О поведении обобщенных решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка в окрестности границы и на бесконечности

В данной работе изучаются свойства обобщенных решений различных краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка в окрестности граничной точки и на бесконечности в неограниченной области.

В области рассматривается уравнение с измеримы* ми и ограниченными коэффициентами.

Здесь и далее предполагается суммирование по повторяющимся индексам от I до w. Заданы граничные условия: где'9- ^ «единичный вектор внешней нормали, 1Л/ Ь * множества^х. ~ замкнуто.

Через будем обозначать в случае ограниченной области Si, Гс1) Ц, пополнение множества функций из обращающихся в нуль в окрестности множества Г, по норме.

Ид- {/з/.

XL.

Vw где ^и^-ТлМ/2*. В случае, когда область И. неограничена, так U, А ^ будем обозначать пополнение множества функций из, обращающихся в нуль в окрестности множества и в окрест* а ности бесконечности, по норме ^IW^f-V, считал в этом случае, что Я.

Функцию назовем обобщенным решением уравнения /I/ с условием /2/, если.

— /4/.

L v й SX для любой функции.

Вопрос о непрерывности обобщенных решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка изучался во многих работах. В силу теоремы Де Джорджи / см. [1 — 5^} /, из которой следует непрерывность обобщенных решений внутри области, этот вопрос сводится к изучению вопроса о регулярности граничных точек. Для уравнения Лапласа, а также для общих уравнений эллипс тического типа второго порядка с достаточно гладкими коэффициентами полный ответ на этот вопрос дает критерий Винера / см. обзор в работе В. А. Кондратьева, О. А. Олейник /.

Впервые оценки модуля непрерывности обобщенного решения несамосопряженного уравнения эллиптического типа второго порядка в регулярной по Винеру точке границы даны в работах В.Г.Мазьи1.

• В работе А. А. Новрузова установлены оценки модуля непрерывности решения задачи Дирихле при условии, что коэффициенты такого уравнения удовлетворяют условию Дини.

В работе В. Литтмана, Г. Стампаккьи, Г. Ф. Вайнбергера ^IO^v-показано, — что при^^-^-^-О граничная точка для уравнения.

I/ регулярна тогда и только тогда, когда она регулярна по Винеру для уравнения Лапласа. В работе В. Г. Мазьи ^П^установлены оценки модуля непрерывности обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения /I/ в регулярной граничной точке.

Поведение решений общих краевых задач для эллиптических уравнений любого порядка в областях с особенностями на границе типа конических или угловых точек и в окрестности ребра изучается в работах В. А. Кондратьева / см. |l2]7jl3^ /, а также этому вопросу посвящено большое число работ В. Г. Мазьи и Б.А.Пламеневско-го / см., например,, /. В частности, в работе исследуются свойства решений общей краевой задачи в области, граница которой содержит конечное число конических точек. Решения рассматриваются в специальных пространствах функций, имеющих производные, суммируемые с некоторым весом, представляющим собой расстояние от данной точки до границы в определенной степени. Эти весовые пространства хорошо улавливают основную особенность таких решений, состоящую в том, что решение гладко всюду, кроме конических точек, а при приближении к конической точке оно и его производные имеют, вообще говоря, степенные особенности. Показано, что при уменьшении раствора конуса дифференциальные свойства решения улучшаются. В. Г. Мазья и Б. А. Пламеневский в статье рассмотрели краевые задачи в более общих областях, границы которых вблизи точки 0 в определенном смысле близки к конической поверхности или имеют в окрестности этой точки такую структуру, что пересечение области и сферы радиуса с центром в О имеет меру. В работе l6 В. Г. Мазья и Б. А. Пламеневский впервые рассмотрели общие краевые задачи на многообразиях, имеющих многомерные особенности, например «ребра» различны размерностей и их пересечения. Коэффициенты уравнений и граничных операторов для таких задач могут иметь разрывы на некоторых многообразиях. В данной работе исследуется поведение обобщенного решения задачи /I/, /2/ для случая 0 /то есть задачи Дирихле/ в неограниченной области при [я^р© при помощи метода, введенного в работе при исследовании свойств решений задачи /I/, /2/ при в окрестности граничной точки. В работе.

