Арифметические задачи с числами, все простые делители которых принадлежат специальным множествам

Некоторые теоретико-числовые задачи сводятся к изучению натуральных чисел с определёнными ограничениями на простые делители. Например, представимость натурального числа суммой двух квадратов целых чисел эквивалентна тому, что любой нечётный простой делитель этого числа, входящий в его каноническое разложение в нечётной степени, имеет вид 4n + 1. Основываясь на этом факте, Э. Ландау [1] получил асимптотическую формулу для количества натуральных чисел, не превосходящих х и представимых суммой двух квадратов. Достаточно общим ограничением, налагаемым на простые делители, является требование их принадлежности некоторому специальному множеству. В качестве такого множества можно взять, например, арифметическую прогрессию по некоторому модулю или множество натуральных чисел, не превосходящих некоторой границы у. В любом случае, прежде чем переходить к изучению натуральных чисел, все простые делители которых принадлежат специальному множеству, необходимо исследовать распределение простых чисел в этом множестве.

Один из первых вариантов выбора специального множества был предложен в работах И. М. Виноградова. В 1940 году Виноградов [2] получил своим методом нетривиальную оценку со степенным понижением тригонометрической суммы по простым числам е2ш1ра, где 0 < а < 1. Это позволило ему найти асимптотическую формулу для количества простых чисел р, не превосходящих х, с условием {fpa} < о. Виноградов дал также другое истолкование этой величины — как количества простых, не превосходящих х и попадающих в промежутки вида [(гс//)1/", (п//+ сг//)1/®-) с натуральным п. В том случае, когда параметры а, а и / равны ½, эта задача отвечает простым в промежутках [(2п)2, (2n + I)2), и разобрана отдельно в [3, с.84]. В 1945 году Ю. В. Линник [4] предложил другой подход к подобным задачам, основанный на явной формуле для функции Чебышёва и плотностных теоремах теории дзета-функции Римана, который также давал степенное понижение.

Дальнейшие исследования в этой области велись в двух основных направлениях. Первое из них состоит в рассмотрении задачи Виноградова с параметром сг, стремящимся к нулю. Интерес к этому случаю обусловлен тем, что справедливость известной гипотезы о бесконечности множества простых чисел вида п2 + 1 эквивалентна бесконечности множества решений неравенства {л/р} < р½. Из результатов самого Виноградова [3, с.86] следует бесконечность множества решений неравенства {у/р} < р~а+? с, а = 1/10. Используя подход Линника, Р. М. Кауфман [5] увеличила значение параметра, а до /15/(16 4- 2/Т5) — 0.1631. Кроме того, Кауфман показала, что в предположении гипотезы Римана можно взять, а = ¼! Бесконечность множества решений неравенства {у/р} < р-¼+е была доказана безусловно А. Балогом [6], который также опирался на теорию дзета-функции Римана.

Другое направление разрабатывалось в работах С. А. Гриценко. Пользуясь подходом Линника, Гриценко в 1986 году [7] получил асимптотическую формулу для количества простых чисел, не превосходящих х и лежащих в промежутках [{2п)11а, (2п + 1)1/, а) при ½ ^ а < 1, с лучшей оценкой остаточного члена, чем у Виноградова. Кроме того, Гриценко удалось выделить главный член асимптотики и в том случае, когда, а определённым образом стремилось к единице с возрастанием х. Позднее Гриценко [8] рассмотрел также аддитивные задачи типа тернарной проблемы Гольдбаха с простыми числами из указанных промежутков.

Задача Виноградова может рассматриваться и при значениях параметра а, больших единицы. Этому случаю отвечают очень короткие промежутки, в которые должны попадать простые числа. В каждый из этих промежутков по отдельности может не попадать даже ни одного целого числа, но в совокупности они, по-видимому, распределены достаточно равномерно и можно исследовать распределение простых чисел в этих промежутках. Подход Линника здесь заведомо неприменим, так как длины промежутков оказываются меньше остаточного члена в явной формуле для функции Чебышёва. Заметим, что значение параметра, а должно быть нецелым, иначе ра будет целым числом, а изучение его дробных долей — бессмысленным.

