Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов с сингулярным потенциалом

В настоящее время интенсивно разрабатывается спектральная теория эллиптических операторов с сингулярным потенциалом. Так, например, достаточно полно изучена проблема существенной самосопряженности эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом. Одна из основных задач спектральной теории эллиптических операторов является разложение по собственным функциям. Как известно, спектральный анализ оператора Шрединге-ра — Д + имеет основное значение для квантовой механики.

При этом рассматриваемое возмущение ¿-^(ЭС), как правило, имеет сингулярность (т.е. не является непрерывной). Поэтому естественно представляет интерес изучение разложения по собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом.

Общая теория разложения по обобщенным собственным функциям самосопряженных операторов построена в работах Ф. И. Маутнера ??64^, А. Я. Повзнера [35], И. М. Гельфанда и А. Г. Костюченко [п], Ю. М. Березанского [з, б], Л. Гординга £бб], Ф. Е. Браудера [52], К. Морена [бз], Г. И. Каца [22−24] и др. Эта теория и ее применения к эллиптическим дифференциальным операторам с гладкими коэффициентами изложены в монографии Ю. М. Березанского [I] (см. также И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин [13], К. Морен [б2]).

Наиболее удобным способом для построения разложений по собственным функциям эллиптического оператора является доказательство карлемановости рассматриваемого оператора. Это доказательство, в свою очередь, использует теоремы о повышении гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений внутри области и вплоть до ее границы, а для их справедливости необходима достаточная регулярность коэффициентов.

При изучении разложений по обобщенным собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом, ввиду отсутствия соответствующих теорем о повышении гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений с негладкими коэффициентами, возникают трудности. Следует отметить, что существующие теоремы о повышении гладкости решений эллиптических уравнений с негладкими коэффициентами (см. например, О. А. Ладыженская и Н. Н. Уральцева [26″ ]) не дают возможность применять общую схему разложений по обобщенным собственным функциям в случае сингулярного потенциала.

Предлагаемая нами конструкция разложений для случая сингулярного потенциала по существу использует простую идею, связанную с понятием монотонной функции эрмитовой матрицы, т. е. функции ^(Л) > обладающей тем свойством, что из, А ^ В следует известные результаты К. Левнера, см. например [50,6]^, (?17], гл. 8, § 9). Грубо говоря, доказательство кар-лемановости сводится к получению оценки Са.(С (^Ю)^00, где и С — некоторые функция и оператор. Поэтому, если.

1 В указанном смысле монотонная, то из карлемановости |3 и того что А^В > следует карлемановость, А. Этот подход дает возможность охватить некоторые широкие классы эллиптических дифференциальных операторов с сингулярным потенциалом.

В последнее время появилось большое число статей, посвященных получению условий самосопряженности эллиптических операторов с сингулярным, вообще говоря, неубывающим на бесконечности потенциалом: Б. Саймон [бв], Т. Като [б7,58^, Ю. М. Березанский [4^, Ю. Б. Орочко [29,32], П. Р. Чернов [71], Ю. М. Березанский и В.Г.Са-мойленко [в], М. А. Перельмутер и Ю. А. Семенов [34] и др. В этих работах получены условия самосопряженности эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом. А в работах.

Б.М.Левитана и М. Отелбаева [27,28], Р. Г. Келлера [б9,6о], Н. Х. Данга [б4,5б] получены условия самосопряженности эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом.

Вместе с тем, известно лишь небольшое количество работ, в которых строится и изучается разложение по собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом: Г. Н. Гестрин [14−16], Е. Б. Дэвис [53], Ю. А. Семенов [67], А. Г. Белый, В. Ф. Коваленко и Ю. А. Семенов [49], В. Ф. Коваленко и Ю. А. Семенов ?25], Ю. Б. Орочко [30,31,33], Т. Ненси [бб]. В этих работах исследовано разложение по собственным функциям оператора Шредингера с сингулярным потенциалом (за исключением работы Ю. Б. Орочко [зз], где рассмотрено эллиптическое дифференциальное выражение второго порядка с переменными коэффициентами). При рассмотрении эллиптических операторов высокого порядка возникают дополнительные трудности. Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом ранее не изучалось.

Целью диссертационной работы является построение разложений по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов произвольного порядка с сингулярным, вообще говоря, неубывающим на бесконечности потенциалом. Кроме того, в диссертации получены условия существенной самосопряженности эллиптических операторов с сингулярным потенциалом.

При доказательстве теорем о разложении применяется метод сравнения основанный на теории монотонных оператор-функций. В некоторых случаях используется модификация этого метода. Для доказательства основных результатов используются теория оснащенных гильбертовых пространств, методы теории возмущений линейных операторов и теория эллиптических уравнений.

