Распространение и взаимодействие уединенных волн в одной модели нелинейного упругого композита

В последнее время в теории упругости и приложениях имеется устойчивый интерес к так называемым композиционным материалам (см. напр. [7]- [8]- [11]- [20]). Как следует из их названия, эти материалы состоят из различных перемешивающихся на макроуровне веществ. Для изучения крупномасштабных процессов, с характерным масштабом, сильно превосходящим размер неоднородностей используется метод осреднений основных уравнений модели. Известно, что свойства композита, описываемого осредненными уравнениями, и свойства, составляющих его компонент существенно различаются. В частности, типичен случай возникновения дисперсии, несмотря на то, что в каждом из упругих материалов, составляющих композит, дисперсии нет. Таким образом, композит, состоящий из упругих материалов с нелинейным уравнением состояния, представляет собой диспергирующую среду, в которой могут распространяться волны, являющиеся результатом взаимодействия нелинейных и дисперсионных эффектов, в том числе уединенные волны.

Уединенные волны относятся к общему классу непериодических бегущих волн постоянной формы, основной характеристикой которых является убывание или выход на периодическую асимптотику на пространственной бесконечности. В диспергирующих средах уединенные волны появляются вследствие баланса эффектов нелинейности и дисперсиии.

Согласно понятиям современной теории нелинейных волн, классические уединенные волны — локализованные по пространству решения нелинейных уравнений, описывают волновые процессы в средах с обратимостью и дисперсией. Они привлекают значительный интерес в качестве объектов как математического, так и физического исследований. Присутствие решений типа уединенных волн — солитонов — у сложных нелинейных уравнений стимулировало развитие разнообразных методов мощного математического формализма, в том числе знаменитого метода обратной задачи теории рассеяния — нелинейного аналога Фурье-анализа (см. [13]). Солитоны представляют собой пример уединенных волн, взаимодействие которых происходит без изменения формы, и в этом смысле подобно взаимодействию частиц (название «соли-тон» в английской этимологии происходит от комбинации прилагательного solitary — уединенный — и названия элементарной частицы — фотон, электрон и т. п.). Однако, принятое в настоящее время понятие уединенной волны, относится к более общему классу непериодических бегущих волн, основной характеристикой которых является убывание или выход на периодическую асимптотику на пространственной бесконечности. В последнем случае такая волна называется обобщенно-уединенной.

В физически линейной теории упругости существование классических уединенных волн характерно для стержней или пластин, где нелинейные эффекты при распространении волн обусловлены геометрическими причинами, связанными с наличием существенных смещений при малых деформациях, а эффекты дисперсии — изгибными свойствами рассматриваемых объектов. В физически нелинейной теории упругости, где закон Гука модифицируется добавлением в зависимость напряжений от деформаций нелинейных членов, уравнения, описывающие распространение волн в сплошной среде, являются чисто гиперболическими, и диспергирующие члены отсутствуют. Композит является примером среды, где наряду с нелинейными свойствами, которые «остались» от нелинейности упругой матрицы, возникает дисперсия, которая обусловлена наличием неоднородности на макроуровне. В связи с изложенным представляется актуальным исследование распространения разных типов локализованных волн напряжений и деформаций в композитах и, в частности, влияние разных типов стационарных локализованных структур (классических и обобщенно-уединенных волн) на физические особенности нестационарных волновых процессов, связанных с распадом или распространением локализованных возмущений. Вопрос о эволюции последних имеет фундаментальный характер в любой физической системе.

В диссертации изучаются плоские волновые движения в неоднородной нелинейной упругой среде (композите), когда перемещения, деформации и скорости частиц зависят от одной пространственной переменной и времени. Будут рассматриваться несжимаемые упругие среды, когда деформации сжатия являются постоянными, как нулевыми, так и ненулевыми.

Несмотря на то, что движения нелинейного упругого тела описываются гиперболической системой уравнений [19], наличие внутренней неоднородной структуры материала на макроуровне приводит к дисперсии волн [1, 2].

Как известно [2], дисперсионные члены при осреднении могут быть добавлены двумя способами в уравнения вида з д (dv х'.

Су = -Р (УъУ2,й) да + С =? ^ ^-(у, и,")J, yj = -f.

Здесь р и A{j = Afj периодические функции с периодом единица, е << 1, что означает, что период неоднородности среды много меньше характерной длины изучаемых волн. В случае, когда Aij = Aij (y), у = х/е, и волна распространяется в направлении xi, дисперсионные члены младшего порядка, возникающие при осреднении, имеют вид (если v — двумерный вектор) v «х Ь, где b — постоянный псевдовектор и штрих обозначает производную по пространственной переменной. В случае, когда направление распространения волны ортогонально направлению периодичности среды, добавочные дисперсионные члены в низшем порядке по г имеют вид М. v'', где Л4 —симметричная, вообще говоря, недиагональная матрица. В диссертации будет предполагаться, что отсутствует волновая анизотропия и Л4 = diag{т, т}. Кроме того, относительно упругой среды примем, что нелинейность, анизотропия и дисперсия малы и представляются членами одного порядка. Тогда система основных уравнений может быть записана в виде (1.10) [9].

