Спектральные задачи для оператора смешанного типа с сингулярным коэффициентом и применения

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа, в силу своей прикладной и теоретической значимости, является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Начало исследованию краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [53, 54] и С. Геллер-стедта [61], где впервые были поставлены и изучены краевые задачи для модельных уравнений. Так, Ф. Трикоми рассмотрел уравнение уихх + иуу = 0 (0.1) в области И, ограниченной гладкой кривой Г, расположенной в верхней полуплоскости, с концами в точках, А и В оси у = 0, и характеристиками АС {х + у = 0) и С В (х — у = 1) уравнения (0.1). Им была поставлена.

Задача Трикоми. Найти в области Б решение и (х, у) уравнения (0.1) из класса функций и (х, у) е С (П) П СВ) П С2(И АВ), удовлетворяющее граничному условию и (х, у) = щ (х, у), (х, у) е АС и Г, где щ (х, у) — заданная и достаточно гладкая функция.

Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи при условии, что гладкая кривая Г оканчивается в точках, А к В двумя сколь угодно малой длины дугами «нормальной» кривой уравнения (0.1), а в остальной части отклоняется от этой кривой наружу.

Геллерстедт решил задачу Трикоми для уравнения.

Ут ихх + иуу-си = F (x, у), где т = 2к — 1, к? N, с — достаточно малая константа, F (х, у) — заданная функция, при тех же ограничениях на кривую Г, что и у Трикоми. Ему также принадлежит постановка краевой задачи, известной как задача Геллерстедта, которая является обобщением задачи Трикоми.

В 40 — х годах Ф. И. Франкль [56, 57] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. В 50 — е годы в работах Ф. И. Франкля [58], A.B. Бицадзе [5] -[7], К. И. Бабенко [1] было положено начало современной теории краевых задач для уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены новые краевые задачи, которые в дальнейшем изучались многими авторами как в нашей стране, так и за рубежом. Основные результаты этих работ и соответствующая им * библиография приведены в монографиях A.B. Бицадзе [7, 8], Л. Берса [3],.

К.Г. Гудерлея [11], М. М. Смирнова [50] - [52], М. С. Салахитдинова [48], Т. Д. Джураева [13], Е. И. Моисеева [23].

Прикладная значимость полученных результатов в теории краевых задач для уравнений смешанного типа указана в работах О. С. Рыжова [34], А. Д. Пилия и В. И. Федорова [28], Э. Г. Шифрина [60], Г. Г. Черного [59], А. Г. Кузьмина [20] в связи с проблемами теории сопел Лаваля, теории плазмы и другими вопросами.

Одним из направлений в теории краевых задач для уравнений смешанного типа является изучение соответствующих им спектральных задач. В, 41 качестве примера приведем формулировку спектральной задачи, соответствующей задаче Трикоми, для оператора Лаврентьева-Бицадзе.

Ви = ихх + sgn у • иуу в области D.

Спектральная задача Т. Найти значения комплексного параметра X и соответствующие им функции и (х, у) со свойствами: и {х, у) е C (D) n CD) n CD AB),.

Ви (х, у) + и (х, у) = 0, (х, у) G D AB, и{х, у) = о, (х, у) еЖиг.

Отметим нелинейный характер постановки спектральной задачи — неизвестные Л и и (х, у), называемые собственными значениями и соответствующими собственными функциями задачи Т, входят в виде произведения в дифференциальное уравнение.

Спектральные задачи изучались Моисеевым Е. И. [23], Пономаревым С. М., Кальменовым Т. Ш., Сабитовым К. Б., Мамедовым Я. Н., Вагаповым В. З., Карамовой A.A., Кучкаровой А. Н., Хасановой C. J1. и другими.

Пономарев С.М. [29] в случае специальной области — полукруга для оператора Лаврентьева-Бицадзе методом разделения переменных нашел собственные значения задачи Т как нули функции Бесселя. Также им были выписаны в явном виде соответствующие собственные функции и исследованы на полноту в пространстве L2.

В работе [17] Кальменовым Т. Ш. было установлено существование одного собственного значения спектральной задачи, соответствующей задаче Трикоми, для оператора sgn у • ихх + иуу в случае произвольной области.

