Наборы плоскостей в евклидовых пространствах, как вещественных, так и комплексных, играют большую роль в комбинаторике и анализе ([40], [33], [23], [20], [1]). Комбинаторная задача изучения наборов плоскостей в Cd по сложности совпадает с задачей изучения симплици-альных комплексов с d вершинами (см. [22, Prop. 8.6] или [20]).
В своей классической работе Брискорн [21] показал, что наборы гиперплоскостей служат модельной ситуацией в теории сингулярностей при исследовании вопросов монодромии. Во всех этих исследованиях первостепенное внимание отводилось описанию групп гомологий дополнений к указанным наборам. Самым общим результатом в этом направлении является формула Горески-Макферсона [29].
С точки зрения теории особенностей и их разрешений наборы плоскостей служат модельной ситуацией более сложных наборов комплексных аналитических множеств. В настоящей диссертации такая модельность рассматривается в рамках теории многомерных вычетов, а именно, в задаче конструирования ядер — эталонных дифференциальных форм с предписанными сингулярностями в виде наборов комплексных аналитических множеств. Мы сосредоточимся на типичной ситуации теории вычетов, когда максимальномерная нетривиальная группа гомологий до.
Hk (cd\Jzu, z^j пол нения к заданному набору порождена одним элементом. Следующее определение было дано А. К. Цихом [38].
Определение 0.1. Конечный набор плоскостей {Z^&bdquo-еЛА в Cd называется атомарным, если максималъномерная нетривиальная группа го-мологий дополнения C^XU^ Zv однопорождена, то есть если существует целое ко G N такое, что г.
Z для к — ко, 0 для к > ко.
Порождающий элемент rj двойственного класса когомологий де Рама Я*0 (J zjj называется ядром для атомарного набора {Z.
Примерами атомарных наборов координатных плоскостей могут служить особенности дифференциальных форм Коши и Бохнера-Мартинел-ли — основных интегральных ядер многомерного комплексного анализа, являющихся исходным пунктом для построения других интегральных формул, таких как формулы Бергмана-Вейля, Коши-Фантаппье [2], [14] или специальных формул в полиэдральных областях [6]. Действительно, ядро Коши в С* dCi д, А dCd ~сГ ~сГ' определено в дополнении к набору всех координатных гиперплоскостей Zc в Cd, а это множество гомотопически эквивалентно вещественному тору, и поэтому его максимальномерная нетривиальная группа гомоло-гий однопорождена:
Z, если k = d,.
С Zp ~ S х • у х S и Hk{CdZc, Z) = I (0.1) d раз I 0, если к > d.
Ядро Бохнера-Мартинелли в Cd г) вм{о- (|Ci|2 +. + jCi|2)d не определено только в начале координат Zbm — {0}, поэтому.
Z, если к = 2d — 1,.
0.2).
0, если к > 2d — 1.
Наборы плоскостей Zq и Zbm являются крайними в семействе наборов Z&) = {Z^}, р = 0, 1,., п-1, где.
Zf> = {z G Cd: = • • • = zn-.p-i = z" = 0}, v = n — p,., n, поскольку = Z71−1^ и Zbm = Все наборы атомарные, и они являются сингулярными множествами для ядер интегральных представлений Сорани [36]. Такие ядра были получены при реализации схемы Майера-Виеториса, позволяющей перейти от ядра Бохнера-Мартинелли к ядру Коши.
После работ Д. Кокса [24], [25] и В. Батырева [19] в области торической геометрии стало ясно, что существует еще один класс атомарных наборов, связанных с конструкцией торических многообразий. Такие многообразия являются обобщением как аффинных, так и проективных пространств, сохраняющим мономиальность соотношений соседства между координатными окрестностями. Впервые точное определение торическо-го многообразия было дано М. Демазюром при описании алгебраических подгрупп максимального ранга групп Кремоны [27]. Торическое многообразие размерности п было определено как многообразие, содержащее алгебраический тор ТГ1 = (С {0})™ в виде открытого всюду плотного подмножества так, что естественное действие этого тора на себе (покомпонентным умножением) продолжается до действия на всем многообразии. Каждое n-мерное торическое многообразие связано с веером? в Rn — полиэдральным разбиением Rn на конусы различных размерностей. Пусть d — число одномерных конусов в веере, связанном с многообразием X, тогда оно представляется в виде фактор-пространства [24] Cd Z (?)jG% (0.3) где Z (?) — нулевое множество построенного по вееру? мономиального идеала, a G — группа, действующая на Cd Z (T,). Если веер? полный и симплициальный, то набор координатных плоскостей Z (E) является атомарным [38].
