Конечноэлементное моделирование электромагнитных полей в трехмерных областях с сильно разномасштабной геометрией

Сеточные методы являются в настоящее время основным инструментом решения наиболее сложных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих различные физические процессы. При этом одним из наиболее мощных методов численного моделирования с использованием аппроксимаций на сетках является метод конечных элементов (МКЭ) [29, 30, 55, 58, 70−80, 84]. Практически неограниченная точность описания всех границ геометрически сложных объектов и широкие возможности использования нерегулярных сеток с локальными сгущениями и разрежениями узлов сделали МКЭ очень популярным среди исследователей, ставящих перед собой задачу получения точных характеристик изучаемых процессов методами математического моделирования.

Проблема построения конечноэлементных сеток является одной из важнейших при решении различных задач с использованием МКЭ [2−6, 8−11, 14−17, 19, 21−27, 31, 34−38, 52, 53, 62]. Значительное внимание, уделяемое исследователями этой проблеме, объясняется тем, что очень часто от того, насколько эффективно удается выполнить дискретизацию расчетной области, зависит сама возможность решения конкретной практической задачи с нужной точностью. Немалую роль при этом играет форма используемых для дискретизации элементов. Поэтому столь велик интерес исследователей к различным процедурам построения двумерных и трехмерных триангуляций, то есть сеток, ячейки которых являются треугольниками в двумерном случае и треугольными пирамидами (тетраэдрами) в трехмерном случае. Этот интерес связан с тем, что именно процедуры построения триангуляций дают возможность получить существенно неравномерные согласованные сетки как с разрежениями узлов в одних подобластях расчетной области, так и с локальными сгущениями узлов в тех ее подобластях, где аппроксимация решения наиболее затруднена. При этом использование неравномерных нерегулярных сеток часто позволяет при фиксированном числе узлов существенно уменьшить ошибку аппроксимации по сравнению с различными структурированными (например, квазипараллелепипеидальными) сетками. Повышение же точности численного расчета за счет уменьшения ошибок аппроксимации, связанных с дискретизацией исходной задачи, и минимизация вычислительных затрат за счет уменьшения размерности системы аппроксимирующих уравнений (а в МКЭ размерность этой системы напрямую зависит от числа узлов в конечноэлементной сетке) являются важнейшими проблемами при проведении любого численного исследования.

Для двумерного случая в научных публикациях можно встретить достаточно много различных подходов к решению проблемы построения конеч-ноэлементных сеток [4, 5, 8, 10, 14, 24, 27, 37, 52, 61, 62, 70, 84]. Сюда относятся и различные модификации широко известных алгоритмов построения триангуляции Делоне [8, 24] (например, алгоритма Ватсона [37]), и методы автоматизированного построения адаптивных сеток [52, 84, 5, 14], и различные фронтальные методы [10]. Данные методы достаточно хорошо изучены и в настоящее время уже не вызывают столь большого интереса.

Гораздо более сложной и актуальной является задача построения оптимальных трехмерных конечноэлементных сеток. Особенно много проблем возникает при построении сеток для задач, расчетная область которых имеет сильно разномасштабную геометрию.

Под разномасштабной геометрией понимается то, что расчетная область содержит конструктивные макрои микроэлементы, размеры которых отличаются друг от друга на несколько порядков. Причем, как правило, в задачах с подобной геометрией исследуется влияние именно микроэлементов, что ведет к необходимости сильно сгущать сетку вблизи них. При этом в рамках макроэлементов сетка может быть достаточно грубой.

Многие задачи имеют физически неограниченную расчетную область (например, геофизические задачи). При решении их методом конечных элементов расчетная область задается так, чтобы наличие границ не влияло на получаемое решение. То есть расчетная область должна быть много больше конструктивных элементов расположенных в ней — это так называемое условие «большого бака». Наличие такого «большого бака» приводит к тем же сложностям при построении сетки, что и разномасштабные конструктивные элементы. Таким образом, в рамках данного выше определения разномасштабной геометрии, «большой бак» также относится к макроэлементам, хотя и не является конструктивным элементом в обычном понимании этого слова.

Зачастую, значительно разрежать сетку при удалении от микроэлементов просто необходимо, так как в противном случае сетка будет содержать большое количество «лишних» узлов, не улучшающих точность конечноэле-ментной аппроксимации решения. Это, в свою очередь, ведет к излишним вычислительным затратам и, порой, к невозможности решить необходимую задачу без применения суперкомпьютеров, хотя при более оптимально построенной сетке она могла бы быть решена на современном персональном компьютере.