Сабитов К.Б. [40] исследовал спектральную задачу для оператора Лаврентьева — Бицадзе, соответствующую задаче Франкля.

Мамедовым Я.Н. [22] решена спектральная задача, соответствующая задаче Трикоми, для оператора ихх + у иуу + а иу для значений 0 < с* < 1. При, а > 1 спектральная задача изучена в работе Вагапова В. З. [9].

Карамовой А. А [45] изучены спектральные задачи для операторов смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Кучкаровой А. Н. [44] изучена спектральная задача, соответствующая задаче Геллерстедта, для различных уравнений смешанного типа. Хасанова С. Л. [47] исследовала спектральные задачи для уравнений с характеристическим вырождением. В указанных работах в случае специальных областей найдены собственные значения и в явном виде выписаны соответствующие собственные функции, а также выполнено исследование построенных систем собственных функций на полноту в пространстве L2.

Моисеев Е. И. в работах [25], [26] на основе спектрального анализа предложил новый способ построения решений краевых задач в специальных областях для уравнений смешанного типа с комплексным параметром А, отличным от собственных значений соответствующих спектральных задач, в виде сумм биортогональных рядов. Развитием этого метода для других классов уравнений смешанного типа занимались Сабитов К. Б., Полосин A.A. [30], Вагапов В. З. [9], Карамова A.A., Кучкарова А. Н, Хаса-нова C.JI. и другие.

Среди уравнений смешанного типа неизученным с точки зрения спектральной теории является уравнение С. П. Пулькина с сингулярным коэффициентом вида.

2 Q.

Su = ихх + sgny Uyy—их = О, geR{0}, (0.2) X которое заменой переменной можно свести к уравнению смешанного типа с характеристическим вырождением на части эллиптической границы смешанной области.

Интерес к уравнению Пулькина вызван тем, что решение пространственной задачи Трикоми для уравнения смешанного типа.

Lu = ихх 4- иуу 4- sgn z-uzz = 0 (0.3) в теле вращения представимо в цилиндрических координатах в виде тригонометрического ряда Фурье [33], коэффициенты которого являются решениями плоской задачи Трикоми для уравнения (0.2).

Пулькиным С.П. [1−3] для уравнения (0.2) при q > ½ были: 1) в области гиперболичности решены задачи Коши и Дарбу- 2) в области эллиптичности построена теория потенциала, используя которую были решены граничные задачи первого и второго родов для областей с произвольным контуром, содержащим отрезок оси х = 0- 3) в смешанной области установлен принцип максимума и методами теории интегральных уравнений доказана теорема существования задачи Трикоми в случае произвольной области.

В связи с уравнениями смешанного типа второго рода отметим также исследования по краевым задачам для модельных уравнений Каро-ля И. Л. [18] и Сабитова К. Б. [35].

Целью данной работы является изучение следующих вопросов:

1) исследование корректности постановок задач Коши, Дарбу и Гур-са для гиперболического и задачи Коши для эллиптического уравнений с сингулярным коэффициентом и комплексным параметром: построение решений указанных задач для гиперболического уравнения в случае их корректных постановок;

2) построение собственных значений и собственных функций спектральных задач для оператора Пулькина с различными граничными условиями на эллиптической границеисследование построенных систем собственных функций на полноту в ?2 5.

3) построение решений задачи Трикоми и других краевых задач для уравнений с оператором Пулькина;

4) построение решения пространственной задачи Трикоми для уравнения смешанного типа (0.3).

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул.

В главе 1 в параграфах 1.1 — 1.3 изучаются краевые задачи для гиперболического уравнения.

2 о.

Ьи = ихх — иуу Н—их + А и = 0, (0.4) где q ^ 0 и A G С, в области G, ограниченной характеристиками АС (х+ у-0), СВ (х-у = 1), BD (х+у = 1) и DA (х-у = 0) уравнения (0.4).

В § 1.1 для уравнения (0.4) в областях D- = G П {у < 0} и G ставятся спектральные задачи, соответствующие задачам Дарбу и Гурса.

Спектральная задача Dlx. Найти значения параметра, А «соответствующие им функции и (х, у), удовлетворяющие условиям: и (х, у) е CfD) П С2(Г>), (0.5).

Lu (x, y) = 0, (х, у) ED-, (0.6) и (X, у) = О, (х, у) е AC U АВ. (0.7).

