Операторная функция Лежандра и вопросы разрешимости линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение дифференциальных уравнений, решения которых — функции со значениями в произвольном банаховом пространстве. Это направление возникло на стыке теорий обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными и превратилось в большую самостоятельную область исследования.

Начало этой теории для уравнений первого порядка (подход, связанный с теорией полугрупп) положено работами Хилле и Иосиды в 1948 г. В настоящее время на русском языке имеется ряд монографий, излагающих теорию и применение линейных полугрупп [14, 17, 19, 21, 24, 48], а также обширные обзоры [3, 25, 36] научных публикаций, начиная с 19G8 года.

Параллельно с теорией полугрупп было начато изучение абстрактных косинус-функций и дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве [3, 14].

Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию, — это корректность задачи Коши (существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от начальных условий), устойчивость, но отношению к возмущениям операторов, поведение при t —> оо и т. д.

Известно, что задача Коши для дифференциального уравнения un (t) = Au{t), t > О равномерно корректна, если при п = 1 А — генератор Со-полугрупны, при п = 2 А — генератор косинус-оператор функции (КОФ), при п > 3 А — ограниченный оператор.

При рассмотрении ряда основных задач математической физики суще, ственную роль играет уравнение Лежандра о. cPw dw., ч которое после замены может быть записано в виде u" (t) + cth t u'(t) -v (u + l) u{t) = 0, и исследованием которого начали заниматься в начале двадцатого века параллельно с далеко развитой теорией уравнений Бесселя и Эйлера-Пуассона-Дарбу.

J. Аналогичная ситуация складывается и с соответствующими уравнениями в банаховом пространстве. В то время как абстрактное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу u" (t) + -u'(t) = Au (t) t уже достаточно хорошо исследовано в работах [52−55, 4−6] и др., абстрактное уравнение Лежандра u" {t) + -ук cth 7t u'(t) + (у)2u (t) = Au{t) (1.1.1) сравнительно мало изучено.

Уравнение (1.1.1) в предположении, что, А — оператор Бельтрами А2 в пространстве Sm постоянной кривизны, а = —72 < 0 было изучено М. Н. Олевским в [38], где оно названо обобщенным волновым уравнением. Естественно было продолжить его изучение для случая, когда, А — линейный замкнутый оператор.

Исследование абстрактного уравнения (1.1.1) было начато в работе [7], где исследовались свойства разрешающего оператора P^it) задачи Коши для абстрактного уравнения (1.1.1), названного абстрактным уравнением Лежандра с линейным неограниченным оператором А. Установлена его связь с разрешающим оператором Yk (t) задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и доказано совпадение множеств операторов Л, с которыми равномерно корректны задачи Коши для уравнения Лежандра и уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Вопрос об изменении дифференциальных свойств с ростом параметра к в [7] не рассматривался. Исследования, посвященные решению указанной проблемы и ее применение для уточнения условий разрешимости неоднородного уравнения Лежандра, а также теория возмущения уравнения (1.1.1) составили содержание первой главы диссертации.

Опираясь на установленные свойства операторной функции Лежандра Pf!{t), в0 второй главе изучаются вопросы разрешимости, абстрактных дифференциальных уравнений, связанных с абстрактным уравнением Лежандра. В частности, рассмотрены задача Коши для уравнения Лежандра с тремя параметрами и итерированная задача Коши для сингулярного дифференциального уравнения высокого порядка, содержащего неограниченные операторы. Кроме того, в этой главе находится решение задачи Дирихле для сингулярного эллиптического уравнения.

Важным вопросом в теории дифференциальных уравнений, привлекающим многочисленных исследователей, является изучение вопросов стабилизации решений задачи Коши для параболических уравнений при t оо. Обзор публикаций по данной тематике можно найти в [18, 49]. Эти результаты формулируются в терминах усреднений начальной функции по пространственным переменным, взятым, но телам, ограниченным поверхностями уровня фундаментального решения. Работа [43] положила начало исследованиям ио стабилизации решения уравнения теплопроводности в пространстве постоянной отрицательной кривизны. В [43] рассмотрено двумерное пространство постоянной отрицательной кривизны, а = —72 < 0 и найдены необходимое и достаточное условия стабилизации решения уравнения теплопроводности u (t,%) для ограниченных начальных функций. В предельном случае, когда 7 = 0, эти условия совпадают с необходимым и достаточным условием стабилизации в евклидовой плоскости, однако, в случае —72 < 0 они различны.

В [41] получено необходимое и одновременно достаточное условие стабилизации решения уравнения теплопроводности в пространстве отрицательной кривизны любой размерности с помощью некоторых средних по шарам радиуса р с центром в точке х.

Во второй главе диссертации теоремы о стабилизации решения задачи Ко-ши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка формулируются в терминах операторной функции Лежандра что в применении к уравнениям в частных производных соответствует использованию вместо средних Пуассона других средних по пространственным переменным. Новые условия стабилизации решения задачи лучше приспособлены, например, к уравнению теплопроводности в случае, когда, А — оператор Лапласа, записанный в координатах вытянутого эллипсоида, а также к уравнению теплопроводности в пространстве Sm отрицательной кривизны, равной (—72).