— б.

Введем следующие обозначения. Как обычно, /К — N — мерное пространство-) (1? р < <*>) — пространство измеримых функций на, ре степени которых суммируемы по мере.

Лебега- ?^^^^рСоо ~ пространство измеримых функции, локально принадлежащих в Ьр (Ю —) — пространство измеримых существенно ограниченных функций. Через С0 (К) будем обозначать пространство бесконечно дифференцируемых на Д?^ функций с компактными носителями.

В тексте диссертации теоремы, леммы и формулы нумерируются по параграфам каждой главы с указанием номера главы. Первая цифра указывает номер главы, вторая — номер параграфа, а третья — порядковый номер теоремы (леммы, формулы).

Теперь сделаем обзор по выше перечисленным работам. Г. Н.Гест-рин ?14] перенес известные результаты А. Я. Повзнера ?35] на операторы вида с сингулярным потенциалом.

• В работах ?15,16^ Г. Н. Гестрин с помощью специальной конструкции интеграла Фейнмана обосновал разложение по собственным функциям оператора Шредингера с сингулярным потенциалом. Предполагается, что = +^, где — измерима и локально ограничена,? (К) или.

ЦХ^Ю+ЩХ), где <�у<�С)? /^(¿-К3), а ^ (X) непрерывна всюду, за исключением изолированных точек, в окрестностях которых неограничена и не суммируема с квадратом.

В работе Е. Б. Дэвиса [5з] изучены свойства собственных функций и функции Грина оператора Шредингера где о"(ЦХ)? ^ьсСк") (Р>£, ръа) .

В статьях Ю. А. Семенова ?67], А. Г. Белого, В. Ф. Коваленко и Ю. А. Семенова [49], В. Ф. Коваленко и Ю. А. Семенова [2б] подробно изучены разложения по собственным функциям оператора Шредингера с сильно сингулярным потенциалом. Предполагается, что N где ^ -произвольное замкнутое множество меры нуль. При этом оператор 4 понимается в смысле форм-суммы.

В работе Ю. Б. Орочко £зо] с помощью метода гиперболического уравнения доказаны локальная ограниченность и оценки роста на бесконечности обобщенных собственных функций произвольного самосопряженного расширения, А оператора ^ = в случае локально ограниченного снизу потенциала из ^(¡-К) Карлемановские оценки для оператора Шредингера с локально полуограниченным сильно сингулярным потенциалом доказаны в статье Ю. Б. Орочко ?31]. Эти оценки используются при изучении разложений по обобщенным собственным функциям оператора, А, а также в ряде других вопросов.

В статье Ю. Б. Орочко £зз] рассматривается сильно сингулярное эллиптическое выражение второго порядка дивергентного вида Ь—скга (Х)дъас1 + у (Х), где — положительно определенная матрица с элементами ¿-^(х)? ^оо&сО^*)' а потенциал (ЭС) сильно сингулярен (т.е. не принадлежит ^)" причем О? ? Ш)? хкЦ^а^) «]""')¦

Вводится псевдоминимальный оператор, А, порожденный выражением I". Показано, что, А — карлемановский^оператор и его обобщенные собственные функции принадлежат) П (К).

В работе Т. Ненси [бб] исследовано разложение по собственным функциям оператора Н ~ Н0^ в пространстве ¿-^(К) Здесь Н, А — оператор Н понимается в смысле форм-суммы. Предполагается, что для некоторого^УО оператор

Х|/| Нограничен с относительной границей меньшей I. о.

В обзорной статье Б. Саймона излагаются некоторые результаты о разложении по собственным функциям оператора Шредингера с сингулярным потенциалом. Рассматривается оператор Щредингера, где =.

Классы и К^о^ определяются следующим образом.

Теперь изложим основное содержание диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии из 76 наименований.

1. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов.- Киев: Наукова думка, 1965, — 800с.

2. Березанский Ю. М. Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных.- Киев: Наукова думка, 1978. 360с.

3. Березанский Ю. М. Разложение по обобщенным собственным векторам и интегральное представление положительно определенных ядер в форме континуального интеграла.- Сибирск.матем.журн., 1968, т.9, № 5, с.998−1013.

4. Березанский Ю. М. Самосопряженность эллиптических операторов с сингулярным потенциалом.- Укр.матем.журн., 1974, т.26, № 5,с.579−590.

5. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям уравнений в частных разностях второго порядка.- Труды Моск.матем. об-ва, 1956, т.5, с.203−268.

