Спектральные свойства гамильтонианов явнорешаемых моделей мезоскопических структур: декорированные квантовые графы и кантовые точки

В настоящей работе изучаются спектральные свойства явно-решаемых моделей мезоскопических систем методами теории самосопряженных расширений операторов, в частности, методом потенциалов нулевого радиуса (точечных потенциалов). Наряду с квазиклассическим подходом, методы теории расширений широко использовались в квантовой механике начиная с 1930;х годов. Одной из первых работ, в которых потенциалы нулевого радиуса применялись для исследования зонного спектра периодических систем, является широко известная статья Р. де Л. Кронига и В. Г. Пенни 1931;го года [113], где рассматривалась модель нерелятивистского электрона, движущегося в жесткой кристаллической решетке. С помощью этой модели И. Е. Таммом были открыты так называемые поверхностные состояния [46]. В 1935 году Г. Бете и Р. Пайерлс [67], а также Л. Томас [151], применив метод потенциалов нулевого радиуса, решили задачу о фоторасщеплении дейтона. Изучая движение нейтронов в водородсодержащих средах по существу методами точечных потенциалов, Э. Ферми [47] неявно ввел так называемый псевдопотенциал Фермиявно это было сделано Г. Брейтом [71] спустя десять лет. С помощью потенциалов нулевого радиуса М. Л. Гольбер-гером и Ф. Зейтцем [101] было проведено исследование электронных свойств трехмерного кристалла, включая исследование плотности состояний, а Я. Б. Зельдович исследовал рассеяние ультрахолодных нейтронов, в частности, им была обоснованна возможность хранить нейтроны в сосудах с графитовыми стенками (бутылках Зельдовича) [22]. Строгое математическое обоснование метода потенциалов нулевого радиуса в рамках теории самосопряженных расширений было дано Ф. А. Березиным и Л. Д. Фаддеевым [7]- ими же было предложено использовать формулу М. Г. Крейна для получения резольвент точечных возмущений. Систематически метод потенциалов нулевого радиуса был изложен в монографиях Ю. Н. Демкова и В. Н. Островского [20], А. И. Базя, Я. В. Зельдовича и А. М. Переломова [2]. Дальнейшее развитие метода связано с работами Б. С. Павлова [29, 36, 37], С. Альбеверио [1], П. Экснера [62, 72, 92, 93], их коллег и учеников. Обширная библиография работ, посвященных применениям метода точечных потенциалов, имеется в монографии С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хёэг-Крона и X. Хольдена [1] (второе издание с дополнением П. Экснера и расширенной библиографией вышло в 2005 году [52]) и монографии С. Альбеверио и П. Б. Курасова [54].

В настоящей диссертации методами теории самосопряженных расширений исследуются спектральные свойства двух важных классов явнорешаемых моделей мезоскопических систем: искривленных систем пониженной размерности (моделируемых так называемыми гибридными многообразиями, содержащими части различных размерностей) и квантовых точек с примесными центрами. Основные результаты, касающиеся упомянутых моделей, изложены во второй и в третьей главах диссертации соответственно. Исследования, проводимые в этих главах объединены общим методом, основанном на спектральном анализе возмущений конечного ранга операторов с дискретным спектром, основные теоремы о котором сформулированы и доказаны в первой главе. Кроме того, в третьей главе исследование операторов, периодических относительно дискретных групп, использует комбинацию методов теории расширений и гармонического анализа как на коммутативных группах (теория Флоке-Блоха), так и на группах общего вида. В случае группы общего вида используются подходы, основанные на теории С* -алгебр, называемые также методами некоммутативной геометрии (см. монографии А. Конна [85], Ю. И. Манина [124], В. М. Мануйлова и Е. В. Троицкого [33] и т. д.). В контексте рассматриваемых задач удобно применять вариант теории расширений, разработанный М. Г. Крейном, в рамках которого самосопряженные расширения параметризуются самосопряженными операторами в дефектном пространстве, и дается явное описание резольвент расширений в терминах резольвенты невозмущенного оператора и операторов граничных значений. Необходимые сведения из теории М. Г. Крейна, а также некоторые самостоятельные результаты, излагаются в первой главе диссертации. В частности, в этой главе достаточно подробно исследована зависимость спектров возмущений конечного ранга операторов с дискретным спектром от параметров расширения.

Актуальность темы

В последнее время мезоскопические структуры, такие как квантовые точки и фуллериты, привлекают все большее внимание. На основе квантовых точек были созданы эффективные лазеры, детекторы инфракрасного излучения, и другие оптоэлектронные устройства, предоставляющие, в частности, элементную базу для квантовых компьютеров (см., например, обзор Н. Н. Леденцова, Ж. И. Алферова, Д. Бимберга и др. [30], и монографии [48,68,130]). При создании такого рода наноустройств необходимо иметь квантовые точки с заданными транспортными и оптическими свойствамиодин из способов контролировать эти свойства заключается во внедрение примеси. Для исследования короткодействующей примеси эффективно использовать приближение нулевого радиуса, которое приводит к явнорешаемой модели, если явно известен вид функции Грина гамильтониана точки без примеси. Отметим, что явнорешаемая модель получается при выборе потенциала конфайнмента квантовой точки в виде потенциала изотропного гармонического осциллятора (параболического потенциала), так как функция Грина соответствующего гамильтониана была найдена явно в [3, 102, 110]). Для моделирования потенциала конфайнмента используются и другие потенциалы, например, потенциал прямоугольной ямы. Выбор потенциала гармонического осциллятора обусловлен результатами работы [126], где показано, что самосогласованное решение соответствующей системы уравнений Пуассона и Шредин-гера дает потенциал, имеющий форму обрезанного параболического потенциала.