В заключительной третьей главе изучается задача определения параметра, которую, следуя сложившейся терминологии, будем называть также обратной задачей для абстрактного уравнения Лежандра. Устанавливаются условия однозначной разрешимости обратной задачи, содержащей ограниченный оператор. В случае неограниченного оператора приводится необходимое условие однозначной разрешимости обратной задачи.

Возвращаясь к обзору публикаций, заметим, что в каждом разделе будут еще приведены ссылки на работы, которые примыкают к теме диссертации.

Переходим к формулировке результатов диссертации, сохранив номера утверждений и формул, которыми они обозначены в основном тексте.

В первой главе в п. 1.1 вводится основополагающее для дальнейших исследований понятие операторной функции Лежандра, дающей решение задачи Коши для уравнения Лежандра.

Пусть, А — линейный замкнутый оператор в банаховом пространстве Е с плотной в Е областью определения D (A). При к > 0, 7 > 0 рассматривается абстрактная задача Коши.

Llu (t) = u" {t) + 7к cth 71 u'(t) + (у) u (t) = Au{t), t > 0, (1.1.1) u{0) = uQ, u'(0) = 0. (1.1.2).

Уравнение (1.1.1) следуя [7], будем называть абстрактным уравнением Ле-жандра. Параметр 7 > 0 введен для того, чтобы подчеркнуть, что уравнение.

1.1.1) при 7 —> 0 превращается в абстрактное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД).

Bku (t) = и" it) + ju'(t) = Au (t), t > 0, (1.1.3) с которым оно тесно связано и которое хорошо изучено (см. 4−6, 11, 12]). Определение 1.1.1. Решением задачи (1.1.1), (1.1.2) будем называть функцию u (t) в С2((0,00), Е) П Сх ([0,00), Е) П С ((0,00), D (A)), которая удовлетворяет уравнению (1.1.1) и начальным условиям (1.1.2). Определение 1.1.2. Задача Коши (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)) называется равномерно корректной, если существует заданная на Е, коммутирующая с, А операторная функция Pk{t) (Yfc (?)) и числа М > 1, и > О такие, что для любого щ 6 D (A) функция Рк (Ь)щ (Ук^)щ) является ее единственным решением, и при этом.

11^(0 ||<МсхрМ), (1.1.4).

II Yk (t) ||< Мехр (иЛ)). (1.1.5).

Операторную функцию Pk (t) (Yk (t)) назовем операторной функцией Ле-жандра (в дальнейшем ОФЛ) (операторной функцией Бесселя (в дальнейшем ОФБ)), а множество операторов А, для которых задача (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)) равномерно корректна, обозначим через GJ (Gk).

Обозначим также через Gо = Gq множество генераторов косинус оператор-функций (в дальнейшем КОФ).

Далее в и. 1.1 перечисляются доказанные ранее утверждения и формулировки теорем, которые используются в дальнейшем изложении. Приводятся теоремы о сдвиге по параметру для задачи (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)), согласно которым, если известно решение задачи (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3),.

1.1.2)) при некотором к > 0, то можно получить решение задачи (1.1.1), (1.1.2) ((1.1.3), (1.1.2)) при значении параметра т > к. Указаны формулы для построения решения задачи (1.1.1), (1.1.2) прит < но в случае т < к разрешающий оператор задачи Коши P^(t) уже не будет, вообще говоря, принадлежать пространству линейных ограниченных операторов из Е в Е.

Также приводятся формулы, выражающие операторную функцию Лежан-дра через операторную функцию Бесселя и формула для решения неоднородной задачи Коши u" {t) + 7 т cth 71 v!{t) + u{t) = Au{t) + /(?), 0 < t < tu (1.1.22) u (0) = 0, Vim (~^yu'(t)=0. (1.1.23).

При решении неоднородной задачи важно знать, области определения какой степени оператора, А € GJ. должна принадлежать функция /(?), чтобы можно было использовать формулу для решения такой задачи.

— Plit) j S±JLplm®f (r) drl. (1.1.21).

0 7 / Поскольку в формуле (1.1.21) при га 6 (2 — к, к) присутствуют неограниченные операторы, то возникла необходимость изучения дифференциальных свойств ОФЛ P^{t), если, А? GJ., то есть оператор, А = А (к) таков, что с ним равномерно корректна задача (1.1.1), (1.1.2). щ Сначала, основываясь на теореме о сдвиге по параметру для ОФБ исследуется, как изменяются дифференциальные свойства ОФБ Ym (t) с ростом параметра т. Отметим, что в частном случае, А Е Go аналогичная задача исследовалась ранее в [39].

