Полугрупповые многообразия и сплетение полугрупп

4.2 Предварительные сведения.115.

4.3 Степень левой простоты полугруппы.116.

4.4 Степень кратности деления в полигоне.119.

4.5 Достаточные условия простоты сплетения полугрупп 123.

4.6 Простые полугруппы с максимальными главными правыми идеалами .124.

4.7 Простые полугруппы с минимальными левыми идеалами.127.

4.8 Доказательство основной теоремы .131.

4.9 Вполне простые многообразия.133.

Сплетение атомов решетки полу групповых многообразий 135.

5.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов 135.

5.2 Вычисление базисов тождеств сплетения полугрупповых многообразий.140.

0.1 Актуальность темы.

Как известно, конструкция сплетения групп возникла в работе Калужнина Л. А., Краснера М. [70] в 1951 году. В 1960 году конструкция стандартного сплетения полугрупп была применена в теории полугрупп Нейманом Б. Х. для доказательства теорем вложения в полугруппах [82]). В частности, он дал новое доказательство теоремы Эванса о вложении произвольной счетной полугруппы в двухпорожденную полугруппу, доказал теорему о вложении любой конечной полугруппы в конечную двухпорожденную полугруппу, а также некоторые другие теоремы вложения [82]).

Проблема исследования операции сплетения полугрупповых многообразий привлекает алгебраистов-исследователей с середины 70-х годов. Этот интерес возник из двух основных источников. Во-первых, благодаря фундаментальным трудам алгебраической школы Роудза, и теории строения конечных полугрупп, имеющей своим истоком знаменитую теорему Крона — Роудза о декомпозиции конечных автоматов и конечных полугрупп, опубликованную в 1965 году [76], (см. также литературу по этому вопросу в переведенной книге (22]). Во-вторых, интерес к исследованию сплетения многообразий мотивируется тем фактом, что операция произведения групповых многообразий, может быть определена через сплетение групп и показала свою плодотворность при изучении групповых многообразий (см., например, [39]).

В дальнейшем развитии первого направления сыграла важную роль книга С. Эйленберга [62]. Именно в последней книге была определена операция полупрямого произведения псевдомногообразий которая интенсивно исследовалась в последующие годы. Кроме того, в этой книге была доказана важная теорема, устанавливающая взаимно однозначное соответствие между псевдомногообразиями (конечных) моноидов и потоками рациональных языков (см. также [35, теорема 5.11]). Аналогичная теорема верна й для псевдомногообразий полугрупп и потоков рациональных языков, заданных на свободных полугруппах, а не на свободных моноидах (см. [35]). Таким образом, развиваемая теория имеет непосредственное влияние на теорию формальных языков, возникновение и развитие которой, в частности, в настоящее время мотивируется бурным развитием программирования и вычислительных задач.

В 1987 году Б. Тилсон отмечает, что при переходе от рассмотрения моноидных многообразий и псевдомногообразий к полугрупповым более правильной является операция сплетения полугрупповых многообразий, которая им введена в работе [89]. Это мнение Б. Тилсон мотивирует лучшими возможностями его определения сплетения полугрупповых многообразий при обобщениях на некоторые категории, содержащие полугруппы. Более точно Б. Тилсон отметил, что полупрямое произведение в смысле Эйленберга, которое является вполне подходящим для псевдомногообразий моноидов, не является подходящим для многообразий полугрупп, так как доказанная им «теорема о задержке» для многообразий моноидов, перестает быть верной для многообразий полугрупп. Впрочем, обе операции близки, хотя и не совпадают (см. [89]).

Отметим также, что параллельно с полупрямым произведением в литературе рассматривались и другие произведения псевдомногообразий моноидов, например, двустороннее полупрямое произведение, произведение Шютценберже (см. [61, 79]).

В частности, рассматривался и другой аналог произведения групповых многообразий, а именно, мальцевское произведение (см., например, [49, 52]). Группоид полугрупповых многообразий отнсительно мальцевского произведения был изучен на классе идемпотентных полугрупп Е. В. Сухановым в [88]. В частности, выяснилось, что мальцевское произведение в этом случае, как правило, неассоциативно. В литературе обсуждались и случаи совпадения полупрямого произведения и мальцевского произведения псевдомногообразий [65].

В теории Крона — Роудза уже рассматривались сплетения полугрупп преобразований, что позволило предложить ассоциативную конструкцию сплетения и явилось дальнейшим обобщением сплетения. В 1979 году Скорняков JI.A. [86] рассмотрел сплетение моноидов с помощью полигона, что явилось еще некоторым расширением конструкции КронаРоудза. Такое сплетение было применено им для изучения моноида эндоморфизмов свободного полигона над моноидом. В дальнейшем различные модификации сплетения с успехом применялись Кнауэром У. и Михалевым A.B. для изучения моноидов эндоморфизмов полигонов (см., например, [71, 72, 73]).