Возмущения параболического потенциала потенциалом нулевого радиуса изучались в ряде работ по теоретической и математической физике. В статье [60] на физическом уровне строгости спектральные свойства точечных возмущений гармонического осциллятора были рассмотрены в контексте одномерных моделей топониума и конденсации Бозе-Эйнштейна. Строгое математическое обоснование результатов работы [60] было проведено в [94, 96, 136], однако полученное в этих работах уравнение на собственные значения имело сложное выражение, содержащее функциональные ряды, в связи с чем зависимость спектра от положения носителя возмущения осталась неисследованной. В более общем контексте исчерпывающее исследование спектра точечного возмущения одномерного осциллятора было проведено в [18, 100], где существенно использовались свойства одномерного дифференциального оператора второго порядка, что не позволяет распространить методы этих работ на трехмерный случай.

Точечное возмущение трехмерного изотропного гармонического осциллятора исследовалось в [95], где однако было рассмотрено лишь возмущение, расположенное в точке равновесия осциллятора, а уровни энергии были найдены приближенно. В работах В. Д. Крев-чика и др. [24,25,26,112] примесь в сферически симметричной квантовой точке моделировалась потенциалом нулевого радиуса на физическом уровне строгости, а влияние примеси на спектр анализировалась численнопри этом функция Грина возмущенного оператора представлялась в виде преобразования Лапласа ядра теплопроводности, что существенно сузило возможности подхода, позволив исследовать лишь нижний примесный уровень. Во второй главе диссертации дается исчерпывающий спектральный анализ возмущения трехмерного гармонического осциллятора (включая анизотропный случай) точечным потенциалом произвольного положения и интенсивности опираясь на упомянутые выше методы теории расширений. Более того, в случае изотропного гармонического осциллятора, используя явный вид функции Грина, нами получено замкнутое выражение Вфункции Крейна (в виде алгебраической комбинации функции параболического цилиндра и Г-функции Эйлера), что позволило подробно исследовать спектр точечного возмущения (а следовательно, спектр короткодействующей примеси в квантовой точке с мягкими стенками) как функцию интенсивности потенциала примеси и ее положения. В частности, доказана возможность восстановления параметра параболического потенциала квантовой точки по зависимости основного состояния возмущения от положения примеси, рассмотрены эффекты падения частицы на притягивающий центр и позиционного беспорядка.

Обратимся теперь к системам, которые можно моделировать с помощью декорированных графов, изучаемых в третьей главе диссертации. Одним из значительных научных событий прошлого века явилось открытие Г. Крото, Р. Смолли и Р. Курлом фуллеренов [114]- стабильность таких конфигураций была доказана Д. А. Бочваром, Е. Г. Гальпериным, И. В. Станкевичем (см. обзор [44]). На основе нанотрубок, фуллеренов и их массивов создаются материалы с заданными физическими и химическими свойствами, в том числе новые нелинейные элементы для электроники и оптоэлектроники (см. монографию П. Харриса [48]). Для создания таких устройств важно уметь предсказывать оптические и транспортные свойства электронов в упомянутых мезоскопических системах. Один из подходов к изучению этих свойств заключается в моделировании гамильтониа.

Рис. 1: Периодическая поверхность, моделирующая фуллерит[58] на заряженной частицы в массиве фуллеренов оператором Шредин-гера на искривленной поверхности (см. рисунок 1), как это проде-лывалось в работах Т. Андо, X. Аоки и др. [58, 59, 150]- идея такого подхода восходит к первым годам квантовой механики (см., например, обзор Б. С. де Витта [152]). Однако, спектральный анализ периодических операторов Шредингера на многообразиях в общем случае весьма сложенотметим лишь, что достаточно общие условия зонности спектра таких операторов были предложены только в о.

1992 году И. Брюнингом и Т. Сунадой [77], существование многообразий размерности не менее двух, на которых оператор Бельтрами-Лапласа имеет произвольное количество лакун, было доказано только в 1997 Э. J1. Грином [87], а может ли число лакун быть бесконечным не известно до сих пор. Упомянутых выше сложностей, возникающих при исследовании спектральных свойств электрона, движение которого ограничено в одном или двух направлениях, в ряде случаев можно избежать, используя квазиклассические методы (см. работы В. П. Маслова, В. В. Белова, С. П. Доброхотова и др. [6]). В настоящей диссертации предлагается иной подход, приводящий к яв-норешаемым моделям периодических массивов фуллеренов и других мезоскопических структур, отражающим существенные черты reo.

Рис. 2: а) Квазидвумерный фуллерен кумуленовый кристалл СбоСг [42]- б) Соответствующий декорированный граф. а) б) метрии реальных наноструктур. В качестве таких моделей в диссертации предложены и изучены графы, декорированные компактными римановыми многообразиями (называемые далее просто декорированными графами). Используемая нами конструкция декорации графов фактически применялась Б. С. Павловым еще в 1988 при изучении электронов в однородных кристаллах из точечных атомов с внутренней структурой [37]. Неформально говоря, граф, декорированный компактными многообразиями, получается из дискретного графа заменой вершин на многообразия, а ребер на отрезки. Оператор Шре-дингера на декорированном графе строится при помощи методов теории самосопряженных расширений операторов, при этом его резольвента выражается явно через резольвенты операторов Шредингера на многообразиях и отрезках, входящих в декорацию графа, и через операторы граничных значений. Спектральный анализ таких операторов частично сводится к анализу на дискретном графе, что дляпериодического оператора Шредингера позволяет найти уравнения на собственные значения каждого слоя разложения этого оператора в прямой интеграл по тору квазиимпульсов.

Класс декорированных графов, рассматриваемых в третьей главе диссертации, включает в себя метрические (квантовые) графы. По существу метрические графы были использованы при изучении спектров ароматических молекул в 1936 году JI. Полингом [135]. Интенсивно метрические графы стали исследоваться с конца 1980 —х, в частности, при моделировании квантового транспорта в мезоскопических сетях, образованных квантовыми проволоками. Недавно JI. А. Чернозатонским и др. [57] была обоснована возможность объединения нанотрубок в сети, которые также можно моделировать метрическими графами. Первой строгой математической работой об операторах Шредингера на квантовых графах является статья П. Экснера и П. Шебы [93]. Дальнейшее развитие спектральной теории на графах связанно с именами Б. С. Павлова [ 131 ], В. Ко-стрыкина и Р. Шрадера [ 111] и др.- обзор новых результатов и открытых проблем можно найти в статьях П. Кучмента [115]. Для спектрального анализа на метрических графах используются два основных подхода, опирающихся соответственно на теорию обыкновенных дифференциальных уравнений [38], и теорию расширений операторов [8, 72]. Мы используем второй подход, в рамках которого возможно также изучение операторов на декорированных графах.