Спектральная задача D 2. Найти значения параметра, А и соответствующие им функции и (х, у) из класса и (х, у) е C (D-) HCl (DU АВ) П C2(?L), (0.8) удовлетворяющие уравнению (0.6) и условиям: Г и (х, у) = 0, (х, у) е иу (х, у) = 0, (х, у) е АВ. (0.9).

Спектральная задача Гд. Найти значения параметра, А и соответствующие им функции и (ж, у), удовлетворяющие условиям: и (х, y) eC (G)nC2{G), (0.10).

Lu (x, y) = 0, (х, у) G G, (0.11) и (х, у) = 0, (х, у) € AC U AD. (0.12).

Найдены условия, при которых задачи D\, Д^а и Г имеют непрерывные спектры собственных значений. Методом разделения переменных в явном виде выписаны соответствующие собственные функции этих задач.

Теорема 1.1. Если q < — 1, то любое комплексное, А ф 0 является собственным значением задачи (0.5) — (0.7), которому соответствует собственная функция и (х, у) = -у (х/Л (х2 y2) yq-1Jq1(cJX (x> - у2)), где Ja (•) есть функция Бесселя порядка а.

Теорема 1.2. Если q < 0, то любое комплексное, А ф 0 является собственным значением задачи (0.6), (0.8), (0.9), которому соответствует собственная функция и (х, у) = [yj{x2 — y2) y9J-q (y/(x2 — у2)). (0.13).

Теорема 1.3. Если q < 0, то любое комплексное, А ф 0 является собственным значением задачи (0.10) — (0.12), которому соответствует собственная функция (0.13), где (х, у) Е G.

В § 1.2 для уравнения (0.4) при q > 0 в областях D и G ставятся, соответственно, задачи Коши и Гурса.

Задача С. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и (х, у) е C (DJ) П CD U АВ) П С2(Г>), (0.14).

Lu (x, y) = 0, (x, y)€D-, (0.15) и (х, 0) = т (х), 0 < х < 1- иу (:г, 0) = i/(z), 0 < ж < 1, (0.16) где т (х) и и (х) — известные и достаточно гладкие функции.

Задача Г. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и (х, у) GC (U)flC2(G), (0.17).

Lti (®, y) = 0f (0.18) и — и{х, —х) — ф (х), и = и (х, х) — (р (х), 0 < х < -, (0.19) где ф (х), ip (x) — заданные и достаточно гладкие функции, ф (0) = <р (0).

На плоскости характеристических координат? = х + у и r? — х — у решение задачи Коши определяется формулой Римана.

T)o Vo г (0 [Щ к,? «?о) — Ъ, К, «7о)1 de-/ КО Д К,? Eo, *7о) ^ о IO где г}] £о> ?7о) есть функция Римана, которая имеет вид х.

Щ, т. е.,, о) = (?±2.).

ЗД = (1 — а)^ (д, д, 1- а),.

0.21).

7 =.

— ЫЬ-Чо) е +^оЖо + г?)'.

•) есть гипергеометрическая функция, а 7о (•) — функция Бесселя порядка нуль.

Теорема 1.4. Если при д > 0 функции т (х) е С[0, 1] П С2(0, 1) и 6 1] П С1 (0, 1), то существует единственное решение задачи (0.14)-(0.16), определяемое формулой (0.20), в которой следует положить ?0 = х + у, г) о = х-у, V (? о, V о) = и (я, у).

Решение задачи Гурса в характеристических переменных определяется формулой.

6 У^/бЛ, (чо.

Ш’Ч1) — Ш’Ч?).

— /V (|) [щ К, 0- ео, т) -1 Я (С, 0- т) о.

Ло Тф (I) К 775 (0' ^ *1о).

0.22).

Теорема 1.5. Ясли при д > 0 функции (р (х), € С[0, ½] П.

С2(0, ½) и ^>(0) = -0(0) = 0, то существует единственное решение задачи (0.17) — (0.19), определяемое формулой (0.22), в которой следует положить? о = х + у, г) о = х — у, V (? о, Чо) = и (х, у) •.

В § 1.3 для уравнения (0.4) при д>0 в ?) ставятся задачи Дарбу. Задача Их. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и (х, у) еС (П-)пС2(П.), и и.

