, а именно: lim d (f (s), f (t)) = 0 в каждой точке т е (а, 61.

S3s, t—>г—О и lim d (f (s), f (t))= 0 в каждой точке г G [а, 6).

Sss, t—>т+0.

Тогда справедливо следующее равенство (теорема 1.3).

Us ([a, b]-X) = {/: [а, Ь] X N (e, f, S) < оо для всех е > 0}.

Последовательность {/,•} = {/j}jli С Хт называется поточечно относительно компактной, если замыкание в X последовательности {fj (t)} компактно при любом t Е Т. В § 2 устанавливается первый основной результат — следующий поточечный принцип выбора: Теорема 2.1. Если 0 ^ Т С Ж, (X, d) — метрическое пространство и {fj} С ХТ — поточечно относительно компактная последовательность функций такая, что.

N (e) = lim N (e, fj, T) < оо для всех е > 0, (2.1).

3~* оо то {fj} содержит подпоследовательность, которая сходится поточечно на Т к некоторой функции f 6 ХТ, удовлетворяющей условию N (e, /, Т) < N (e) для всех е>0.

В теореме 2.2 показано, что в отличие от многих известных принципов выбора (например, [45], [46], [50], [56], [61], [65]) условие (2.1) является необходимым для равномерно сходящейся последовательности {fj}.

Следующая теорема представляет собой принцип выбора для сходимости почти всюду (п. в.) в терминах величины N (e, /, Т). Теорема 2.3. Пусть 0 ф Т С К, (X, d) — метрическое пространство и {fj} С ХТ — поточечно относительно компактная для п. в. t Е Т (или для всех t Е Т) последовательность функций, удовлетворяющих условию: для любого o > О существует измеримое множество Е§С Т меры Лебега ^ 5, такое, что lim N (e, fj, TEs) < oo для всех e > 0. j-> oo.

Тогда в {fj} существует подпоследовательность, которая сходится п. в. на Т к некоторой функции f? ХТ, обладающей свойством: для любого 6 > 0 найдется измеримое множество E’s С Т меры Лебега ^ 5 такое, что N (e, f, TE’O) < со для всех е > 0.

Примеры 2.4—2.10 иллюстрируют точность предположений и заключений теорем 2.1 и 2.2.

Из леммы 3.1, доказанной в § 3, вытекает, что теорема 2.1 включает в себя принцип выбора ([39, теорема 1]) и, как следствие этого, многие результаты недавних исследований в этом направлении ([14], [15], [25], [26], [29], [30], [31], [33], [36], [46], [56], [61], [65]). Пример 3.2 показывает, что существуют последовательности функций, для которых выполняются предположения теоремы 2.1, а условия существования поточечно сходящейся подпоследовательности принципа выбора из [39, теорема 1] — нет.

В § 4 установлен вариант теоремы 2.1 для слабой поточечной сходимости последовательности функций в важном случае, когда значения функций лежат в рефлексивном сепарабельном банаховом пространстве: Теорема 4.1. Пусть 0^Tclu (X, || • ||) — рефлексивное сепарабель-ное банахово пространство, сопряженное пространство X* к которому сепарабельно. Предполоэ1сим, что последовательность функций {fj} С ХТ такая, что sup^eN \fj (t)\ < oo для всех t 6 Т и выполняется условие (2.1). Тогда существуют подпоследовательность последовательности {fj}, снова обозначаемая через {fj}, и функция f 6 ХТ, удовлетворяющая условию N (8, /, Т) ^ №-{е) для всех? > 0, такие, что /-(?) сходится слабо в X к /(?) для всех? (Е Т.

В § 5 теорема 2.1 применяется для доказательсва теорем о существовании регулярных мультиселекций компактнозначных многозначных отображений. Это основано на технике доказательсв и представляет собой обобщение результатов [36] и [42].

Результаты первой главы опубликованы в работах [70], [71], [74] - [77].

Переходим к изложению результатов главы II.

В § 6 вводятся основные обозначения и определения, используемые во второй главе. Для точек, а = (ах,., ап) и Ъ = (р1,., Ьп) из таких, что, а < Ъ покоординатно, обозначим через = [ах, 61] х • • • х [ап, Ьп] п—мерный прямоугольник. Греческие буквы обозначают (п—мерные) мультииндексы, и если в = ($ 1,., вп), то 9 = в + • • • + вп — порядок мультииндекса в. В этом контексте 0 и 1 обозначают соответственно мультииндексы (0,., 0) и (1,., 1), а неравенства вида или в ^ к понимаются покоординатно.

Метрической полугруппой называется тройка (М, +), где (М, (Г) — метрическое пространство с метрикой <1, (М, +) — абелева полугруппа по сложению +, т. е. {и + у) + -ш = и + (у + т) и и + V — у + и для всех и, у, и> 6 М, и метрика д инвариантна относительно сдвигов в том смысле, что с1(и, у) = (1{и + т, у + ги) для всех и, у, ги? М.