Теорема 1.2.1. Пусть, А? Gfc, щ € Е, т > к > 0, тогда функция Ym (t)uo будет п = [(т — к)/2] раз непрерывно дифференцируема при t > 0, причем справедлива ог^енка Mt~jcxp (ojt)\uQ\, j = 0, l,.n. (1.2.1).

§ jYm (t)uo.

Теорема 1.2.2. Пусть, А? Gk, т> к, г? N, тогда операторная функция Бесселя Ym (t) переводит область определения D (Ar) в.

Используя теорему 1.2.1 и формулы связи между операторной функцией Лежандра и операторной функцией Бесселя, затем исследуется изменение с ростом параметра т дифференциальных свойств и ОФЛ P^(t). Теорема 1.2.3. Пусть, А? Gl, щ? Е, т > к > 0, тогда P^(t)u0 будет п = [(га — к)/2] раз непрерывно дифференцируема при t > 0, причем справедлива оценка. Mt jexp (u>t)\u0\, j = 0,1,.п.

1.2.9).

Теорема 1.2.4. Пусть A? G1, т > k, г € N, тогда операторная функция Лео/сандра (ОФЛ) P^{t) переводит область определения D{Ar) в.

Е)(Дг+[(т-к)/4}у.

Используя теорему 1.2.4 можно указать конкретную степень п оператора, позволяющую использовать формулу (1.1.21) для решения неоднородной задачи Коши.

Теорема 1.2.5. Пусть т> к, п = [iV/2] + 2 — [(m — к)/4], если 2 — т < к и п = 1, если 2 — т > к, N — наименьшее натуральное число, такое, что 2N + 2 — т > к. Тогда, определяемая формулой (1.1.21) функция u (t) является единственным решением задачи (1.1.22), (1.1.23). Аналогичная теорема доказывается для случая т < к. В первой главе наряду с дифференциальными свойствами исследуются также вопросы сохранения свойства равномерной корректности задачи Коши для уравнения Лежандра при возмущении оператора А. В п. 1.3 оператор, порождающий ОФЛ, возмущается «подобным» себе, в п. 1.4 — ограниченным оператором, а в п. 1.5 — генератором соответствующей Со-группы (то есть оператор В2 возмущается оператором аВ).

Теорема 1.3.2. Пусть для некоторого к > О, А € G) А2? при т > к + 1, Pj?(t, Л1) и P? nki (t, А2) коммутируют на D = D (A{) П D (A2), D = Е. Тогда замыкание оператора, А + Ai принадлеэ/сит G.

Представление для ОФЛ Р^(t, А + А2) ввиду его громоздкости выписывать не будем. В дальнейшем приведем его в частных случаях, когда Аг — ограниченный оператор или А2 — генератор сильно непрерывной группы.

В следующей теореме через В (Е) обозначено пространство линейных ограниченных операторов из Е в Е.

Теорема 1.4.1. Пусть для некоторого к > О, А? Gj. tA2 € В (Е), P^(t, Ai) и А2 коммутируют. Тогда, А + А2? G^ для любого q > к и при этом l) m2fc/2-^-1r ((A- + 1)/2) fsh 7 Г 1fe m. л,+А2)Щ=At* + >r{m+½Дt/2) * xM i РгГ fei) m m A2) pl (v' Ai) u° dy< где m — наименьшее целое число такое, что 2 т > к, р (t у. м) =? 4^х2Ш dT.

J-i (t, y, A2) L. o22la{i + 1y J у 72 j X ax, a P^(t, Ai + A2) при q > к определяется через Pk (t, Ai + A2) no формуле сдвига no параметру, записанной для, А = А + А2.

Теорема 1.5.2. Пусть к > О, А = В2 + аВ + с/, В — генератор сильно непрерывной группыТ (Ь, В) класса Со. Тогда A? G], и операторная функция Jleoicandpa имеет вид тГ1,. 2к'Ч /sh 'ftl~k } /ch 7t — chjts^''2'1 ", , ,.

A)U° = В (ЩТ75) («Г») I () B (k/2,½) br) / Ч)"о Л", где.

Ca (t) = C (t, В + a/2 /) = ½ (exp (-at/2)T (-t, B) + exp (ai/2)T (?, 5)), j h (Wt2s2 — T]2) (ch 71 — ch 7ts²−1 Ф mi, ^ Г hiWtW — rf*) (ch >yt — ch 7ts²'1, c ,-j-r.

Кроме того, в п. 1.6 показано, что в некоторых случаях задача о возмущении неограниченным оператором может быть сведена к исследованию равномерной корректности задачи Коши для полного уравнения второго порядка.

Вторая глава посвящена исследованию вопросов разрешимости и стабилизации абстрактных дифференциальных уравнений, связанных с абстрактным уравнением Лежандра.

В и. 2.1 рассматривается задача Коши для дифференциального уравнения Лежандра с тремя параметрами.

Lltqu (t) = и" {t) + 7& cth 71 u'{t) + 27q cth 271 u'(t)+ (? + 7<7) uW=Au (t), t>0, (2.1.1) u (0) = w0, K'(0) = 0, (2.1.2) где к > 0, q > 0, A e G0.

