О некоторых задачах устойчивой управляемости нестационарных систем в критическом случае

В данной работе рассматриваются некоторые вопросы управляемости линейных и нелинейных нестационарных систем x = A (t)x + ub (i), жбГ, (0.1) x = f0(x, t) + uf (x, t) eRn+l, (0.2).

Проблемы управляемости динамических систем, интенсивно изучаемые с конца 50-х годов прошлого столетия Н. Н. Красовским [21], [22], Р. В. Гамкрелидзе [6], [7], Р. Е. Калманом [13], [14], [15], Р.Ф. Габасо-вым [3], Ф. М. Кирилловой [4], [5] и многими другими российскими и иностранными математиками [1], [23], [26], [42], [50], не потеряли своей актуальности и сейчас. К настоящему моменту времени вопросы управляемости линейных систем и управляемости нелинейных систем по линейному приближению хорошо изучены и достаточно полно освещены во многих книгах и статьях (см. например [10], [21], [26], [11], [12], [25], [35], [36], [46], [47], [48], [52], [54], [58]).

Для нелинейных же систем вопрос об управляемости, в частности исследование локальной управляемости, рассмотрен в основном для автономных систем. Данной тематике посвящены работы [2], [9], [16], [17], [18], [19], [20], [24], [27], [28], [29], [33], [37], [34], [38],. [39], [40], [51], [53], [55], [56], [59], [60].

Особый интерес представляет исследование локальной управляемости в, так называемом, «критическом случае» (т. е. в случае, когда система линейного приближения для системы (0.2) не является локально управляемой). Именно критические случаи доставляют массу интересных эффектов пограничной управляемости. Например, показано, что система может быть локально управляемой и при этом не являться устойчиво управляемой (см. ниже). Целью данной работы является изучение условий локальной управляемости и устойчивой управляемости системой (0.2) в критическом случае. Специальное исследование предпринято для системы второго порядка. Построены примеры управляемых систем вида (0.2), для которых система линейного приближения не является локально управляемой.

Работа состоит из введения, трех глав, восьми параграфов (нумерация параграфов сквозная) и списка литературы.

Перечислим основные результаты диссертации.

В первой главе рассматриваются линейные нестационарные системы вида (0.1). В первом параграфе приведены основные определения и известные теоремы о полной управляемости линейных систем.

В качестве допустимых управлений системы (0.1) берутся всевозможные ограниченные измеримые функции и: Ш.—"• Ш.

Допустимым решением системы (0.1) с начальным условием х (Ц) — xq называется абсолютно непрерывная вектор-функция x (t), которая почти всюду на отрезке [io^i] удовлетворяет системе (0.1) при некотором допустимом управлении u (t), t? [to^i].

Состояние хо системы (0.1) называется управляемым на отрезке если найдется допустимое решение x (t) = x (t, u (-)) системы (0.1), удовлетворяющее условиям x (to) = xq, x (t) = 0. Система (0.1) называется вполне управляемой на отрезке [^o^i]? если все состояния xq 6 Мп в момент to управляемы на отрезке.

Линейное подпространство L (?o,?i) в Шп называется пространством управляемости системы (0.1) на отрезке [tfo^iL если в него входят все точки хо? Мп, для каждой из которых существует допустимое решение x (t) = x (t, to, Xo) такое, что x (t, tQ, xo) = 0.

Сформулируем достаточное условие полной управляемости для системы (0.1), приведенное в монографии Н. Н. Красовского [21]. Предполагается, что элементы матрицы A (t) и вектора b (t) имеют непрерывные производные вплоть до (п — 1)-го порядка, по крайней мере, в окрестности некоторой точки t = t* из отрезка [to,?i] (в точках t = t0 или t = ti речь идет лишь о правых или левых производных соответственно). Рассматриваются векторы определенные в окрестности точки t* следующими рекуррентными соотношениями: qo (t) = b (t),., qk (t) = k = 1. n — 1.

Теорема 0.1. ([21, с. 148]) Пусть на отрезке можно указать тючку t = ?*, в которой ранг матрицы.