Для х, у Е х ^ у, п-ой смешанной «разностью» функции /, отображающей прямоугольник /д в метрическую полугруппу (М, с/, +), на подпрямоугольнике Ц С Iъа называется величина т/(* + %-*)), Е /(* + %-*) е?(п) 06 0(п) где £(п) есть множество всех мультииндексов в ^ 1, для которых в — четное число, х+0{у—х) = (х+0(у—х{), ¦ • ¦, хп+вп (уп—хп)), а 0{п) — множество всех мультииндексов в ^ 1 с нечетным порядком |0|. Под пой вариацией типа Витали функции /: —> М на прямоугольнике I понимается величина ([8], [51]).

1Ьа) = вир шеи (/,, (6.4) где супремум берется по всем мультииндексам к и всем сеточным разбиениям V = {ж [а] 1⁰ прямоугольника с набором точек вида ж [а] = (3:1(01), • ¦ •, хп (сгп)) Е таким, что ж[0] = а, а- [я] = Ъ и ж[<�т — 1] < х[а] для всех 1 ^ сх ^ /с (иными словами, V есть декартово произведение обычных разбиений отрезков [а$, &$], г = 1,., п). Отметим, что есть объединение по всем 1 ^ ег ^ кненалегающих прямоугольников^а с0 сторонами, параллельными координатным осям. Нам понадобится также понятие вариации функции меньшего порядка, чем п. Пусть М. Определим срезание вектора жб!" мулътииндексом, а по правилу ([40]): х[а = (Хг: г € {1,., п], а* = 1) е М|а|.

Отметим, что если х е то х[а Е 1а. а = ^ Для г ^ Iа определим срезанную мулътииндексом, а функцию ^ М с базой в точке г по формуле ([40]): / (г + а (х — г)) для всех х е так что зависит только от |ск| переменных Хг Е [а", 6®, для которых оц = 1, а остальные переменные фиксированы и равны ^ (при щ — 0). Если теперь в определении (6.4) заменить п на |а|, / — на при г = а и /д — на /д [от, то получим определение |о-|-ой вариации типа Харди-Краузе функции / ([43]), которая обозначается через Уа (1а^а.а).

Полной вариацией функции /: —> М в смысле Хилдебрандта ([16], [17], [18], [51, Ш. 6.3], [53], если п = 2) и Леонова ([8], [40], [41]) называем величину п.

ТУ (/, 1ъа) = ун (/", 1ьа [а) = 53 V, (/аа, 1ьа И,.

1 а<1,|а|=г, а множество ВУ (/?-М) = {/: 1ьа М | ТУ (/,/£) < оо} — пространством отображений ограниченной полной вариации (в смысле Витали-Харди-Краузе).

Параграф 7 носит вспомогательный характер, в нем доказываются свойства смешанных разностей, необходимые для изучения свойств полной вариации.

В § 8 описываются свойства полной вариации, за исключением леммы 8.1, выражающей свойство аддитивности |ск|—ой вариации У|а| для произвольного 0 ^ а < 1. Полунепрерывность снизу полной вариации ТУ (-,/д) установлена в следующей лемме:

Лемма 8.3. Если последовательность функций: —> М, $ Е сходится поточечно на I% к некоторой функциии /:/?—>¦ М, то.

ТУ (/,/аьН НтТУ (/,-,/>). оо.

Лемма 8.4. Если /: —> М и х, у Е 1%, х ^ у, то.

ТУ (/, II) ^ ТУ (/, /*) — ТУ (/, /*).

Первое неравенство леммы 8.4 представляет собой обобщение хорошо известного свойства функций одной переменной ограниченной вариации по Жордану и обобщение (не)равенства Леонова, установленного в [8, следствие 5] для вещественных функций п переменных (см. также [40, неравество (3.5)]), а второе неравенство обобщает результат Чистякова ([41, лемма 8]), полученного для случая М = Ж. Утверждения леммы 8.4 также известны для функций двух переменных со значениями в метрической полугруппе ([17], [18], [24]).

Для / Е ВУМ) функция, определяемая по правилу и{х) = ^/(ж) = ТУ (/,/д), х Е /д, называется функцией полной вариации функции /. В лемме 8.5 и ее следствиях устанавливается связь между функцией / ограниченной полной вариации и ее функцией полной вариации и, а также некоторые свойства функции и.

Последовательность функций {fj} = {fj}^Li, где fj: —" М, называется поточечно относительно компактной на если для любого х Е /ц замыкание в М последовательности {fj (x)} компактно. Основным результатом § 9 является следующий поточечный принцип выбора типа Хелли для функций нескольких переменных со значениями в метрической полугруппе:

Теорема 9.1. Если последовательность функций {fj}, отображающих прямоугольник I% в метрическую полугруппу М, поточечно относительно компактна на и удовлетворяет условию.

С = supTV (/j, < оо, (9.1) je N то {fj} содержит подпоследовательность, которая поточечно на I% сходится к некоторой функции fE BV (/^- М) такой, что TV (/, I^С.