Введем в рассмотрение операторы.

2fc/2r ((fe4−1)/2) /sh7*y-*7 7 d~k'2 7 (t> л ^.

Mk'°~ ~) vshTtJt) (2Л-3) 2"r ((g + l)/2) /sh Trfl}1-* (7 d ~q/2 7.

0 °F l~T~) Uh2Ttdi) shWt' (J с помощью которых строится решение задачи (2.1.1), (2.1.2).

Теорема 2.1.5. Пусть, А € Go, C (t) — соответствующая КОФ, к > 0, q > 0, тогда функция м = ^ ЩоРт = 2^+fc)/2~1r ((fe + 1)/2)Г ((д + 1)/2) ТГГ ((л + 9)/2) X shrt~k fsh 2-?t1-q } /ch 71 — ch 7st^/2″ 1 /, i W2 .

X (7) (7) /(72) (ch 7sf ch x x2 °F, (Л/2,1 — g/2- (k + g)/2- ОДг* ds является решением задачи (2.1.1), (2.1.2).

П. 2.2 посвящен исследованию задачи Дирихле для сингулярного уравнения. Под задачей Дирихле будем понимать задачу отыскания ограниченного решения уравнения.

Л>(*) — 9l (t)w (t) = -Aw (t), t > 0, (2.2.1) удовлетворяющего граничным условиям.

ЦО) = -шо е D (A), sup \w{t)\ < М, (2.2.2) t€[0-oo) где 7 > 0, т < 1,.

Alu (t) = u" {t) + 7m cth 71 ut), gl (t) ее (^f^) •.

Вначале устанавливается связь между решением задачи (2.2.1), (2.2.2) и решением начальной задачи v'(t) = Av{t), v (0) = w0, (2.2.3) где оператор, А — генератор Co-полугруппы. В частности, если A G G]., то решение задачи (2.2.1), (2.2.2) можно выразить, через решение задачи (2.2.3). Теорема 2.2.1. Пусть v (t) — ограниченное решение задачи (2.2.3), тогда при т < 1 функция птп-П{2-т)/2 / Ч т/2 ор / /2 является решением задачи Дирихле (2.2.1), (2.2.2).

Используя формулу (2.2.5) далее доказывается теорема, которую естественно назвать теоремой о регулярном возмущении, поскольку изменяется коэффициент при первой производной.

Теорема 2.2.2. Пусть, А — генератор равномерно ограниченной полугруппы T (t), т < 1, р < 1, тогда равномерно note [0, to], to > О m = 11 где w^it) — решение задачи (2.2.1), (2.2.2).

Аналогичная теорема справедлива и для предельного случая 7 —> 0. Теорема 2.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.2, тогда равномерно note [0,t0], t0>0.

Ит wm (t) = wp (t), где wm (t) — решение задачи тп w" (t) + — w'(t) = —Aw (t), t > 0, О w (0) =w0e D (A), sup IHOII < M. te[Qoo).

В п. 2.3 изучаются дифференциальные уравнения порядка2п > 2. Вначале рассматривается дифференциальное уравнение вида.

Ll-A)nu{t) = An0u{t), t> 0, (2.3.1) где Aq принадлежит банахову пространству линейных ограниченных операторов В (Е), А е GJ. с начальными условиями lim (Ц — A) ju (t) = xj+u lim ((LZ — Л) М*))' = 0, 0 < j < n — 1. (2.3.2).

Определение 2.3.1. Решением уравнения (2.3.1) называется функцияи (t), для которой при j = 0,1,., n — 1 выполняются условия (L^ —A)Ju (f) е G C (R+, D (A)) ПС2(Я+, Е) и которая удовлетворяет этому уравнению при t > 0.

Вид уравнения (2.3.1) и начальных условий (2.3.2) позволяет установить корректную разрешимость задачи (2.3.1), (2.3.2) для итерированного уравнения высокого порядка, содержащего неограниченный оператор А, что в случае задачи Коши для уравнения и^ = Аи невозможно. Для этого введем следующие обозначения. Пусть Еп — банахово пространство элементов U = (щ,. .ип)Т (значок т означает транспонирование) с нормой \U\ = Е|Ы|- X = (xux2,.xn)T-, u1(t) = u (t), Ui (t) = (Ц г=1.

А 0 0. (0 1 0.. 0.

А (п) = 0 А 0. 0, Q — 0 0 1.. 0.

1° 0 0 0 А) ЛП ло 0 0.. о).

Учитывая введенные обозначения, задачу (2.3.1), (2.3.2) можно записать в виде.

LlU{t) = {A[n) + Q) U{t), (2.3.3).

U{0) = X, U'{0) = 0, (2.3.4) при этом, если U (t) — решение задачи (2.3.3), (2.3.4), то u (t) = щ ({) — решение задачи (2.3.1), (2.3.2).