Ьи (х, у) = 0, (х, у) е ?>, = и (х, -х) = ф (х), 0<х<^, и (х, 0) = т (х), 0 < х < 1,.

АВ.

0.23) (0.24) (0.25) (0.26) где т (х), гр (х) — заданные и достаточно гладкие функции, г (0) = ^(СО-Задача • Найти функцию и (х, у) из класса и (:г, у) е С (Р-) Пи АВ) П С2(Л), удовлетворяющую уравнению (0.24), краевым условиям (0.25) и ди дИ.

АВ иу (х, 0) = 1/(х), 0 < х < 1,.

0.27).

0.28) где и (х) — известная и достаточно гладкая функция. Решения задач Дарбу задаются формулами: г]о У, СПо (?0.

VI.

1о.

2£о о + «7о гКо) — / т (0 [Щ К, 6 Г) о) — Д, К, 6 £о, «7о)] «+ о.

0.29) ь /V (|) [Де К, 0- £о, г/о) -1 л к, о- «70)] «.

— /V (|) [я, (О, Г/- ?0, Г70) — | Д (О, Г7- £о, *7о)] Л?,.

— /V (|) [дс К. «70) — | Л К, 0- «70)] <*е.

0.30).

Rri (O, m fo" lo) ~ - R (0, 77- fo, rjo) drj + o.

Теорема 1.6. Если при q > 0 функции т (х) 6 С[0, 1] П С2(0, 1) и ф (х) в С[0, ½] П С2(0, ½), причем т{0) = = 0, то существует единственное решение задачи (0.23) — (0.26), определяемое формулой (0.29), в которой следует положить £о = х + у, «По = х — у, vi Ко, rio) = и (х, у).

Теорема 1.7. Если при q > 0 функции ф (х) G С[0, ½]ПС2(0, ½), ф (0) = 0 и v{x) 6 L[0, 1] ПС1(0, 1), то существует единственное решение задачи (0.24), (0.25), (0.27), (0.28), определяемое формулой (0.30), в которой f о = я + 2/, г)0 = х-у, v2 (£о> Vo) = и (я, у) ¦ В § 1.4 для эллиптического уравнения где q и Л € С, в области В, ограниченной отрезком NN оси х = 0 и кусочно-гладкой кривой Г, лежащей справа от оси х = 0, с концами в точках К и N, ставится спектральная задача, соответствующая задаче Коши с данными на отрезке КЫ .

Спектральная задача С. Найти значения параметра, А и соответствующие им функции и (ж, у), удовлетворяющие условиям: и (яг, у) = о, (яг, у) е KNих (х, у) = 0, (a?, у) Е KN. (0.34).

Имеет место.

Теорема 1.8. Если q < 0, то любое комплексное, А ф 0 является собственным значением задачи (0.32) — (0.34), которому соответствует.

Ьи = ихх + иуу Н—их + Л и = 0, х.

0.31) и (a?, у) G C (D) П С1^! U KN) П C2(D), Lu (х, у) = 0, (х, у) в D,.

0.32) (0.33) собственная функция и (х, у) = (VXx)1'29 (M*2 + y2))e~Vff (у/(х* + У2)) .

В главе 2 изучаются спектральные задачи для оператора Пулькина.

В § 2.1 уравнение смешанного типа 9.

Su + Xu = ихх + Sgnу • иуу Н—их + и = 0, (0.35) X где д? R {0} и, А? С, рассматривается в области D, ограниченной характеристиками АС (х + у = 0) и С В (х — у = 1) уравнения (0.35) — отрезком АК оси х = 0, К = (0, к), к > 0 и кусочно-гладкой кривой Г, лежащей в первой четверти, с концами в точках К и В. Обозначая D- = D П {у < 0}, D+ = D П {у > 0}, для уравнения (0.35) в зависимости от q ставится спектральная задача, соответствующая задаче Трикоми.

Спектральная задача T (q < ½). Найти значения параметра, А и соответствующие им функции и (х, у), удовлетворяющие условиям: и (ж, у) е C (D) П CD) П C2(D U D+), (0.36).

Su (х, у) + и (яг, у) = 0, (ж, у) G DU D+, (0.37) и (х, у) = О, (х, у) е АС и АК U Г. (0.38).