В § 10 приводится вариант теоремы 9.1, связанный со слабой поточечной сходимостью, для случая, когда значения функций лежат в рефлексивном сепарабельном банаховом пространстве.

Теорема 10.1. Пусть (М, || • ||) — рефлексивное сепарабельное банахово пространство, сопряженное пространство М* к которому сепарабель-но, и пусть {fj} — последовательность функций, отображающих I% в М. Если для {fj} выполняется условие (9.1) и с{х) = sup \fj (x)\ < оо для всех х Е I jeN то найдутся подпоследовательность в {fj}, обозначаемая как исходная последовательность через {fj}, и функция f Е BV (/^- М), TV (/, < С, такие, что fj (x) сходится слабо в М к f (x) для всех х Е.

Результаты второй главы опубликованы в работах [72], [73], [78], [79].

I. Принципы выбора для функций одной переменной.

В этой главе рассматриваются функции одной вещественной переменной со значениями в метрическом пространстве. К основным результатам главы относятся поточечный принцип выбора (теорема 2.1) и его слабый вариант для функций со значениями в рефлексивном сепарабель-ном банаховом пространстве (теорема 4.1). Приводится также сравнение теоремы 2.1 с известными принципами выбора (§ 3).

1. Величина Т) и ее свойства.

Всюду ниже используются стандартные обозначения для числовых множеств М, (12 и К. соответственно натуральных, рациональных и вещественных чисел.

Приведем основные определения, используемые ниже. Всюду далее в этой главе предполагаем, что Тс! есть непустое множество, (X, (1) — метрическое пространство с метрикой и Хт — множество всех функций /: Т —"• Х: отображающих Т в X. Говорим, что последовательность функций = С Хт сходится поточечно на Т к некоторой функции / Е Хт и пишем —> / на Т при —> оо, если imj^,(Xld (fj (t), f (t)) = 0 для всех? Е Т. Нас будут интересовать еще два вида сходимости последовательности С ХТ к функции / Е Хт: равномерная сходимость и сходимость почти всюду. Напомним, что если limj^00sщ)t&тd (fj (t)^ /(?)) = 0, то последовательность сходится равномерно па Т к функции /, при этом пишем =4 / на Т при у —> оопоследовательность С Хт сходится почти всюду на Т к функции / Е Хт, что записывается как —>• / п. в. на Т при з —> оо, если существует множество Е С Т меры Лебега нуль (коротко: С (Е) = 0), такое, что Ншукэо (?(/^(?), /(?)) = 0 для всех? Е ТЕ. Последовательность {//} С Хт называется поточечно относительно компактной, если замыкание в X последовательности {//(?)} компактно при любом? Е Т.

Для числа п Е N обозначим через {/г}" -< Т набор из п двухточечных множеств 1{ — С Т, % — 1,., 7 г, для которых < ?1 < ?2 <

2 <. ^ Зп—1 < ¿-п-1 < < ?". В другой интерпретации -<

Т есть упорядоченный, как выше, набор из п неналегающих отрезков 1 г — [5г5 и] С К, концы и ^ которых лежат в Т, г = 1,., п. Запись I -< Т понимается как I = {а, Ь} или I = [а, 6], где а, Ь Е Т и, а < Ь. Для функции / 6 Хг, п Е N и = {йг,^} Е {/г}" ^ Т полагаем.

Для числа? > 0 и / Е Хт определим величину N (6, /, Т) Е {0} 1Ши {оо} по правилу ([71]):

Ще, /, Т) = зир{п Е N | 3 {Щ ¦< Т такой, что |/(/г)| >? Для всех г = 1,., п}, (1.1) где вир 0 = 0. Если 0^?сГи/Е Хт, то полагаем Ще,/, Е) = /|Е: Е), где /|е' Е X есть сужение функции / на множество Е, т. е. /|#(?) = /(?) для всех? Е Е.

В случае, когда Т = [а, Ъ] и X = М, величина (1.1) рассматривалась в работе [45, часть III] для описания регулярных функций /: [а, Ь] —> М, т. е. таких функций, для которых предел слева /(? — 0) Е М существует в каждой точке, а <? ^ Ь и предел справа /(? + 0) Е К существует в каждой точке, а ^ t < Ъ. Происхождение величины (1.1) не вполне ясно: авторы книги [45] ссылаются на работу Таберского ([62]), однако величина (1.1) не рассматривалась в [62].

Принятие величиной /, Т) значений 0 (отсутствие в Т множеств 1{ таких, что ]/(/г)| > е) и оо (наличие бесконечного набора в Т со свойствами |/(/г)| > е) выражаются соответственно следующими условиями:

Ще, /, Т) = 0 |/(/)| ^? для всех I -< Т- (1.2).

Ще, /, Т) = оо Утг Е N ЗЩ? -< Т такой, что |/(/г)| > Для всех г = 1,., тг. (1.3).