•, в частности, получены оценки максимума модуля обобщенного решения в окрестности начала координат 0 через степенную функцию от |х| при весьма общих предположениях относительно структуры границы области в окрестности начала координат, при нулевых граничных условиях Дирихле в этой окрестности и требовании непрерывности коэффициентов при старших производных в точке 0. Для этого используются априорные оценки решения в интегральных весо.

I • вых нормах. Требование непрерывности коэффициентов ft^ в исследуемой точке границы является существенным для справедливости таких оценок, как показывают приводимые в примеры.

Рассматриваемая в данной работе смешанная задача впервые была поставлена Зарембой для уравнения Лапласа в областях с гладкой границей. В его работе [l8] установлена классическая разрешимость такой задачи. ь работе [l9J показано, что в случае, когда область звездная и (м> мерный объем носителя данных Дирихле положителен, обобщенное решение задачи Зарембы существует. а работе ЦяоДрассматривается краевая задача, отличающаяся от задачи /I/, /2/ смешанным условием: t, а ^ на ^.

Решается вопрос о разрешимости такой задачи в классе непрерывных в II решений, если С^О, «а коэффициенты достаточно гладкие внутри области и не слишком растущие вблизи точек стыка П, и f*, причем при предполагавется, что касательные плоскости к Ц и в точках стыка их совпадают. Впервые такая задача была рассмотрена Жиро / см./, который искал ее решения, непрерывные всюду в J1 .

В работе подобная задача рассматривается в ограниченной области с достаточно гладкой границей для эллиптической системы порядка livv, причем на V^ задано условие первой краевой задачи, на — смешанное, ^VJ^^H.. Рассматриваются вопросы, связанные с разрешимостью и устойчивостью таких задач, а также устанавливается возможность их решения методом Галеркина.

В работе рассмотрена эллиптическая система в области с гладкой границейГ^Г^ «где 'jj — - гладкое.

К-2) — мерное многообразие. На Ц и задаются общие граничные условия, удовлетворяющие условиям Шапиро — Лопатинского. Доказывается нормальная разрешимость задачи в некоторых специальных пространствах. Рассматривается вопрос о поведении такого решения в окрестности^, при этом полученные интегральные представления решения позволяют вывести асимптотику решения в окрестности ^ и изучить его гладкость.

В случае Жгь V, то есть для задачи Неймана в негладки, А кой области Si необходимые и достаточные услвоия на структуру области для существования обобщенного решения даны в работе В. Г. Мазьи, эти условия формулируются в виде некоторых изо-периметрических неравенств при помощи гармонических мер.

В работе В. Г. Мазьи, Т. М. Керимова устанавливается критерий регулярности решения задачи Зарембы для уравнения Пуассона на бесконечности в цилиндре, ана-логичный критерию Винера.

Поведение рещения задачи Зарембы на границе области .Q, с помощью гармонических мер исследуется в работах {?6 — 23]. Например, в случае, когда^^! — гладкая (ft-i)-мерная поверхность винеровская емкость только носителя данных Дирихле отвечает за поведение решения в окрестности точек. Так, в работе |2б] установлено, что если^Ц липшицева и точка xVf^V, то расходимость ряда Z^^ ^^Q^-m,) «гДе Си Ы) винеровская емкость множества, Q — шар радиуса % с центром в, эквивалентна регулярности точки относительно задачи /I/, /2/. В работе даны достаточные условия на «малость» в окрестности точек стыка носителей данных Дирихле и Неймана для того, чтобы решение задачи /I/, /2/ было непрерывно в замкнутой области.

В работах |28−29] изучается вопрос о поведении решения задачи Зарембы в окрестности множества П (У, при этом вместо требований гладкости границы накладываются условия выполнимости неуоторых изопериметрических неравенств. В работе² 8] исследуются свойства гельдеровости решения вблизи точек стыка носителей данных Дирихле' и Неймана. В работе [29J получен критерий регулярности граничной точки с помощью понятия проводимости /см. также [24] /.

Дифференциальные свойства обобщенных решений задачи Неймана для эллиптических уравнений второго порядка в областях, граница которых содержит гладкие непересекающиеся? и.-?)-мерные ребра, подробно исследуются в работах [30−31]. В них устанавливается принадлежность слабых решений такой задачи вблизи точки ребра некоторым весовым пространствам Соболева и Гельдера, когда в качестве весовых функций берутся степенные функции от расстояния от точки X до ребра. Эти работы развивают результаты и методы упомянутых работ Хб^ .