Дисперсионное слагаемое с т > 0 появляется в уравнениях движения (второй паре уравнений в (1.10)), например в случаях, когда однородная упругая легкодеформируемая среда содержит однородно распределенные стержни, имеющие достаточную жесткость на изгиб и расположенные параллельно оси х.

В типичной для плоскопараллельных движений ситуации классические уединенные волны возникают как бифуркации из нулевого волнового числа спектра линейных волн. Это означает, что существует такая ветвь дисперсионного соотношения, проходящая через 0, что ее график и график всех остальных ветвей лежат по одну сторону от касательной к графику этой ветви в нуле. Если же такой ветви не существует, то в случае общего положения классическая уединенная волна отсутствует. При этом в ряде случаев возможно образование нового объектаобобщенно-уединенной волны — бегущей волны, подобной классической уединенной волне, но имеющей периодическую асимптотику на бесконечности.

Классические уединенные волны в низшем приближении по малому параметру — амплитуде волны — имеют форму солитонов уравнения Кортевега-де Вриза, которые являются динамически устойчивыми. В связи с этим факт устойчивости классических уединенных волн в случае общего положения представляется вполне естественным. Таким образом, следует ожидать, что локализованные возмущения одной полярности с рассматриваемыми классическими уединенными волнами («горб» или «яма») будут распадаться на эти волны. С другой стороны, процессы распада локализованных возмущений, сопровождающиеся излучением периодических или почти периодических волн, оказываюся тесно связанными с наличием в рассматриваемой обратимой системе соответственно обобщенно-уединенных волн.

В [15, 16] сформулированы достаточные условия существования уединенных волн трех упомянутых типов для плоскопараллельных движений в диспергирующих средах. Экспоненциально малая оценка для амплитуды периодической составляющей обобщенно-уединенных капиллярно-гравитационных волн дана в работе [61]. Условие отсутствия периодической составляющей у обобщенно-уединенной волны в общем случае сформулировано [53]. Однако проверка этого условия представляет конструктивные трудности в каждом конкретном случае.

В главе 4 настоящей работы будут рассмотрены вопросы существования уединенных волн и замещения их обобщенно уединенными волнами для разных диапазонах скоростей бегущей волны для композита, находящегося в предварительно деформированном состоянии [6], [21]. Здесь имеет место ситуация, типичная для моделей гидромеханики, где волновые решения полной системы уравнений типа классических уединенных волн отсутствуют для определенных областей изменения физических параметров: в моделях идеальной тяжелой несжимаемой жидкости конечной глубины с поверхностным натяжением [24], [37], [48,49], [58], [60]- под упругой пластиной, моделирующей ледовый покров, [17], [41,42], [45]- непрерывно стратифицированной идеально-несжимаемой жидкости конечной глубины [22]- двухслойной идеально-несжимаемой жидкости с конечными глубинами слоев [25], [33], [35], [55], [62]- холодной квазинейтральной бесстолкновительной плазмы, помещенной в однородное магнитное поле [14, [15], [26], [44].

Система уравнений в частных производных в композите, рассматриваемом в главе 4 является обратимой, т. е. инвариантной относительно отражения времени и динамической координаты. Обратимость — естественное свойство задач, где направление распространения волн неогра-ничено и не имеет предпочтительной ориентации и фиксированного начала координат. Основные этапы исследования рассматриваемых задач сводятся к следующим.

1. Определение критического значения параметра бифуркации, т. е. значения физического параметра задачи v = vo, при малом возмущении v — v — vq которого, наряду с нулевым решением, система имеет нетривиальное решение.

2. Запись системы уравнений, описывающих бегущие волны, в виде конечномерной или бесконечномерной динамической системы: w = Aw + F (v, w), A = A (v0), (0.1) где w — неизвестная вектор-функция, A (v) — матрица или линейный оператор, действующий в некотором гильбертовом пространстве (в случае бесконечномерной динамической системы), а Т{у, w) — нелинейная вектор-функция своих аргументов. Точка над функцией обозначает производную по неограниченной пространственной координате, которая играет роль динамической переменной.

3. Определение движения собственных значений линейного оператора A{v) в окрестности мнимой оси при изменении спектрального параметра v = v — vq. Бифуркации возникают при пересечении собственными значениями A (v) мнимой оси. В силу обратимости системы уравнений собственные значения A{v) выходят на мнимую ось парами при изменении параметра v и являются симметричными относительно мнимой и вещественной осей. В рассмотрениях главы 4 используются следующие типы бифуркаций: бифуркация, отвечающая простому резонансу или бифуркация из нулевого волнового числа, бифуркация, отвечающая резонансу длинной и короткой волн (см. напр. [18]).