Если N (e, f, T)> 0 (или эквивалентно iV (e, /, Т) ^ 0), то множество под знаком супремума в (1.1) непусто, поэтому N (e, f, T) € NU {оо}- если же N (e, f, T) <00 (или эквивалентно N (e, /, Т) ф оо), то множество под знаком супремума в (1.1) конечно, и, значит, /, Т) е {0}UN. Таким образом, при 0 < N (e, /, Т) < оо в соответствии с определением (1.1) находим, что N (e, /, Т)? N, так что для те € N имеем: те ^ N (e, /, Т) Т такой, что |/(/?)| >? Для всех г = 1,., те- (1.4) те > iV (?, /, Т) <=> V {-< Г 3 {/ijfclf (£'/Я С Ш? такой, что шах 1/(^)1 ^ (1−5).

Напомним, что для / G ХГ величина овс (/, Г) = sup |/(J0l = sup d (f (a)J (b)).

КТ а, ЬеТ называется колебанием f на Т (или диаметром образа f (T) = {/(?) | i G Г} С I). Тогда в силу свойства (1.2) для любой функции / G имеем: osc (/, Т) = inf{e > 0 | N (e, /, Т) = 0} (inf 0−00).

Таким образом, / ограничена на Т тогда и только тогда, когда ose (/, Т) конечна (по определению) или, эквивалентно, если TV (?0,/, Т) = 0 для некоторого Eq > 0- в этом случае N (s, /, Т) = 0 для всех в > ose (/, Т) и, более того, если ose (/, Т) > 0, то согласно (1.2) iV (e, /, Т) = 0 для всех? ^ ose (/, Т). Отметим также, что / постоянна на Т, если и только если ose (/, Т) = 0, что эквивалентно условию N (e, f, T) =0 для всех? > 0. Следовательно, величина f, T) полностью определена при 0 < е < ose (/, Т). (1.6).

Для того чтобы получить более полное представление о величине N (e, /, Т), рассмотрим ее поведение на некоторых классах функций ограниченной обобщенной вариации и множестве непрерывных функций.

Пусть функция (р: Т х Ш+ —> Ш+, где Ш+ = [0, оо), удовлетворяет следующим двум условиям: 1) для любого t ET функция ip (t, ') = ["н f{t, и)] второго аргумента не убывает и непрерывна на и ip (t, и) —> оо при и —> оо, и 2) 0) = 0 для любого t Е Т и infieT </?(?, и) > 0 для всех и > 0. Говорим, что / Е Хт является функцией ограниченной обобщенной <�р-вариации на Т (при Г=[а, Ь]иХ = 1 см. [46], [57, § 10.4]), и пишем / G BVp (T]X), если конечна величина п.

V^(/, T) = sup 1/ОШ, ?=1 где супремум берется по всем п Е N, Т и & Е Ii, г = 1,., п.

Если Т конечно, то значение пт — sup{n Е N: 3{/?}" -< Т} также конечно. В этом случае супремум берется по всем п ^ пт-) Для функции / G ВУ^(Т-Х) имеем (см. [20, доказательство теоремы 9]): ose (/, T) ^ 2 max{w G М+: </?(?0, и) ^ Т)}, (1.7) где to ET фиксировано,.

N (eJ, T)^. У^'^, для 0 <? < osc (/, T). (1.8) infter У (i, е).

В частном случае, когда </?(?, w) = w, значение, Т) является обычной вариацией по Жордану функции /, которую будем обозначать через.

V (/, T)=sup (yj/(J0|:nGN, {/,}.

0|:nGN, Ш^т), i=1 J, а ВУ (Т-Х) = {/б!г: У (/, Т) < оо}. Для / б ВУ (Г-Х) оценки (1.7) и (1.8) могут быть переписаны следующим образом: овс (/, Г) ^ У (/, Т) и ЛГ (е,/, Т) ^ для 0 < е < овс (/, Т). (1.9).

Пусть Ф = — последовательность (р-функций, т. е. каждая функция щ —>• является непрерывной, неубывающей, неограниченной и такой, что (рг (и) = 0 лишь при и = 0. Последовательность Ф называется Ф-последовательностью в терминологии [61], если она удовлетворяет следующим двум условиям: 1) (pi+i (u) ^ 0. Говорим, что / G ХТ является функцией Ф-ограниченной вариации на Т (см. [60], [61] при Т = [а, Ъ] и X = R) и пишем / G ВV$(TX), если конечна следующая величина п г=1 где супремум берется по всем п? N (см. замечание на стр. 18 после определения У (Д {/?}I -<Т и всем перестановкам а: {1,., п} —> {1,., п}. Для / € ВУф (Г-Х) имеем (см. [20, доказательство теоремы 10]): ose (/, Т) < maх{и G Ш+: ipx{u) ^ УФ (/, Г)}, (1.10).

Ж (е,/, Г)^maxjnGN: < V*(/, T) j (1.11) для 0.