Здесь важно отметить, что при переходе от групп к полугруппам могут возникать различные определения сплетения полугрупповых многообразий, как это и было исторически. Однако, здесь существенно отметить, что вариант определения Тилсона, является, по-видимому, оптимальным. Это мотивируется на наш взгляд двумя следующимим факторами. Во-первых, тем, что операция сплетения полугрупповых многообразий ассоциативна (см. [89]). Это не так для стандартного сплетения полугрупповых многообразий, которое определил Ю. Г. Кошелев в 1976 году. Во-вторых, эта операция для периодических групповых многообразий совпадает с операцией произведения групповых многообразий. Это не так для произведения многообразий полугрупп, которое предложил рассматривать Ю. Г. Кошелев в 1989 году [33]. Для непериодических групповых многообразий о таком совпадении думать не приходится, так как непериодические групповые многообразия уже не являются полугрупповыми многообразиями. При этом операция сплетения для непериодических (надкоммутативных) полугрупповых многообразий является слишком грубой, так как сплетение двух надкоммутативных многообразий равно многообразию всех полугрупп.

Вопрос об описании структуры моноида полугрупповых многоЪбразий относительно сплетения возник в связи с известной теоремой А. Л. Шмелькина и Б. Х. Нейман, Х. Нейман, П. М. Нейман, а также известного описания всех идемпотентов относительно сплетения полугрупповых многообразий (см. [39, теоремы 23.32 и 23.4] и [31]). Теорема А. Л. Шмелькина и трех Нейманов утверждает, что полугруппа всех нетривиальных групповых многообразий относительно сплетения является свободной полугруппой.

Вопросы, связанные с изучением сплетения периодических полугрупповых многообразий возникли как вопросы наиболее актуальные при изучении операции сплетения многообразий в связи с полученными результатами о структуре моноида полугрупповых многообразий. Одновременно с этим возник интерес к выяснению, при каких условиях сплетение полугрупповых периодических многообразий обладает тем или иным хорошим свойством. Рассматриваемые классы многообразий вводились при изучении периодических многообразий полугрупп как допускающие хорошее структурное описание полугрупп, из которых они состоят, на языке полурешеточных разложений. Задачи обсуждались с М. В. Сапиром на XIX Всесоюзной алгебраической конференции во Львове в 1987 году, а позднее одна из них была сформулирована автором как проблема 3.56 в третьем выпуске Свердловской тетради [47].

При изучении сплетения полугрупповых многообразий оказалось полезным решение задач, выясняющих при каких условиях сплетение полугрупп обладает тем или иным хорошим свойством. Такие вопросы начинают изучаться в литературе, начиная с середины 60-х годов. Хантер в 1966 году нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы стандартное сплетение полугрупп было бы вполне простой полугруппой (см. [68]). В 1969 году Мур [81] нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы стандартное сплетение полугрупп было бы коммутативной полугруппой. В 1972 году Макнайт и Садовский Е. [80] отметили наличие ошибки в доказательстве Хантера и дали другое доказательство его теоремы. При этом они доказали также, что сплетение Ж вполне простых полугрупп всегда удовлетворяет равенству И² = В 1976 году Ю. Г. Коше лев нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы сплетение полугрупп принадлежало бы одному из следующих классов полугрупп: инверсные, регулярные, простые слева (справа), левые (правые) группы, группы, полурешетки, идемпотентные и т. п. (см. [29, 30]). Позднее Л. А. Скорняков предложил другие необходимые и достаточные условия регулярности сплетения моноидов [86].

Проблема Б. И. Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условий идеальной простоты сплетения полугрупп была сформулирована Ю. Г. Коше левым во втором издании Свердловской тетради как проблема 2.38 [46].

В [63] отмечено, что если полугруппа конечна, то псевдомногообразие ею порожденное, совпадает с псевдомногообразием, заданным множеством тождеств этой полугруппы. Это означает, что такое псевдомногообразие есть пересечение многообразия, порожденного этой полугруппой с классом всех конечных полугрупп. Как следует из результатов главы 5, почти все сплетения атомов решетки полугрупповых многообразий порождаются конечными полугруппами. Следовательно, результаты этой главы могут рассматриваться и как результаты, непосредственно относящиеся к теории псевдомногообразий.

0.2 Цель работы.

Цель работы — исследование операции сплетения полугрупп и, в первую очередь, ее применение при изучении моноидного сплетения полугрупповых многообразий для решения следующих задач.

1. Нахождение описания структуры моноида полугрупповых многообразий с помощью разложения в полурешетку подполугрупп, и получение информации об этих подполугруппах.

2. Нахождение необходимых и достаточных условий на сплетаемые многообразия, при которых их моноидное сплетение является: а) многообразием всех полугруппб) многообразием конечного индексав) полуархимедовым многообразиемг) вполне простым многообразием.

3. Нахождение необходимых и достаточных условий на пассивную полугруппу сплетения для того, чтобы при фиксированнной пассивной полугруппе сплетение полугрупп было бы простой полугруппой, если в качестве активной полугруппы взять произвольную простую полугруппу.

4. Вычисление базисов тождеств и решеток подмногообразий для сплетения атомов решетки полугрупповых многообразий с целью сопоставления операции моноидного сплетения полугрупповых многообразий и их решеточного объединения. В частности, решаются вопросы а) конечной базируемости сплетенияб) конечности решетки подмногообразий сплетенияв) порождаемости конечной полугруппой сплетения многообразий в рассматриваемых случаях.