Спектральная задача T (q > ½). Найти значения параметра, А и соответствующие им функции и (х, у) из класса (0.36), удовлетворяющие уравнению (0.37) и условию и (х, у) = 0, (х, у) е 1С U Г. (0.39).

В § 2.2 в случае, когда кривая Г совпадает с четвертью единичной окружности Го = {(х, у) | х2 + у2 = 1, х > 0, у > 0}, методом разделения переменных найдено счетное множество положительных собственных значений и соответствующие им собственные функции задачи Т.

Теорема 2.1. Если q < ½, то собственными значениями спектральной задачи (0.36) — (0.38) являются положительные корни Ап>т, т € К, уравнения «72п-д-§(^)= 0, п 6 N. Соответствующие собственные функции имеют вид ип, т{х, У) = <, .,. т (®-| 2/) = (^п, т (ж2 + 2/2)) 972п9|(^/ЛП)т (ж2 + 2/2)) X / х2 /3 1 3 X2 4 2×2 + у2)' ип, т (*» у) = К- (л/А п, т (х2-у2)) (А", т (х2 — ?/2)) X х2-у2п-1*(11 л 1 я2-</2.

Xо— ^ п — 7, 7 + п — ъ 2п — д + — х2 — V 4'4 2' х2 -'.

Теорема 2.2.^сли д > ½, то собственными значениями спектральной задачи (0.36), (0.37), (0.39) являются положительные корни АП) т > т € N, уравнения «727н-д-§(^'А)=: 0> п? N. Соответствующие им собственные функции имеют вид ,/<�т (я>2/)> (а?, у) е?>+, т (#» ^ — | гг ~ т (ж, г/), (х, у) € />-,.

2/) = (Мп, т (я2 + 2/2)) 9Лп+д|(л/Лп, т (а:2 + 2/2)) х /3 3 1 ж2 п + д — д + — ь, II/ I у, у I, о. 2).

4 4 2×1—у1) ип, т у) = • (Лп, т (я2−2/2)) 9лп+д|(улп, т (а-2-?/2)) х.

1 X2 — ут.

2' х*.

— Г (п + 1) ГЙ + 9) к" -Г (1 -п) Г (2&bdquo- + д-1).

В § 2.3 построенная система собственных функций задачи Т исследуется на полноту в Ьч .

Теорема 2.3. Система собственных функций спектральной задачи Т при д> ½ полна с весом х2я~1 в 1,2.

Теорема 2.4. Система собственных функций спектральной задачи Т при д > ½ не полна с весом х2я~1 в ?2 (¦?*)" причем размерность дефекта равна бесконечности.

Теорема 2.5. Система собственных функций спектральной задачи Т при д < ½ полна в 1²(1?+) и не полна в Ь2(-0), причем размерность дефекта равна бесконечности.

В параграфах 2.4 — 2.6 в области Б поставлены следующие спектральные задачи.

Спектральная задача ТУУхд. Найти значения, А и соответствующие им решения и (х, у) е С (И) П С1 (И и Г) П С2(1> и ?>+) уравне.

АС ния (0.37) с условиями и= 0- и= 0 при д <] ^.

АК 0.

Спектральная задача ТЛ^лНайти значения, А и соответствующие им решения и (х, у) е С (П) П С1(И и АК) П С2(/) и ?>+) уравнения (0.37) при д > 0 с условиями и и.

АЛ 0- их.

АК 0 при 0 < д < \ 0.

Спектральная задача ТЫ. Найти значения, А и соответствующие им решения и (х, у) е С (П) П С и АК и Г) П С2[Ви ?+) уравнения (0.37) при д > 0 с условиями и = 0- их =0 при.

АС АК о<�д<�Ь Ш о.

В случае Г = Го найдены собственные значения и выписаны в явном виде собственные функции указанных спектральных задач. Системы собственных функций исследованы на полноту в ½.

В главе 3 на основании работ Е. И. Моисеева [25], [26] построены решения краевых задач, соответствующих спектральным задачам Тд, ТЛ^ д, ТЫ2 д и Т^Уд, для уравнения с оператором Пулькина и комплексным параметром, отличным от собственных значений спектральных задач. В § 3.1 для уравнения Пулькина.

2д.