K (t)={q0(t).qn1(t)} (0.3) равен п. Тогда система (0.1) вполне управляема на отрезке [tg, •.

Во втором параграфе рассматриваются линейные нестационарные системы второго порядка x = A{t)x + ub (t), х Е М2. (0.4).

Для данной системы Kit) = (b (t), A (t)b (t) — b (t)). Приведены примеры, когда достаточное условие полной управляемости не выполнено, т. е. rankK (t) < 2 для всех t Е fob^i], но система (0.4) вполне управляема на отрезке Здесь также построены пространства управляемости для линейных систем второго порядка х = A{t)x + ub (t), х Е Ш2 (0.5) с верхней треугольной матрицей A (t).

В теоремах 0.2 и 0.3 приведены условия полной управляемости системы (0.5) в критическом случае, т. е. когда rank K (t) < 2 для всех t Е [to, ti).

Теорема 0.2. Если rankK (i) < 2 при всех t Е lAb^i] и выполнено одно из перечисленных ниже условий 1) — 5), то система (0.5) не является вполне управляемой на отрезке т¦ е¦ dimL (?o,?i) ^ 1.

1) b2(t) Ф 0 для всех t Е l/o^i]- 2) b2(t)=0,.

3) ai2(*) = 0,6i (f) = 0, f e[f0,fi];

4) найдутся точки T. r^, to = tq < т < т2 < ¦ ¦ • < < —ti, что b{i~i) — 0, а в остальных точках (to^i) функция b2(t) не обращается в h (t) нуль и — имеет устранимые разрывы в моменты времени гг— h (t).

5) найдутся замкнутое подмножество I С [^o^iL состоящее из конечного числа отрезков и точки.

П ¦ ¦ ¦ П Е I, to = TQ < ri < • • • < rk < rk+i=th что Ч а) ^12(t) = О? Ь (t) = 0 на /,.

6) для каждого t Е не совпадающего ни с одной из точек То. 7-*+1, функция b2(t) ф 0,.

1 (n в) (гг) — U u отношение -— имеет устранимые разрывы в моменb2(t) ты времени тг-, г) для любого /I Е dl {{£о}? предел lim = 0.

Теорема 0.3. Если rank K{t) < 2 при всех t? и выполнено одно из перечисленных ниже условий 1) — 3), то система (0.5) вполне управляема на отрезке [to, ti],.m. е. dimL (to,^i) = 2.

1) найдутся точки tq, 7″ i, 72, to ^ 7о < т < Г2 ^ t такие, что на одном из интервалов 6q = (to, ti) или 9 = (71,72) функция h{t) we обращается в нуль, а на другом h{t) = 0, &i (?) ^ 0;

2) найдутся точки tq, ri, Г2, io ^ Лз < ri < r2 ^ такие, что на одном из интервалов вд = (tq, t{) или в = (тьЛг) функция h{t) we обращается в нуль, предел lim ^ ф 0, а на другом интервале a^it) = 0, h (t) h{t) = 0, %{t) ф 0- ^.

3) найдутся точки tq, ri, 72, to ^ ro < П < r2 ^^ь функция b^{t) не обращается в нуль на (70,72), за исключением точки Т, h{T) = 0, я г Ч*) r ВД существуют пределы lim —, lim ^ и выполнено соотношение lim IlW ^ Hm IlW .

Далее доказано, что преобразование Перрона, приводящее систему (0.1) (произвольного порядка) к линейной системе с верхней треугольной матрицей A (t), не меняет ранг матрицы K{t) и не меняет размерность пространства управляемости L (to, ti).

Для формулировки следующего утверждения определим функцию F: М х (to, ti) х [0?^) ~* [—1,1 j следующим образом:

F (b, t, At) = bdt-^Mt + A^jt-AtMt + At) у J b (t ^ At)\b{t + At) v ;

Теорема 0.4. Пусть n = 2, rank if (t) < 2 при всех t? [to, ti] и функция bit) — неособая на [to, ti] (m¦ не обращается в нуль за возможным исключением конечного числа точек отрезка [to, ti]).

