Полное преобразование Фурье-Бесселя и сингулярные дифференциальные уравнения с DB-оператором Бесселя

Актуальность темы

диссертации.

Задачи для дифференциальных уравнений с особенностью в коэффициентах давно и хорошо известны. Однако, методы их решения не являются стандартными и, как правило, зависят от характера особенностей уравнения. Один из подходов, развитый И. А. Куприяновым и его научной школой (Л.А. Иванов, В. В. Катрахов, М. И. Ключанцев, Л. Н. Ляхов и др.), заключается в использовании интегральных преобразований, приспособленных именно к данной особенности. В диссертации исследуются уравнения с ¿-^-оператором Бесселя, появление которого можно проследить даже в классических задачах. Например, применение интегрального преобразования Фурье-Бесселя для определения фундаментального решения? т, п,7 полигармонического уравнения Дт/ = 0 в Лп приводит к следующей задаче Коши с весовыми начальными условиями, определяемыми младшими ¿-^-производными: с12, П-1 (1. уравнение — = ¿-пь где 1 = ^ + — 1.

171,71,7 4') — |51(П)|.

Итго г" Б2&trade- 1^т1п>7(г)=1с-^, М=п- 1 начальные условия .

Нт^о к=О, 1,., 2 т — 2, где | (гг) | — площадь единичной сферы в а.

О* - I В"2' к = 21> I- 12.

Как видим, даже при исследовании классических задач приходится иметь дело с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя Ив порядка к. Этот оператор появляется и совсем в простых задачах, например, В{иу) = Виу + 2и'у' + иВу, но здесь первые производные это и есть оператор ?^ (первого порядка). Уравнения с ¿-^-оператором Бесселя естественно исследовать, используя специальное &bdquo-полное" смешанное преобразование Фурье-Бесселя (введено И. А. Киприяновым и В.В. Катраховым), поскольку в его образах этот оператор имеет весьма обычный символ — Ясно, что соответствующая методика оказывается общей и может применяться к более широкому классу операторов, например, к оператору с особенностью на координатных.

71 V гиперплоскостях: А+ !&bdquo-г дх ' ^ оператор Лапласа вКп, 1 г=у/х+., сл=0, 1, а кг — действительные числа. Конечно, и сама методика нахождения фундаментального решения, и возможности ее применения к новым сингулярным уравнениям открывают новые перспективы в теории сингулярных дифференциальных уравнений, поэтому ее разработка представляется актуальной. Интерес вызывает и другая проблема: как решать (в рамках полного преобразования Фурье-Бесселя) задачи для наиболее общих дифференциальных уравнений и систем с £>^-оператором Бесселя. В 50-х годах исследование систем дифференциальных уравнений в рамках теории обобщенных функций (распределений), с применением интегрального преобразования Фурье, было инициировано И. М. Гельфандом, Г. И. Шиловым. В. М. Борок применила теорию мультипликаторов для построения интегральных представлений решений таких систем. Известен подход В. М. Борок, развитый Я. И. Житомирским еще в 1955 году к системам с оператором Бесселя одного индекса (изотропная сингулярность), когда роль преобразования Фурье выполнило преобразование Фурье-Бесселя. Ев-мультипликаторы (смешанного преобразования Фурье-Бесселя) введены в 1997 году И. А. Куприяновым, Л. Н. Ляховым. Распространение подхода Гельфанда-Шилова-Борок для исследования систем уравнений соператором Бесселя, используя при этом теорию Рв-мультипликаторов, является актуальной задачей для современной теории дифференциальных и сингулярных дифференциальных уравнений. Кроме того, актуальной задачей для математического анализа представляется изучение и приложения &bdquo-полного" преобразования Фурье-Бесссля, введенного ранее И. А. Килрияновым и В. В. Катраховым.

Цель работы. 1) Разработать методику применения полного преобразования Фурье-Бесселя к исследованию операционным методом задач Коши для обыкновенных сингулярных уравнений сО^-оператором Бесселя и весовыми начальными условиями. Найти фундаментальное решение оператора с особенностью типа — на координатной гиперплоскости. 2) Исследовать нормальные системы дифференциальных уравнений с. Ооператорами Бесселя разного индекса по разным направлениям (анизотропная сингулярность). Доказать соответствующие теоремы о существовании и единственности решения. 3) Применить вариант критерия Рв~ мультипликатора для вектор-функций к исследованию решений систем линейных сингулярных дифференциальных уравнений. 4) Получить интегральную форму решений нормальных систем линейных сингулярных уравнений и сингулярных параболических уравнений соператором Бесселя.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах И. А. Киприяпова и его учеников при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.

1. Найдено фундаментальное решение сингулярного.

2 о т дифференциального оператора (+ ^) для случая, когда ^ — действительные числа, удовлетворяющие условию п +^7г > 1. В случае, если все числа 7 г > О, этот оператор называется В-полигармоническим. Дано интегральное представление фундаментального решения более п общего оператора Ав+ X) к<�х- ' э!" 7' где — оператор Лапласаг=1.

Бесселя в. , — 0, 1 при условии п+ ?7| + ^^г > 1.

2. Доказана теорема о представлении фундаментального решения обыкновенного сингулярного уравнения с постоянными коэффициентами, сингулярность которого порождена соответствующими степенями Ив-оператора Бесселя.

