Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины.

Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями и их производными. В данной работе рассмотрены уравнения в полных дифференциалах. Физический смысл этих уравнений в том, что они показывают элементарную работу в потенциальном силовом поле.

Данная работа несет реферативный характер.

Курсовая работа содержит 4 главы.

В первой описываются основные определения и утверждения, необходимые для изучения данного вопроса. Во второй главе рассмотрена и доказана теорема существования и единственности решения.

В третьей главе рассматривается алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах и примеры. В четвертой главе рассматривается интегрирующий множитель и примеры.

1. Основные понятия и определения.

дифференциальный уравнение теорема.

Определение 1.1.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x0, (включая саму эту точку). Если существует предел отношения приращения функции Дy = f (x0 + Дx)? f (x0) к вызвавшему его приращению аргумента Дx, когда Дx > 0, то этот предел называется производной функции y = f (x) в точке x0 и обозначается символом f '(x0), т. е.

Определение 1.2.

Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f (x, y).

Частной производной функции z=f (x, y) в точке (x0, y0) D (у) по соответствующей переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению этой переменной, когда приращение переменной стремится к нулю (если этот предел существует и конечен).

.

.

Определение 1.3.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x0. Функция f (x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде.

x0+) — f (x0)=A+o (,.

где A — число, не зависящее от Дх, а o (Дx) — функция более высокого порядка малости чем Дx при Дх > 0 .

Определение 1.4.

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df (x0), т. е. df (x0)=A.

Определение 1.5 Если функция z=f (x;y) дифференцируема в точке P0(x0;y0), то главная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается.

=df (x0;y0)=(x0;y0) ?x+(x0;y0) ?y.

Определение 1.6 Общее решение дифференциального уравнения — это соотношение вида y = y (x, C1, C2,C3,…Cn), зависящее от n произвольных постоянных.

Определение 1.7 Общий интеграл дифференциального уравнения — это общее решение, которое имеет неявный вид Ф (x, y, C1,C2,C3,…Cn) = 0.

Определение 1.8 Частный интеграл дифференциального уравнения — это общий интеграл при заданных значениях постоянных C1, C2,C3,…Cn.

Определение 1.9 Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределенного интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых y=F (x)+C, где каждому C соответствует определенная кривая семейства.

Определение 1.10 Функция µ=µ(x, y)?0 называется интегрирующим множителем для уравнения P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0, если уравнение.

µ(x, y) P (x, y) dx+µ(x, y) Q (x, y) dy=0.

является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель удовлетворяет уравнению.

Q=. Если.

(не зависит от y), то. Аналогично, если (не зависит от x), то.

Теорема 1.1 Пусть функция F (u, х, у) дифференцируема в некоторой, окрестности точки M0(u0, х0, у0) пространства R, причем частная производная непрерывна в точке M0. Тогда, если в точке M0 функция F обращается в нуль, а частная производная не обращается в нуль, то для любого достаточно малого положительного числа е, найдется такая окрестность точки M0'(х0, у0) пространства R', что в пределах этой окрестности существует единственная функция u = ц (х, у), которая удовлетворяет условию | u — u0 | < е и является решением уравнения F (х, у, u) = 0, причем эта функция u = ц (х, у) непрерывна и дифференцируема в указанной окрестности точки M0'.

2. Уравнения в полных дифференциалах.

Определение 2.1 Дифференциальное уравнение вида.

P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0.

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u (x, y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение.

du (x, y)=P (x, y) dx+Q (x, y) dy.

Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой.

u (x, y)=C,.

где C? произвольная постоянная.

Теорема 2.1 Чтобы дифференциальное выражение, где функции P и Q определены и непрерывны в области D плоскости XOY и имеют в ней непрерывные частные производные, представляло полный дифференциал некоторой функции u (х, у), необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D было выполнено условие.

Доказательство.

Необходимость. Пусть существует функция u (х, у) такая, что выполняется равенство P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0.

Докажем, что тогда выполняется и равенство.