Би = ихх + sgnу • иуу -|—их = О, где д > 0, в области И ставится.

Задача Т. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и (х, у) Е С (П) П С1 (И) П С2(£> и ?>+), (0.40).

Б и (х, у) = 0, (я?, у) в ?> и ?>+, (0.41) и (х, у) = 0, (х, у) е АС, (0.42) и (х, у) = 0, (х, у) е АК, 0 < д < ½, (0.43) и (х, у) = / (х, у), (я?, у) е Г, (0.44) где /(я, у) — заданная и достаточно гладкая функция, /(К) =0 при 0 < д < ½ .

Единственность решения задачи Т следует из принципа максимума для уравнения Б и = 0 при д > 0 в области ?), установленного в [31, 37].

Решая в области ?) вторую задачу Дарбу, получено функциональное соотношение между следом и (х, 0) решения и следом иу (х, 0) нормальной производной решения на отрезке АВ, на основании которого задача Т сведена к нелокальной эллиптической задаче в области И+.

Задача Т+. Найти функцию и (х, у) е С (П+) П С1(Б+ и АВ) П С2 (?)+), удовлетворяющую уравнению Би = 0 в ?)+, условиям (0.43), (0.44) и и{х>о)=/ {гЬТр {я> я>1- (гг!)2)о) ° - *.

В случае, когда Г = Го, решение задачи Т+ построено в виде суммы биортогонального ряда. Вычислив след суммы ряда при у = 0 и подставив его в формулу решения задачи Дарбу, получено решение задачи Т в ?).

Теорема 3.1. Если 0 < .

Ц /" <4 2/), (я, у) € ?>+, х, 2/) = < п=1 оо.

Ум^п я, г/), (ж, 2/) е П=1 х> у) = х 2п-2д—| Ж.

— п ж2 + 2/2 х п/3 13.

Ж + у —д- ^^ I, ип 2/) = ®.

—2п-2а-Ь (х У.

2 X.

X*.

1 1 1×2-уТ х п-д + -, 2п-д + — — где коэффициенты /п определяются в работе по формулам (3.32).

Теорема 3.2. Если ½ < д < 1 и функция /((р) е С[0, 7г/2] и дифференцируема в (0, 7г/2), /'(</?)€ Ь2/(з2д)[0, 7г/2], то существует единственное решение задачи (0.40) — (0.42), (0.44), которое имеет вид и{х, у) = оо ~ /п<4 К у), у) е ?>+>

П=1 п ип п=1.

0.45) (*" У) = (я2 + У2) 3.

3 1 4' 2 ж'.

П (*. у) = - У2) 4.

— у 2 где коэффициенты /п определяются в работе по формулам (3.43).

В случае д > 1 решение задачи Трикоми также выписывается в виде суммы биортогонального ряда при дополнительных условиях разрешимости на граничную функцию /(<р). Приведем результат для значений д = т+ ½, т = 0, 1, 2,. .

Будем говорить, что функция f{^p) удовлетворяет условиям (А), если:

Теорема 3.3. Пусть д = т + ½, т = 0, 1, 2,. и функция /(<р) удовлетворяет условиям (А). Тогда существует единственное решение задачи (0.40) — (0.42), (0.44), которое имеет вид (0.45), где коэффициенты /" вычисляются по формулам.

В параграфах 3.2 — 3.5 в области Б для уравнения с оператором Пулькина при 0 < д < 1 и комплексным параметром, отличным от собственных значений спектральных задач Та, ТЫ\, ТЛ^а и Т/Уд, поставлены соответствующие краевые задачи. Решения этих задач при Г = Го представлены в виде сумм биортогональных рядов. где п = 0, ., втвёв '.

В § 3.6 рассмотрена пространственная задача Трикоми для уравнения смешанного типа (0.3) в теле G, ограниченном: 1) при z > 0 поверхностью вращения Е: z = сг (г), г2 = х2 + у2, где cr® € С[0, 1], <�т (г) > 0 для г € (0, 1), причем сг (0) = а0 > 0, сг (1) = 0- 2) при г < 0 боковыми поверхностями конусов К: z = —г, 0 < г < ½ и: z = г — 1, ½ < г < 1.