3. Доказаны теоремы существования и единственности решения систем сингулярных уравнений с ¿-^-операторами Бесселя разных индексов по некоторым переменным.

4. Получена интегральная форма решений систем сингулярных параболических систем уравнений с .О^-операторами Бесселя разных индексов по некоторым переменным.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструктивное описание математических объектов. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, в теории сингулярных дифференциальных уравнений и др.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль в 2008 г., в 2010 г., на научной конференции «Герценовские чтения» в г. С.-Петербурге в 2009—2010 гг., на международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений» в г. Москве, в 2009 г., па международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» в г. Воронеже в 2009—2010 гг., на международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» в г. Минске, Беларусь в 2009 г., в Российской Школе-конференции с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» в Российском университете дружбы народов, Москва в 2009 г., в Воронежской зимней математической школе в 2010 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [1] — [11]. Из совместных публикаций [1],[2],[5],[9],[11] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [11] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3-х глав и списка цитируемой литературы, включающего 42 наименования. Общий объем диссертации 110 стр.

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1,2. М.: Наука. 1973. 294 с.

2. Борок В. М. Решение задачи Коши для некоторых типов систем линейных уравнений в частных производных. // Математ. сборник. 1955. Т.36 (78). № 2. С. 281−310.

3. Бохнер Лекции об интегралах Фурье. М.: ГИФМЛ. 1962.С. 360.

4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977. С. 512.

5. Гельфанд, И. М. Шилов Г. Е. Преобразование Фурье быстро растущих распределений и вопросы единственности решения задачи Коши // Успехи математ. наук. 1953. Т. VIII, вып. 6 (58). С.3−54.

6. Гельфанд, И. М. Шилов Г. Е. Обобщенные функции вып.1. Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М.: ГИФМЛ, 1959. — 470 с.

7. Гельфанд, И. М. Шилов Г. Е. Обобщенные функции вып.З. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М.: ГИФМЛ. 1958. С. 275.

8. Градштейн И. С., Рыжик И. М. «Таблица интегралов, сумм, рядов и произведений» .

9. Житомирский Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений с оператором Бесселя. // Математ. сборник. 1955 Т. 36(78),№ 2. С.299−310.1(5), март 2007 г., с.121−130.

10. Киприянов И. А., Преобразование Фурье Бесселя и теоремы вложения для весовых классов. Труды матем. ин-та им В. А. Стеклова АН ССР, т.89 (2),(1967).

11. Киприянов И А. Сингулярные эллиптические краевые задачи.М.: Наука 1997. С. 200.

12. Киприянов И. А., Кононенко В. И. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравнений в частных производных. // Дифференд. уравнен. 1969. Т. V/ № 8. С. 1470−1483.

13. Киприянов, И. А. Об ограниченности одного класса сингулярных интегральных операторов / И. А. Киприянов, М. И. Ключанцев // ДАН. 1969.— Т. 186. — N 6.— С. 740−743.

14. Киприянов И. А., Катрахов В. В., Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов. Математ. сборн., 104, № 1, (1977).

15. P.A. Krutitskii «The 2-D Neumann problem in a domain with cuts Rendiconti di Matematica, Serie VII, Volume 19, Roma (1999), 65−68.

16. Левитан Б.M.Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя. // УМН, 1951, Т. 6, i 2, С. 102−143.

17. Левитан Б. М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения. М.: ГИФМЛ. 1962, С. 323.

18. Лизоркин, П. И. Теоремы вложения для функций из пространства Lp (En) / П. И. Лизоркин // ДАН. 1962. — Т. 143. — N 5. — С. 1042−1045.

19. Ляхов Л. Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом. Воронеж, ВГТА. 1997. 145 с.

20. Ляхов Л. Н. В-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию пространств Киприянова дробной B-гладкости и интегральным уравнениям с В-потенциальными ялрами. Издательство ЛГПУ, г. Липецк, 2007, 234 с.

21. Ляхов Л. Н. О свертывателях и мультипликаторах классов функций, связанных с преобразованием Фурье-Бесселя. ДАН. 1998. Т. 360, № 1. С.16−19.

22. Ляхов JI.H., Рыжков А. В. О решениях В-полигармонического уравнения // Дифференц. уравнен. 2000. Т.86. № 10. С. 1263−1269.

23. Петровский И. Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитичности функций. // Бюллетень МГУ, секция А, выпуск 7. 1938.

24. Самко С. Г. Об основных функциях, исчезающих на заданном множестве, и о делении на функции. // Мат. заметки 1977, т. 21, № 667−689.

25. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

26. Hormander L. Pseudo-differential operators/ // Commun/Pure Apflied/ Math., 1965, 18. C. 501−517.

27. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные утравнения // Издательство МИР, Москва 1970.

28. Чечик В. А. Исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярностью // Труды Московского математического общества, 1959. Т.8, — С.151−198.

29. Эйдельман С. Д. Параболические системы. М.: Наука. 1964. С. 442.

30. Райхельгауз Л. Б. Задача Коши для параболических систем дифференциальных уравнений с .Ов-оператором Бесселя. / Л. Н. Ляхов, Л. Б. Райхельгауз. // Вестник Воронежского государственного университета. Серия физика и математика. № 2/2010.— С. 193 198.