Поскольку конкретный выбор граничных условий диктуется соображениями, выходящими за рамки настоящей работы, мы рассматриваем операторы Шредингера с граничными условиями общего вида. Такой подход обосновывается результатами работ [84, 92, 118, 141, 143], в которых показано, что при получении метрических графов как пределов так называемых графоподобных поверхностей, оператор Бельтрами-Лапласса на этих поверхностях стремится в некотором смысле к оператору Шредингера на метрических графах с разными граничными условиями, зависящими от способа перехода к пределу. При этом следует выделить работу П. Экснера и О. Поста [92], в которой указан способ предельного перехода, приводящий к граничным условиям Кирхогоффа.

Так как операторы Шредингера на декорированных графах приближают в некотором смысле операторы Шредингера на поверхностях (см. цитированные выше работы), то решение спектральной задачи на декорированном графе позволяет пролить свет на вопросы спектральной теории операторов на многообразиях. Одним из таких вопросов является гипотеза Бете-Зоммерфельда, которая утверждает, что периодический оператор Шредингера в при ^ 2 имеет конечное число лакун в спектре [149]. Гипотеза была доказана М. Скригановым в 1979 для двумерного случая [43] и в 1985 для трехмерного случая [148]- для случаев более высоких размерностей гипотеза была доказана О. А. Велиевым [12], Ю. Карпешиной [107], Л. Парновским и А. В. Соболевым [134] и др. В более общей постановке, эта гипотеза предсказывает конечность числа лакун в спектре периодического оператора Шредингера на римановом многообразии в случае, когда группа периодов имеет ранг не менее двух. В такой постановке гипотеза не доказана и не опровергнута даже для свободных операторов Шредингера, т. е. для операторов Бельтрами-Лапласа на периодических многообразиях. В этом направлении имеются лишь частные результаты, среди которых упомянем работы Э. Л. Грина [87] и О. Поста [138], где предложены примеры периодических многообразий, для которых число лакун в спектре оператора Бельтрами-Лапласса является произвольно большим конечным числом. В случае периодических декорированных графов ситуация более ясна, а именно, известны примеры операторов Шредингера с о бесконечным числом лакун (см. статью И. Брюнинга, П. Экснера и В. А. Гейлера [72]). Однако насколько широк класс таких операторов, не известно.

В связи с изложенным, в третьей главе изучены калибровочно-периодические операторы Шредингера на метрических и декорированных графах, в частности, найдены их резольвенты в терминах операторов Шредингера на ребрах графа и кусках декорации и в терминах операторов пространств граничных значений. Комбинируя методы теории самосопряженных расширений операторов и методы теории С* -алгебр, мы даем условия зонности спектра периодических операторов Шредингера на декорированном графе, а также условия, при которых эти операторы приближаются с произвольной точностью в сильном резольвентном смысле операторами с канторовым спектром. При естественных ограничениях мы доказываем отсутствие дискретного спектра у операторов Шредингера с бесконечной группой периодичности общего вида, а также отсутствие непрерывно сингулярного и плотного точечного спектров дляпериодических операторов Шредингера. Здесь же предъявляется широкий класспериодических операторов Шредингера (й ^ 2), не удовлетворяющих гипотезе Бете-Зоммерфельда. Далее в третьей главе рассматривается вопрос о создании лакун с помощью декорации, который в контексте декораций пространства Е" изучался Б. С. Павловым [37], а в контексте декораций дискретных графов был подробно рассмотрен Й. Шенкером и М. Айземаном [144]. П. Кучментом были найдены достаточные условия, при которых декорация метрическим графом открывает лакуну вокруг точки спектра оператора Шредингера на исходном метрическом графе, причем размер лакун не контролируется [117]. В настоящей работе доказывается, что для каждого периодического оператора Шредингера на метрическом графе найдется дискретное множество, А С М, такое что для любого компакта К С ЕА при декорировании исходного графа многообразиями или метрическими графами специального вида подбором граничных условий можно добиться того, что К будет лежать в резольвентном множестве оператора на декорации.

Целью работы является описание спектральных свойств точечного возмущения оператора Шредингера с потенциалом квантовой точки, а также спектральных свойств операторов Шредингера на декорированных графах, имея в виду их возможное применение к изучению транспортных и оптических свойств квантовых точек и мезоскопических структур, таких как периодические массивы фул-леренов.

Общая методика исследования основана на применении теории самосопряженных расширений симметрических операторов в гильбертовых пространствах, коммутативного гармонического анализа (теории Флоке-Блоха), методов теории С* -алгебр и некоммутативной геометрии.