Задача Т. Найти функцию и (х, у, г) со свойствами: и (х, у, z) e C (G) nC1(G)nC2{G1J G2), Lu (x, у, z) = 0, (ж, y, z) e Gi U G2, и и u (x, у, <1,.

— = u (x, y, -r) = Ф (х, y), 0 < ж2 + y2 < i.

Л1 J где Gi = <3n{z > 0}, G2 = GCi{z < 0}, Ф (x, у) и Ф (а, у) — заданные и достаточно гладкие функции.

Отметим, что задача Т изучалась в работе [33]. Аналогичная краевая задача с граничным условием на конусе рассматривалась в [4].

Используя подход работы [33], вопрос существования решения задачи Т рассмотрен в случае, когда Е есть полусфера, Ф (х, у) = 0 и функция Фх (г, в) = Ф (г cos 0, г sin в) допускает разложение в равномерно сходящийся на [0, 1] х [—7Г, 7г] ряд Фурье: оо ф1 (г, в)= Y, г&tradeAm® cos m0 + Bm{r) sin тв.

771=0.

Показано, что при некоторых ограничениях на коэффициенты Ат (г) и Вт (г) решение задачи Т представляется в виде суммы равномерно сходящегося на <2 тригонометрического ряда Фурье: оо и (г, 0, z) = ^ rm Pm (г, z) cos 7710 + Qm (r, z) sin 1710.

771=0.

0.46) функциональные коэффициенты Рт (г, г) и фт (г, г) которого на плоскости (г, г) являются решениями задачи Трикоми для уравнения Пулькина при д = т + ½ с граничными условиями: т.

-=Ат (г), дт=Бт (г), т 0.

Выписаны представления функциональных коэффициентов Рт (г, х) и Ят (г, в виде сумм рядов. Обоснована равномерная сходимость на 6? повторного ряда (0.46), а также возможность его почленного дифференцирования в области <3.

1. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа: Дис.. д-ра физ.-мат. наук. М. 1952.-195 с.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973. — 296 с.

3. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961. — 208 с.

4. Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа в многомерных областях // Доклады АН СССР. 1956. Т.110. № 6. — С.901−902.

5. Бицадзе A.B. О некоторых задачах для уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1950. Т. 70. № 4. — С. 561−564.

6. Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа: Дис. д-ра физ.-мат. наук. М., 1951.

7. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

8. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М.: Наука, 1981. 448 с.

9. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. 4.1 М: ИЛ, 1949. — 799 с.

10. Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений. М.: ИЛ, 1960. — 421 с.

11. Градштпейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм и рядов. -М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

12. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно составного типов. — Ташкент: Фан, 1979. — 238 с.

13. Ильясов P.P. О некорректных краевых задачах для одного гиперболического уравнения / Тезисы докл. конф. «Понтрягинские чтения X». Современные методы в теории краевых задач. Воронеж, 1998. — С. 215.

14. Ильясов P.P. О спектре задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом / Сбор. науч. трудов «Дифференц. уравнения и их применения в физике». Ч. 1. — Стерлитамак: СФ АН РБ, СГПИ 1999. — С. 24−30.

15. Ильясов P.P. Построение решения задачи Трикоми-Неймана для уравнения С. П. Пулькина методом разделения переменных / Труды, межд. науч. конф. «Дифференц. уравнения и их приложения». Самара: Сам-Гаса, 2002. — С. 147−151.

16. Кальменов Т. Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения ЛаврентьеваБицадзе // Дифференц. уравнения. -1977. Т. 13. № 8. С. 1718−1725.

17. Кароль И. Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // Матем. сб., -1956, -Т.38(80), № 3, С.261−283.

18. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Докл. АН СССР. Т.77. № 2(1951). -С. 181−183.

19. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. JL: Изд-во ЛГУ, 1990. — 208 с.

20. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. -830 с.

21. Мамедов Я. Н. О некоторых задачах на собственные значения для уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 1. -С. 163−168.

22. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во МГУ, 1988. — 150 с.

23. Моисеев Е. И. О базисности одной системы синусов // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 1. — С. 177−179.

24. Моисеев Е. И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 1. — С. 93−103.

25. Моисеев Е. И. О представлении решения задачи Трикоми в виде биорто-гонального ряда // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 7. — С. 12 291 237.