Изучение обобщенных решений задачи Неймана для эллиптических уравнений на бесконечности в неограниченных областях проводится в работах jj32−34j. В работе получены оценки обобщенных решений задачи Неймана для эллиптического уравнения второго порядка в зависимости от геометрических свойств области при боль' ших значениях |х|. На основе оценок решения в норме it по отдельным частям области при условии лигапицевой границы получаются оценки модуля решения в окрестности бесконечности. В частности, показывается, что в областях, близких к цилиндру, обобщенное решение при определенных ограничениях на рост его интеграла энергии оценивается через линейную по (х| функцию и правую часть уравнения.

В работе (ззЗ рассматривается решение однородной задачи Неймана для эллиптического уравнения второго порядка в неограниченных областях сложного вида с гладкой границей. Показывается, что имеются три различных возможных способа поведения решения на бесконечности подобно тому, как в случае уравнения Лапласа в бесконечной полуполосе в PJ' решение задачи Неймана либо экспоненциально растет, либо экспоненциально стабилизируется к константе, либо стремится к линейной функции. Эта последняя возможность отличает задачу Неймана от соответствующей задачи Дирихле, в такой полуполосе, для решения которой возможны только первые два типа поведения на бесконечности.

Поведение решений второй краевой задачи для эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях изучается в работе 34]. В ней при весьма общих предположениях относительно структуры области при больших значениях получены оценки решений и их производных в интегральных нормах с весом.

В работе j35j рассматривается смешанная задача для эллиптических уравнений порядка *1Мг, не меньшего, чем размерность пространства %, и показывается, что обобщенное решение такой задачи Ц>0 1 при самых общих предположениях относительно частей границы Х и VL. Отмечается, что при InulA^ Wiyj в таком общем виде это утверждение не имеет места.

В первой главе данной диссертации рассматривается смешанная задача /I/, /2/ в случае, когда Ш!>и jt*>0 • Предположим, что при U, ^ Ц-СЦгО,, , v ъ.

Будем предполагать, что Oefjftf^ и область Л такая, что первое собственное значение оператора Бельтрами на рассматриваемого на функциях, равных нулю на t^h^t*. равномерно ограничено снизу при Это означает, что существует такое JJ,^ «что для всех функций ^(з^, бесконечно дифференцируемых в окрестности S> и равных нулю в окрестности V, имеем.

V i.

4 ft? /5/ при *U1/e. Здесь (ч^Ц — полярные координаты с центром в 0 «л du) • (Ыи) ^ fe (vT^) — квадратичная форма такая, что.

ЪЫф ^ jjwf- 0-^ Такое требование, накладываемое на, допускает весьма общую структуру 1раницы в окрестности точки 0. Например, в случае точка 0 может быть точкой пересечения двух любых жордановых кривых. Для ряда областей при определенных множествах П, и ^ можно выразить jHe в явном виде или оценить его через геометрические характеристики области в рассматриваемой окрестности, что^{.позволяет} на конкретных примерах проверить точность полученных оценок.

В § I главы I устанавливаются интегральные оценки обобщенных решений уравнения /I/ с условием /2/ при toit^^/O. Пусть.

ОТ^ • Основным результатом § I является.

Теорема 2. Предположим, что «множество У принадлежит конической поверхности с вершиной в почти всюду на } (^Цх)-^ S при / 5Vi — символ Кронекера/. Тогда для обобщенного решения уравнения /I/ с условием /2/ справедлива оценка.

6/.

Л Л при t и таком' что прэ^ая часть /6/ конечна.

Постоянная С не зависит от ,.

Приводится пример, указывающий на необходимость требования * * непрерывности (Х^ в точке 0 для справедливости данной теоремы.

Кроме того, для областей, расположенных по одну сторону гиперплоскости «рассматриваются плоские сечения и устанавливаются неравенства типа принципа Сен-Венана в теории упругости:

Теорема 3. Пусть область И такая, что при некотором область принадлежит полупространству — множество (Г^ не пусто и ограничено при лю о бом. Предположим, что в, сС^О?*,.

Пусть 0, «iQ-^W^r^y ^ и пусть существует измеримая ограниченная на каждом интервале (t^t^ 1 Функ где ция Щ такая, что.