.

По определению полного дифференциала.

dy,.

но тогда из P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0 следует, что.

Q (x, y).

Дифференцируем обе части этих равенств:

,.

следовательно.

Поскольку смешанные производные равны, необходимость доказана.

Достаточность. Пусть равенство выполняется. Надо доказать, что и P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0 в этом случае справедливо, то есть выполняется соотношение.

dx + .

Таким образом, задача сводится к отысканию функции u (х, у), частные производные которой подчинялись бы равенствам.

и Q (x, y).

Найдём эту функцию. Проинтегрируем уравнение, записав решение в виде:

U (x, y) =.

где (x0, y0) принадлежит D,.

ц (y) — произвольная функция аргумента у, заменяющая произвольную постоянную, поскольку интегрирование произведено по х, в предположении, что у = c o n s t (то есть у сохраняет неизменное значение).

Определим функцию ц (y) так, чтобы удовлетворялось и равенство.

Q (x, y).

Продифференцируем функцию.

U (x, y) =.

по у:

=.

Используя теорему о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом и равенство.

Q (x, y),.

запишем:

Q (x, y)=.

Применяя соотношение.

.

получаем:

.

Вычислим последний интеграл:

— Q (x0, y),.

а, значит,.

следовательно.

Подставляя ц (y) в U (x, y) =, получаем окончательно:

U (x, y)=,.

c=const.

Теорема 2.3 Пусть в прямоугольнике M: a.

Функции P (x, y) и Q (x, y) непрерывны вместе с их частными производными.

и ,.

причем всюду в M выполняется условие и Q (x, y) не обращается в нуль. Тогда через каждую точку (x0,y0) прямоугольника M проходит одна и только одна интегральная линия уравнения.

P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0.

Доказательство.

Как было только что указано, в прямоугольнике M существует функция z (x, y), полный дифференциал которой равен левой части.

P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0.

Но так как Q0, то уравнение.

P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0.

можно переписать в эквивалентом виде:

P (x, y)+Q (x, y) y'=0.

или с учетом равенств.

Q так:

Поэтому функция y (x) является решением уравнения.

P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0.

тогда и только тогда, когда z (x, y (x))?C.

Этому уравнению, если C? z (x0,y0), не может удовлетворять линия, проходящая через точку (x0,y0). Если же C=z (x0,y0), то из теоремы о неявной функции следует, что уравнение z (x, y (x))?C определяет линию, проходящую через точку (x0,y0), и притом только одну. Теорема доказана.

Лемма 2.1 Всякая непрерывная на множестве.

функция f (x, y) равномерно непрерывна по x на [x0-, x0 +и по y на [y0-, y0 +.

Лемма 2.2 Если последовательность непрерывных на [функций yn (x) равномерно на [ сходится к функции y (x), то функция y (x) также непрерывна на [.

Лемма 2.3 Если функция f (x, y) равномерно непрерывна в G и последовательность {yn (x)} равномерно сходится к y (x) на, то последовательность f[x, yn (x)] равномерно сходится к f[x, y (x)] на [x0-, x0 +.

Лемма 2.4 Если функция f (x, y) равномерно непрерывна в G и.

(x)=y (x) равномерно на [x0-, x0 +, то.

для x0, x [x0-, x0 +.

Теорема 2.4 Пусть функция f (x, y) непрерывна на множестве.

и удовлетворяет условию Липшица по y. Пусть М является верхней границей для на G, а. Тогда задача Коши y'=f (x, y), y (x0)=y0 имеет на отрезке [x0 -, x0 +] единственное решение.

Доказательство.

Прежде всего покажем, что задача Коши эквивалентна интегральному уравнению.

y (x)=y0+.

В самом деле, пусть дифференцируемая функция y (x) является решением интегрального уравнения.

y (x)=y0+ .

Тогда, очевидно, y (x0)=y0. Дифференцируя.

y (x)=y0+, получим .

Обратно, пусть y (x) является решением задачи Коши.

y'=f (x, y), y (x0)=y0 на [x0,x].