При отсутствии корректного разрежения узлов сетки в задачах с разномасштабной геометрией расчетной области возможны и более негативные последствия. При определенных условиях в такой сетке могут оказаться сильно вытянутые элементы, то есть элементы, у которых минимальная и максимальная длина ребер имеет отношение порядка 1:1000 и менее. Наличие таких элементов значительно ухудшает свойства матрицы аппроксимирующей СЛАУ. Это, во-первых, приводит к существенному ухудшению сходимости итерационного процесса при решении такой СЛАУ и, следовательно, к повышению временных затрат на решение задачи. Во-вторых, из-за плохой обусловленности матрицы может оказаться затруднительно получить решение с необходимой точностью. Таким образом, узлы не просто могут оказаться «лишними», но и привести к невозможности получить решение СЛАУ, а следовательно и всей задачи, с требуемой точностью.

Применение существующих методов построения нерегулярных сеток к областям с разномасштабной геометрией не позволяет в полной мере устранить описанные выше недостатки. Зачастую даже задание расчетной области с разномасштабной геометрией в современных пакетах математического моделирования вызывает значительные сложности. Так, например, в пакете ANSYS [1] с настройками по умолчанию при попытке задать объект с размерами значительно меньшими размеров всей расчетной области он был просто проигнорирован системой, которая сочла его пренебрежимо малым.

Таким образом, проблема построения оптимальных конечноэлемент-ных сеток, позволяющих получать численные решения различных задач математической физики в областях со сложной геометрией, до сих пор не разрешена в полном объеме и вызывает большой интерес у многих исследователей, занимающихся как вопросами создания процедур генерации таких сеток, так и использующих эти сетки при решении конкретных практических задач. Этим и определяется актуальность данной диссертационной работы.

Основной научной проблемой, пути решения которой рассматриваются в предлагаемой диссертационной работе, является проблема численного решения задач электромагнетизма, имеющих расчетную область с сильно разномасштабной геометрией, обусловленная сложностями построения сеток близких к оптимальным в областях с подобной геометрией.

Цель исследований заключается в разработке и реализации алгоритмов построения тетраэдральных сеток, предназначенных для проведения расчетов трехмерных электромагнитных полей методом конечных элементов и позволяющих исследователю эффективно управлять процедурой генерации узлов при необходимости сгущения или разрежения узлов сетки в различных подобластях расчетной области.

На защиту выносится:

1. Процедуры автоматической генерации частично совпадающих промежуточных и основных сечений для известной модификации метода тиражируемых сечений, позволяющие облегчить работу оператора, задающего сетку, и без ущерба для точности получаемого решения сократить количество узлов в сетке на 15−70% в зависимости от особенностей задачи.

2. Обобщенный метод тиражируемых сечений, позволяющий использовать сечения с топологически различными триангуляциями и тем самым обеспечивающий возможность гибкого управления сгущением/разрежением узлов сетки в областях с сильно разномасштабной геометрией.

3. Результаты решения практических задач электромагнетизма из области геофизики на сетках, построенных разработанным обобщенным методом тиражируемых сечений, а также результаты исследования влияния вытянутых элементов сетки на точность получаемого решения, на примере практических и модельных задач.

4. Объектно-ориентированная библиотека, созданная с учетом потребностей разработчиков современных систем математического моделирования, позволяющая облегчить создание многоплатформенных интерактивных систем, а также объектно-ориентированная реализация обобщенного метода тиражируемых сечений, выполненная на базе данной библиотеки и позволяющая легко настраивать и расширять предложенный метод.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработан ряд алгоритмов, позволяющих автоматизировать построение сетки методом тиражируемых сечений.

2. Разработан метод, позволяющий строить тетраэдральную сетку между сечениями с топологически различными триангуляциями, основанный на сопоставлении треугольнику с одного сечения некоторого образа (состоящего из треугольников и ребер) с другого сечения и последующего заполнения полученной подобласти тетраэдрами.

3. Решены практические задачи с сильно разномасштабной геометрией расчетной области, решение которых не удавалось получить ранее на персональном компьютере с требуемой точностью.

4. Проведено исследование влияния вытянутых элементов сетки на точность получаемого решения.

5. Предложен подход к разработке интерактивных систем математического моделирования, заключающийся в раздельной реализации интерфейса пользователя и прикладных задач на уровне исполняемых модулей, что позволяет облегчить перенос приложений на различные платформы. На базе данного подхода создана специализированная библиотека классов для разработки программных комплексов математического моделирования.

6. Предложена объектно-ориентированная реализация разработанного обобщенного метода тиражируемых сечений, позволяющая легко настраивать и расширять данный метод.

Практическая ценность работы и реализация результатов. Разработанные методы и алгоритмы построения нерегулярных трехмерных сеток реализованы в программном комплексе TELMA и применялись для решения практических задач из области геофизики со сложной разномасштабной геометрией расчетной области.