Если lim F (by t, At)| = 1 для ecext? (^о?)? то dimL (to, ti) == 1- если найдется точка т£ (to, t), что hm^ F (b, r, At) 1то dimL (to, ti) = 2.

В третьем параграфе рассматривается линейная система произвольного порядка с верхней треугольной матрицей Ait): х = A (t)xf ub (t), xeW1, (0.7) где A (-) в C^pR.Mfn)), ?(¦) e Cn~l (R, Rn)^.

Для системы (0.7) построим матрицу H (t) = {h (t). hn (t)}, где hn (t) = b (t), а векторы hk (t) при к < n строим справа налево с помощью следующей процедуры: если вектор hk (t) уже построен и его последняя координата hkk{t) = 0 при всех t G то hk~i (t) = hk (t) — если hkkit) ф 0 при t G (to, ti) (но не исключаются равенства hkk{to)=0 и и n^ 1 hik (t) hk-i, k (t) или hkk{ti) = 0) и функции у—^. ——j-1- ограничены на интервале hkk{t) hkk{t) (tQ, ti), тогда на этом интервале построим вектор hkk{t) С01 (/ifcfcW hkk (t) '1'0'" '0)' у которого последние п — к координат равны нулю. Если функция hkk{t) = 0, то gk (t) = ttjj гДе через h*kk (t) обозначена последняя координата вектора hk (t), тождественно не равная нулю. Затем вектор hk~i (t) определяется равенством hk-i{t) = (A (t) — akk (t)E)gk (t) — gk{t), t E (t0,ti). (0.8).

Если функция hkk{t) обращается в нуль в некоторых изолированных точках ti. ттк, (tQ = г0 < тх < • • • < ттк < rmk+1 = то вектор hk~i{t) определяем по формулам (0.8) на каждом из интервалов (тг-, гг+1), где г — 0. т, к. В том случае, когда hkkit) = 0 на некоторых отрезках Ij С [?o5?i]> то на этих отрезках вектор hk~i (t) находится из равенства hk~(t) = hk (t), а для остальных точек множества (?o?^i) U h вектор-функции hk~i (t) находятся по формулам (0.8).

Заметим, что построенная таким образом матрица H (t) является верхней треугольной и ранг H{t) равен количеству ненулевых диагональных элементов hn{t). hnn{t).

В теореме 0.5 показано, при каких условиях размерность пространства L (t0,11) системы (0.7) равна рангу K{t). Здесь через K{t) обозначена матрица, соответствующая системе (0.7) и удовлетворяющая (0.3).

Теорема 0.5. Если при каждом k = 1. п либо hkk{t) = 0 ма отрезкелибо hkk (t) Ф 0 для любого t из интервала (?q,?i), то матрица K (t) сохраняет ранг для всех t Е (to^i) и dimL (to, ti) = rank К (t) = rank Н (t).

В теоремах 0.6, 0.7 и 0.8 описана структура пространства управляв-мости L (to, ti) системы (0.7) с функциями hkkif) различного вида.

Теорема 0.6. Если при каждом k = 1. п либо hkk (t) = 0 на отрезке [io^iL либо функция hkk{t) не обращается в нуль для любого t из интервала то пространство управляемости L (to, t) является линейной оболочкой векторов gi (to + 0). gn (to + 0) и, следовательно, размерность пространства L (to, t) совпадает с максимальным числом линейно независимых векторов из множества gi (to + 0). gn (to + 0).

Теорема 0.7. Предположим, что точки т. тт, где-то < т < ¦ ¦ ¦ < тт < Тт+1 = ti разбивают интервал (tQ, t) на интервалы (гг-, гг-+1), г = 0. т, на каждом из которых либо hkk{t) ф 0, либо hkk (t) = 0. Тогда пространство управляемости L (to, t) является линейной оболочкой векторов.

X (r0i Ti) gi (ri + 0). .Х (т0, п) дп (тг + 0), г = 0. га.