0.3 Решенные проблемы.

1. Проблема Нейманов — Шмелькина для полугрупповых многообразий, возникшая как задача описания структуры моноида полугрупповых многообразий относительно сплетения. Задача была поставлена в связи с известной теоремой А. Л. Шмелькина и Б. Х. Нейман, Х. Нейман, П. М. Нейман, а также известного описания идемпотентов относительно сплетения полугрупповых многообразий.

2. Задача М. В. Сапира о выяснении необходимых и достаточных условий, при которых сплетение полугрупповых многообразий является многообразием конечного индекса или полуархимедовым многообразием. Эти классы многообразий возникли при изучении периодических многообразий полугрупп как допускающие хорошее структурное описание полугрупп, из которых они состоят, на языке полурешеточных разложений. Задачи были высказаны М. В. Сапиром на XIX Всесоюзной алгебраической конференции во Львове в 1987 году, а позднее одна из них была сформулирована автором как проблема 3.56 в Свердловской тетради [47].

3. Решена проблема Б. И. Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условиях идеальной простоты сплетения полугрупп в случае, если активная полугруппа сплетения есть объединение своих максимальных главных правых идеалов, а также в случае если активная полугруппа сплетения содержит минимальные левые идеалы, а само сплетение стандартно. Проблема была сформулирована Ю. Г. Коше левым во втором издании Свердловской тетради как проблема 2.38. Эти результаты обобщают теорему Хантера, которая давала необходимые и достаточные условия для того, чтобы стандартное сплетение полугрупп было бы вполне простой полугруппой [68].

4. Решена «ослабленная проблема Б.И.Плоткина», а именно, найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы при фиксированной пассивной полугруппе, сплетение двух полугрупп было бы идеально простой полугруппой при любой активной простой полугруппе.

5. Выяснено, в каких случаях решетка подмногообразий моноидного сплетения полугрупповых многообразий, каждое из которых является атомом решетки полугрупповых многообразий, является конечной. При этом конечные решетки вычислены в явном виде во всех случаях, кроме случая, когда первое из сплетаемых многообразий есть многообразие полурешеток, а второе — многообразие полугрупп с нулевым умножением.

0.4 Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 21 работах, перечисленных в конце диссертации. Среди них одна является совместной. Результаты диссертации докладывались на XIX Всесоюзная алгебраической конференции (Львов, 1987), на Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989, Барнаул, 1991, Санкт-Петербург, 1997), на международных конференциях по теории полугрупп и ее приложениям в Санкт-Петербурге в 1995 и в 1999 году, на Международном алгебраическом семинаре в МГУ (Москва, 1999). Результаты диссертации докладывались на семинаре «Кольца и модули» в МГУ, на научно-исследовательском семинаре по алгебре в МГУ и на семинаре «Алгебраические системы» в Уральском государственном университете в Екатеринбурге.

0.5 Объем и структура работы.

Работа состоит из введения, пяти глав и занимает около 200 страниц компьютерного текста.

Список литературы

содержит 90 наименований. Имеется 12 рисунков и 2 таблицы. 0.6 Содержание работы.

Исследования, проведенные в диссертации можно разделить на три группы вопросов. Во-первых? изучение структуры моноида полугрупповых многообразий относительно операции сплетения. Во-вторых, нахождение необходимых и достаточных условий на сплетаемые полугруппы (или многообразия), при которых их сплетение обладает одним из указанных выше хорошим свойством. В-третьих, в последней части диссертации вычисляются сплетения многообразий, которые являются атомами решетки С полугрупповых многообразий. Такие вычисления производятся для того, чтобы оценить, насколько сильно сплетение полугрупповых многообразий отличается от их решеточного объединения. Все группы вопросов связаны общим предметом и методологией исследования. В основе применяемого метода исследования лежат комбинаторное вычисление тождеств сплетения полугрупп и использование структуры рассматриваемых полугрупп Опишем теперь содержание диссертации по главам.

Отметим, что в работе принята следующая система ссылок: ссылка на теорему 1.4.2 означает, что это теорема 4.2, сформулированная в разделе 4 главы 1. При этом при ссылке внутри одной главы первая цифра, означающая номер главы, как правило, опускается.

В главе 1 обсуждается выбор определения этой операции из уже возникавших в литературе. Выбирается операция сплетения полугрупповых многообразий, введенная в 1987 году Б. Тилсоном [89]. Одновременно разрабатывается техника определения, истинно ли заданное тождество в сплетении полугрупп, если мы умеем определять истинно ли тождество в сплетаемых полугруппах.

Операцию сплетения полугрупповых многообразий, которую впервые определил Тилсон, мы называем моноидным сплетением в отличие от общего и стандартного сплетения многообразий, которые рассматривал Ю. Г. Кошелев (см. [33, 31]). Операция моноидного сплетения полугрупповых многообразий была определена в [89, 7]. Обсуждение возможных определений сплетения многообразий, которые возникали в литературе, и разработка техники вычислений тождеств сплетения полугрупповых многообразий проводится в главе 1. Предпочтение моноидному сплетению многообразий отдается на том основании, что оно ассоциативно в отличие от стандартного сплетения полугрупповых многообразий и совпадает с групповым произведением периодических групповых многообразий в отличие от общего сплетения полу групповых многообразий.

