Математическое обоснование дискретных моделей несжимаемой жидкости

Актуальность темы

Во многих областях науки и техники, таких как физическая океанология, гидротехника, кораблестроение и других, возникает проблема решения нестационарных задач динамики несжимаемой жидкости, А поскольку в большинстве случаев точные решения уравнений гидродинамики найти не удается, то для исследования сложных течений используются различные математические модели жидкости. Изначально при численном моделировании использовались два метода описания среды Это во-первых классические лагранжевы методы [1] - [4], в которых используется лагран-жева сетка с неизменной топологией. Для этих методов характерна достаточно высокая точность, аккуратное явное вычисление положения границ раздела и довольно простые для программной реализации алгоритмы Однако, эют подход хорош для относительно гладких течений, а при расчете течений с большими деформациями, использование чисто лагранжевых методик приводит к сильному искажению ячеек сетки, наползанию их друг на друга — «перехлесту» и, как следствие, к невозможности продолжения расчета. Для течений с сильными деформациями используется эйлерово описание среды [5] Основным недостатком эйлеровых методов является плохой учет наличия контактных границ. Вместе с тем в практически важных задачах часто встречаются ситуации, где желательно сохранить преимущества обоих подходов. Такая необходимость постоянно инициирует разработку новых методик для проведения вычислительного эксперимента. Существующие на сегодняшний день численные методы гидродинамики для задач со свободными границами можно условно разделить на несколько классов. Это уже упомянутые классические лагранжевы методы. Следующим является класс лагранжево-эйлеровых методов [6],[7] в которых узлы на границах раздела движутся лагранжево, а движением других частиц управляют таким образом, чтобы расчетная сетка оставалась хорошей.

Известное распространение получили методы граничных интегральных уравнений (граничных элементов)[8],[9] спектральные и псевдоспектральные методы [10], методы MAC [И] и SMAC [12].

С ростом производительности компьютеров возродился интерес лагран-жеву описанию движения жидкости на основе так называемых свободно-лагранжевых (Free-Lagrange) методов. Эти методы специально предназначены для решения задач со сложным поведением границ раздела. К родоначальникам свободно-лагранжевых методов следует отнести метод свободных частиц [13], методы FLAG [14] и «Медуза» ^]. Общим принципом объединяющим эти методы, является возможность лагранжевых частиц, бывших вначале соседями, расходится со временем сколь угодно далеко. То есть, с течением времени отношение соседства частиц изменяется. В [13], например, для точки Mq способ отбора точек М, М^ ., Мп — ее «соседей», должен удовлетворять следующим условиям. Во-первых, многоугольник ММъ. Мп должен содержать в себе круг с центром в точке Mq и радиусом ст, здесь с — скорость звука. Во-вторых, количество точек соседей должно быть достаточно большим, чтобы вес каждой точки был относительно невелик и в момент смены соседей расчетная схема не получила ненужные возмущения. В каждом секторе МгМоМг+1 функции скорости и давления получают линейной интерполяцией по их значениям в точках Мг, Mq, Мг+.

Дальнейшее развитие этот подход получил в методах, использующих перестраиваемую треугольную сетку [16]-[18], методах частиц НОВО [19],[20] и SPH[21], а также в методах, использующих для построения дискретных операторов сетку Дирихле [22]-[29]. В этих методах дискретизация уравнений гидродинамики осуществляется на шаблоне, составленном из «соседей Дирихле». Ячейкой Дирихле для точки Мk называется область 14, любая точка из которой ближе к точке М&-, чем к другим точкам из набора {Мг}. Соседями для точки Мк являются те точки Мг, для которых 4 П Vt ^ 0, где Vk и Уг — замыкание соответствующих множеств.

В последние 15 лет ускоренными темпами набирал популярность lattice Boltzmann метод (ЬВМ)[30]-[34]. Наиболее подробное его описание можно найти в [32].

К этому же классу методов относится и метод частиц для несжимаемой жидкости, предложенный в [35]. Данный метод нашел широкое применение при решении задач гидродинамики, в частности, с его помощью был получен известный эффект удержания шара вертикальной струеей жидкости [37]. Применение его к решению различных задач описано в [36], [42]-[44]. Из всех вышеперечисленных свободно — лагранжевых методов только для lattice Boltzmann метода доказана сходимость численных решений к решению системы уравнений Навье-Стокса.

Цель работы. Целью работы является математическое обоснование двух дискретных моделей несжимаемой жидкости, а именно исследование аппроксимации для некоторой упрощенной версии метода частиц и доказательство теорем сходимости для основной.

Защищаемые положения.

• Для упрощенной версии метода частиц показана слабая аппроксимация уравнений гидродинамики в случае, если дискретные условия несжимаемости выполняются в узлах некоторой сетки, и сильная аппроксимация, если потребовать выполнения условий несжимаемости для каждой частицы;

• Для внутренней краевой задачи для уравнений Навье-Стокса доказаны теоремы о сходимости метода частиц для.