Теорема 0.8. Пусть для всех t Е [^o^i] выполнены следующие условия: а) точки Т. гто, где to = tq <.ti < • • • < тт < rm+i = 11, разбивают интервал (to, t) на интервалы (гг-, г,+1), i = 0. т, на каждом из которых либо hkk{t) ф 0, либо hkk{t•) = 0. б) функции gk (t) непрерывны или имеют устранимые разрывы (за возможным исключением конечного числа точек разрыва первого рода ¦di. .tip, в которых gk ($i — 0) ф gk ($i + 0) для некоторых к = 1. п). N.

Тогда пространство управляемости L (to, ti) совпадает с линейной оболочкой векторов.

9i (0о + 0) • • • <7п № + 0), X (0″, А) (.9i № + 0) — 9l {Ъ — 0)) .

Х (#о, Щ9п (Ъ + 0) — gn (#i- 0)), i = l.p.

Во второй главе изучаются условия локальной управляемости и устойчивой локальной управляемости нелинейной по фазовым координатам системы второго порядка в критическом случае, т. е. в случае, когда ранг матрицы K (t), отвечающей линеаризованной системе, меньше двух для всех t из отрезка [to, ti].

Рассмотрим систему х = fQ (x, t) + ufi (x, t), 0, f)eiR3, we [-1,1]. (0.9).

Предполагается, что /o (0,t) = 0, /i (0,t) Ф 0 Для всех *? К, и функции fi (x, t) являются аналитическими функциями при (x:t)? IR3.

Здесь и всюду далее при изучении нелинейной системы (0.2) (и следовательно, системы (0.9)) под допустимым управлением мы будем понимать всякую измеримую функцию t —> u (t) со значениями в множестве U = [—1,1] (в отличие от допустимых управлений линейной системы (0.1), где допустимыми являются любые измеримые и ограниченные функции t —)• u (t) со значениями в М). Решения системы (0.2) (и си-стемы (0.9)), отвечающие допустимым управлениям, будем по-прежнему называть допустимыми решениями.

Определение 0.1. Система (0.9) называется локально управляемой на отрезке [to, ti], если существует такое е > 0, что для каждой точки xq? 0 существует допустимое решение x{t) системы (0.9) на отрезке [to, ti], удовлетворяющее условиям: х (Ц) = жо, x (t) — 0.

Определение 0.2. Система (0.9) называется устойчиво локально управляемой или просто устойчиво управляемой на отрезке [to, h], если для любого ?>0 найдется $ = 6(e) > 0, что для каждой точки xq? Of существует допустимое решение x (t) системы (0.9), удовлетворяющее условиям: х (Ц) = жо, x (t) = 0, x (t) < е для всех t? [to, til.

Система (0.9) называется локально управляемой в точке to, если она локально управляема на некотором отрезке [to, ti].

Система (0.9) называется устойчиво локально управляемой в точке to, если для любого е > 0 найдутся такие <5 = 8(e) > 0 и t > to, что для каждой точки ?0| существует допустимое решение х (t) системы (0.9), удовлетворяющее условиям: x (to) = xq, x (t) = 0, |ж (£)| < где t? [to, ti].

Наряду с системой (0.9) рассмотрим системы x = /4M) = /o (M)+/iOM), (0.10) i = /(M) = /oOM)-/i (M), (0.11) отвечающие управлениям и = 1 и и = —1 соответственно и систему линейного приближения для системы (0.9) y = A (t)y + ub (t), (0.12) а-=0.

Через х = x+(t, r) и ж = £(£, г) обозначим соответственно решения систем (0.10) и (0.11), удовлетворяющие условию х+(т, т) = х (т, г) = 0, а через 7+(т) и 7(г) обозначим траектории данных решений в расширенном фазовом пространстве R3.

Интегральную поверхность, образованную траекториями 7+(т), где т? М, обозначим М+, а интегральную поверхность, образованную траекториями 7(т), соответственно обозначим М, т, е.

M+ = U7+W, M = y7-W.

Г€К геМ.

Аналогично, пусть y+(t, r) и т/(£, г) — решения системы линейного приближения (0.12), отвечающие управлениям и = I и и = — 1 и удовлетворяющие условию г) = г) = 0, а (+(г) и (-(г) — траектории данных решений в М3. Определим интегральные поверхности b+ = Uc+M, L- = |Jc-M. гбК гбЖ.