Основным результатом главы 1 является теорема 1.4.2 и алгоритм 1.4.1, позволяющие определять, справедливо ли данное тождество в сплетении полугрупп при условии, что мы умеем проверять справедливость тождеств в сплетаемых полугруппах. Из этих результатов выводятся необходимые и достаточные условия истинности тождества в моноидном сплетении полугрупповых многообразий (теорема 1.4.5). Приведен пример, показывающий, что стандартное сплетение полугрупповых многообразий неассоциативно уже на подгруппоиде, порожденном двумя атомами решетки полугрупповых многообразий.

Кроме того, техника вычислений тождеств сплетения полугрупп и полугрупповых многообразий, разработанная в главе 1, используется в дальнейшем на протяжении всей диссертации:.

В главе 2 решается проблема Нейманов — Шмелькина для полугрупповых многообразий, возникшая как задачаописания структуры моноида полугрупповых многообразий относительно сплетения. Задача была поставлена в связи с известной теоремой А. Л. Шмелькина и Б. Х. Нейман, Х. Нейман, П. М. Нейман, а также известного описания идемпотентов относительно сплетения полугрупповых многообразий (см. [39, теоремы 23.32 и 23.4] и [31]).

Отметим, что моноид полу групповых многообразий имеет существенно более сложную структуру, чем моноид групповых многообразий, который является просто свободным моноидом континуального ранга с внешне присоединенным нулем. В главе содержится ряд важных результатов о структуре этого моноида, которые дают представление об этом моноиде в целом. Отдельные части моноида получают полное или же достаточно ясное описание. О других же частях показано, что они имеют сложную структуру, а также установлены их отдельные свойства. Прояснение структуры моноида полугрупповых многообразий ставит дальнейшие задачи по его исследованию.

Дадим теперь точные формулировки основных результатов диссертации. Для этого введем ряд обозначений. Пусть ОС —1 множество всех надкоммутативных многообразий, I — множество, состоящее из одного многообразия Т всех тривиальных полугрупп, О — множество всех периодических групповых многообразий, ЬЫ — множество всех периодических многообразий, состоящих из нильпотентных слева полугрупп, М — множество всех периодических многообразий, которые содержат хотя бы одну полугруппу, не являющуюся группой и нильпотентной слева полугруппой. Очевидно, что разложение.

МУ = / и ьы и в и м и ОС -(*) есть разложение МУ в объединение попарно не пересекающихся подмножеств.

Теорема 2.2.2 (Первая структурная теорема). Моноид МУ полугрупповых многообразий может быть разложен в пятиэлементную полурешетку (*) своих подполугрупп I, С, М, ОС, причем.

ОС < М, М < LN1 М < G, LN < I, С < I.

При этом ОС — идеал с нулевым умножением в МУ мощности континиума, G — свободная полугруппа континуального ранга, LN разложима в счетную полурещетку конечных нильпотентных подполугрупп Т (Ь-ьт)(т > 1,0 < 3 < т), М — полугруппа без идемпотентов, содержащая подполугруппу С, изоморфную свободной полугруппе континуального ранга, но не удовлетворяющая закону ни правого, ни левого сокращения.

Первая структурная теорема дает разложение в полурешетку моноида МУ всех полугрупповых многообразий относительно моноидного сплетения. Кроме того, очевидно, что компоненты 1, ОС не требуют дополнительного описания. Компонента С совпадает со свободной полугруппой всех групповых периодических многообразий и результаты, связанные с ее описанием и, в частности, различные серии примеров неразложимых многообразий имеются в книге [39]. Компонента ЬМ описывается во второй структурной теореме с помощью дальнейшего разложения ее в полурешетку уже полурешеточно неразложимых конечных нильпотентных полугрупп.

Теорема 2. 5.2 (Вторая структурная теорема).Класс кручения Т (Ь^т), где т > 1, 0 < з < га, содержит наименьшее многообразие Ц^т, которое может быть задано следующим набором тождеств:

XI. х^уг. утЧ = хг.. 2т-у+ъ (1) х2 = х2г, (2) хух = хухх, (3) хух = ж?/2, (4).

Жх.. жууг = а?!.. х^гу (5).

При этом Т (Ь^т) совпадает с решеточным отрезком [и}-тЬ]-ГП] и является подалгеброй алгебры (МУ, w, П, V,).

Что касается последней компоненты М, то она является полугруппой без идемпотентов, и ее исследование с помощью дальнейшего разложения в полурешетку подполугрупп не является эффективным инструментом изучения. Пока здесь она не имеет достаточно ясного описания, но сложность ее структуры характеризуется информацией, указанной первой структурной теореме, а именно: она содержит с одной стороны, в качестве подполугруппы свободную полугруппу континуального ранга, а с другой стороны, она не удовлетворяет закону ни правого, ни левого сокращения. Этот факт показывает, что пока мы можем только эффективно описывать не всю эту компоненту, но лишь какие-либо ее части.