Научная новизна определяется следующими основными результатами теоретического исследования:

• детально описан спектр точечного возмущения оператора Шредингера с потенциалом квантовой точки, предъявлено уравнение на собственные значения, найдены их кратности и соответствующие собственные подпространства, доказано наличие эффекта падения частицы на центр;

• доказано наличие эффекта позиционного беспорядка для точечного возмущения гармонического осциллятора размерности не выше трех;

• для точечного возмущения трехмерного изотропного гармонического осциллятора найдена функция Грина, вычислены асимптотики собственных значений при стремлении длины рассеивания к нулю, показана возможность восстановления потенциала по зависимости основного состояния от положения возмущения;

• описан спектр возмущения конечного ранга оператора с дискретным спектром, предъявлено уравнение на собственные значения, найдены их кратности, собственные подпространства, доказана замкнутость графика зависимости собственных значений от параметров возмущенийпостроен оператор Шредингера на декорированных графах, его резольвента выражена через операторы Шредингера на частях графа и через операторы граничных значенийдля периодического оператора Шредингера на декорированном графе найдены достаточные условия, при которых его спектр имеет зонную структуру, а также условия, при которых он приближается в топологии сильной резольвентной сходимости периодическими операторами с канторовым спектромдля операторов Шредингера на декорированном графе с дискретной группой периодичности общего вида доказано отсутствие собственных значений конечной кратности (как изолированных, так и погруженных в непрерывный спектр) — для широкого класса операторов Шредингера на декорированных графах с абелевыми группами периодичности (включая локальные операторы) доказано отсутствие непрерывно сингулярного и плотного точечного спектровдоказано, что для каждого периодического оператора Шредингера на метрическом графе найдется дискретное множество, А С К, такое что для любого компакта К с подбором граничных условий на декорации этого метрического графа можно добиться открытия лакун, содержащих К. найден широкий класс операторов Шредингера на декорированных графах с группами периодичности, с1 ^ 2, для которых не верна гипотеза Бете-Зоммерфельда о конечности числа лакун.

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы имеют практическое применение для моделирования короткодействующей примеси в квантовой точке и периодических массивах фуллеренов. С математической точки зрения, работа дает ответы на ряд вопросов о спектральных свойствах возмущений конечного ранга операторов с дискретным спектром, в частности, точечных возмущений операторов Шредингера, и о самосопряженных расширениях на семействах инвариантных гильбертовых пространств, в частности, периодических операторах Шредингера на декорированных графах.

Личное участие автора. Результаты диссертации получены совместно с научным руководителем В. А. Гейлером и профессором О.

И. Брюнингом. Вклад автора заключается в проведении части доказательств и выкладок. В частности, при изучении точечного возмущения гармонического осциллятора автором были самостоятельно получены <2 -функция Крейна и функция Грина, описан спектр точечного возмущения с помощью <2-функции, найдены собственные подпространства, вычислены асимптотики собственных значений. Автором также были самостоятельно найдены условия зонности и фракталыюсти спектров калибровочно-периодических расширений на инвариантных семействах гильбертовых пространств, в случае абелевой группы инвариантности доказана аналитичность разложения таких расширений в прямой интеграл по квазиимпульсу, предложена процедура открытия лакун при декорации.

Положения, выносимые на защиту.

• Детальное описание спектра возмущения конечного ранга оператора с дискретным спектром и его зависимости от параметров возмущения.

• Детальное описание спектра точечного возмущения оператора Шредингера с потенциалом квантовой точки, описание соответствующих собственных подпространств.

Эффекты падения на центр и позиционного беспорядка для точечных возмущений оператора Шредингера с потенциалом квантовой точки.

Явный вид функции Грина точечного возмущения произвольного положения трехмерного изотропного гармонического осциллятора, асимптотики зависимости собственных значений возмущения от силы возмущения, утверждение о возможности восстановления потенциала по положению примеси.

Достаточные условия пустоты дискретного и зонности непрерывного спектров калибровочно-периодических операторов Шредингера на декорированных графах.

Условия плотности операторов с канторовым спектром в пространстве калибровочно-периодических операторов Шредингера на декорированных графах.

Теорема об аналитичности расслоения периодических операторов Шредингера с абелевой группой периодичности на декорированном графе и ее следствия о пустоте непрерывно сингулярного и плотного точечного спектров.

Теорема о существовании декораций, открывающих в спектре периодических операторов Шредингера на метрических графах лакуны, содержащие наперед заданный компакт, при условии, что этот компакт не пересекает некоторого фиксированного дискретного множества.

Теорема о бесконечности числа лакун в спектрах периодических операторов Шредингера на декорированных графах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены на конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, Россия, 2002), международной конференции ШТАБ «Спектральные проблемы для операторов типа Шрединге-ра» (Берлин, Германия, 2003), международной конференции «Успехи в моделировании полупроводниковых устройств» (Берлин, Германия, 2004), международной конференции «(^МаШ9» (Жиен, Франция, 2004), конференции «Огаревские чтения» (Саранск, Россия, 2004), семинаре проф. Й. Брюнинга «Геометрический анализ и спектральная теория» (Гумбольдтовский университет, Берлин, Германия, 2003), семинаре проф. Г. Гюйскена «Геометрический анализ и гравитация» (институт гравитационной физики Макса Планка (институт Альберта Эйнштейна), Голм, Германия, 2004), семинаре проф. Т. Каппелера (Цюрихский университет, Цюрих, Швейцария, 2005), а также отражены в публикациях [9, 16,32, 76].

1. Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. — М.: Мир, 1991.

2. Базь А. И., Зельдович Я. В., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. — М.: Наука, 1971.

3. Бакрак В. JI., Ветчинкин С. J1., Кристенко С. В. Функция Грина многомерного гармонического осциллятора. — Теор. Мат. Физ. 1972. — Т. 12. — С. 223−226.

4. Бейтменн Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1973.

5. Белов В. В., Воробьев Е. М., Шаталов В. Е. Теория графов. — М.: Высшая школа, 1976.

6. Белов В. В., Доброхотов С. Ю., Маслов В. П., Тудоровский Т. Я. Обобщенный адиабатический принцип для описания динамики электрона в искривленных наноструктурах. // Успехи физических наук. 2005. — Т. 175, N 9. — С. 1004−1010.

7. Березин Ф. А., Фаддеев JI. Д. Замечание об уравнении Шре-дингера с сингулярным потенциалом. // Докл. Акад. Наук СССР. 1961. — Т. 137. — С. 1011−1014.

8. Брюнинг Й., Гейлер В. А. Геометрическое рассеяние на компактных римановых многообразиях. // Доклады Академии Наук. 2003. — Т. 389, N 3. — С. 310−313.

9. Брюнинг Й., Гейлер В. А., Лобанов И. С. Спектральные свойства операторов Шредингера на декорированных графах. // Математические заметки. 2005. — Т. 77, N 6. — С. 932−934.