Личный вклад. Для метода тиражируемых сечений предложена процедура автоматической генерации частично совпадающих промежуточных и основных сечений и процедура автоматического определения количества промежуточных сечений в различных подобластях расчетной области. В качестве основной составляющей обобщенного метода тиражируемых сечений разработан метод построения сетки между сечениями с топологически различными триангуляциями, включая метод сопоставления треугольникам с одного сечения некоторого образа с другого сечения и способ разбиения пространства между треугольником и его образом на тетраэдры, не нуждающийся в информации об уже построенных тетраэдрах. Проведено исследование эффективности предложенных процедур. На основе исследования даны рекомендации по наиболее оптимальным схемам реализации обобщенного метода тиражируемых сечений. Исследовано влияние вытянутых элементов сетки на точность получаемого решения. Предложена объектно-ориентированная библиотека для разработки многоплатформенных интерактивных систем математического моделирования, на базе которой реализована новая версия трехмерного препроцессора для пакета TELMA, включающего объектно-ориентированную реализацию обобщенного метода тиражируемых сечений.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и докладывались на: региональной научной конференции «Наука. Техника. Инновации» (Новосибирск, 2002, 2003гг) — российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2004г) — Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004г) — VII международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 2004г) — The Eighth Korea-Russia International Symposium on Science and Technology KORUS 2004 (Томск, 2004г). Работа поддержана грантом Федерального агентства по образованию № А04−8-704.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 11 печатных работ из них 4 статьи, 3 работы в сборниках трудов международных конференций и 3 работы в сборниках тезисов конференций.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников (85 наименований). Работа изложена на 182 страницах, включая 60 иллюстраций и 22 таблицы.

Основные результаты проведенных исследований состоят в следующем.

1. В рамках одной из известных реализаций метода тиражируемых сечений предложена процедура автоматической генерации частично совпадающих промежуточных и основных сечений, а также процедура автоматического определения количества промежуточных сечений в различных подобластях расчетной области, основывающаяся на размере треугольных элементов сетки, заданной на сечениях. Данные процедуры при минимальных трудозатратах со стороны оператора, задающего сетку, позволяют без ущерба для точности получаемого решения сократить число узлов в сетке на 1570% в зависимости от особенностей задачи. Эффективность этих автоматических процедур продемонстрирована на ряде практических задач.

2. На основе модифицированного метода тиражируемых сечений предложен обобщенный метод тиражируемых сечений, ключевой особенностью которого является возможность построения тетраэдральной сетки между сечениями с топологически различными триангуляциями. Таким образом практически полностью снимается ограничение на количество и расположение узлов на сечениях, что позволяет эффективно сгущать/разрежать сетку в различный подобластях расчетной области вне зависимости от геометрических размеров этих подобластей.

3. Проведено исследование эффективности ряда алгоритмов, используемых на разных этапах обобщенного метода тиражируемых сечений, включая различные альтернативные варианты алгоритмов построения тетраэдров в локальном объеме и альтернативные варианты алгоритмов формирования подобластей в образе треугольника грубой триангуляции, необходимых для построения тетраэдров. На основе этого исследования предложены наиболее оптимальные схемы реализации обобщенного метода тиражируемых сечений. Исследование проводилось на большом количестве триангуляций, построенных для практических задач.

4. На примере ряда модельных и практических задач с сильно разномасштабной геометрией расчетной области проведено исследование точности решений, получаемых на сетках, построенных обобщенным методом тиражируемых сечений и точности решений, получаемых на сетках, построенных стандартным методом тиражируемых сечений. Выявлено негативное влияние вытянутых элементов, содержащихся в сетках, построенных стандартным методом, на скорость сходимости решения СЛАУ и на точность получаемого решения. Продемонстрирована эффективность обобщенного метода тиражируемых сечений, позволяющего за счет более оптимальной сетки существенно повысить точность конечноэлементного расчета при минимальном увеличении вычислительных затрат по сравнению с сетками, построенными стандартным методом.

5. Предложена концепция раздельной реализации интерфейса пользователя и прикладных задач на уровне исполняемых модулей. Разработан простой и достаточно гибкий механизм взаимодействия прикладного кода с кодом, реализующим графический интерфейс пользователя. Предложенная технология позволяет существенно облегчить перенос приложений под управление различных операционных систем. Предложена библиотека классов для разработки графических интерактивных модулей пакетов математического моделирования, позволяющая комбинировать различные прикладные компоненты в одном приложении, делая систему легко настраиваемой под нужды конкретного пользователя (исследователя). На основе этой библиотеки разработан новый трехмерных препроцессор для пакета математического моделирования TELMA, включающий объектно-ориентированную реализацию обобщенного метода тиражируемых сечений. Использование объектно-ориентированного подхода позволило сделать реализацию обобщенного метода открытой для дополнительных настроек и расширений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.