В связи с этим, далее решаются задачи о нахождении необходимых и достаточных условий на сплетаемые многообразия, при которых их моноидное сплетение является: а) многообразием всех полугруппб) многообразием конечного индексав) полуархимедовым многообразиемг) вполне простым многообразием. Решение этих задач тесно связано с решением соответствующих задач для сплетения полугрупп, которые также рассматриваются в диссертации.

Кроме первой и второй структурной теоремы в главе 2, вычислены индексы нильпотентности полугрупп Г0т (ш > 1) (теорема 2.6.1). В частности, из этого результата следует, что индексы нильпотентности полугрупп не ограничены в совокупности (следствие 2.6.9).

Наконец, в последнем разделе 7 найдены необходимые и достаточные условия, при которых сплетение двух полугрупповых многообразий равно нулю моноида, т. е. совпадает с многообразием всех полугрупп (теорема 2.7.1).

Как следует из результатов главы 2, сама операция сплетения полугрупповых многообразий для непериодических (или в других терминах надкоммутативных) многообразий тривиальна, так как совпадает с многобразием всех полугрупп. Поэтому интерес представляет случай, когда по крайней мере одно из сплетаемых многообразий периодическое. В частности, если оба они периодические.

В главе 3 изучается вопрос, при каких условиях полугруппы сплетения периодических полугрупповых многообразий обладают хорошими структурными свойствами. Более точно, решаются вопросы, при каких условиях на сплетаемые многообразия, их моноидное сплетение является периодическим полуархимедовым многообразием или многообразием конечного индекса. Оба класса периодических полугрупповых многообразий были выделены в [45], хотя первый из названных здесь классов там именуется нематричными многообразиями. Ответы даны в терминах как структурной, так и эквациональной теории полугрупп. В частности, при решении первой задачи решена полностью проблема 3.56, поставленная автором в третьем выпуске Свердловской тетради [47] (теорема 3.2.3). В качестве приложения развитой техники доказано, что моноидное сплетение многообразия полурешеток и многообразия абелевых групп экспоненты п есть существенно бесконечно базируемое многообразие для любого натурального числа п > 2 (теорема 3.5.3).

Теорема 3.2.4. Эквивалентны следующие условия: 1) моноидное сплетение иуУ многообразий полугрупп является периодическим полу архимедовым многообразием- 2) и и V — периодические полуархимедовы многообразия и, кроме того, либо и архимедово, либо V состоит только из полурешеток левых нилъполугрупп.

Кроме того, теорема 3.2.4 содержит ответ и в терминах эквациональной теории, который здесь не приводится.

Теорема &-.5.&-.Моноидное сплетение 81уАп многообразия 81 полурешеток и многообразия Ап абелевых групп экспоненты п является существенно бесконечно базируемый многообразием для любого натурального числа п> 2.

В разделе 6 главы 3 находятся необходимые и достаточные условия на полугруппы, при которых их расширенное стандартное сплетение порождает многообразие конечного индекса (теорема 3.6.1). Выбор этих классов многообразий обусловлен тем, что среди периодических многообразий полугруппы этих классов обладают хорошими структурными свойствами разложимости в полурешетку архимедовых полугрупп. При этом архимедовы полугруппы в периодическом случае являются нильрасширениями вполне простых полугрупп. Более того, в случае многообразий конечного индекса они являются нильпотентными расширениями вполне простых полугрупп.

Теорема 3.6.1. Моноидное сплетение ИлуУ полугрупповых многообразий является многообразием конечного индекса тогда и только тогда, когда и и V являются многообразиями конечного индекса и имеет место один из следующих четырех случаев: Г) либо V состоит из левых нилъпотентных полугрупп- 2) либо и и V состоят из нилъпотентных расширений вполне простых полугрупп- 3) либо и состоит из нилъпотентных расширений прямоугольных групп, а объединение ОгБ всех подгрупп любой полугруппы Б? V есть правый идеал- 4) ли^° и состоит из нилъпотентных расширений прямоугольных связок.

В разделе 8 главы 3 устанавливается структурная характеризация полугрупп, порождающих какое-либо многообразие конечного индекса, т. е. П-полугрупп, которая дополняет теорему Сапира — Суханова [45, 52]. Найденная характеризация оказалась полезной при рассмотрении примеров. В главе указан также пример пятиэлементной полугруппы, которая не является П-полугруппой. Данный пример послужил отправной точкой для характеризации многообразий полугрупп конечного индекса на языке «запрещенных делителей» в совместной работе автора и.

Волкова М.В. [10]. Позднее эта же полугруппа была использована в недавней работе Алмейда Ж. для решения одной из задач, касающихся псевдомногообразий [58]. Результаты раздела 8 использованы в разделе 9.

Наконец, в разделе 9 указано применение сплетения полугрупп и результатов о многообразиях конечного индекса к исследованию свойств моноида эндоморфизмов свободного левого Sполигона над моноидом S. А именно, дается ответ на вопрос, при каких условиях моноид эндоморфизмов свободного левого полигона над моноидом порождает многообразие конечного индекса.