Доказано, что если /o,/i € Cfc (E3,ffi.), mo для любого отрезка [to,^i] существует е > 0 такое, что пересечение цилиндрической окрестности Ц£ = 0 х (to — + е) с множествами М+ и М суть гладкие (класса Ск) двумерные интегральные многообразия систем (0.10) и (0.11) соответственно. Более того, окрестность Ц£ можно выбрать так, что каждое из многообразий М+ и М в отдельности делит область Ц£ на две непересекающиеся подобласти.

Далее, если rankK (t) = 1, t? R, то для любого отрезка [io, ti] найдется цилиндрическая окрестность Ц£ такая, что причем Lq = С+ является гладким двумерным инвариантным многообразием системы (0.12) и, кроме того, для всех t? [tojti] имеют место равенства Т ((М)М+ = T (0)t)M = T^q^Lq.

Показано, что многообразия М+ и М можно представить в виде.

М+ = {(x, t): = 0}, М = {(x, t) :

Описаны различные случаи взаимного расположения многообразий М+ и М. Очевидно, что М+ и М имеют общую прямую — ось (Ot), но кроме оси (Ot) они могут иметь и другие общие точки.

Скажем, что многообразия М+ и М касаются без пересечения в точке (0, г) на оси (Ot), если найдется окрестность 03(0, г), что (p+(x, t) > 0 или (p+(x, t) < 0 для всех точек (x, t) из (03(О, т) П-^-) {Ot).

Если rank K (t) = 1, то многообразия М+ и М в каждой точке оси (Ot) имеют общую касательную плоскость, при этом они могут пересекаться в окрестности некоторой точки (0, т), лежащей на оси (Ot) или касаться без пересечения. Кроме того, М+ и М могут иметь точки ветвления. Точку (0, г)? М3 назовем точкой ветвления, если через эту точку проходит хотя бы одна кривая пересечения многообразий М+ и М, отличная от оси (Ot).

В следующих теоремах получены достаточные и необходимые условия устойчивой управляемости системы (0.9).

Теорема 0.9. Если найдется интервал I = (tq, ri) С (to, ti) такой, что функция t ^S+(t, г) = det (Л (х+ (t, г), t), меняет знак в каждой точке t = т? /, то система (0.9) устойчиво локально управляема на отрезке [to, ti.

Теорема 0.10. Если во всех точках t = т Е (to^ti) функция t —S+(t, г) не меняет знак и на (to, ti) нет точек ветвления, или если S+(t, r) = 0 при t Е [?(b?i]> то система (0.9) не является устойчиво локально управляемой на отрезке [to, t].

Далее во второй главе рассмотрен ряд примеров, иллюстрирующих применение этих утверждений.

В третьей главе получены достаточные условия устойчивой управляемости нестационарной системы (0.2) произвольной размерности в случае, когда система линейного приближения не является вполне управляемой (следовательно, rankK (t) ^ п — 1 для всех t ЕЩ. Здесь.

K (t) = (gi (t). qn (t)), gi (t) = b (t), ф) = A (t)qi-i{t) — W, г = 2. n.

Множество D (to, ti) точек xq E! Rn, для каждой из которых существует такое допустимое управление t —> u{t, xо) Е [—1,1], t Е [io^i], что соответствующее ему решение х = x (t, u (-)) системы (0.2) удовлетворяет условиям x (t'o) = Хо, x (t) = 0, называется множеством управляемости системы (0.2) на отрезке [^о9.

Множество T>(t0,ti) точек (x, t) Е Rn+1, что х Е D (t, ti), t Е [t0,ti] называется расширенным множеством управляемости системы (0.2) на отрезке.

Аналогично через G (to, t{) и G (to, ti) обозначим соответственно множество управляемости и расширенное множество управляемости на отрезке [to, t] для системы x = A (t)x + ub (t), жбГ, (0.13) линейного приближения, отвечающей нелинейной системе (0.9). Здесь дf (х.