Модулем непрерывности непрерывной функции / G называется неубывающая непрерывная функция ш = ujf. [0, b — а] —> М+, определяемая по правилу: и (р) = sup{d (/(s), /(?)): s, t G [а, Ь], |s — t < р} при 0 < р < Ь — а и а-(0) = Нт^+о^Кр) = 0- По теореме Вейерштрасса osc (/, [а, 6]) конечна. Полагая o-Zx® = min{p G М+: ш (р) = г} для г G [0,а-(&- — а)], получаем jV (e, /, [а, &]) ^ для 0 <? < ose (/, [а, Ь]). w- (е).

Основные свойства величины iV (?, /, Т) для произвольной функции / G собраны в следующей лемме.

Лемма 1.1. (а) Если 0 <? < е2, то N (e2, /, Т) ^ N (eu /, Т). (Ь) Если £о > 0 и N (eo, f, T) < ооmo найдется такое 5 > 0, что N (e, /, Т) = N (eо, /, Г) для всех е0 ^ е < е0 + 6. с) Если 0 Ф Ег С Е2 СТ, то Ще, /, Ех) ^ /, Е2) для всех е > 0. с!) Если {/?} С ХТ и —> / наТ при j оо, то.

N (6, /, Г) ^ Ит Ще, Т) для всех е > 0. е) Если Е Т, 8 < Ь и? > 0, то щ = N{6, /, (—оо, ?] П Т) < оо тогда и только тогда, когда п3 = /, (—оо, §-]ПТ) < оо и п8 $ = N (6, /, [й, ?] П Т) < оо, и в этом случае существует такое га*? {0,1}, что щ = п3 + гав)4 + га*. Если озс (/, Т) = оото N (8, /, Т) = оо для. всея-? > 0, и, как следствие, если Л^(£, /, Т) < оо для некоторого ?> 0 и, тем более, если N (6, /, Т) < оо для всех е > 0- то озс (/, Г) < оо.

Доказательство, (а) Без ограничения общности можем считать, что N (62, /, Т) > 0. Если N (?2, /, Т) = оо и га? N произвольно или /, Г) конечно ип = N (?2, /, Т), то в силу соотношений (1.3) и (1.4) существует набор {/г}" такой, что |/(/г)| > ?2 Для всех г = 1,., п. Поскольку е2 > ?4, то для всех г = 1,., га имеем |/(/г)1 > £ь, а это в соответствии с (1.1) означает, что п ^ N (?1, /, Т). b) Из свойства (а) вытекает, что АГ (£,/, Т) ^ N (6 о,/, Т) для всех? ^ £оСледовательно, если А^(?о,/, Т) = 0, то А^(£, /, Т) = 0 для всех? ^ £оЕсли же по — N (?0,/, Т)? Н, то в силу (1.4) существует такой набор {/г}" 0 -< Т, что |/(/г)| > £о Для всех г — 1,., по. Положим 6 = тт^^по 1/(^)1 — еоТогда 0 < 6 < оо и, если ?0 ^? < £о + 5, то получаем, что |/(/г)| >? Для всех г = 1,., по или, согласно (1.4), что п0<�АГ (?,/, Т). c) Предположим, что М (е,/, Е) > 0 (в случае, когда .лг (е, /, Е) = 0 неравенство очевидно). Если 1) = оо и п Е N произвольно или N (6, /, Е) < оо и га = N (?,/,?1), то на основании (1.3) и (1.4) существует такой набор {/г}" -< что |/(/г)| >? для всех г = 1,., п, а так как Е С Е2: то {Д}&trade- -< Е2 и |/(/")1 >? Для всех ^ = 1, • • • поэтому в соответствии с (1.1) заключаем, что га ^ N{6, $, Е2) d) Без ограничения общности предполагаем, что N (e, /, Т) > 0. Если iV (?r,/, Т) < оо и п = N (s, f, T), то согласно свойству (1.4) существует набор {/?}i -< Т такой, что f (Ii) >? для всех г = 1, ., п. Пусть е' = е'(п) > 0 такое, что mini<^n f{Ii) >?*>?. Поскольку fj —> / на Т при j —> оо, то найдется номер J G N, зависящий от набора {/?}i, такой, что для всех j ^ J и i = 1,., п df/W-MX^ и адад./ИК^.

В силу неравенства треугольника для таких j иг получаем: d (f (Si), fj (Si)) + -Ш) + ¿-СШ, /(¿-г)) ^ + d (fj (si)Jj (U)) + ^ = fj (Ii)+?'-e. (1.12).

Таким образом, fj (Ii) >? для всех j ^ J и г = 1,., п. В соответствии с (1.4) это означает, что n ^ N (e, fj, T) для всех j ^ J, откуда п ^ mf' N{Ejj, T) ^ lim N{?jj, T).

J^J j—>00.

Если же N (e, f, T) = оо, то выберем n G N произвольно и воспользуемся свойством (1.3). Рассуждая также, как и выше, находим, что n ^ lim^^ N (e, fj, T), и остается учесть произвольность п. e) В силу свойства © ns ^ nt и nS) i ^ п^ Следовательно, если ггг = О, то ns = nS) i = 0. Поэтому далее в доказательстве считаем, что щ > 0.