Теорема 3.9.1. Моноид эндоморфизмов EndsF (X) свободного левого Sполигона с множеством образующих X для произвольного моноида S есть FIполугруппа тогда и только тогда, когда-либо 1) .= 1 и S есть FIмоноид, т. е. это моноид, который является FIполугруппойлибо 2) Х —2 и S есть группа.

Отметим, что применение сплетений для исследования свойств моноидов эндоморфизмов было начато в [86], а затем продолжено в серии работ [71, 72, 73].

В главе 4 в связи с изучением свойств, которыми обладает моноидное сплетение полугрупповых многообразий, а также сплетение полугрупп, рассматривается задача Б. И. Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условий на сплетаемые полугруппы, при которых их сплетение является (идеально) простой полугруппой. Очевидным необходимым условием простоты сплетения является простота как активной, так и пассивной полугруппы сплетения. Более точно, в главе 4 решается проблема Б. И. Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условиях простоты сплетения полугрупп в ряде важных случаев при дополнительных предположениях об активной полугруппе сплетения, а именно: 1) если активная полугруппа простая и каждый ее главный правый идеал вкладывается в максимальный главный правый идеал (в частности, это так для простых полугрупп с единицей) (теорема 4.6.1) — 2) если активная полугруппа простая, содержит минимальные левые идеалы и сплетение стандартное (теорема 4.7.1). В частности, проблема решена в случае, если активная полугруппа содержит единицу. Проблема Б. И. Плоткина об (идеальной) простоте сплетения была сформулирована Ю. Г. Коше левым во втором издании Свердловской тетради как проблема 2.38 [46]. Используя эти результаты, найдены необходимые и достаточные условия на пассивную полугруппу сплетения для того, чтобы при фиксированнной пассивной полугруппе сплетение полугрупп было бы простой полугруппой, если в качестве активной полугруппы взять произвольную простую полугруппу (теорема 4.1.1).

Теорема 4.1.1. Сплетение 3А, шИ является простой полугруппой для любой простой полугруппы Я и любого ее правого полигона Ац тогда и только тогда, когда пассивная полугруппа 5 сплетения проста слева.

Степенью главной левой простоты р1з1т8 полугруппы? называется наименьшее кардинальное число /и, для которого система уравнений.

4 = щси (к? К), (4.3.1) с К = ?1 не имеет решения в 5 относительно щ и V для некоторых ?4, с 6 5. Если такого кардинального числа не существует, то будем говорить, что 5 имеет неограниченную степень главной левой простоты.

Для фиксированного г? Л, степень кратности деления на г определяется как наименьший кардинал?? г>(г), обладающий свойством таким, что для каждого, а 6 А, уравнение хг = а (4−4.1) имеет меньше, чем <�Ьи (г) решений. Предельной степенью кратности деления на? называется кардинал =: г Е Д, г Я1 Э Ш1}. Степенью «¿-(А) кратности деления в полигоне, А определяется как точная верхняя грань множества всех предельных степеней кратности деления всех элементов полигона, т. е.

А) = гшр{<�г (*): г <= К}. (4.4.2).

Теорема 4.6.1.Пусть И есть простая полугруппа, которая является объединением своих максимальных главных правых идеалов. Тогда сплетение вАгиК есть простая полугруппа тогда и только тогда, когда справедливо неравенство д (А) < рЫтв, (4.5.1).

Теорема 4.6.1 есть обобщение известной теоремы Хантера о необходимых и достаточных условиях, при которых стандартное сплетение полугрупп есть вполне простая полугруппа [68, 80].

В разделе 9 эти результаты используются для решения задачи, при каких условиях на сплетаемые многообразия, их моноидное сплетение является вполне простым многообразием, т. е. состоит только из вполне простых полугрупп. Решение последней задачи в дальнейшем было использовано в главе 5 при вычислении тождеств моноидного сплетения атомов решетки полугрупповых многообразий.

Теорема 4.9.2. Моноидное сплетение полугрупповых многообразий является вполне простым многообразием тогда и только тогда, когда оба они являются вполне простыми многообразиями и либо и есть многообразие левых групп, либо V есть многообразие групп.

В главе 5 мы возвращаемся к исследованию операции моноидного сплетения полугрупповых многообразий. Ставится задача оценить поведение этой операции для небольших многообразий. А именно, в главе 5 исследуется, как велика может быть подрешетка моноидного сплетения полугрупповых многообразий в случае, если сплетаемые многообразия являются атомами решетки полу групповых многообразий. Моноидное сплетение полугрупповых многообразий всегда содержит их решеточное объединение (см. главу 1), но может в некоторых случаях довольно сильно от него отличаться. Для получения информации о том, насколько моноидное сплетение может быть больше, чем решеточное объединение этих же многообразий, исследуется поведение этой операции в случае сплетения двух многообразий, каждое из которых является атомом решетки С, полугрупповых многообразий.