Определение 2.3.2. Задача (2.3.1), (2.3.2) называется равномерно корректной, если в Еп равномерно корректна задача (2.3.3), (2.3.4), т. е. если Л (п) + Q? G]. (En).

Теорема 2.3.1. Пусть A G СРк{Е), оператор Ао е В{Е) такой, что область определения D{A) инвариантна относительно Aq, и на D (A) оператор, А коммутирует с Ао, Х{ G D (A) для i = 1 ,., п. Тогда задача (2.3.1), (2.3.2) равномерно корректна, и при этом ее решение имеет вид u (t) — PVt Л) х, + (-1)" 2^-" -'Г№+1)/2) /ehTty-* хО (±-Ж r2i. r Ап f- «.»).

1 7 J Vsh vjdyl I о ^ 2'-'(«J+» -D (nj + п — 1)!Г (гу + п + 1) x^fa.Л)*, + ЕЕ№ 2 + if^'ЛЧ.

2.3.5) гс? е.

2,m (t, y) = s2"j+m m = 1,3,., 2n—3, /V — наименьшее натуральное число такое, что 2N > к.

Далее в этом же пункте показывается, как ОФЛ Рк (t) может быть использована для построения решения дифференциального уравнения вида А) П W{t) = (2−3-9) с классическими начальными условиями w (0) = w'{0) =. = w^n~2) = 0, и/2″ «1^) = w2n-i. (2.3.10) Установлено, что решением задачи (2.3.9), (2.3.10) служит функция.

W 22″ -3((п — 1)!)2(27V — 1)!!

— / (iirV^)" 1 ((t2 — (^)2iV.

N — наименьшее натуральное число, такое, что 2N > к.

Дальнейшее исследование этого раздела посвящено изучению итерированного уравнения, в некотором смысле более общего, чем (2.3.1), а именно f[(Ll-Ai)u (t)=0, t> О, (2.3.15) г=1 где к{ > 0, Ai — различные некоммутирующие операторы, принадлежащие множеству Gfc., т-ч d2, d /7 кЛ2.

Введя обозначения u (t) = u (t), щ (Ь) = (Li — Ai-)ui-(t) для i = 2,.п, будем искать решение уравнения (2.3.15), удовлетворяющее начальным условиям вида.

Ui (0) = хи u-(0) = 0, г = 1,2,. п. (2.3.16).

Теорема 2.3.2. Пусть для i = 1,2, .п кг > 0 и Ai G СРк. Тогда существует единственное решение задачи (2.3.15), (2.3.16), и это решение представимо в виде t u (t) = Pl&AJx! + JQl (t, tuAl) Pl (tuA2)x2 dti+ 0 tu JJQl (t, tl, Al) Ql (tut2,A2)Pl (t2,A3)x3 dt2 Л1 + .+ 00 tt! tn-2 //••• / Qi (t, tbAi) QL (h², A2)-'-Qll (tn-2,tn-UAn.l)x 00 0 xP/JVi, An) xn dtn-i dtn—2 • •' dt, (2.3.17) где при ki 1.

QZ (f, r,4) = Аг) Р?(т, Ai) — ±21p?(t, Ai) Zl (T, Ai),.

7 7.

37(r, i4i) = ^ /(ah 7i — sh ту)-* In.

7 Г ^ 7 Sh 7С.

Предполагается также, что xi таковы, что определены все операторы, входящие в (2.3.17).

Заключительный раздел второй главы посвящен исследованию вопросов стабилизации решений уравнений первого порядка на основании интегральных представлений, записанных с иомощыо ОФЛ.

При исследовании стабилизации решений дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве, в зависимости от рассматриваемой задачи, критерий стабилизации можно формулировать в терминах ОФБ Yk (t) или ОФЛ Pk (t) (см. [8] и имеющуюся там библиографию). Так в [8] в терминах PjJ (t) формулируется как необходимое, так и достаточное условие стабилизации решения задачи.

V'(t) = AV (t) — h (k, f) V (t), t > 0, (2.4.1).

V (t) = vo, (2.4.2) но эти условия не совпадают. В п. 2.4 приводится формулируемое в терминах PfJ (t) условие, которое является одновременно и необходимым, и достаточным условием стабилизации.

Решение задачи (2.4.1), (2.4.2) имеет вид.

V (t)=exp (-th (k:j))v (t), где m — 1? (Л sh7? (jk/2.

2Wr ((k+l)/2)Vt rXI>{ At) 7 U17J X 0 х ((тГНл решение задачи v'{t) = Av{t), v (0) = vQ G D{A).

Теорема 2.4.1. Пустъ A e GJk, n = k/2 € Nt h (k, 7) = {o t-> 00.

6 > 0 и для всех s таких, что |s| > 6.

1 j3t2+st.

Й2, т* I p^t)vo dT = (2−4'4) st (3t* где (3 = 771/2.

Теорема 2.4.2. Пусть, А е (Pk, {к/2} ^ 0, h (k, 7) = 12([к/2) + I)2, г-0 € D (A), sup 11-^2^/2]+2(Oil ^ M. Тогда lim V (t) = l только в том случае, когда для любого S > О и для всех s таких, что |s| > S.