-^W ^ —д «> ВД ^ (отметим, что допустимыми управле0 ниями здесь являются измеримые функции t —> u (t) со значениями в множестве U = [—1,1]).

В седьмом параграфе рассмотрены геометрические свойства множеств управляемости линейной и нелинейной систем. Доказаны следующие утверждения.

Пусть rankK{t) = п— 1 для всех t из отрезка [£о, ?i]- Тогда существуют т Е {to, ti) и? > 0 такие, что первые п — 1 векторов qi (t). qn-(t) линейно независимы при каждом фиксированном t Е (т — е, т + е) как векторы в Жп.

Если rankK{t) = п — 1 для всех t Е [to, ti], то линейное подпространство LinG (to, ti) содержит векторы.

Основные результаты третьей главы сосредоточены в теоремах 0.11 и 0.12, в которых приведены достаточные условия устойчивой локальной управляемости системы (0.2) на отрезке [to5ti] в предположении, что rank K (t) ^ п — 1.

Теорема 0.11. Пусть на отрезке [to,?i] найдется точка т, что rank if (г) = п — 1. Тогда существуют окрестность 0″ +1(0,г) и скалярная функция.

(x-{t, r), t) < 0, то система (0.2) устойчиво локально управляема на отрезке [to^i].

Введем следующие обозначения s+(t, г) = det (f+(x+(t, г), *), gfl (г). (г)), т) = det (/(ar (i, г), ?), ^(г). (г)), где через дг1 (7~). #ini (0 обозначены п —1 линейно независимых векторов из векторов q®. .qn®.

Теорема 0.12. Если найдутся г Е ^l) и? > 0 такие, что rank if (г) = п — 1 и s+(t, r) s (?, г) < 0 при т < t < г+£, то система (0.2) устойчиво локально управляема на отрезке [to^i].

Приведены примеры применения данных утверждений. Результаты диссертации опубликованы в работах [30], [31], [32], [44], [45].

Выражаю глубокую признательность Е. JI. Тонкову за постановку задачи и сделанные в процессе работы над диссертацией замечания. Выражаю также искреннюю благодарность Ю. В. Мастеркову за обсуждение диссертации и сделанные им ценные замечания и советы.

Список основных обозначений.

В работе используются следующие обозначения:

Еп — стандартное евклидово пространство размерности щ)* — операция транспонированиях = col (xi.xn) — вектор-столбец с компонентами х. хпп х, у) = YhxiVi — скалярное произведение векторов х = (х.хп) и г=1.

У = {У—Уп)] ж| = ^(ж, х) — абсолютная величина вектора х;

О?(х0) = {х е Мп, х — ж0| < ?}] Ое" = О" (0) — dG — граница множества Gint G — внутренность множества Gdim G — размерность множества GLinG — линейная оболочка множества G;

L (t0, t) — пространство управляемости линейной системы на отрезке.

М (п, т) — пространство матриц размера п х т над полем МM (n) = M (n, n);

В) — пространство к-раз непрерывно дифференцируемых функций из, А в Вfdf (x) J — т х п матрица, г-я строка которой составлена из частных производных, j = 1. п, если f (x) = {(fi (x).fm (x)) —.

OXj m-мерная функция векторного аргумента х? М" - если т — 1, то Мк — многообразие размерности к;

ТХоМк — касательное пространство к многообразию Мк в точке xq.

1. Альбрехт Э. Г., Красовский Н. Н. О наблюдении нелинейной управляемой системы в окрестности заданного движения // Автоматика и телемеханика. 1964. 25. № 7. С. 216−228.

2. Вахрамеев С. А. Нелинейные управляемые системы постоянного ранга и условия релейности экстремальных управлений // Докл. АН СССР. 1984. 279. № 2. С. 265−269.

3. Габасов Р. К теории управляемости динамических систем / / Дифференц. уравнения. 1968. 4. № 9. С. 1499−1507.

4. Г, а б, а с о в Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. М. Наука, 1971. 508 с.

5. Г, а б, а с о в Р., Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления. М. Наука, 1973. 256 с.