Не все координатные наборы являются атомарными. Например, в С4 набор = (Ci = С2 = 0} и {Ci = Сз = 0} и {Ci = <4 = 0}U и {С2 = Сз = о} и {С2 =4 = о} и {Сз = 2г4 = о}, не является таковым: вычисления по формуле из [29, стр. 238, Theorem А] показывают, что максимальномерная нетривиальная группа гомологий его дополнения Щ (С4 Z') изоморфна Z3. Этот набор «не происходит» от веера (или торического многообразия), однако он возникает при построении торического предмногообразия [41].
Целью диссертации является построение ядерных форм для атомарных наборов Z (Е), связанных с торическими многообразиями, и применение их к получению новых формул интегральных представлений для голоморфных функций, а также в теории локальных вычетов.
Основным результатом первой главы диссертации является новая конструкция ядра для атомарного набора Z (E), связанного с компактным проективным симплициальным торическим многообразием Сопоставим каждому одномерному конусу V{ переменную Q. Пространство Cd в представлении (0.3) такого многообразия играет роль пространства однородных координат для торического многообразия Пусть to (С) — форма объема на Х-%, записанная в его однородных координатах (см. раздел 1.1.4). Для n-мерного конуса, а Е Е через мы обозначим произведение всех координат вектора С? Crf за исключением тех, что соответствуют образующим конуса а. Обозначим также через det <т определитель матрицы из образующих конуса a G ?. С торическим многообразием Хъ (или с веером? в Кп с d одномерными образующими) мы свяжем следующую дифференциальную (d, п)-форму '.
В предположении, что веер? содержит примитивный конус, верна.
Теорема 1. Дифференциальная форма (0.4) не зависит от выбора конуса a? Е. Она регулярна в Cd Z{?), замкнута и является ядром для набора Z (?) С С*.
Одним из основных компонентов доказательства теоремы является результат А. К. Циха и А. Ижера о подклеивании к евклидову пространству Cd в виде «остова бесконечности» (см. раздел 1.1.4) в некотором компактном торическом многообразии, анонсированный в [38] и [39]. Полное доказательство этого результата включено в подготовленную к печати совместную статью А. К. Циха, А. Ижера и автора настоящей диссертации. Для полноты изложения его доказательство приведено в Приложении к основному тексту диссертации.
Кроме представления (0.3) компактные проективные торические многообразия допускают представление в виде где Gr — вещественная часть группы G, // — моментное отображение, ассоциированное с действием Gr. на Cd Z (E), а вектор р выбирается из конуса Кэлера К С R+~n (подробно описанного в разделе 1.1.3) многообразия Х-£. В Теореме 1 утверждается также, что цикл уи1(р) является двойственным по де Раму циклом к форме г).
Форма объема ш непосредственно участвует в определении ядра 77, и в разделе 2.1.3 второй главы диссертации приведена естественная конструкция формы объема компактного проективного торического многообразия, относительно которой его объем VoI (Xe) может быть точно вычислен. А именно, пусть Д — n-мерный целочисленный многогранник в Rn, двойственный к вееру Обозначим элементы, А П Zn через ао,., и определим вложение тора /: Тп —"• Fn формулой с неотрицательными параметрами са. такими, что многогранник Ньютона полинома Лорана.
N 3=о совпадает с Д. Оказывается, замыкание f (Tn) С Рлг изоморфно ториче-скому многообразию Х-£. Обозначим через ufs форму метрики Фубини-Штуди на.
Определение 2.1. Форму из = будем называть формой объема симплициалъного проективного торического многообразия Х-z, индуцированной метрикой Фубини-Штуди.
Форма объема и есть ни что иное, как сужение на торическое подмногообразие /(Tn) ~ Х-£ формы объема в метрике Фубини-Штуди в Рдг, измеряющей объемы n-мерных комплексных подмногообразий. Эта форма выражается при помощи указанного полинома Р (х) формулой п! а объем торического многообразия — формулой.
VolpsTE)= [ ш. (0.5).
J тп.
Точное значение объема дает Теорема 3.
VoI (Xe) = 7rnVol (A).
Фактически, в полярной системе координат дифференциальная форма в (0.5) может быть легко проинтегрирована по угловым координатам, что приводит к формуле.
Г Е'| 71−1det2(Aj)ca.. Соtai Vol (A) = J «tlXp{ty+» -dtl-'•dtn' (0'6) где сумма берется по всем возрастающим последовательностям индексов 0 < jo < • • • < jn < Ny a Aj — матрица из векторов (1, orj0),., (1, aJn). Таким образом, Теорема 3 дает новое доказательство формулы М. Пас-саре (0.6), вычисляющей объем многогранника при помощи интеграла от рациональной формы по положительному ортанту М" [34].
