Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с нею двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Первым исследователем в этой области был Ф. Трикоми. Результаты его работы были развиты в работах С. Геллерстедта. Они изучали краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа, известные теперь в литературе как «задача Трикоми» и «задача Геллерстедта» .

В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф. И. Франкль, А. В. Бицад-зе, К. И. Бабенко, S. Agmon, L. Nirenberg, М. М. Protter, С. S. Morawetz, P. Germain, R. Bader, Р. О. Lax, R. P. Phillips, M. Schneider, Б. А. Бубнов, В. Ф. Волкодавов, В. Н. Врагов, Т. Д. Джураев, В. Н. Диденко, В. А. Елеев, В. И. Жегалов, А. Н. Зарубин, Т. Ш. Кальменов, Г. Д. Каратопраклиев, И. JI. Кароль, А. И. Кожанов, Ю. М, Крикунов, А. Г. Кузьмин, О. А. Ладыженская, Е. И. Моисеев, А. М. Нахушев,.

С. М. Пономарев, С. П. Пулькин, О. А. Репин, К. Б. Сабитов, М. С. Салахитдинов, М. М. Смирнов, А. П. Солдатов, Р. С. Хайруллин, Хе Кан Чер, JI. И. Чибрикова, и др. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Спектральные свойства задач для уравнения смешного типа активно изучались начиная с 80 годов. С. М. Пономарев выписал собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и доказал их полноту в эллиптической части области, являющейся круговым сектором. Е. И. Моисеев доказал базисность этой системы в эллиптической части области и используя свойство базисности построил спектральный метод решения краевых задач для уравнения смешанного типа. Я. Н. Мамедов распространил результаты о полноте собственных функций для вырождающихся уравнений смешанного типа, в частности, для уравнения Трикоми, но в случае, когда эллиптическая часть области — это половина круга в соответствующей геометрии. Полнота собственных функций задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе была доказана К. Б. Сабитовым и А. Н. Кучкаровой [12]. Там же были выписаны собственные функции задачи Геллерстедта и в случае вырождающегося уравнения смешанного типа.

В этой работе изучена полнота собственных функций для вырождающихся уравнений смешанного типа в случае когда эллиптическая часть области D+ - четверть круга в соответствующей геометрии. Ранее были результаты только для случая полукруга.

Цель работы. Целью работы является исследование полноты систем собственных функций задач Трикоми и Неймана-Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа, а также задачи Геллерстедта.

Методы исследования. Собственные функции задачи выписываются с помощью метода разделения переменных с использованием функций Бесселя и Лежандра. Полнота системы функций Лежандра исследуется с помощью решения специального интегрального уравнения. При этом используется принцип сжимающих отображений и теория пространств суммируемых с некоторой весовой степенной функцией в Lp. Применяется формула Мелера-Дирихле для представления функции Лежандра. Кроме того, используются полнота специальных неортогональных систем косинусов.

Научная новизна. В первые главе доказана полнота собственных функций задачи Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа в эллиптической части области, являющейся четвертью круга в соответствующей геометрии. Ранее такие результаты были известны для половины круга. Доказана полнота собственных функций задачи Неймана-Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа в эллиптической части области являющейся четвертью круга в соответствующей геометрии. Ранее аналогичные результаты были известны для половины круга. Доказана полнота собственных функций задачи Геллерстедта для вырождающегося уравнения смешанного типа. Ранее такие результаты были известны для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные результаты и предложенные методы исследования представляют теоретический интерес и могут быть использованы в спектральной теории краевых задач для уравнений смешанного типа и при решении прикладных задач методом спектрального анализа.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК, МГУ (научные руководители — академик Е. И. Моисеев, профессор И. С. Ломов), а также докладывались на международной конференции в Калининграде в апреле 2005 г, посвященной 200 летию К. Г. Якоби.

Публикации. Основные результаты работы подготовлены и оформлены в трёх статьях и направлены в печать.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, трёх глав и списка литературы. В введении указана актуальность задачи и краткая история основных результатов по уравнениям смешанного типа и основные результаты диссертации. Объём диссертации составляет 84 страницы.

Основное содержание работы.

Выводы.

В работе получены следующие результаты.

1. Найдены в аналитической форме через спецфункции общие решения вырождающегося эллиптико-гиперболического уравнения со спектральном параметром.

2. Выписаны собственные функции с помощью функций Лежандра и Бесселя и собственные значения задачи Трикоми, Неймана-Трикоми и Геллерстедта.

3. Доказана полнота в эллиптической части области системы собственных функций задачи Трикоми, Неймана-Трикоми и Геллерстедта.

4. Доказана полнота в весовом пространстве двух систем функций одна из которых выражена через сумму функций Лежандра, а другая через разность функций Лежандра.