6. Гамкрелидзе Р. В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах // Изв. АН СССР, серия матем. 1958. 22. № 4. С. 449−474.

7. Гамкрелидзе Р. В. К общей теории оптимальных процессов // ДАН СССР, 1958. 123. № 2. С. 223−226.

8. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М. Наука, 1967. 472 с.

9. И в, а н о в А. Г., Т о н к о в Е. JI. О равномерной локальной управляемости линейной системы // Дифференц. уравнения. 1992. 28. № 9. С. 1499−1507.

10. К, а л м, а н Р. Е. Об общей теории систем управления // Труды I Международного конгресса ИФАК. Изд-во АН СССР. 1961. 2. С. 521−547.

11. К, а л м, а н Р. (К, а 1 m a n R. Е.) Contributions to the theory of optimal control. Bol. Soc. Mat. Mexicana, 1960. № 5. P. 102−119.

12. Калман P., Фал б П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. 400 с.

13. К ар ас ев И. П. Об эффективности определения «управляемость в малом» для исследования управляемости систем дифференциальных уравнений // Труды РРТИ. 1975. № 62. С. 54−62.

14. К о в, а л е в А. М. Нелинейные задачи управления и наблюдения в теории динамических систем. Киев. Наукова думка. 1980. 175 с.

15. К о п е й к и н, а Т. Б. К необходимым условиям управляемости нелинейных систем в критическом случае // Ин-т мат. АН БССР, препр. 1985. № 27/236. 44 с.

16. К о п е й к и н, а Т. Б. О локальной управляемости нелинейных систем в критическом случае // Весщ АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук. 1987. № 27/236. С. 8−15.

17. К о р о б о в В. И. Управляемость, устойчивость некоторых нелинейных систем // Дифференц. уравнения. 1973. 9. № 4. С. 614−619.

18. К р, а с о в с к и й Н. Н. Теория управления движением. М. Наука, 1968. 476 с.

19. К р, а с о в с к и й Н. Н. Управление динамической системой. М. Наука, 1985. 518 с.

20. К р о т о в В. Ф. Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М. Наука, 1973. 446 с.

21. К р и щ е н к о А. П. Исследование управляемости и множеств достижимости нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика, 1984. № б. С. 30−36.

22. Л е в, а к о в А. А. К управляяемости линейных нестационарных систем // Дифференц. уравнения. 1987. 23. № 5. С. 798−806.

23. Л и Э. М., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М. Наука. 1972. 576 с.

24. М, а с т е р к о в Ю. В. Об устойчивой локальной нуль-управляемости систем с квадратичной нелинейностью на плоскости // Изв. отд. мат. и инф. Ижевск. 1993. № 2. С. 3−24.

25. М, а с т е р к о в Ю. В. О глобальной устойчивой управляемости // Изв. Ин-та. мат. и инф. Ижевск. 1997. № 1(9). С. 67−76.

26. М, а с т е р к о в Ю. В. К вопросу о локальной управляемости в критическом случае // Изв. ВУЗ-ов. Математика. 1999. № 2(441). С. 68−74.

27. М, а с т е р к о в Ю. В., Родина Л. И. Условия управляемости нелинейных нестационарных систем на плоскости // Тезисы 5-ой Российской Унив.-акад. конф. Ижевск, 2001. С. 47.

28. М, а с т е р к о в Ю. В., Родина Л. И. Об устойчивой управляемости нелинейной нестационарной системы на плоскости // Тезисы ВВМШ. Воронеж. 2001. С. 107.

29. М, а с т е р к о в Ю. В., Родина Л. И. Условия локальной управляемости нестационарной системы в критическом случае // Деп. в ВИНИТИ. 21.11.2001 № 11 330-В01.

30. Митрохин Ю. С., Степанов А. Н. Критические случаи управляемости систем нелинейных дифференциальных уравнений оптимального регулирования // Дифференциальные уравнения (качественная теория). Рязань. 1985. С. 61−70.