Дробные доли ра при нецелых а, больших единицы, изучались самим Виноградовым в 1959 году [9]. При условии, что ||а|| ^ 3-°, он получил для тригонометрической суммы по простым числам e2mtpa оценку ж1−7/" 2 с константой 7 = 5/17- Ю-7. Равномерное распределение дробных долей ра при любом нецелом а, большем единицы, было доказано Д. Лейтманом [10]. В 1985 году Р. Бейкер и Г. Колесник [11] рассмотрели точную верхнюю грань по всем сг? [0,1] модуля разности между количеством простых чисел р, не превосходящих х, с условием < сг, и его асимптотическим значением а7г (х), которую они обозначили через D (x). Бейкер и Колесник получили для величины D (x) оценку «С ж1−7/» 2 с константой 7 = 2/3- 10″ 4, улучшив тем самым результат Виноградова. Для небольших значений параметра, а оценки D (x) неоднократно улучшались. Одна из последних работ на эту тему [12] посвящена оценке величины D (x) при a G [5/3,2) U (2,3).

Получаемые в упомянутых работах оценки не были равномерными по параметру а, т. е. его значение не могло приближаться к целому числу. Равномерные по параметру, а оценки были получены автором в [13], их доказательство составляет содержание второй главы настоящей диссертации. В первой же главе формулируются, а в некоторых случаях и доказываются, вспомогательные утверждения, известные в литературе или незначительно отличающиеся от таковых.

Мы рассматриваем задачу Виноградова в следующей форме: параметр, а — нецелое число, большее единицы, D — натуральное число, I — натуральное число, не превосходящее D. Числа а, D и I определяют множество Ei, состоящее из промежутков вида [(Dn + I — l)1/", (Dn + l) l/a) с неотрицательным целым п. Простые числа, принадлежащие специальному множеству Ei, будем в дальнейшем для краткости называть специальными простыми числами. Основным результатом второй главы является теорема 1, представляющая собой асимптотическую формулу для тригонометрической суммы достаточно общего вида по специальным простым числам с равномерной по всем параметрам оценкой остатка. Последняя нетривиальна при ||а|| ^ х~а/25+е.

Доказательство этой теоремы основано на методе Виноградова. Условие принадлежности простого числа множеству Е эквивалентно попаданию {pa/D} в промежуток [l/D — 1 /D, l/D), а характеристическая функция (индикатор) множества действительных чисел с дробной долей, лежащей на этом промежутке, приближается «стаканчиками» Виноградова. Постоянный член разложения этих «стаканчиков» в ряд Фурье дает главный член асимптотики, а оценка остатка сводится к оценке тригонометрических сумм по простым числам с функцией tpa в показателе мнимой экспоненты. Методом сглаживания Виноградова в форме тождества типа малого решета оценка таких тригонометрических сумм по простым числам сводится к оценке аналогичных сумм, но уже по подряд идущим натуральным числам. Последняя оценка проводится аналогично оценке дзетовой суммы, сводясь в конечном итоге к теореме Виноградова о среднем.

Третья глава настоящей диссертации посвящена различным арифметическим задачам со специальными простыми числами. Вначале как простые следствия теоремы предыдущей главы получаются асимптотический закон распределения специальных простых чисел и аналог теоремы Зигеля-Вальфиша для специальных простых чисел. Затем рассматриваются аддитивные задачи со специальными простыми числами: тернарная проблема Гольдбаха, частный случай проблемы Гольдбаха-Варинга, задача Эстермана о сумме двух простых и квадрата. Все эти результаты также получены автором в работе [13].

Далее рассмотрена ещё одна арифметическая задача, которая представляет интерес независимо от специальных простых чисел. Пусть даны к различных целых неотрицательных чисел h,., Ik, и S (x) обозначает количество натуральных чисел п, не превосходящих х и таких, что все числа п + Zi,., п + 1к свободны от га-х степеней. Очевидно, что для неограниченности S (x) при х, стремящемся к бесконечности, необходимо, чтобы числа 1,., Ik не покрывали полной системы вычетов по модулю рт для любого простого р. В конце сороковых годов Л. Мирский [14],[15] показал, что это условие является и достаточным, получив асимптотическую формулу для величины S (x). Главный член этой асимптотики имеет порядок яг, а остаток был оценен Мирским как <�С ж2/(ш+1)+?> Доказательство основано на представлении характеристической функции (индикатора) множества натуральных чисел, свободных от га-х степеней, в виде суммы значений функции Мёбиуса на числах, га-я степень которых делит п. Исследование подобных задач продолжалось и в последующие годы. Так, Д.Р.Хиз-Браун [16] получил в задаче о «бесквадратных близнецах», т. е. о количестве бесквадратных чисел п, не превосходящих х и таких, что п + 1 также бесквадратно, остаток <�С ж7/11+е. Равномерные по параметрам к и ., Ik оценки остаточного члена были получены К. М. Тсангом [17]. Обе упомянутых работы были основаны на методах решета.