1. Покажем сначала, что если щ < оо (в этом случае ns и nS) i конечны), то ns + nS) t ^ ЩЕсли ns = О или nSjt = 0, то ns + nSjt ^ щ. Предположим, что ns > 0 и nS) t > 0, тогда согласно свойству (1.4) существуют наборы {Ii}i" -< (—oo, s] ПТ и {JkYi* ~< ПГ такие, что f (Ii) >? ДЛЯ всех i = 1,., ns и f{Jk) >? для всех к = 1,., nSit. Замечая, что U {Jk}^ ПТ и что f (Ii) >? для всех i = 1,., ns и f (Jk) >? Для всех к — 1,., nSjt, на основании свойства (1.4) получаем неравенство ns + nS) t ^ Щ.

2. Пусть теперь ns < оо и nS) t < оо. Покажем, что если n G N и набор {-№ •< (—оо, t] П Т, где Ii = [si, ti] и f{Ii) >? для всех г = 1,., го заметим, что такие всегда существуют, поскольку щ > 0), то п ^ ns + nS) i + 1, откуда в силу произвольности п из определения (1.1) будет следовать, что щ ^ ns nS) t + 1, а вместе с этим и искомое равенство.

При п = 1 неравенство очевидно, поэтому всюду ниже считаем, что n ^ 2. Если точка s Е Т расположена так, что набор {/?}i целиком лежит в (—оо, s] П Т или [s, t] П Т, то соответственно п ^ ns или п ^ nSjt. Если точка s является концом одного и началом другого отрезка из набора {/?}i, т. е. s 6 ДП Ik+i для некоторого к Е {1,., п — 1}, то {/?}i -< (—оо, s] П Т и -< [s, ?] П Г, поэтому в соответствии со свойством (1.4) получаем, что к ^ ns и п — к ^ так что п ^ ns + nsj. Наконец, если s лежит внутри некоторого отрезка к Е {1,., п}, то.

Ш?" 1 ^ (-оо, s] П т и {1{}пк+1 -< [s, t] П т, где {/,}? = 0 = {/,};

Отсюда на основании свойства (1.4) получаем, что к — 1 < п5 и и — /г ^ п3а потому п ^ п8 4- + 1.

I:) Сначала заметим, что если оэс (/, Т) = оо, то вир^€Г «¿-(/(в),)) = оо для любого 5 е Т. Пусть е > 0 фиксировано. Выберем во ЕТ произвольно и по индукции построим последовательность {я^^о ^ слеДУ~ ющим образом: выберем точку 51 Е Т так, чтобы ?(/(в!),/(«о)) > и, если к ^ 2 и точки во, вь ., Е Т уже определены, выберем из Т так, чтобы.

Пусть п Е N. Обозначим через ¿-о, ¿-ъ ¦ • • > ¿-п набор точек^ъ., бп, упорядоченных по возрастанию, и положим Д = г — 1,., п, так что {/г}? Г. Если показать, что |/(/г)| >? для всех г = 1,., п, то на основании свойства (1.3) произвольность п будет означать, что N (5, /, Т) — оо. Итак, пусть гб{1,., п}и^ = зт} для некоторых без ограничения общности). Если т = к — 1, то |/(/г)| = ^(/(5/с), /(вт)) >? в силу (1.13). Если же т ^ /г — 2, то из г—1.

1.13) неравенства треугольника вытекает, что к-1 d (f (sk)J (sk0) ^ d (f (sk), f (sm))+ i=m+1.

A-l г=1 а это вместе с неравенством (1.13) означает, что f (Ii) > ?. ?

Замечание 1.2. Случай, когда n* = 1 в лемме 1.1(e) возможен: пусть функция /: [0,1] -«• М такова, что /(?) = 0 при 0 ^ t < ½, /(½) = ½ и /(i) = 1 при ½ < t < 1, и? = ½, тогда N (s, /, [0,1]) = 1, а NieJ,[0,l/2]) = 0 = N (e, f, [½, 1]).

Еще одним важным свойством величины iV (e, /, Т) (см. теорему 1.3) является то, что с ее помощью можно описывать регулярные функции на отрезке Т — [а, Ь], т. е. имеющие односторонние левый и правый пределы в смысле, указанном ниже.

Пусть S — фиксированное всюду плотное подмножество [а, Ъ]. Обозначим через Us ([а, Ь]', Х) множество, состоящее из всех функций /: [а, Ъ] —> X, для которых выполнены условия Коши относительно S, a именно: lim d (f (s), f (t)) = 0 в каждой точке т G (а, 6] (1−14).

S3s, t-*T—0 и lim d (f (s), f (t)) = 0 в каждой точке г G [а, Ь). (1−15).

S3s, t->T+Q.

Здесь запись S Э s, t —> т — 0 понимается как направленное множество (S П [а, г), hl), в котором для s, t G S П [а, т) направление >z задается правилом: t >z s тогда и только тогда, когда t ^ s (см. [6, Гл. 2]). Аналогичным образом понимается запись S Э s, t т + 0, где направление У в множестве SD (t, Ь] задается правилом: t>z s, если и только если t ^ s.