Ш, I I.

Ж — множество бесконечно гладких в окрестности (ц. функций, равных нулю в окрестности р (kv.

Тогда для обобщенного решения уравнения /I/ с условием /2/ в XV при любых ^ЬЦФ^), имеет место неравенство wr 01 lsiv-й J.

111 V v-A где ^-l^b)**.. •t.

В § 2 аналогичные оценки устанавливаются в неограниченных областях, таких, что не пусто при достаточно больших ,.

Теорема 5. Предположим, что существует такое что для всех функций ^fcC), бесконечно дифференцируемых в окрестности S^ и равных нулю в окрестности, при имеет место соотношение /5/. Пусть принадлежит конической поверхности с вершиной в 0, в частности ГЛ может быть пусто, когда вместо условий смешанной задачи имеем данные Дирихле при.

Пусть почти всюду на имеем ф^ЦЧо при j^oo^U^W. Тогда для f^^K^KM^ имеет место оценка обобщенного решения уравнения /I/ с условием /2/ в неограниченной области :

Ч1) Ах Wf) dx, ЦЛ /8/ xt л ^ -0если правая часть конечназдесь константа С не зависит от.

М^Н-Л.

В § 3, главе 2, на основе полученных в § I интегральных оценок устанавливаются оценки модуля непрерывности обобщенного решения уравнения /I/ с условием /2/ в окрестности граничной точки 0. Для этого используются оценки типа Де Джорджи — Мозера модуля обобщенного решения такой задачи, удовлетворяющего заданным граничным условиям на части границы области, через норму решения в /л по некоторой большей подобласти Qt, Q^Q^c^ когда на заданы какие-либо граничные условия / при условиях задачи Дирихле см., например, работы ^36−38,5]/. В диссертации они доказаны при условиях смешанной задачи и являются обобщением таких оценок при П^Г^Цс^. При этом не требуется никакой гладкости, но необходимо предполагать некоторую гладкость \.

Теорема 7. Пусть для некоторого R-Oov^t>0 в области выполнены предположения теоремы 2, множество принадлежит гиперплоскости i, причем • Предположим, что }? ^^-ОМ.1* W^i) ПРИ любом, некотором.

Тогда для обобщенного решения U (x) уравнения /I/ с условием /2/ в S1 имеет место оценка.

Ъ1 ' 4 /9/.

Of то же, что и в теореме 2, константа С, не зависит от %.

Для областей типа острия, направленного вне области, с вершиной в точке 0, более точные оценки получаются при использовании теоремы 3.

В § 4 исследуется характер поведения модуля обобщенного решения уравнения /I/ с условием /2/ в неограниченных облает тях при 1х-^>оо на основе оценок типа Де Джорджи — Мозера, установленных в § 3, и результатов § 2 главы I, аналогично тому, как это сделано в § 3 для ограниченных областей. Основным результатом является теорема 9, в которой устанавливается оценка обобщенного решения уравнения /I/ с условием /2/ вида /9/, где вместо ^ надо брать, определенное в теореме 5, при достаточно больших .

В § 5 на основе результатов предыдущих параграфов получены оценки показателя Гельдера обобщенного решения смешанной задачи, в замкнутых областях, в предположении, что носитель данных Неймана достаточно гладкий.

Предположим, что в области II выполнены предположения теорем 2 и 7, ЦоТ^-'ЭХ! «причем множество Ц, если оно не пусто, диффеоморфно открытому множеству на гиперплоскости. Пусть для любой точки число, определимое при помощи соотношения /5/ если точку принять за начало координат, не меньше j3Uoo"v>it>0. Пусть область!^ содержит носитель область ivl^pll^ и находится на положительном расстоянии d от^. Функции ^А^Л*) при некотором. Тогда, как следует из теоремы Де Джорджи / см. в области обобщенное решение задачи /I/, /2/ принадлежит классу Гельдера С^Ц^, где Ле зависит от коэффициентов уравнения /I/, d/Д^.

Теорема 12. Пусть У принадлежит гиперплоскости Ъ) причем Ц находится по одну сторону от Ъ. Предположим, что.

С" .

А^i, оДх) непрерывны в точках. Тогда обобщенное решение задачи /I/, /2/ в Sl принадлежит C^pL4), где 1 |.

В § б рассматриваются некоторые конкретные примеры.