При вычислении базисов тождеств существенно используются результаты главы 1. Затем либо устанавливается бесконечность решетки всех подмногообразий сплетения двух атомов, либо устанавливается ее конечность и вычисляется эта решетка (теорема 5.1.3). Заметим, что в случае конечной решетки ее полное вычисление выполнено во всех случаях, кроме двух. А именно, в случае, если сплетаемые атомы оба есть абелевы группы различных простых экспонент р и д, эта решетка известна и содержит 5 элементов. В случае же, если первый атом есть многообразие полурешеток, а второй есть многообразие полугрупп с нулевым умножением, такая решетка достаточно велика и полностью пока не вычислена. Отметим, что в последнем случае вычислены две подполурешетки решетки сплетения этих атомов. Это вычисление показывает, что эта решетка содержит не менее 33 элементов. В то время, как все остальные решетки подмногообразий сплетений атомов, в которых хотя один атом негрупповой, в случае конечности числа элементов в них содержат не более 12 элементов.

Кроме этого, для всевозможных атомов и и V вычисляются решеточные интервалы [их/Л^илуУ] (теорема 5.1.4). Мощность этих интервалов (если она конечна) вычислена во всех случаях, кроме одного, а именно, она не вычислена, если первый атом есть многообразие полу решеток, а второй атом — полугруппы с нулевым умножением. В последнем случае показано, что этот решеточный интервал содержит не менее 18 подмногообразий. В остальных же случаях указанный решеточный интервал (если он конечен) содержит не более 4 подмногообразий. В случае двух различных групповых атомов решетка подмногообразий их сплетения известна и содержит 5 элементов, а соответствующий решеточный интервал состоит из двух элементов. Это следует из результатов Хигмэна (см., [39, 66]). В случае двух одинаковых групповых атомов решетка подмногообразий их сплетения также известна и бесконечна. Это следует из результатов Ковача и Ньюмэна (см., [39, 75]). В случае экспоненты 2 такая решетка является цепью [23].

Последний цикл результатов направлен на вычисления решеток подмногообразий сплетения двух многообразий, которые являются атомами в решетке полугрупповых многообразий с целью оценки, насколько сильно моноидное сплетение отличается от решеточного объединения полугрупповых многообразий. Первая теорема здесь 'содержит вычисленные базисы тождеств таких сплетений. Вычисления здесь проводятся полностью, хотя для некоторых из соответствующие вычисления проводились для псевдомногообразий другими методами. Такие случаи отмечены в тексте.

Атомы решетки С хорошо известны [51]. Это в точности многообразия N2 всех полугрупп с нулевым умножением, всех полурешеток, Ьх всех полугрупп левых нулей, К^ всех полугрупп' правых нулей, Ар всех абелевых групп простой экспоненты р.

Теорема 5.1.1. 1) Если и — идемпотент моноида МУ полугрупповых многообразий, то = и V V для любого полу группового многообразия V. В частности, N2wV = N2 V V и Ь^У = V V для любого атома V решетки С.

2) RlwN2 = уаг{уу2х = г^х}, Ы^Ь! — var{xyz = хг] = КхУЬхУ^, = иаг{хугу2 = У1У2}, RlwSl = уаг{хг = х2г, хуг = ухг}, К^Ар = Их V Ар = уаг{хуг = ухг, х — урх}.

3) 81уМ2 = уаг{х1Х2У = Х1Х2у2, хгх2уг = х^х^у], БЬуЬх = уаг{ху — ху2, хух = хху], ЭЬл^х = уаг{х2 = ж3, хух — хухух, хухгх — хххух}, 8ЬуБ1 = уаг{х2 — ж3, хух2 — хух, хуху = ху2х, хиууху = хиууух, хиуху = хиуух, хууху = хууух}.

4) Ару^ = var{xlX2yz = х1×2гу, х1×2ур = Х1Х2}, АруЬх = Ар V = иаг{хуг = хгу, хур = х], ApwRl = уаг{х — х (ух)р, х2ух = хух2, ,(хрур)р = (ху)р}, ApwSl = уаг{х — х1+р, хууху = хууух}.

5) Многообразия Ар и Ар\гАч 7 где р и q — простые числа, конечно базируемы. Многообразия 81уАр (р ~ простое число) существенно бесконечно базируемы.

Следствие 5.1.2. Моноидное сплетение ИчуУ атомов решетки Ь всех полугрупповых многообразий не имеет конечного базиса тождеств тогда и только тогда, когда и = 81 и V = Ар для некоторого простого числа р.

Теорема 5.1.1 существенно используется в доказательстве основной теоремы о решетках подмногообразий моноидного сплетения атомов решетки полу групповых многообразий. В этом направлении были известны лишь результаты для периодических групповых многообразий. Хотя в ряде случаев такие результаты просты, но в целом здесь имеются очень нетривиальные случаи.

Теорема 5.1.3. Мощность решетки ?(и, У) в случае, если и и V — атомы решетки полугрупповых многообразий, указана в следующей таблице:

Таблица 1.

N2 Ьх.

N2 4 4.

Ь1 4 4.

10 8 конечная 10.

Ар 10 4.

1*4 4 4 5 бесконечная 9.

4 4 10 бесконечная 11.

4 4 4 бесконечная.

5 для р ф д.

Следствие 5.1.4. Мощность решеточного Х (и, У) = [и V VилуУ] в случае, если и и V решетки полугрупповых многообразий, указана в таблице: Таблица 2. интервала — атомы следующей.

N2 Ь.

N2 1 1.

1а 1 1.