Кроме этого, в диссертации найден ряд применений полученных новых ядер в теории интегральных представлений голоморфных функций и теории локальных вычетов.
Обозначим через Up примыкающий к циклу /х-1(/э) специальный полиэдр Рейнхардта в Cd, задаваемый системой неравенств eii|Ci|2 + —- + Oid|Cf|2 <Ръ < .(0.7) rllCll2 +——-ardCd2 < Рту V и через Dp — подобласть в нем, которая описывается системой неравенств.
ICnl2 + —- + KiJ2.
Теорема 2. Пусть f G 0(UP) П C{UP), где Up — полная область Рейнхардта с остовом 7 = рГ1{р), р е К-£, — Тогда для произвольной точки z € Dp с Up верно интегральное представление 7.
Теорема 3 позволяет переформулировать Теорему 2 в следующем виде:.
Теорема 2'. Пусть f € 0(UP) П C{Uр), где Up — полная область Рейнхардта с остовом 7 = fi~l (p), р € К^. Тогда для произвольной точки z G Dp С Up верно интегральное представление fiz) = (vyJvom ffi0vic ~z)¦ 7.
Отметим, что задача о ядрах для атомарных наборов также рассматривалась в статье А. А. Кытманова [8]. Приведенная в [8] конструкция формы объема основана на других идеях и реализована при дополнительных ограничениях на веер, таких как примитивность и выпуклость..
В разделе 2.3, как следствие Теоремы 1, получена версия формулы логарифмического вычета — интегральная формула для суммы значений голоморфной функции в нулях голоморфного отображения. Эта версия обобщает известные ранее формулы Каччиопполи-Мартинелли-Сорани и Южакова-Руса (см. [2])..
Зафиксируем в Rn веер ?, удовлетворяющий условиям Теоремы 1. Пусть в области G пространства Cd переменных? задано голоморфное отображение /: G —> Cd. Будем предполагать, что / имеет конечный тип над полиэдром Up, определенном формулой (0.7), то есть что полиэдр Wp = /-1(Up) относительно компактен в G. Согласно (0.7) этот полиэдр задается системой неравенств au|/i (C)|2 + - < • • + aldfd (02 < Ри anfi (02 +' —1- a>rdfd (C)2 < Рг, причем мы предполагаем, что р взято из конуса Кэлера многообразия Обозначим через Г = /-1(/х-1(р)) остов этого полиэдра. В указанных условиях множество нулей Е системы /((«) = 0 в Wp конечно, и справедлива.
Теорема 4. Для любой функции G G (WP) верна формула.
2i)r7rdVol (A) Jг 1.
JT аеЕ.
В алгебраической геометрии важную роль играет понятие локального вычета (вычета Гротендика), являющееся непосредственным обобщением вычета Коши мероморфной функции одного комплексного переменного. Известно несколько интегральных реализаций локального вычета ([37], [4], [12]). В работе [13] был предложен рецепт интегральной реализации, связанной с произвольным воспроизводящим ядром. Следуя этому рецепту, мы с помощью Теоремы 1 и Предложения 2.1 получаем следующий результат..
Теорема 5. Пусть r]{w) — ядро для атомарного набора Z (T,) в) = r}{w)/dw локальный вычет, ассоциированный с регулярной последовательностью f = (/!,., fd) в точке, а Е.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [41] - [44]. По материалам диссертации делались доклады на международной конференции «Многомерный комплексный анализ» (Красноярск, 5−10 августа 2002) —.
-ч7).
— 14— на международной школе-конференции «Геометрический анализ и его применения» (Волгоград, 24 — 30 мая 2004) — на школе-семинаре по многомерному комплексному анализу для молодых математиков (Киото, Япония, 15 — 19 ноября 2004) — на городском научном семинаре по многомерному комплексному анализу при Красноярском государственном университете (Красноярск, 2003 — 2005), на семинаре по многомерному комплексному анализу в г. Стокгольме (Швеция, 2004)..
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Циху за постановку задачи и внимание к работе. Автор признателен профессору Стокгольмского университета Ми-каэлю Пассаре, а также постоянным участникам городского научного семинара по многомерному комплексному анализу при КрасГУ за многократные полезные обсуждения и замечания о результатах диссертации..
Основные результаты диссертации состоят в следующем: построены новые ядра в теории многомерных вычетов, имеющие сингулярности на наборах координатных плоскостей в доказано, что построенные ядра обладают воспроизводящим свойством для голоморфных функций в специальных полиэдрах Рейнхардтаприведен новый класс интегральных реализаций вычета Гротендика..
Все полученные результаты являются новыми, снабжены полными доказательствами и могут быть использованы в комплексном анализе, в алгебраической геометрии, а также в математической физике..
Заключение.