31. Н и к о л, а е в С. Ф. Т о н к о в Е. Л. Позиционное управление нелинейной системой близкой к докритической // Изв. Ин-та матем. и информ. Ижевск. 1998. № 2 (13). С. 3−26.

32. H и к о л, а е в С. Ф. Тонков Е. J1. Структура множества управляемости линейной докритической системы // Дифференд. уравнения. 1999. 35. № 1. С. 107−115.

33. Никольский М. С. Об условиях второго порядка в задаче о нуль управляемости // Дифф. уравнения. 1998. 33. № 1. С. 137.

34. П е т р о в Н. Н. Локальная управляемость автономных систем // Дифф. уравнения. 1968. 4. № 4. С. 1218−1232.

35. П е т р о в Н. Н. Об управляемости автономных систем // Дифф. уравнения. 1968. 4. № 7. С. 606−617.

36. П е т р о в Н. Н. Решение одной задачи теории управляемости // Дифф. уравнения. 1969. 5. № 5. С. 962−963.

37. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Изд-во МГУ. 1984. 296 с.

38. ПонтрягинЛ. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. Наука. 1976. 392 с.

39. П о п о в, а С. Н., Тонков Е. Л. Согласованные системы и управление показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1997. 33. № 2. С. 226−235.

40. Р о д и н, а Л. И. К вопросу о полной управляемости линейной нестационарной системы // Изв. Ин-та матем. и информ. Ижевск.2000. № 1(20). С. 59−103.

41. Родина Л. И. Условия управляемости линейной нестационарной системы // Тезисы 5-ой Российской Университетско-академической конференции. Ижевск. 2001. С. 46.

42. Р о д и о н о в, а А. Г., Тонков Е. JI. О непрерывности функции быстродействия линейной системы в критическом случае // Изв. ВУЗ-ов. Математика. 1993. № 5(372). С. 101−111.

43. Т о н к о в Е. J1. Неосцилляция линейных систем. Связь с управляемостью и числом переключений // Тр. Московск. ин-та химич. машиностр. 1972. Вып. 39. С. 32−37.

44. Т о н к о в Е. JT. Неосцилляция и число переключений в линейной системе, оптимальной по быстродействию // Дифференц. уравнения. 1973. 9. № 12. С. 2180−2185.

45. Тонков Е. JI. Управляемость нелинейной системы по линейному приближению // Прикл. матем и мех. 1974. Вып. 4. С. 599−606.

46. Ф и л и п п о в А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // В. естник МГУ. 1959. № 2. С. 23−58.

47. А е у е 1 s Dirk. Global controllability for smooth nonlinear systems: a geometrical approach // SIAM J. Contr. and Optim. 1985. 23. № 3. P. 462−465.

48. A г о n s s о n G. Global controllability and bang-bang steering of certain nonlinear systems // SIAM J. Contr. and Optim. 1973. 11. № 4. P. 607−619.

49. Con calves J. Basto. Geometric conditions for local controllability // J. Differ. Equat. 1991. 89. № 2. P. 388−395.

50. D a u e r Jerald P. Controllability of Nonlinear Systems with Restrained Controls // Journal of optimization theory and applications. 1974. 14. № 3. P. 251−261.

51. H e r m e s H., H, а у n e s G. On the nonlinear control problem with control appearing linearly //J. Soc. Ind. and Appl. Math. Control. 1963. 1. № 2. P. 59−68.

52. К a w s k i, Matthias. A necessary condition for local controllability // Contemp. Math. 1987. 68. P. 143−155.

53. L a S a 1 1 e J. P. Time optimal control systems. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1959. Vol.45. P. 4−13.

54. Lukes D. L. Global controllability of nonlinear systems // SIAM J. Contr. and Optim. 1972. 10. № 1. P. 112−126.

55. Stefani Gianna. Lokal properties of nonlinear control systems / / Sci. Pap. Inst. Techn. Cybern. Techn. Univ. Wrocl. 1985. № 29 P. 219 226.

56. Suss man H. J., Jurdjevic. Controllability of Nonlinear Systems // Journal of Differential Equations. 1972. 12. № 1. P. 95−116.