6. Березанский Ю. М. 0 разложении по собственным функциям общих самосопряженных дифференциальных операторов.- Докл. АН СССР, 1956, т.108, № 3, с.379−382.

7. Березанский Ю. М. 0 гладкости вплоть до границы области спектральной функции самосопряженного дифференциального эллиптического оператора.- Докл. АН СССР, 1963, т.152, № 3, с.511−514.

8. Березанский Ю. М., Самойленко В. Г. Самосопряженность дифференциальных операторов с конечным и бесконечным числом переменных и эволюционные уравнения.- Успехи матем. наук, 1981, т.36, вып.5, с. 3−56.

9. Брусенцев А. Г., Рофе-Бекетов Ф.С. 0 самосопряженности эллиптических операторов высших порядков.- Функц. анализ и его прилож., 1973, т.7, вып.4, с.78−79.

10. Брусенцев А. Г., Рофе-Бекетов Ф. С. Условия самосопряженности сильно эллиптических систем произвольного порядка.- Матем. сборник, 1974, т.95, вып.1, с.108−129.

11. Гельфанд И. М., Костюченко А. Г. 0 разложении по собственным функциям дифференциальных и других операторов.- Докл. АН СССР, 1955, т.103, № 3, с.349−352.

12. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Вып. З: Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений.- М.: Физматгиз, 1958. 274с.

13. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Обобщенные функции. Вып.4: Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства.- М.: Физматгиз, 1961. 472с.

14. Гестрин Г. Н. 0 разложении по собственным функциям оператора Шредингера с сингулярным потенциалом.- Матем. заметки, 1974, т.15, № 3, с.455−465.

15. Гестрин Г. Н. Интеграл Фейнмана и разложение по собственным функциям оператора Шредингера.- Функц. анализ и его прилож., 1976, т.10, № I, с.75−76.

16. Гестрин Г. Н. Интеграл Фейнмана и разложение по собственным функциям уравнения Шредингера.- Укр.матем.журн., 1976, т.28, № 2, с.170−182.

17. Глазман И. М., Любич Ю. И. Конечномерный линейный анализ.-М.: Наука, 1969. 476с.

18. Гординг Л. Разложения по собственным функциям, связанные с эллиптическими дифференциальными операторами.- Математика: сборник перевод., 1957, № 1:3, с.107−116.

19. Гординг Л. Об асимптотических свойствах спектральной функции самосопряженного полуограниченного расширения эллиптического дифференциального оператора.- Математика: сборник перевод., 1957,1:3, с.117−131.

20. Иосида К. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1967. 624с.

21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.- М.: Мир, 1972. 740с.

22. Кац Г. И. О разложении по собственным функциям самосопряженных операторов.- Докл. АН СССР, 1958, т.119, № I, с.19−22.

23. Кац Г. И. Обобщенные элементы гильбертова пространства.-Укр.матем.журн., i960, т.12, № I, с.13−24.

24. Кац Г. И. Спектральные разложения самосопряженных операторов по обобщенным элементам гильбертова пространства.- Укр.матем. журн., 1961, т.13, № 4, с.13−33.

25. Коваленко В. Ф., Семенов Ю. А. Некоторые вопросы разложения по обобщенным собственным функциям оператора Шредингера с сильно сингулярными потенциалами.- Успехи матем. наук, 1978, т.33, вып.4, с.107−140.

26. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.- М.: Наука, 1973. 576с.

27. Левитан Б. М., Отелбаев М. Об условиях самосопряженности операторов Шредингера и Дирака.- Докл. АН СССР, 1977, т.235, № 4, с.768−771.

28. Левитан Б. М., Отелбаев М., Об условиях самосопряженности операторов Шредингера и Дирака.- Труды Моск.матем.об-ва, 1981, т.42, с.142−159.

29. Орочко Ю. Б. Замечание о существенной самосопряженности оператора Шредингера с сингулярным потенциалом.- Матем. заметки, 1976, т.20, № 4, с.571−580.

30. Орочко Ю. Б. Карлемановские оценки для оператора Шрединге-ра с локально полуограниченным сильно сингулярным потенциалом.-Матем.сборник, 1977, т.104, № I, с.162−174.

31. Орочко Ю. Б. Конечная скорость распространения и существенная самосопряженность некоторых дифференциальных операторов.-Функц.анализ и его прилож., 1979, т. 13, № 3, с.95−96.

32. Орочко Ю. Б. К теории самосопряженных операторов, порожденных сильно сингулярными выражениями второго порядка дивергентного вида.- Функц. анализ и его прилож., 1982, т.16, № 3, с.80−81.