J pt2+st PW2]+2®vodr = l, гдеР = 1{[к/2} + 1).

В третьей главе изучается обратная задача для абстрактного уравнения Лежандра. Под обратной задачей понимается задача определения функции u (t) е c2((0,?i],?) П Cl ([Q, ti], E) П C{($, ti), D{A)) и параметра р е Е из условий v!'{t)+^kct\^tu'{t)+{^j u (t) = Au (t) + f (t) + (p (t)p, 0 0, 7 > 0.

В п. 3.1 исследуется, каким образом однозначная разрешимость задачи (3.1.2), (3.1.3) с переопределенными граничными условиями зависит от расположения спектра ограниченного оператора, А и поведения функции y>(t). Получено необходимое и достаточное условие, при котором существует элемент р? Е обеспечивающий возможность нахождения решения u (t) задачи (3.1.2), (3.1.3).

Введем в рассмотрение функцию xl (z)=JS2(T, zMr) dr, о где для к Ф 2п + 1, п? N, для к = 2п + 1, п? N, для к = 1.

S1(t, z) = (ziituzWfaz) — Z?(T, z) P?(ti,*)) ¦

При этом, для к > О О для к > 2, к ф 2п + 1, п G N,.

Z) = (3-Л)(5-Л).-(а-1) sh7? fc-1/ 7 dm (/sh 7⁴ г) = ЩкЩЩ I 7 j 5(2i)I I^-^J ** X.

7 / sh 7tdty где m — наименьшее натуральное число такое, что, а = 2 т + 2 — к > 0- для к > 2, к = 2п + 1, п е N.

P2-k&z) — 2n1(n 1}, j [^-tJt) Z, (f, г). Наконец,.

Zl (t, Z) =^ /(ch 7t — ch 7г/Г'/2,п 2(ch7tch7y)eh ^.

7 Г ^ 7 sh.

Теорема 3.1.1. Для того, чтобы задача (3.1.2), (3.1.3) при любых к > 0, щ, Щ? Е, f Е С ([0, ti], E) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы на спектре оператора, А не обращалась в нуль функция xliz)) то есть, чтобы.

Xl (z) ф 0, г е а (А). (3.1.10).

В частном случае.

0 и ip{t) = 1. Для того, чтобы задача (3.1.1), (3.1.2) при любых щ, щ € Е, f G C ([0,ti], Е) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы на спектре оператора, А выполнялось условие.

—l—j^ft, Z) — 1) ф 0, г € о (А). (3.1.19) г — (7&/2).

Например, если (p (t) = 1 и к — 2, то условие (3.1.10) может быть записано в виде.

В случае неограниченного оператора А, который рассматривается в п. 3.2 для случая (p (t) = 1 указано только необходимое условие единственности решения обратной задачи u" (t)±ук cth yt u'(t) + ^у) u (t) = Au{t) + f (t)+p, 0.

При этом на спектр оператора Л не накладываются условия, обеспечивающие корректность прямой задачи.

Теорема 3.2.1 .Для того, чтобы решение задачи (3.2.2), (3.2.3) было единственным, необходимо, чтобы ни один корень zj уравнения 1.

7*/2)' не являлся собственным значением линейного замкнутого оператора А.

Основные результаты диссертации докладывались на конференциях «Пон-трягипские чтения XII, XIII» (Воронеж, 2001, 2002), в Зимней математической школе (Воронеж, 2002), на международной конференции по функциональному анализу (Воронеж, 2003), на семинарах кафедры уравнений с частными производными и теории вероятностей ВГУ (2000 — 2003), семинарах проф. Репникова В.Д.(2000 — 2003 г. г.), проф. Баскакова А. Г. в 2003 г., па семинаре кафедры математического анализа и теории функций УрГУ в 2004 г. и опубликованы в [15, 26−32],.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему руководителю Глушаку А. В. за ценные замечания и обсуждение результатов работы.

1. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции/ Г. Бейтмен, А.Эрдейи. — М.: Наука, 1967. — Т. 3. — 299 с.

2. Бронштейн И. Н. Справочник по математике для uuoicenepoe и учащихся ВТУЗов/ И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев М.:Наука, 1980. — 976 с.

3. Васильев В. В. Полугруппы операторов, косинус оператор — функции и линейные дифференциальные уравнения/ В. В. Васильев, С. Г. Крейн, С. И. Пискарев // Математический анализ. М., 1990. — С. 87 — 102. — (Итоги науки и техники / ВИНИТИТ.28).

4. Глушак А. В. О возмущении абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу/ А. В. Глушак // Мат. заметки. 1996. — Т. 60, № 3. — С. 363 — 369.

5. Глушак А. В. Операторная функция Бесселя/ А. В. Глушак // Докл.РАН. 1997. — Т.352, № 5. — С. 587 — 589.