Напомним, что функция д: [a, b] —" X называется ступенчатой, если существуют такие разбиение, а = со < ci < • • • < cmi < ст = b отрезка [о, b] и элементы х,., хт G X (зависящие от р), что g (t) = для всех t G (cji, ci), i = 1,., т. Для такой функции g имеет место следующая оценка:

N (e, g, [а, 6]) ^ 2 т < со для всех е > 0. (1−16).

В работе [20, § 4] установлена следующая лемма.

Лемма А. Для любой функции f G Us ([a, b]-X) найдется последовательность ступенчатых функций {fj} С такая, что lim вирад (*),/(*)) = 0.

J-«00 teS.

Теорема 1.3. Пусть S — плотное множество в [а, Ъ] и (X, d) — метрическое пространство. Тогда.

Us ([a, b]]X) = {f:[a, b]-*X N{s, /, S) < оо для всех е > 0}. (1.17).

Доказательство. Включение «D «. Пусть точка т G (а, Ь] произвольна (рассуждения для т? [а, 6) вполне аналогичны). Покажем, что для любого? > 0 найдется ¿-(е) G (0,т — а) такое, что d (f (s), /(?)) ^? для всех s, t G ?7 П [г — ?(е:), т). Будем рассуждать от противного. Пусть? q > 0 такое, что предыдущее высказывание нарушается. Тогда для произвольного 6i G (0, т—а) найдутся точки si, t G ?>П[т—Ji, r), Si < такие, что d (f (si), /(?i)) > ?oДалее по индукции если г G N, i ^ 2, и уже выбраны числа G (0,т — а) и точки i? 5fl [г — Jji, r), Sji < то положим oi = т — ti-i и найдем такие точки G 5П [r-ij, r) = S П т), Sj < th что d (f (si), f (ti)) > s0. Пусть n G N и = [si.ij, г = 1,., n. Тогда по построению {/?}» -< 5П (а, т) С S и |/(/j)| > So для всех г = 1,., п. В силу произвольности п и свойства (1.3) это означает, что N (£о, /, S) = оо, что противоречит условию.

Включение «С «. Если / G Us ([a, b]]X), то по лемме, А найдется последовательность ступенчатых функций {fj} С такая, что fj =4 /на 5 при j —> оо. В силу неравенства (1.16) величина iV (e, fj, [а, o]) конечна для всех j G N и? > 0. Поскольку 5 С [а, Ь], то из леммы 1.1 (Ь) вытекает, что N (e, fj, S) < оо для всех j G N и? > 0. Покажем теперь, что N (e, f, S) < оо для всех? > 0. Зафиксируем? > 0 произвольно.

Пусть для некоторого п Е N существует набор {/?}" -< S такой, что f (Ii) > в для всех i = l,., n (в противном случае N (e, f, S) = О и утверждение очевидно). Как и при доказательстве утверждения © леммы 1.1, выберем е' = е'{п) > 0 так, чтобы mini<^n |/(/г)| > е' > е. Тогда в силу равномерной сходимости fj к / на S найдется. номер jo = io (e', e) е N такой, что d (fj (s)J (s)) ^ (е' - е)/2 для всех j ^ j0 и s Е S. Таким образом, соотношение (1.12) справедливо для всех j ^ jo и г = 1 ,., п. В частности, при j = j0 получаем, что fj0(Ii) >? для всех г = 1 ,., п или, принимая во внимание свойство (1.4), что п ^ N (e, fj0, S) < оо. В силу произвольности п из определения (1.1) вытекает, что величина N (e, /, 5) конечна для всех е > 0. ?

Равенство (1.17) представляет собой описание множества Us ([a, b]-, X) в терминах величины N (e, f, S). Множество Us ([a, Ь]-М) впервые было рассмотрено в [55]- в других терминах множество Us ([a:b]]X) описывалось в работах [11], [12], [20], [38], [39].

1. Антосик П. Исследование непрерывности функции многих переменных// Annales Soc. Math. Polon., Ser. 1. Comment. Math. 1966. Vol. 10. P. 101−104.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. M.: Наука, 1977. — 352 с.

3. Витушкин А. Г. О многомерных вариациях. М.: Гостехиздат, 1955. — 220 с.

4. Иванов JI. Д. Вариации множеств и функций. М.: Наука, 1975. -352 с.

5. Канторович JI. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ 3-е изд. — М.: Наука, 1984. — 752 с.

6. Келли Дж. Общая топология: Пер. с англ. 2-е изд. — М.:-Наука, 1981.-432 с.

7. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа 4-е изд. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

8. Леонов А. С. Замечания о полной вариации функций нескольких переменных и многомерном аналоге принципа выбора Хелли // Ма-тем. заметки. 1998. Т. 63. 1. С. 69−80.