33. Перельмутер М. А., Семенов Ю. А. Самосопряженность эллиптических операторов с конечным и бесконечным числом переменных.-Функц.анализ и его прилож., 1980, т.14, № I, с.81−82.

34. Повзнер А. Я. 0 разложении по собственным функциям оператораUU+CLL. Матем. сборник, 1953, т.32, вып.1, с.109−156.

35. Порпер Ф. О., Эйделман С. Д. Слабые фундаментальные решения параболических уравнений второго порядка с измеримыми коэффициентами.- Докл. АН УССР, 198I, сер. А, № I, с.22−26.

36. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. т.1. функциональный анализ.- М.: Мир, 1977; 360с.

37. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность.- М.: Мир, 1978.-396с.

38. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. т.З. Теория рассеяния.- М.: Мир, 1982. 444с.

39. Ройтберг Я. А. Эллиптические задачи с неоднородными граничными условиями и локальное повышение гладкости вплоть до границы обобщенных решений.- Докл. АН СССР, 1964, т.157, № 4, с. 798.

40. Ройтберг Я. А. Теорема о гомеоморфизмах, осуществляемых в L^ эллиптическими операторами, и локальное повышение гладкостиобобщенных решений.- Укр.матем.журн., 1965, т.17, № 5, с.122−129.

41. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т.5. М.: Физматгиз, 1959. 656с.

42. Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций.- М.: Мир, 1973. 342с.

43. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.- М.: Мир, 1968. 428с.

44. Яфаев Д. Р. Замечание о теории рассеяния для возмущенного полигармонического оператора.- Матем. заметки, 1974, т.15, № 3, с.445−454.

45. А^тсмS. Le. c?usves cm, ZBUfytLc ВоапМалу Усилие, Ры4вепь$. TUur Ноък — 0. Уоиуь У1а$ 4лшгсС, 196S. -&9SL р.

46. Attefuito W• yiomx^uMduoTv Пьеолу of eZaptic. cy?a?Uyrvs of огс/ж, &n,.-PfaufCc, ШссЦъ.39W, V64? A/: 1, f>.<-16.

47. Be&tf A. G-, Kovzdfcyiko lLF-, S^mene/ir /. On, Ihe, а>п?ьпилл±и of ^гш/шЛСгссЬ of ike, i.

48. Ke??&c к. G. Tke essebacct? se? f-cu^lniness of oUfop&tcctobS.-P'Wc. Rof. C>oc. icUnicoz^^Ly f9?9,A%3.,.

49. Ke? e&z, /… The essentiat setf-a (fy<>ubbrie.ss ofdtff&mriloLI opetcctobs ин?1ъ posctiite.. Ръсус .Roy. Soc. ?oLLn?ct/L^fb, ie*9,A$Si> А/П-Ч, р-зч^-зео.

50. VibOUASuin, К. Сске -¿-ил, ccEi^cJrteln^b.ti^enfcLnhUoTbS ен&лъск&сп^еп, f??/c ъълЖси^ъ^к&але.0p&uz?o/ce4b$%ste.me. geCle-Ccge*. TtbcickHgJcecb. Acad. po?. s-c?. Get. s-c?. угьаМъ., a^Muyn,. et phi^s-, ideo, р-ЗЪ1~ЗЪЧ.

51. S^hbzyunr А. Оуь ike, -theory of ei^en^oobctlonb^tot^an/yCon, ofthe ^huklCnj^e^, орггщ&ус. Lett. Yiicubk. Ptys., V3, № 1, р. ИЪ-ЗЗ.

52. Simon, ?. ?ssen±ux? веЦAcfyolyctness of0f&xjodo>bs talih. PobcUvePoten±icL&=,. УКа? к. Ann., VSL01, p. ?11−3.2,0.

53. Glyrum В. ЪепгСдл&ссръ.. Ayywl.УКаМь. Soc., 19I2L, p. 44I-5SLG.

54. CkoAMjoff p. R. note, cm. ptodccct $оп, угш? сиs fobореъосЬуъ.

55. Оъ&иъо^^ Р. /?. ^и^пхииуи^е^с ашС Ъииои. ихМъ Ыпди&хл. ро*?кЬих, е>ъ сии£ куржво&с еуид&яп*.раЩ. УПаШ., У???, р. д€ 1-ъъг.72. ^ускескЬе^- Ж. Ь^а&ъсь о{ Рал? са? 0?^fen.ah±?cL?0релл±оъв. Аууь^е^Лост.: ТЬо^-ЦоШшхЬ^т.

56. Гейдаров А. Г. Самосопряженность эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом и разложение по их собственным функциям.- В сб.: Спектральная теория операторов. ВыпЛУ, Баку. Элм, 1982, с.97−106.