— аппроксимации с использованием ортогональных базисных функций;

— аппроксимации с использованием сплайнов;

— схемы предиктор-корректор по времени;

• На тестовом примере численно изучена сходимость метода частиц Показано, что в общем случае для сходимости метода частиц достаточно более слабых требований, чем те, что получены теоретически. Это связано с отсутствием оценок на производные решений уравнений Навье-Стокса.

Новизна научных результатов. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми и снабжены доказательствами.

Методика исследования. Основные результаты получены с использованием методов математического и функционального анализа, линейной алгебры и теории сплайн-функций. При доказательстве сходимости метода частиц используется теория обобщенных решений уравнений Навье-Стокса, развитая О. А. Ладыженской [39].

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации могут быть использованы в дальнейших теоретических исследованиях численных методов для уравнений Навье-Стокса.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывалисьна семинарах кафедры Прикладной математики Красноярского Государственного Технического Университета (2001;2006 г. г);

— на конференции молодых ученых в Институте Вычислительного Моделирования СО РАН (Красноярск 2003 г.);

— на семинаре под руководством профессора В. В. Пухначева в Институте Гидродинамики СО РАН имени акад. М. А. Лаврентьева (Новосибирск 2004 г.);

— в 2003 г. работа была поддержана Министерством образования — грант КЦФЕ для аспирантов А03−2.8−872.

Публикации. В процессе работы над диссертацией опубликовано 4 печатных работы [45]—[48], из которых две в соавторстве с A.M. Франком.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 51 наименования. Общее число страниц диссертационной работы — 116.

1. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука. 1980.

2. Головизин В. М., Самарский А. А., Фаворский А. П. Вариационный подход к построению конечно-разностных моделей в гидродинамике.// ДАН СССР. 1977. Т.235, № 6 С.1285−1287.

3. Фаворский А. П Вариационно-дискретные модели уравнений гидродинамики. // Дифференциальные уравнения. 1980. Т.16, № 7. С.1308−1321.

4. Kawahara М., Miwa Т. Finite element analisis of wave motion. // Int J Numer. Mech. Eng. 1984. V.20. P.1193−1210.

5. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир. 1980.

6. Херт С. Произвольный Лагранжево-эйлеров метод // Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир. 1973. С.156−164.

7. Ramaswamy В., Kawahara М. Arbitrary lagrangian-eulerian finite element method for unsteady, convective, incompressible viscous free surface fluid flow. // Int. J. Numer. Methods Fluids. 1986. V.6. P.659−670.

8. Longuet-Hagging M.S., Cokelet E.D. The deformation of steep surface waves on woter. // Proc. Roy. Soc. 1976. V. 350. P. l-26.

9. Береббия К., Теллес Ж., Вроубел J1. Метод граничных элементов. М. Мир. 1987.

10. Fenton J.D., Rienecker М.М. A Fourier method for solving nonlinear water-wave problemsapplication to solitery-wave interactions. //J. Fluid Mech. 1982. V.118. P.411.

11. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical study of large amplitude free surfece motion. // Fhys. Fluids. 1965. V.9. P.842.

12. Amsden A.A., Harlow F.H. The SMAC-method: A numerical technique for calculating incompressible fluid flow. // Los Alamos Scient. Lab. Rep. NLA-4370. 1970.

13. Дьяченко В. Ф. Об одном новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики с двумя пространственными переменными // ЖВМиМФ. 1965. Т.5. т. С. 680−688.

14. Кроули. У. FLAG-свободно-лагранжев метод для численного моделирования гидродинамических течений в двух измерениях // Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. С. 135−145.

15. Глаголева Ю. П., Жогов Б. М., Кирьянов Ю. Ф. и др. Основы методики «Медуза» // ЧММСС. 1972. Т. 3, № 2. С.18−55.

16. Fritts M.J. Two-dimensional Lagrangian fluid dinamics using triangular grids // Finite-difference techniques for vectorised fluid dynamics calculations.-Berlin:Springer-Verlag, 1981. P. 98−116.

17. Fyfe D.E., Oran E.S., Fritts M.J. Surfase tension and viscosity with Lagrangian hydrodinamics on a triangular mash //J. Сотр. Phys. 1988. V. 76. P. 349−384.

18. Арделян H.B., Космачевский К. В., Чувашев С. Н. Перестройка треугольной лагранжевой сетки и пересчет сеточных функций при численном моделировании газодинамических течений // Деп. ВИНИТИ № 1229−85.

19. Clare R A. Compressible lagrangian hydrodinamics without lagrangian cells // Lect. Notes in Phys. 1985. V.238. P.281−294.