6. Глушак А. В. Операторная функция Бесселя и связанные с нею полугруппы и модифицированное преобразование Гильберта/ А. В. Глушак // Диф. уравнения. 1999. — Т.35, № 1. — С. 128 — 130.

7. Глушак А. В. Операторная (функция Лежандра/ А. В. Глушак // Изв. РАН. Сер. мат. 2001 — Т. 65, № 6. — С. 3 — 14.

8. Глушак А. В. О стабилизации решения задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка/ А. В. Глушак // Изв. ВУЗов. Математика. 2001. — № 11. — С. 3 — 13.

9. Глушак А. В. О стабилизации решения задачи Дирихле для одного эллиптического уравнения в банаховом пространстве/ А. В. Глушак // Диф. уравнения. 1997. — Т. 33, № 4. — С. 433 — 437.

10. Глушак А. В. Задача определения параметра абстрактного дифференциального уравнения высокого порядка/ А. В. Глушак, В. А. Попова // Тр. Мат. фак. Воронеж. ун-та. Нов. сер. -2002. Вып. 5 С. 34 — 42.

11. Глушак А. В. Об одной сингулярной абстрактной задаче Коши/ А. В. Глушак, В. И. Конопенко, С. Д. Шмулевич // Изв.ВУЗов. Математика. -1986. № 6. — С. 55 — 56.

12. Глушак А. В. Интегральные представления решений одного сингулярного уравнения, содероюащего сумму коммутирующих операторов/ А. В. Глушак, С. Д. Шмулевич // Диф. уравнения. 1992. — Т. 28, № 5. — С. 831.

13. Глушак А. В. Операторная функция Бесселя, интегральные представления и вопросы стабилизации решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве: Дис. физ.-мат. наук / А. В. Глушак. Воронеж, 1997. — 226 с.

14. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их прилоо/сения/ Дж. Голдстейн. Пер. с анг. В.В. ЛюбашенкоПод ред. Ю. Л. Далецкого. -К.: Выща шк., 1989. 347 с: ил.

15. Гончарова М. А. О задаче определения параметра дифференциального уравнения Лежандра с ограниченным оператором) М. А. Гончарова. // Математические модели и операторные уравнения. Воронеж, — 2003. -Т. 2. — С. 35 — 44.

16. Грабовская Р. Я. О косинус операторной функции, порожденной суммой двух коммутирующих операторов/ Р. Я. Грабовская, В.И. КононенкоВоронеж, лесотехн. ин-т. Воронеж, 1983. — 6 с. — Ден. ВИНИТИ 8.02.1984, № 783 — 84.

17. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория/ Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 895 с.

18. Денисов В. Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений/ В. Н. Денисов, В. Д. Репников // Диф.уравнения. 1984. Т. 20, № 1. С. 20 — 41.

19. Иванов В. К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи/ В. К. Иванов, И. В. Мельникова, А. И. Филинков. М.: Наука, 1993 — 238 с.

20. Катрахов В. В. Композиционный метод построения В-эллиптических, В-гиперболических и В-параболических операторов преобразования/ В. В. Катрахов, С. М. Ситник // Докл. РАН. 1994. — Т. 337, № 3. — С. 307 — 311.

21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов/ Т. Като М.:Мир, 1972. — 740с.

22. Киприянов И. А. Уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу в римановом пространстве/ И. А. Киприянов, Л. А. Иванов // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260, № 4. — С. 790 — 794.

23. Кононенко В. И. Операторы преобразования, связанные с дифференциальным оператором Якоби/ В. И. Кононенко, Л.А. ХинкисВоронеж, ун-т. Воронеж, 1989. — 89 с. — Деп. в ВИНИТИ 13.03.89. N 1604.

24. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве/ С. Г. Крейн. М.:Наука, 1967. — 184 с.

25. Крейн С. Г .Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве/С.Г. Крейн, М. И. Хазан // Матем. анализ. М., 1990. — № 21. — С. 130 -264. — (Итоги науки и техники / ВИНИТИТ. 21).

26. Латынина М. А. О задаче Коши для абстрактного уравнения Лежандра/ М. А. Латынина // Сборник статей аспирантов и студентов/ Мат. фак. ВГУ. Воронеж, — 2000. — С. 24 — 28.

27. Латынина М. А. Задача Дирихле для одного абстрактного сингулярного уравнения/ М. А. Латынина // Сборник трудов молодых ученых / Мат. фак. ВГУ. Воронеж, 2001. — С. 113 — 118.

28. Латынина М. А. О возмущении абстрактного уравнения Леоюаидра/ М. А. Латынина // Тр. мат. фак. Воронеж, ун-та. Нов.Сер. 2001. — Выи. 5. — С. 108 — 116.

29. Латынина М. А. Дифференциальные свойства операторных функций Бесселя и Лежандра/ М. А. Латынина // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2001. — № 2. — С. ИЗ — 117.