4. Понижение порядка динамической системы. Формально понижение порядка осуществляется при помощи разбиения неизвестных функций на сумму двух слагаемых. Одно из этих слагаемых представляет собой линейную комбинацию присоединенных и собственных векторов, соответствующих центральному спектру (мнимым собственным значениям), а другое является малой следующего порядка по амплитуде волн и представляет собой определяемую функцию от первого слагаемого. Уравнения на коэффициенты упомянутой линейной комбинации являются системой пониженного порядка. В случае бесконечномерной динамической системы указанное понижение порядка возможно лишь при выполнении дополнительных условий, которым должен удовлетворять оператор Л [50], [54], [63].

5. Исследование системы обыкновенных уравнений, полученных после понижения порядка. Проводится асимптотическими методами, в частг ности, приближением уравнений пониженного порядка квазинормалъ-ными формами этих уравнений. Уравнения в квазинормальной форме, отвечающие двум перечисленным типам бифуркаций, являются интегрируемыми [49].

6. Доказательство грубости решений типа уединенной волны асимптотических уравнений, т. е. доказательство того факта, что решения полной системы, приближаемые решениями асимптотических уравнений, являются также уединенными волнами соответствующих типов. Эти доказательства, как правило, сводятся к использованию теоремы о неявной функции в различных формах. Для бифуркаций, изображенных на рис. 1, такие доказательства известны для всех типов бегущих волн, кроме случая решений типа классических уединенных волн, которыми обладает система уравнений в квазинормальной форме для резонанса длинных и коротких волн: в случае общего положения эти уединенные волны соответствуют решениям типа обобщенно-уединенных волн полной системы (см., например, [49]). Теорема о понижении размерности динамической системы (о центральном многообразии), а также вывод типов систем уравнений в квазинормальной форме, используемых в данной диссертации для нахождения волновых решений, приводится в приложении.

Вопрос о возможности наблюдении классических уединенных волн на практике, естественно, связан с динамической устойчивостью этих волн. В главах 2, 3 рассматриваются вопросы устойчивости и неустойчивости классических уединенных волн в композите без предварительных деформаций, когда обобщенные уединенные волны отсутствуют. В главе 2 доказываются достаточные условия устойчивости классических уединенных волн и устанавливаются диапазоны устойчивостиинтервалы изменения скорости, где имеет место устойчивость.

Литература

относящаяся к исследованию устойчивости солитонов современными методами в разных задачах нелинейной физики достаточно обширна. Не претендуя на сколько-нибудь полный обзор по этому вопросу, ограничимся здесь упоминанием ряда работ в этой области. Анализ орбитальной устойчивости, основанный на геометрическом подходе к исследованию гамильтоновых систем, впервые развит в работах [30], [32], где рассматривается нелинейная устойчивость солитонов уравнения Кортевега-де Вриза и альтернативного уравнения Бенджамена.

Боны-Махони. Применение аналогичных методов к исследованию соли-тонных решений некоторых других модельных уравнений может быть найдено в работах [31], (уравнение Бенджамена-Оно), [59] (нелинейное уравнение Клейна-Гордона и нелинейное уравнение Шредингера), [23] (т.н. уравнение для умеренных длин волн), [33] (обобщенное уравнение Буссинеска), [38], [46] (уравнение Кавахары), [34] (семейство обобщенных уравнений Кортевега-де Вриза), [29] (устойчивость петлевых соли-тонов в нерастяжимых стержнях), [57] (асимптотическая устойчивость солитонов уравнений Кортевега-де Вриза). Обсуждение общих вопросов устойчивости и неустойчивости солитонов в гидромеханике и плазме приводится в обзорах [52], [56].

В главе 3 рассматриваются вопросы неустойчивости и примыкающие к ним вопросы взаимодействия устойчивых уединенных волн в композите без предварительных деформаций [28]. Эти вопросы решаются при помощи численного счета с использованием консервативной конечно-разностной неявной схемы. Взаимодействие определенного класса уединенных волн в рассматриваемой модели композита оказывается аналогичным взаимодействию солитонов в интегрируемых системах, приводящее к образованию бризеров.

Формулировка задачи и вывод основных уравнений приводятся в главе 1.

Выводы.

В диссертации получены следующие результаты.

• Изучены типы неустойчивости классических уединенных волн в модели композита без предварительных деформаций. Показано, что в ряде случаев на нелинейной стадии развития неустойчивости уединенные волны подвержены коллапсу, что соответствует сильной концентрации напряжений в малых объемах композита;

• в композите без предварительных деформаций установлено существование периодических по времени устойчивых волновых структурбризеров, которые описывают локализованное распределение деформаций и напряжений;

• при наличии предварительных деформаций в композите установлено существование двух семейств уединенных волн, ответвляющихся из состояния покоя — медленного и быстрого. Медленное семейство образовано классическими уединенными волнами, а быстрое — обобщенно-уединенными волнами, которые являются продуктом нелинейного резонанса классической уединенной волны и периодической волны;

• описана эволюция локализованных возмущений для волн быстрого и медленного семейства. Для быстрого семейства эволюция характеризуется потерей энергии в результате квазистационарного излучения резонансной волны.