20. Clare R A. The evolution of HOBO // Сотр. Phys. Communication. 1988. V.48. P.61−64.

21. Monaghan J.J. Smoothed Particle Hidrodinamics // Annual Review of Astronomy and Astrofisics. 1992. V.30. P.534−574.

22. Михайлова H.B., Тишкин В. Ф., Тюрина H.H., Фаворский А. П., Шашков М. Ю. Численное моделирование двумерных газодинамических течений на сетке переменной структуры// ЖВМиМФ. 1986. Т.26. № 9. С. 13 921 406.

23. Соловьев А. В., Соловьева Е. В., Тишкин В. Ф. и др. Метод ячеек Дирихле для решения газодинамических уравнений в цилиндрических координатах // Препринт № 80 ИПМ АН СССР. 1986. 32с.

24. Borgers С., Peskin С S. A Lagrangian method based on the Voronoi diagram for the incompressible Navier-Stokes equations on a periodic domian // Lect Notes in Phys. 1985. V. 238. P.87−113.

25. Borgers C., Peskin С S A Lagrangian fractional step method for the incompressible Navier-Stokes equations on a periodic domian // J.Comp.Phys. 1987. V. 70. P.397−438.

26. Augenbaum J.M. A Lagrangian method for the shallow water equations based on a Voronoi mesh Flows on a rotating sphere //Lectures Notes in Physics Springer-Verlag. 1985 V. 238. № 2 P 54−86.

27. Trease H.E. Three-dimensional free lagrangian hydrodynamics //Lect Notes in Phys. Springer-Verlag. 1985. V. 238. P. 145−157.

28. Trease H.E. Three-dimensional Free-Lagrange hydrodynamics //Сотр. Phys. Communication. 1988. V.48. P.39−50.

29. Паутов B.H., Франк A M., Шарая И. А О методике расчета движения несжимаемой жидкости со свободной границей на сетке Дирихле // Препринт № 16 ВЦ СОАН СССР. 1987.

30. McNamara G.R., Zanetti G. Use of Boltzmann equation to simulate lattice gas automata. // Phys. Rev. Lett. 1988. V.61. P. 2332.

31. Chen S., Doolen G.D. Lattice Boltzman Metod for fluid flow. // Annu.Rev. Fluid Mech. 1999. V 30. P.329−364.

32. Nourgaliev R.R., Dinh T.N., Theofanous T.G., Joseph D. The lattice Boltzmann equations metod: theoretical interpretation, numerics and implications. // Int. J. Mult. Flow. 2003. V.29 P 117−169.

33. Junk M. A finite difference interpretation of the lattice Boltzmann method. // Numer. Methods Partial Diff. 2001. V.17. P.383−402.

34. Junk M., Yong W.A. Rigorous Navier-Stokes limit of the lattice Boltzmann equation. // Asymptotic Analisis. 2003. V.35. P.165−184.

35. Франк A M, Огородников Е. И. Метод частиц для несжимаемой жидкости // ДАН. 1992. Т.326, М. С.958−962.

36. Франк A.M. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М Физматлит, 2001.

37. Франк A.M. Численное моделирование удержания шара струей жидкости // ДАН. 1999. Т.365, № 3. С.346−349.

38. Андреев В. К., Франк A.M. Об устойчивости течения Куэтта идеальной жидкости со свободными границами // ПМТФ. 1998. Т.39, № 5. С 99−105.

39. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физматлит, 1961.

40. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 1, 2. М.: Физматгиз, 1960.

41. Темам Р. Уравнения НавьеСтокса. М.: Мир, 1981.

42. Frank A.M. 3D numerical simulation of regular structure formation in a locally heated falling film // European Jornal of Mechanics B/Fluids 2003. V.22. P.445−471.

43. Frank A.M., Kabov O.A. Thermocapillary structure formation in a falling film: Experiment and calculations. // Physics of Fluids. 2006. V 18. 32 107.

44. Frank A.M. Suppression of thermocapillary instability in a falling film. // Physics of Fluids. 2006. V.18. 78 106.

45. Овчинникова E.B., Франк A.M. О свойствах аппроксимации одной дискретной модели несжимаемой жидкости.// Вычислительные технологии. 2001. Т.6. Ш. с.51−60.

46. Овчинникова Е. В. Сходимость метода частиц для внутренних течений вязкой несжимаемой жидкости. // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН 2003. с.58−61.

47. Овчинникова Е. В., Франк A.M. О сходимости метода частиц для вязкой несжимаемой жидкости. // Вычислительные технологии. 2004 Т.1. № 4 с.1−17.

48. Овчинникова Е. В. Сходимость метода частиц для базисных функций из пространства сплайнов. // Вычислительные технологии. 2005. Т.10. № 4. с.72−81.

49. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. М.: Наука 1980.

50. Владимиров В. С Уравнения математической физики. М.: Наука 1976.

51. Вершинин В. В., Завьялов Ю. С., Павлов Н. Н. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания. Новосибирск: Наука. 1988.