9. Надирашвили Н. С. Принцип выбора Хелли для функций двух• переменных// Вестник МГУ, Сер. I, Мат., Мех. 1975. Вып. 3. С. 310.

10. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной, 3-е изд. М.: Наука, 1974. — 480 с.

11. Толстоногов А. А. О некоторых свойствах пространства правильных функций // Матем. заметки. 1984. Т. 35, № 6. С. 803−812.

12. Чантурия 3. А. Модуль вариации функции и его применения в теории рядов Фурье // ДАН СССР 1974. Т. 214. С. 63−66.

13. Чантурия 3. А. Об абсолютной сходимости рядов Фурье // Матем. заметки. 1975. Т. 18, № 2. С. 185−192.

14. Чистяков В. В. К теории многозначных отображений ограниченной вариации одной вещественной переменной // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 5. С. 153−176.

15. Чистяков В. В. О многозначных отображениях ограниченной обобщенной вариации // Матем. заметки. 2002. Т. 71, № 4. С. 611−632.

16. Чистяков В. В. Метрические полугруппы и конусы отображений конечной вариации нескольких переменных и многозначные операторы суперпозиции // Докл. РАН. 2003. Т. 393, № 6. С. 757−761.

17. Чистяков В. В. Абстрактные операторы суперпозиции на отображениях ограниченной вариации двух вещественных переменных. I // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46, № 3. С. 698−717.

18. Чистяков В. В. Абстрактные операторы суперпозиции на отображениях ограниченной вариации двух вещественных переменных. II // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46, № 4. С. 942−957.

19. Чистяков В. В. Принцип выбора для функций со значениями в равномерном пространстве // Докл. РАН. 2006. Т. 409, № 5. С. 591−593.

20. Чистяков В. В. Поточечный принцип выбора для функций одной переменной со значениями в равномерном пространстве// Матем. труды. 2006. Т. 9, № 1. С. 176−204.

21. Adams C.R., Clarkson J.A. Properties of functions f (x, y) of bounded variation // Trans. Amer. Math. Soc. 1934. Vol. 36, № 4. P. 711 730.

22. Ambrosio L. Metric space valued functions of bounded variation // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 1990. Vol. 17. P. 439−478.

23. Ambrosio L., Fusco N., Pallara D. Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford: Clarendon Press, 2000. 435 p.

24. Balcerzak M., Belov S. A., Chistyakov V. V. On Helly’s principle for metric semigroup valued BV-mappings of two real variables // Bull. Austral. Math. Soc. 2002. Vol. 66, № 2. P. 245−257.

25. Barbu V., Precupanu Th. Convexity and Optimization in Banach Spaces, second ed. Reidel: Dordrecht, 1986. — 312 p.

26. Belov S. A., Chistyakov V. V. A selection principle for mappings of bounded variation// J. Math. Anal. Appl. 2000. Vol. 249, № 2. P. 351 366.

27. Brunk H.D., Ewing G.M., Utz W. R. Some Helly theorems for monotone functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1956. Vol. 7. P. 776−783.

28. Castaing Ch., Valadier M. Convex Analysis and Measurable Multifuctions. Lecture Notes in Math., Vol. 580, Berlin, Springer-Verlag, 1977. 278 p.

29. Chistyakov V. V. On mappings of bounded variation // J. Dynam. Control Systems. 1997. Vol. 3, № 2. P. 261−289.

30. Chistyakov V. V. Mappings of bounded variation with values in a metric space: generalizations. In: Pontryagin Conference, 2, Nonsmooth Analysis and Optimization, Moscow, 1998// J. Math. Sci. (New York). 2000. Vol. 100, № 2. P. 2700−2715.

31. Chistyakov V. V. Generalized variation of mappings with applications to composition operators and multifunctions // Positivity. 2001. Vol. 5, № 4. P. 323−358.

32. Chistyakov V. V. Functions of several variables of finite variation and superposition operators, in: Real Analysis Exchange 26th Summer Symposium, Lexington, VA, USA. 2002. Suppl. P. 61−66.

33. Chistyakov V. V. Mappings of generalized variation and composition operators// Dynamical systems, 10, J. Math. Sci. (New York) 2002. Vol. 110, № 2. P. 2455−2466.

34. Chistyakov V. V. Metric space-valued mappings of bounded variation // Functional Analysis, 8, J. Math. Sci. (New York) 2002. Vol. Ill, № 2. P. 3387−3429.

35. Chistyakov V. V. A selection principle for mappings of bounded variation of several variables // Real Analysis Exchange 27th Summer Symposium, Opava, Czech Republic. 2003. P. 217−222.

36. Chistyakov V. V. Selections of bounded variation //J. Appl. Anal. 2004. Vol. 10, № 1. P. 1−82.

37. Chistyakov V. V. A selection principle for functions of a real variable // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena Reggio Emilia. 2005. Vol. 53, № 1. P. 25−43.

38. Chistyakov V. V. The optimal form of selection principles for functions of a real variable // J. Math. Anal. Appl. 2005. Vol. 310, № 2. P. 609−625.41.