1. Точность полученных оценок проверяется для решений смешанной задачи для уравнения Лапласа в угловой области Цсве-, например, вида чЦг^уЧ/ в областиfil-А• ^У)¦

Тру ^.

При этом из теоремы 7 следует оценка:

Аналогично точность оценок проверяется и в случае Vl>l для решений уравнения Лапласа в областях, являющихся конусом с вершиной в 0.

L ^.

2. Пусть область, где з-зОц,.,*^ l при некотором. Носитель данных Неймана.

1 I ч) к где приандлежит (lfl-2^- мерной границеDсечения так" что ^^V^ и — гладкая гиперповерхность. Тогда, если в некоторой окрестности 0 функции =0, и выполнены предположения теоремы 3 § I для уравнения /I/, то для обобщенного решения Ia^s) уравнения /I/ с условием /2/ в такой области на основе теоремы 3 и результатов § 3 главы 2 получается при достаточно малых t оценка:

Такая же оценка получится для обобщенного решения в области Д^ которая получается из указанной области.

IL если \ останется таким же, а кусочно-гладкое будет находиться внутри области.

3. Рассмотрим область при некотором Носитель данных Неймана — ef^ ^ о Xvv где ГЛ принадлежит (ft-мерной границе ткг^ сечения G^Sl^^t*. так, что и — гладкая гиперповерхность.

Тогда, если в выполнены предположения теоремы б § 2 для уравнения /I/, j^-O при достаточно больших X, то для обобщенного решения уравнения /I/ с условием /2/ имеем при достаточно больших: Sub Цх4)^ С^Ягш ^ ц ^CotutaO.

В главе 3 рассматривается уравнение /I/ с граничным условием Неймана, то есть с условием /2/ при, когда точка ОеП, • Исследование проводится методом, введенным в работе О. А. Олейник, Г. А. Иосифьяна 32~] при изучении поведения решения задачи Неймана на бесконечности.

Предположим, что в ограниченной области CLcff рассматривается уравнение /I/ при, для сокращения форму.

4 * «' ч лировок считаем v,^,.^. Пусть существует измеримая на интервале (0^ ^^CjowA,, функция такая, что где tt, Ч множество бесконечно гладких в окрестности функций тач, ких, что^х-О. При 1 этом область й. такая, что. Пусть.

J-0 при достаточно малых х.

В § 7 главы 3 устанавливаются оценки обобщенного решения уравнения /I/ с условием /2/ указанного вида в И вблизи рассматриваемой точки границы 0 в зависимости от структуры области в окрестности этой точки.

Обозначим «где целые, $.>» t. Предположим, что существуют постоянные !((>,?) и 1С такие, что для всех функций Tfc^IL^-^, для которых. Тогда обозначим f * И*.

Введем также Д где обозначает К, — мерный объем области ^ Основным результатом § 7 является о".

Теорема 13. Предположим, что ряд^L, ^00.

Тогда для обобщенного решения уравнения /I/ с условием.

— 19.

2/, Y^-'p, существует постоянная С0 такая, что.

— SI.

В § 8 рассматриваются некоторые конкретные классыобластей, для которых все геометрические характеристики, входящие в данную оценку, могут быть вычислены.

В § 9 главы 3 на основе оценки /10/ и оценок, аналогичных оценкам Де Джорджи — Мозера, установленных в § 3 главы 2, исследуется поведение модуля непрерывности таких решений в граничной точке 0. Формулируются условия, при которых для обобщенного решения уравнения /I/ с условием /2/ рассматриваемого вида справедлива оценка: Ъш ^(^^('M'uJ'tat, где завись * сит только от геометрии области в данной окрестности. Тогда имеет место оценка п/.

Мы приведем следующие из таких оценок результаты для части ных случаев: I. Пусть.

С* ^" - * ч 1.

Пусть ^У^М*), «символ Кронекера, таковы, что о.

Тогда имеем Ь^. Эта оценка является точной, как показывает пример решения уравнения Лапласа в такой области.

— го.

2. Пусть Hc5t при некотором К>. Носитель данных Неймана ^vt^^.

Ф. Тогда для обобщенного решения уравнения /I/ с условием /2/ в рассматриваемом случае имеем где Z^towk, C^C^tovwWO, для достаточно малых .

Основные результаты опубликованы в ') ^43−48] •.