26. Олевский М. Н. О функции Римана для дифференциального уравнения // Доклады АН СССР. 1952. Т.87. № 3. — С. 337−340.

27. Пилия А. Д., Федоров В. И. Особенности поля электромагнитной волны в холодной анизотропной плазме с двумерной неоднородностью // Журн. экспер. и теор. физики. 1971. Т. 60. — вып.1. — С. 389−399.

28. Пономарев С. М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа ЛаврентьеваБицадзе: Дис.. д-ра физ.-мат. наук. М. 1981.

29. Полосин А. А. О разложении решения обобщенной задачи Геллерстедта в биортогональный ряд // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, N 1. -С. 435−437.

30. Пулъкин С. П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстедта // Известия вузов. Математика. 1960. № 6(19). — С. 214−225.

31. Пулъкин С. П. Некоторые краевые задачи для уравнения ихх ± иуу + Еих = 0 / Уч. зап. Куйбыш. пединститута. 1958. — Вып. 21. — С. 3−54.

32. Пулъкин С. П. Исследование по уравнениям смешанного типа: Дис.. д-ра физ.-мат. наук. Казань, КГУ. 1958.

33. Рыжов О. С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля. -М.: ВЦ АН СССР, 1965. 236 с.

34. Сабитов К. Б. О задаче Трикоми для уравнения Лавреньтева-Бицадзе со спектральным параметром // Дифференц. уравнения. -1986. Т.22, № 11. С.1977;1984.

35. Сабитов К. Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 11. — С. 1967;1976.

36. Сабитов К. Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. I // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. К0- 6. — С. 10 231 032.

37. Сабитов К. Б. Уравнения математической физики М.: Высшая школа, 2003. -255 с.

38. Сабитов К. Б. О спектре одной газодинамической задачи Франкля для уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР 1991; Т. 316, N 1С. 40−44.

39. Сабитов К. Б., Ильясов P.P. О некорректности краевых задач для одного класса гиперболических уравнений // Известия вузов. Математика. -2001. № 5(468). С. 59−63.

40. Сабитов К. Б., Ильясов P.P. Решение задачи Трикоми для уравнения с сингулярным коэффициентом спектральным методом // Известия вузов. Математика. 2004. № 2. — С. 64−71.

41. Сабитов К. Б., Кучкарова А. Н. Спектральные свойства решений задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения // Сиб. мат. журнал. 2001. Т. 42. № 5. — С. 1147−1161.

42. Сабитов К. Б., Карамова A.A. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения // Известия РАН. Серия матем. 2001. № 4. -С. 133−150.

43. Сабитов К. Б., Гималтдинова A.A. Об одной газодинамической задаче для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 1. — С. 111−116.

44. Сабитов К. Б., Хасанова С. Л. Спектральные свойства краевой задачи с производной по нормали в граничном условии для уравнений смешанного типа и их применения // Известия вузов. Математика. 2003. JV2 6. -С. 64−76.

45. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно составного типа. — Ташкент: Фан, 1974. — 156 с.

46. Самко С. Г., Килбас A.A., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

47. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. — 292 с.

48. Смирнов M.M. Уравнения смешанного типа. M.: Наука, 1970. — 296 с.

49. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. — 304 с.

50. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. M.-JL: Гостехиздат, 1947. — 192 с.

51. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957. — 443 с.

52. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. II. Трансцендентные функции. М.: Физматгиз, 1963. — 516 с.

53. Франкль Ф. И. К теории сопел Лаваля // Изв. АН СССР. Сер. матем. -1945. Т. 9. № 5. С. 387−422.

54. Франкль Ф. И. О задачах Чаплыгина С. А. для смешанных дои сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945. Т. 9. № 2. -С. 121−142.

55. Франкль Ф. И. Об одной новой краевой задаче для уравнения у zxxf Zyy = 0 // Учен, записки МГУ. 1951. — Вып. 152. Механика, 3. — С. 99 116.

56. Черный Г. Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. — 424 с.

57. Шифрин Э. Г. О единственности «в целом» решения прямой задачи Лаваля // Журн. вычислит, мат. и матем. физики. 1978. Т. 18. № 2. -С. 509−512.

58. Gellerstedt S. G. Sur on probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte: These pour le doctorat. -Uppsala, 1935. 92 p.