10. Бурбаки Н. Алгебра. — М.: Физматгиз, 1962. 516 с.

11. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. — М.: Наука, 1968.

12. Велиев О. А. Асимптотические формулы для собственных чисел периодического оператора Шредингера и гипотеза Бете-Зоммерфельда. // Функт. анализ и приложения. — 1987. — Т. 21, N2.-С. 1−15.

13. Вишик М. И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений. // Труды московского математического общества. — 1952. — Т. 1. — С. 187—246.

14. Воробьев Л. Е., Ивченко Е. Л., Фирсов Д. А., Шалыгин В. А. Оптические свойства наноструктур. — СПб.: Наука, 2001.

15. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966.

16. Гейлер В. А., Лобанов И. С. Спектр трехмерного изотропного гармонического осциллятора с точечным возмущением. // Труды двенадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», часть 3, Самара 2002. — 2000. С. 33−36.

17. Гейлер В. А., Маргулис В. А., Чучаев И. И. Потенциалы нулевого радиуса и операторы Карлемана. // Сибирский математический журнал. 1995. — Т. 36, N 4. — С. 828−841.

18. Гейлер В. А., Чудаев И. В. Спектр квазидвумерной системы в параллельном магнитном поле. // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1997. — Т. 37, N 2. — С. 214−222.

19. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. — Киев: Наукова Думка, 1984.

20. Демков Ю. Н., Островский В. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975.

21. Деркач В. А., Маламуд М. М. О функции Вейля и эрмитовых операторах с лакунами. // Доклады Академии Наук СССР. — 1987. Т. 293. — С. 1041−1046.

22. Зельдович Я. Б. Уровни энергии в искаженном кулоновом поле. Ц 1959. Физ. тверд, тела. — Т. 1. — С. 1638−1645.

23. Кочубей А. Н. О расширениях симметрических операторов и симметрических бинарных отношений. // Мат. Заметки. — 1975.-Т. 17, N 1.-С. 41−48.

24. Кревчик В. Д., Зайцев Р. В. Примесное поглощение света в структурах с квантовыми точками. // Физика твердого тела. —2001. Т. 43, N 3. — С. 504−507.

25. Кревчик В. Д., Грунин А. Б., Зайцев Р. В. Анизотропия магнитооптического поглощения комплексов квантовая точка-примесный центр. // Физика и техника полупроводников. —2002. Т. 36, N 2. — Р. 216−220.

26. Кревчик В. Д., Зайцев Р. В., Евстифеев В. В. К теории фотоионизации глубоких примесных центров в параболической квантовой яме. // Физика и техника полупроводников. — 2000. — Т. 34, N10.-0.1244−1249.

27. Крейн М. Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения. I. // Мат. сборник. 1947. — Т. 20, N 62. — С. 431−495.

28. Крейн М. Г., Лангер Г. К. О дефектных подпространствах и обобщенных резольвентах Эрмитова оператора в пространстве П^.// Функ. анализ и прил. 1971. — Т. 5, N 2. — С. 5971- Т. 5, N3.-С. 54−69.

29. Курасов П. Б., Павлов Б. С. Электрон в однородном кристалле из точечных атомов с внутренней структурой. II. // Теоритиче-ская и математическая физика. — 1987. — Т. 74, N 1. — С. 82— 93.

30. Леденцов Н. Н., Устинов В. М., Щукин В. А., Копьев П. С., Алферов Ж. И., Бимберг Д. Гетероструктуры с квантовыми точками: получение, свойства, лазеры. // Физика и техника полупроводников. 1998. — Т. 32, N4.-0.385−411.

31. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. — М.: Мир, 1980.

32. Лобанов И. С. Создание лакун в спектрах периодических дифференциальных операторов на метрических графах с помощью декорации. // Труды Средневолжского математического общества. 2005. — Т. 7, N 1. — С. 231−239.

33. Мануйлов В. М., Троицкий Е. В. С* -гильбертовы модули. — М.: Факториал Пресс, 2001.

34. Маркушевич А. М. Теория аналитических функций. Том II. Дальнейшее построение теории. — М.: Наука, 1968. 624с.

35. Мерфи Дж. С* -алгебры и теория операторов. — Факториал: Москва, 1997.

36. Павлов Б. С. Теория расширений и явнорешаемые модели. // Успехи матем. наук. 1987. — Т. 42, N 6. — С. 99−131.

37. Павлов Б. С. Электрон в однородном кристалле из точечных атомов с внутренней структурой. I. // Теоритическая и математическая физика. 1987. — Т. 72, N 3. — С. 403−415.

38. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л., Боровских А. В., Лазарев К. П., Шабров С. А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. — М.: Физматлит, 2004.

39. Попов И. Ю., Гейлер В. А., Попов А. В. Локализация в системе связанных колец Ааронова-Бома. // Физика Твердого Тела. — 1999. Т. 41, N 5. — С. 910−913.

40. Рид М, Саймон Б. Методы современной математической физики. II. Гармонический анализ. Самосопряженность. — М.: Мир, 1978.

41. РидМ., Саймон Б. Методы современной математической физики. IV. Анализ операторов. — М.: Мир, 1982.

42. Сабиров А. Р., Станкевич И. В., Чернозатонский Л. А. Гибриды карбина и фуллерена. // Письма в ЖЭТФ. — 2004. — Т. 79, ЫЗ.-С. 153−157.

43. Скриганов М. М. Доказательство гипотезы Бете-Зоммерфельда в размерности два. // Доклады АН СССР. — 1979. V. 248. — Р. 39−42.

44. Станкевич И. В., Никеров М. В., Бочвар Д. А. Структурная химия кристаллического углерода: геометрия, стабильность, электронный спектр. // Успехи химии. — 1984. — Т. 53. — С. 1101.

45. Соловьев Ю. П., Троицкий Е. В. С* -алгебры и эллиптические операторы в дифференциальной топологии. — М.: Факториал, 1996.