Ях 3 2.

81 конечная 3.

АР 3 1.

Кх.

1 1 3 бесконечная 3.

1 1 3 бесконечная 4.

1 1 1 бесконечная 2 для рф д.

Автор выражает свою искренюю признательность своему консультанту Александру Васильевичу Михалеву за всесторонюю поддержку и стимулирующее влияние, а также благодарит участников алгебраических семинаров МГУ и УрГУ за полезные обсуждения и замечания.

1. Тищенко A.B. Радикальность и полупростота сплетения полугрупп// Сиб. матем. ж. 1986. — Т.27, N6. — С.183−195.

2. Тищенко A.B. Простота сплетения полугрупп с фиксированной пассивной полугруппой // XIX Всесоюзная алгебр, конф. Тезисы сообщений. 4.1. Львов. — 1987. — С.277.

3. Тищенко A.B., О нильпотентности в смысле А. И. Мальцева сплетения полугрупп // Успехи матем. наук. 1988. — 43, вып.5, С.223−224.

4. Тищенко A.B. Степень главной левой простоты полугруппы // Изв. вузов. Матем. 1988. — N 1. — С.79−83.

5. Тищенко A.B. Полупрямые произведения обобщенных многообразий полугрупп // Междунар. конф. по алгебре, поев, памяти А. И. Мальцева (Новосибирск, август 1989). Тезисы докл. по теории моделей и алгебр, систем, Новосибирск, 1989. С. 138.

6. Тищенко A.B. Замечание о полу групповых многообразиях конечного индекса // Изв.вузов. Математика. 1990. — N 7. С.79−83.

7. Тищенко A.B. Когда моноидное сплетение многообразий полугрупп имеет конечный индекс?// Междунар. конф. по алгебре памяти А. И. Ширшова (Барнаул, август 1991). Тезисы докл. по логике и универс. алгебрам, прикл. алгебре. Новосибирск, 1991. С. 144.

8. Тищенко A.B. Моноид полу групповых многообразий относительно моноидного сплетения// Третья Междунар. конф. по алгебре памяти М. И. Каргаполова (Красноярск, 23−28 августа 1993). Тезисы докл. Красноярск, 1993. — С.331.

9. Тищенко А. В., Волков М. В. Характеризация многообразий полугрупп конечного индекса на языке «запрещенных делителей» // Изв. вузов. Матем. 1995. N 1. С.91−99.

10. Тищенко A.B. О различных определениях сплетения полугрупповых многообразий// Фундам. и прикл. матем. 1996. — Т.2, N 1. — С.233−249.

11. Тищенко A.B. Сплетения многообразий и полуархимедовы многообразия полугрупп// Труды ММО. 1996. — Т.57. -С.318−338.

12. Тищенко A.B. Моноид полу групповых многообразий относительно сплетения // Успехи матем. наук.- 1996. Т.51, вып.2. — С.177−178.

13. Тищенко A.B. Сплетение атомов решетки полу групповых многообразий // Успехи матем. наук. 1998. — Т.53, вып.4. С.219−220.

14. Тищенко A.B. Упорядоченный моноид полугрупповых многообразий относительно сплетения // Фундам. и прикл. матем. 1999. — Т.5, N 1. — С.283−305.

15. Тищенко А. В. О решетке подмногообразий моноидного сплетения многообразий //II междунар. конф. «Полугруппы: теория и приложения» в честь Е. С. Ляпина. Тезисы докладов. Санкт-Петербург, 2−9 июля. 1999. — С.98−99.

16. Tishchenko A.V. Simplicity of wreath product of semigroups with fixed passive semigroup // Semigroup Forum. 1994. — V.49. -P.275−287.

17. Tishchenko A.V. Wreath products of atoms of the lattice of semigroup varieties // Международная конф. «Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца» в честь Е. С. Ляпина. Тезисы докладов. Санкт-Петербург, 1995. -Р.72−73.

18. Tishchenko A.V. On partially ordered monoid of semigroup varieties// Международная алгебраическая конф. памяти Д. К. Фаддеева. Санкт-Петербург, 1997. — Р. 126−127.

19. Tishchenko A.V. Indecomposable in a weak sense semigroup varieties// Международная алгебраическая конф. памяти А. Г. Куроша 1998 года. Тезисы докладов. Москва, Механико-математический факультет МГУ, 1998. С. 122. Цитированная литература.

20. Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп. Под редакцией М. А. Арбиба. М., Статистика, 1975.

21. Артамонов В. А. Цепные многообразия групп // Труды семинара имени И. Г. Петровского. Вып.З. — С.3−8.

22. Бирюков А. П. Полугруппы, заданные тождествами // Учен, зап. Новосибирского пед. ин-та. 1963. — Т.18. — С.139−169.

23. Бирюков А. П. Многообразия идемпотентных полугрупп // Алгебра и логика. 1970. — Т.9. — N 3. — С.255−273.26. ГолубовЭ.А., Сапир М. В. Многообразия финитно аппроксимируемых полугрупп // ДАН СССР. 1979. — Т.247. — N 5. — С.1037−1041.

24. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Т.1−2. М.: Мир, 1972.28 2930.