Интегрируя это тождество, получим.

.

следовательно.

y (x)=y0+.

и y (x) является решением уравнения.

y (x)=y0+ .

Поставим своей целью определение интегральной кривой, выходящей из точки (x0, y0) и идущей в сторону возрастания x>x0. Для x.

Выбор естественен. Действительно, с одной стороны является необходимым требование. С другой стороны, требование обусловлено тем, что если y=y (x) есть решение задачи Коши на [x0,x0+, то из условия следует, что |y (x)-y0 |(x-x0), а эта граница не превосходит b только при. xx0.

Применим метод последовательных приближений. В качестве нулевого приближения решения на [x0, x0+] возьмем.

y (x)y0. y1(x)=y0+.

Предположим, что yk (x) определено на [x0, x0 +, непрерывно и удовлетворяет неравенству.

|yk (x)-y0 |, k=0,1,., n.

Положим.

yn+1(x)=y0+.

Так как функция f[x, yn (x)]определена и непрерывна на [x0, x0+], то же самое верно и для yn+1(x).

Ясно также, что.

.

Следовательно, все функции y1(x), y2(x),… определены и непрерывны на [x0,.

x0+] и |yi (x) — y0|.

Докажем по индукции, что.

(2.1n).

n=0,1,…, где L — постоянная Липшица для. Ясно, что (2.10) верно. Предположим, что верны соотношения (2.11), (2.12) ,…, (2.1n-1).

Из.

yn+1(x)=y0+.

при n получим.

Рассмотрим ряды.

Второй из этих рядов, как известно, сходится и в силу (2.1n) является мажорирующим для первого. В свою очередь третий ряд мажорирует второй. Поэтому первый ряд сходится равномерно. Но его частичные суммы:

Sn+1(x)=y0+y1-y0+…+yn-yn-1=yn (x).

Значит последовательность Sn+1(x)=yn (x) сходится равномерно при к некоторой функции y (x). Функция y (x) по лемме (2.2) непрерывна на [x0, x0+]. По леммам (2.1) и (2.3) функции f[x, yn (x)] равномерно стремятся к f[x, y (x)]. По лемме (2.4) в равенстве.

yn+1(x)=y0+.

можно перейти к пределу под знаком интеграла, и мы получим.

y (x)=y0+.

Итак, y (x) — решение задачи Коши на [x0, x0+].

Докажем его единственность. Пусть y=z (x) — какое-либо решение задачи Коши на.

[x0, x0+]. z (x)=y0+.

Используя индукцию, докажем оценку.

x0 (2.2).

Из yn+1(x)=y0+ и z (x)=y0+ следует.

Переходя в (2.2) к пределу при n, получаем.

|y (x) — z (x) Теорема доказана.

3. Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах.

1. Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие:

2. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u (x, y):

3. Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y:

4. Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u (x, y) во второе уравнение:

Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции ц (y):

5. Интегрируя последнее выражение, находим функцию ц (y) и, следовательно, функцию u (x, y):

6. Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде:

Пример 3.7 Найти общий интеграл уравнения.

(yexy+2xy)dx+(xexy+x2−2y)dy=0.

Решение.

Проверим равенство частных производных, предположив.

где, ;

Имеем уравнение в полных дифференциалах.

Ищем функцию.

u (х, у)=.

(при интегрировании второго слагаемого предполагаем х = const):

.

где .

Нашли общий интеграл дифференциального уравнения.

.

4. Интегрирующий множитель.

Конечно, не всякое дифференциальное уравнение вида.

P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0.

является уравнением в полных дифференциалах. Теоретически всегда можно привести его к уравнению такого типа умножением на некоторую не равную нулю функцию, называемую интегрирующим множителем. Но не всегда легко найти такую функцию.

Если интегрирующий множитель уравнения.

P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0,.

уравнение.

является уравнением в полных дифференциалах, т. е. интегрирующий множитель есть решение уравнения.

.

Найти функцию из уравнения.