46. Тамм И. Е. О возможных типах электронных состояний на поверхности кристаллов. // ЖЭТФ. — 1933. — Т. 3. — С. 33—35.

47. Ферми Э. Научные труды. Т. I. М.: Наука, 1971.

48. Харрис П. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века. — М.: Техносфера, 2003.

49. Шик А. Я., Бакуева J1. Г., Мусихин С. Ф., Рыков С. А. Физика низкоразмерных систем. — СПб.: Наука, 2001.

50. Шубин М. А. Псевдоразностные операторы и их функции Грина. // Известия академии наук: Серия математическая. — 1985. Т. 49, N 3. — С. 652−671.

51. Abramowitz М., Stegun I. A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. — New York: John Wiley & Sons, 1984.

52. Albeverio S., Gesztesy F., H0egh-Krohn R., Holden H. Solvable models in quantum mechanics. — Providence: AMS Chelsea Publishing, 2005.

53. Albeverio S., Geyler V. A. The band structure of the general periodic Schrodinger operator with point interactions. // Commun. Math. Phys. 2000. — V. 210, N 1. — P. 29−48.

54. Albeverio S., Kurasov P. Singular perturbations of differential operators. — Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

55. Albeverio S., Pankrashkin K. A remark on Krein’s resolvent formula and boundary conditions. // Preprint arXiv: math-ph/408 021. 2004. — P. 1−6.

56. Anderson M. R. The Mathematical Theory of Cosmic Strings: Cosmic Strings in the Wire Approximation. — Bristol: IoP Publ., 2003.

57. Andriotis A. N., Menon M., Srivastava D., Chernozatonskii L. Rectification properties of carbon nanotube «Y-junctions». // Phys. Rev. Lett. 2001. — V. 87. — P. 66 802−66 806.

58. Aoki H., Koshino M., Kuroki K. et al. Electronic structure of periodic minimal surfaces -— 'topological band structure' // Preprint arXiv: cond-mat/109 512. 2001.

59. Aoki H., Koshino M., Takeda D., Morise H., Kuroki K.. Electronic structure of periodic curved surfaces: Topological bandstructure. // Phys. Rev. B. 2002. — V. 65. — P. 35 102−35 109.

60. Avakian M. P., Pogosian G. S., Sissakian A. N., Ter-Antonyan V. M. Spectroscopy of a singular linear oscillator. // Phys. Lett. A. 1987. — V. 124. — P. 233−236.

61. Avramidi I. G. Green functions of higher-order differential operators. // J. Math. Phys. 1998. — V. 39, N 5. — P. 28 892 909.

62. Avron J. E., Exner P., Last Y. Periodic Schrodinger operators with large gaps and Wannier-Stark ladders. // Physical Review Letters. 1994. — V. 72, N 6. — P. 896−899.

63. Bar C. On nodal sets of Dirac and Laplace operators. // Comm. Math. Phys. 1997. — V. 188. — P. 709−721.

64. Bellisard J. Gap labelling theorems for Schrodinger operators. // From Number Theory to Physics, Springer. — 1993. — P. 538— 630.

65. Berezanski Y. Expansion in eigenfunctions of self-adjoin operators. — Providence: AMS, 1986.

66. Berger M. A panoramic view of Riemannian geometry. — Berlin: Springer, 2003.

67. Bethe H., Peieris R. Quantum theory of the diplon. // Proc. Roy. Soc. A 1935. — V. 148. — P. 146−156.

68. Bimberg D., Grundmann M., Ledentsov N. N. Quantum dot heterostructures. — Chichester: J. Wiley & Sons, 1999.

69. Bogevolnov V., Mikhailova A., Pavlov B., Yafyasov Y. About scattering on the ring. // Oper. Theory: Adv. Appl. — 2001. — V. 124.-P. 155−173.

70. Bose C., Sarkar C. K. Effect of a parabolic potential on the impurity binding energy in spherical quantum dots. // Physica B. 1998. — V. 253. — P. 238−241.

71. Breit G. The scattering of slow neutrons by bound protons I. Methods of calculation. // Phys. Rev. 1947. — V. 71. — P. 215 241.

72. Bruning J., Exner P., Geyler V. A. Large gaps in point-coupled periodic systems of manifolds. // J. Phys. A, Math. Gen. — 2003. V. 36, N 17. — P. 4875−4890.

73. Bruning J., Geyler V. A. The spectrum of periodic point perturbations and the Krein resolvent formula. // Sonderforschungsbereich 288. Preprint No. 348. — 1998. — P. 1−12.

74. Bruning J., Geyler V. A. Gauge periodic point perturbations on the Lobachevsky plane. // Theoretical and Mathematical Physics. — 1999. V. 119, N 3. — P. 687−697.

75. Bruning J. Geyler V. A. Scattering on compact manifolds with infinitely thin horns. // J. Math. Phys. 2003. — V. 44, N 2. -P. 371−405.

76. Bruning J., Geyler V., Lobanov I. Spectral properties of a short-range impurity in a quantum dot. // J. Math. Phys. — 2004. — V.45.-P. 1267−1290.

77. Bruning J., Sunada T. On the spectrum of gauge-periodic elliptic operators. // Asterisque. 1992. — V. 210. — P. 65−74.

78. Bruning J., Sunada T. On the spectrum of periodic elliptic operators.//Nagoya Math. J. 1992. V. 126.-P. 159−171.

79. Carey A., Hannabuss K., Mathai V., McCann P. Quantum Hall Effect on the hyperbolic plane. // Commun. Math. Phys. — 1998.-V. 190.-P. 629−673.

80. Chen S., Trauzettel B., Egger R. Landauer-type transport theory for interacting quantum wires: Application to carbon nanotube junctions. // Physical Review Letters. 2002. — V. 89, N 22. -P. 226 404−1-226 404−4.

81. Chernozatonskii L. Carbon nanotube connectors and planar jungle gyms. // Phys. Lett. A. 1992. — V. 172, N 3. — P. 173 176.