30. Латынина М. А. Критерий стабилизации решения задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка/ М. А. Латынина // Тр. мат. фак. Воронеж, ун-та. Нов.Сер. 2002. — Вып. 7. -С. 77 — 82.

31. Латынина М. А. Итерированная задача Коши с оператором Леэюап-дра в банаховом пространстве/ М. А. Латынина // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2002. — № 1. — С. 155 — 158.

32. Латынина М. А. О задаче Коши для сингулярного итерированного уравнения/ М. А. Латынина // Асимптотическое поведение решений уравнений матем. физики. Воронеж, 2002. — С. 67 — 71.

33. Мельникова И. В. Семейство М, N — оператор-функций и уравнения второго порядка в банаховом пространстве/ И. В. Мельникова // Изв. ВУЗов. Математика. 1985. — № 2. — С. 45 — 52.

34. Мельникова И. В. Теорема типа Миядера-Феллера-Филлипса для полного уравнения второго порядка в банаховом пространстве/ И. В. Мельникова // Изв. ВУЗов. Математика. 1985. — № 4. — С. 34.

35. Мельникова И. В. Классификация и корректность задачи Коши для уравнений второго порядка в банаховом пространстве/ И. В. Мельникова, А. И. Филиппов // Докл. АН СССР. 1984. Т. 276, № 5. — С. 46.

36. Мельникова И. В. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач/ И. В. Мельникова, А. И. Филинков // Успехи математических наук. 1994. Т. 49, Вып. 6 (300) — С. 112 — 150.

37. Олевский М. Н. Задача Коши для итерированного дифференциального уравнения/ М. Н. Олевский // Докл. АН СССР. 1963. — Т. 148, J№ 5. — С.1026 1029.

38. Олевский М. Н. О связях между решениями обобщенного волнового уравнения теплопроводности/ М. Н. Олевский // Докл. АН СССР. 1995. Т. 101, N 1. С. 21 — 24.

39. Орлов В. П. О слабо выроэюдающихся гиперболических уравнениях/ В. П. Орлов // Диф.уравнения. 2003. — Т.39, № 10. — С.1409 — 1419.

40. Орловский Д. Г. К задаче определения параметра эволюционного уравнения/ Д. Г. Орловский // Диф.уравнения. 1990. — Т. 26, № 9. — С. 1614 — 1621.

41. Погорелов Ю. В. Критерий стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространстве Больаи-Лобачевского/ Ю. В. Погорелов, В. Д. Ренников // Диф.уравнения. 2003. Т.39, № 12. — С. 245 — 246.

42. Прудников А. П. Интегралы и ряды. Специальные функции/ А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. М.: Наука., 1983. — 752 с.

43. Репников В. Д. О стабилизации решения задачи Коши в пространстве Больаи-Лобачевского/ В. Д. Ренников // Диф. уравнения. 2002. -Т. 38, № 2. — С. 262 — 270.

44. Самко С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения/ С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. Минск.: Наука и техника, 1987. — 688 с.

45. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики/ А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Наука, — 1977. — 736 с.

46. Тихонов И. В. Обратная задача для дифференциального уравнения в банаховом пространстве и распределение нулей целой функции типа Миттаг-Леффлера/ И. В. Тихонов, Ю. С. Эйдельман // Диф. уравнения.- 2002. Т. 38, № 5 — С. 637 — 644.

47. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ/ С. Хелгасон. М.: Мир, — 1987. — 735 с.

48. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы/ Э. Хилле, Р. Филлипс. М.: Иностр. лит., 1962. — 829 с.

49. Эйдельман С. Д. Параболические уравнения/ С. Д. Эйдельман // Современные проблемы математики. М., 1990. — С. 201 — 313. — (Итоги науки и техникиТ. 63).

50. Ярославцева В. Я. Об одном классе операторов преобразования и их приложениях к дифференциальным уравнениям/ В. Я. Ярославцева // Докл. СССР. 1976. — Т. 227, № 4. — С. 816 — 819.

51. Bragg L.R. Some abstract Cauchy problems in exceptional cases/ L.R. Bragg // Proc. Amer. Math. Soc. 1977. — Vol. 65, № 1. — P. 105 — 112.

52. Carrol R.W., Showalter R.E. Singular and degenerate Cauchy problems/ R.W. Carrol, R.E. Showalter. Academic Press. № 4. — 1976. — 333 p.

53. Donaldson J.A. A singular abstract Cauchy problems/ J.A. Donaldson // Proc. Nat. Acad. Sci. 1970. — Vol. 66, № 2. — P. 269 — 274.

54. Donaldson J.A. New integral representation for solution of Cauchy’s problem for abstract parabolic equations/ J.A. Donaldson // Proc. Math. Acad. Sci USA. 1971. — Vol. 68, № 9. — P. 2025 — 2027.

55. Fattorini И.О. On the growth of solutions to second order differential equations in Banach spaces/ H.O. Fattorini // Proc.Roy.Soc.Edinburgh. -1985. Vol.101 A, № 3 — 4. — C.237 — 252.V.