в общем случае довольно сложно. В частных случаях соотношение.

значительно упрощается.

Теорема 4.1 Если уравнение.

P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0.

имеет общий интеграл.

U (x, y)=C, где U есть интеграл уравнения.

P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0.

в рассматриваемой области, имеющий непрерывные частные производные второго порядка, то это уравнение имеет интегрирующий множитель.

Доказательство.

Действительно, так как U (x, y) есть интеграл уравнения P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0, то dU=0 в силу этого уравнения, т. е.

где dy определяется уравнением P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0, так как dx и dy удовлетворяют системе уравнений:

(4.1).

Это однородная линейная система имеет ненулевое решение (ибо dx, как дифференциал независимой переменной, произволен). Поэтому справедливо тождество.

(4.2).

или.

(4.3).

Поэтому.

т. е. левая часть уравнения.

P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0.

становится полным дифференциалом после умножения на функцию, определяемую равенством (4.3). Следовательно, есть интегрирующий множитель уравнения.

P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0.

Случай 1. Если уравнение.

P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0.

имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x, т. е., то имеем.

.

Случай 2. Если уравнение.

P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0.

допускает интегрирующий множитель как функцию одной переменной y, т. е., то.

.

Случай 3. Если уравнение.

P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0.

имеет интегрирующий множитель вида, где — известная функция, то.

.

Пример 4.1. Решить уравнение .

Решение.

Очевидно, что данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Попытаемся найти интегрирующий множитель. Поскольку выражение.

не зависит от y, то уравнение для определения примет вид.

.

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными одним из решением которого, является функция. Умножая обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель, получаем уравнение в полных дифференциалах:

.

Интегрируя его, находим общее решение:

.

Пример 4.2 Решить уравнение (xy2? 2y3) dx + (3? 2xy2) dy = 0.

Решение.

Данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, поскольку.

Попробуем определить его общее решение, используя интегрирующий множитель. Вычислим разность.

Заметим, что выражение.

зависит только от y. Поэтому, интегрирующий множитель µ также будет функцией одной переменной y. Мы можем найти его из уравнения.

Интегрируя, находим:

Выбирая в качестве интегрирующего множителя и затем умножая на него исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение в полных дифференциалах:

В самом деле, теперь видно, что.

Отметим, что при умножении на интегрирующий множитель мы потеряли решение y = 0. Это можно доказать прямой подстановкой решения y = 0 в исходное дифференциальное уравнение.

Теперь найдем функцию u из системы уравнений:

Из первого уравнения следует, что.

Из второго уравнения находим:

Таким образом, заданное дифференциальное уравнение имеет следующие решения:

где C? произвольная постоянная.

Пример 4.3 Решить уравнение.

.

Решение.

Очевидно, найти интегрирующий множитель, зависящий только от одной переменной нельзя. Будем искать интегрирующий множитель в виде. Пусть, тогда уравнение для нахождения примет вид.

.

интегрируя, которое находим.

.

Умножая обе части исходного уравнения на данный интегрирующий множитель, получаем уравнение в полных дифференциалах:

.

Интегрируя полученное уравнение, находим общее решение:

.

Теорема 4.2 Если — интегрирующий множитель уравнения вида (1), а функция такая, что .

Тогда, где — произвольная дифференцируемая функция, также будет интегрирующим множителем того же уравнения.

Это свойство интегрирующего множителя позволяет во многих случаях находить его методом разбиения данного уравнения на две части.

Доказательство.

Пусть — общие интегралы и интегрирующие множители соответственно для уравнений.

.

Тогда, в силу приведенной выше теоремы, функции.

являются интегрирующими множителями для первого и второго уравнения соответственно. Если удастся подобрать функции ц1 и ц2 так, чтобы выполнялось равенство.

.

то интегрирующим множителем для уравнения.

.

очевидно, является функция.

.

Список использованных источников.

1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматлит, 1962.

2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М.: Дрофа, 2003.

3. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

4. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Издательство Московского Университета, 1984.