82. Choi M.-D., Elliot G. A., Yui N. Gauss polynomials and the rotation algebra. // Invent. Math. 1990. — V. 99, N 2. — P. 225 246.

83. Choi M.-D. Elliott G. A. Density of the self-adjoint elements with finite spectrum in an irrational rotation C* -algebra. // Math. Scand. 1990. — V. 67, N 1. — P. 73−86.

84. Colin de Verdiere Y., Sur la multiplicite de la premiere valeur propre von nulle du laplacien. // Comment. Math. Helv. — 1986. — V. 61, N 2. -P. 254−270.

85. Connes A. Noncommutative geometry. — San Diego: Academic Press Inc., 1994.

86. Cycon H. L., Frose R. G., Kirsch W., Simon B. Schrddinger operators with applications to qauntum mechanics and global geometry.//Berlin: Springer-Verlag, 1987.

87. Green E .L. Spectral theory of Laplace-Beltrami operators with periodic metrics. // J. Diff. Eq. 1997. — V. 133. — P. 15−29.

88. Davies J. H. The physics of low-dimensional semiconductors. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998.

89. Derkach V. A., Malamud M. M. Generalized resolvents and the boundary value problems for Hermitian operators with gaps. // J.Funct.Anal.- 1991.-V.95.-P. 1−95.

90. Dresselhaus M. S., Dresselhaus G., Avouris Ph. Carbon nanotubes. — Berlin: Springer, 2000.

91. Elliott J. P., Dawber P. G. Symmetry in physics. V. II. — London: McMillan Press, 1979.

92. Exner P., Post O. Convergence of spectra of graph-like thin manifolds. // Journal of Geometry and Physics. 2005. — V. 54, N 1.-P. 77−115.

93. Exner P., Seba P. Bound states in curved quantum waveguides. // J. Math. Phys. 1989. — V. 30, N 11. P. 2574−2580.

94. Fassari S., Inglese G. On the spectrum of the harmonic oscillator with a 8 -type perturbation. // Helv. Phys. Acta. 1994. — V. 67, N 6. — P. 650−659.

95. Fassari S., Inglese G. Spectroscopy of a three-dimensional isotropic harmonic oscillator with a ?-type perturbation. // Helv. Phys. Acta. 1996. — V. 69, N 2. — P. 130−140.

96. Fassari S., Inglese G. On the spectrum of the harmonic oscillator with a ?-type perturbation. II. // Helv. Phys. Acta. — 1997. — V. 70, N 6. P. 858−865.

97. Ferreyra J. M., Bosshard P., Proetto C. R. Strong-confinement approach for impurities in parabolic quantum dots. // Phys. Rev. B. 1997. — V. 55. N 20. — P. 13 682−13 688.

98. Feynman R. P., Hibbs A. R. Quantum mechanics and path integrals. — New York: McGraw-Hill, 1965.

99. Gerard C., Nier F. The Mourre theory for analytically fibered operator. // J. of Func. Anal. 1998. — V. 152. — P. 209−219.

100. Geyler V. A., Chudaev I. V. Schrodinger operators with moving point perturbations and related solvable models of the quantum mechanical systems. // Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen. 1998. — V. 17, N 1. — P. 37−55.

101. Goldbereger M. L., Seltz F. Therory of the refractions and the diffrection of neutrons by crystals. // Phys. Rev. — 1947. — V.71.-P.294−310.

102. Grosche C., Steiner F. Handbook of Feynman path integrals. — Berlin: Springer-Verlag, 1998.

103. Gruber M. J. Noncommutative Bloch theory. // J. Math. Phys. — 2001. V. 42, N 6. — P. 2438−2465.

104. Harmer M. Hermitian symplectic geometry and extension theory. // J. Phys. A, Math. Gen. 2000. — V. 33, N 43. -P. 9193−9203.

105. Hempel R., Post O. Spectral gaps for periodic elliptic operators with high contrast: An overview. // Progress in Analysis. Proceedings of the 3rd International ISAAC Congress Berlin 2001, Vol. 1. 2003. — P. 577−587.

106. Hurt N. E. Mathematical Physics of Quantum Wires and Devices. — Dordrecht: Kluwer, 2000.

107. Karpeshina Y. E. Perturbation theory for the Schrodinger operator with a periodic potential. — Berlin: Springer Lecture Notes, 1997.

108. Kato T. Perturbation theory for linear operators. — Berlin: Springer-Verlag, 1980.

109. Kazaryan E. M., Petrosyan L. S., Sarkisyan H. A. Impurity states in a narrow band gap semiconductor quantum dot with parabolic confinement potential. // Physica E. 2003. — V. 16, N 2. -P. 174−178.

110. Khrebtukov D. B., Macek J. H. Harmonic oscillator Green functions. // J. Phys. A, Math. Gen. 1998. — V. 31, N 12. -P. 2853−2868.

111. Kostrykin V., Schrader R. Kirchhoff’s rule for quantum wires. // J. Phys. A. 1999. — V. 32, N 4. — P. 595−630.

112. Krevchik V. D., Grunin A. B., Aringazin A. K., Semenov M. B. Magneto-optical properties of the quantum dot impurity center systems synthesized in a transparent dielectric matrix. // Hadronic J. Suppl. — 2003. — V. 18. — P. 261−294.

113. Kronig R. de L., Penney W. G. Quantum mechanics of electrons in crystal lattices. // Proc. Roy. Soc. A 1931. — V. 130. — P. 499 513.

114. Kroto H. W., Heath J. R" O’Brien S. C., Curl R. F., Smalley E. E. C60 Buckminsterfullerene. //Nature. 1985. — V. 318. — P. 162 163.

115. Kuchment P. Graph models for waves in thin structures. // Waves in Random Media. 2002. — V. 12. — P. R1-R24.

116. Kuchment P. Quantum graphs I. some basic structures. // Waves in Random media. 2004. — V. 14. — P. S107-S128.

117. Kuchment P. Quantum graphs II: Some spectral properties of quantum and combinatorial graphs. // Preprint arXiv: math-ph/411 003. 2004. — Pp. 22.

118. Kuchment P., Zheng H. Convergence of spectra of mesoscopic systems collapsing onto a graph. // J. Math. Anal. Appl. — 2001. V. 258, N 2. — P. 671−700.

119. Kurasov P., Steinberg F. On the inverse scattering problem on branching graphs. // J. Phys. A, Math. Gen. 2002. — V. 35, N1.-P. 101−121.

120. Kurata K. On the ratio of the first two eigenvalues of perturbed harmonic oscillators. // J. Math. Anal. Appl. 1996. — V. 204, N 1.-P. 227−235.

121. Kuwae K., Shioya T. Convergence of spectral structures: a functional analytic theory and its applications to spectral geometry. // Comm. in Anal, and Geom. — 2003. — V. 11, N 4. — P. 599−673.

122. Lahiri A., Roy P. K., Bagchi B. Supersymmetry and the three-dimensional isotropic oscillator problem. // J. Phys. A, Math. Gen. 1987. — V. 20. — P. 5403−5405.

123. Lind E., Gustafson B., Pitzonk I., Wernersson L.-E. Tunneling spectroscopy of a quantum dot through a single impurity. // Phys. Rev. B. 2003. — V. 68. — P. 33 312−33 315.

124. Manin Yu. I. Topics in noncommutative geometry. — Princeton: Princeton University Press, 1991.

125. Marcolli M., Mathai V. Twisted index theory on good orbifolds, I: Noncommutative Bloch theory. // Commun. Contemp. Math. — 1999. V. 1, N 4. — P. 553−587.

126. Martin T., Feng S. Suppression of scattering in electron transport in mesoscopic quantum Hall systems. // Phis. Rev. Lett. — 1990.-V.64.-P. 1971;1974.

127. Mathai V. On positivity of the Kadison constant and noncommutative Bloch theory. // Tohoku Mathematical Publications. 2001. — V. 20. — P. 107−124.

128. Miller J. C. P. Tables of Weber parabolic cylinder functions. Giving solutions of the differential equation cPy/dx1 + (x2/4 — a) y = 0. Computed by Scientific Computing Service Limited. — London: Her Majesty’s Stationary office, 1955.

129. Miranda C. Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico. — Berlin: Springer-Verlag, 1955.

130. Nano, quantum and molecular computing ed. Shukla S. K., Bahar R. I. — Moscow: Kjuwer Academic Publishers, 2004.

131. Oleinik V. L., Pavlov B. S., Sibirev M. V. Analysis of the dispersion equation for the Schrodinger operator on periodic metric graphs. // Preprint arXiv: math-ph/312 038. 2003. -Pp. 49.

132. Pankrashkin K. Resolvents of self-adjoint extensions with mixed boundary conditions. // Preprint arXiv: math. FA/412 431. — 2004.

133. Papoyan V. V., Zagrebnov V. A. On condensation of a one-dimensional nonideal Boson gas. // Phys. Lett. A. — 1985. — V. 113.-P. 8−10.

134. Parnovski L., Sobolev A. V. On the Bethe-Sommerfeld conjecture. // Journees Equations aus derivees partielles. — 2000. V. 5. — P. XVII-1—XVII-14.

135. Pauling L. The diamagnetic anisotropy of aromatic molecules. // Journal of Chemical Physics. 1936. — V. 4. — P. 673−677.

136. Peng Q.-Z., Wang X., Zeng J.-Y. Analytic solution to the Schrodinger equation with a harmonic oscillator potential plus o-potential.// Sci. China, Ser. A. 1991. — V. 34, N 10. — P. 12 151 221.

137. Pimsner M. V. OT-groups of crossed products by groups acting on trees. // Invent. Math. 1986. — V. 86. — P. 603−634.

138. Post O. Periodic manifolds with spectral gaps. // J. Differ. Equations. 2003. — V. 187, N 1. — P. 23−45.

139. Reich S., Thomsen C., Maultzsch J. Carbon nanotubes. — Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 2004.

140. Rieffel M. C* -algebras associated with irrational rotations. Pacific J. Math. 93:415−429,1981.

141. Rubinstein J., Schatzman M. Variotional problems on multiply connected thin strips. I. Basic estimates and convergence of the Laplacian spectrum. // Arch. Ration. Mech. Anal. — 2001. — V. 160, N4.-P. 271−308.

142. Ruedenberg K., Scherr C. W. Free-electron netwprk model for conjugated systems. I. Theory. // The Journal of Chemical Physics. 1953. — V. 21, N 9. — P. 1565−1581.

143. Saito Y. The limiting equation for Neumann Laplacians on shrinking domains. // Electron. J. Differ. Equ. — 2000. — V. 31. — P. 1−25.

144. Schenker J., Aizenman M. The creation of spectral gaps by graph decoration. // Lett. Math. Phys. 2000. — V. 53, N 2. — P. 253 262.V.

145. Seba P., Englisch H. Perturbation theory for point interactions in three dimensions. // J. Phys. A, Math. Gen. 1986. — V. 19. — P. 711−716.

146. Simon B. Schrodinger semigroups. // Bull. Amer. Math. Soc. — 1982. V. 7. — P. 447−526.

147. Simon B. Spectral analysis of rank one perturbations and applications. // CRM Proceedings and Lecture Notes. — 1995. — V.8.-P. 109−149.

148. Skriganov M. M. The spectrum band structure of the three-dimensional Schrodinger operator with periodic potential. // Invent. Math. 1985. — V. 80. — P. 107−121.

149. Sommerfeld A., Bethe H. Elektronentheorie der Metalle, Handbuch der Physik. V. XXIV/2. // Berlin: Springer-Verlag, 1933.

150. H. Suzuura, T. Ando. Phonons and electron-phonon scattering in carbon nanotubes.//Phys. Rev. B. 2002. — V. 65. — P. 235 412 235 412.