Естественным развитием задачи Мирского является исследование величины Т (х), обозначающей количество простых чисел р, не превосходящих х и таких, что все числа р +., р + Ik свободны от га-х степеней. Для неограниченности Т (х) при х, стремящемся к бесконечности, необходимо, чтобы числа 1,., Ik не покрывали приведённой системы вычетов по модулю рт для любого простого р. Автор [18] получил асимптотическую формулу для величины Т (х), из которой, в частности, следует, что упомянутое условие является и достаточным для неограниченности Т{х). Аналогичная задача в специальных простых числах также рассмотрена в [18].

Таким образом, основными результатами третьей главы являются теоремы 2 и 3, представляющие собой асимптотические формулы для величины Т (х) и аналогичной ей величины U (x), которая возникает в задаче со специальными простыми числами. Доказательства этих теорем используют теорему Зигеля-Вальфиша и её аналог для специальных простых чисел и, в основном, следуют методу Мирского. Однако способ, применённый им при оценке остатка, здесь недостаточенв этом случае остаток удается оценить с помощью итерационной процедуры.

Четвёртая глава настоящей диссертации посвящена изучению натуральных чисел, имеющих только специальные простые делители. Следует отметить, что подобные задачи давно привлекают внимание специалистов. Одна из первых таких задач связана с натуральными числами, все простые делители которых принадлежат заданным арифметическим прогрессиям. Асимптотическая формула для количества таких чисел, не превосходящих х, была получена в начале прошлого века Э. Ландау [19] с помощью метода комплексного интегрирования. Соответствующий производящий ряд Дирихле имеет при s = 1 точку ветвления, что позволяет получить для исследуемой величины представление в виде асимптотического ряда по степеням 1/loga-.

Впоследствии было доказано много общих теорем, которые позволяют по поведению простых делителей делать заключения о свойствах состоящих из них натуральных чисел. Обзор такого рода результатов имеется в монографии А. Г. Постникова [20]. Остановимся подробнее на нескольких подобных теоремах. Теорема Б. М. Бредихина [21] даёт возможность, зная главный член асимптотического выражения для количества простых чисел, не превосходящих х и принадлежащих некоторому множеству Р, получить главный член асимптотического выражения для количества натуральных чисел, не превосходящих ж, все простые делители которых принадлежат множеству Р. В аналогичных задачах с мультипликативными функциями полезна теорема Э. Вирзинга [22], позволяющая получать асимптотические выражения для сумм f (n) по известным асимптотикам для сумм Ylp^x f (p) — Наиболее общий результат в этом направлении был получен в 1967 году Б. В. Левиным и А. С. Файнлейбом [23]. По заданной мультипликативной функции /(п) они определяют аналог функции Чебышёва ф (х). Если известно поведение /(п) на степенях простых чисел, а точнее если для аналога функции Чебышёва справедлив аналог асимптотического закона с остатком <�С a: e~losQx, то для суммы ^2n^xf (n) имеет место представление в виде асимптотического ряда по степеням 1/logx. Более того, последняя сумма приближается суммой первых (log x) aKa+v>? членов асимптотического ряда с точностью до < xe-(log*)a/(a+1);

Все упомянутые теоремы доказываются «элементарно», т. е. без помощи методов комплексного анализа. Такое доказательство, будучи искусственным, приводит к потере точности в оценках. Так, даже использование в теореме Левина и Файнлейба наиболее точной из известных на настоящий момент оценки Виноградова с, а = Ъ/Ъ —? приводит к худшей оценке остаточного члена, чем применение метода комплексного интегрирования с простейшей границей нулей Валле-Пуссена.

При изучении чисел, имеющих только специальные простые делители, мы считаем параметры, а и D фиксированными, причём, а — нецелое положительное число. Количество простых чисел, не превосходящих х и принадлежащих множеству Ei, равно 7r (x)/D с ошибкой «С х1А, что следует из результата Виноградова [2] при О < а < 1 и из результатов третьей главы при, а > 1. Это позволяет получить аналитическое продолжение соответствующего производящего ряда Дирихле левее единичной прямой и оценить его модуль при, а ^ 1 — с/ log. Последующее применение метода комплексного интегрирования дает искомые формулы для сумм мультипликативных функций по числам, имеющим только специальные простые делители.

Основными результатами четвёртой главы являются теоремы 4 и 5, касающиеся сумм т&(п) и //(п) по интересующим нас числам [24]. Для этих сумматорных функций получены представления как в виде асимптотических рядов, так и в виде суммы первых /logaчленов этих рядов с остатком хе~Су/^°ёх. При рассмотрении суммы Тк (п) по числам, все простые делители которых принадлежат множеству Ei, возникает особый эффект, если к кратно D. В этом случае асимптотический ряд обрывается и упомянутая сумма с точностью до <�С xe~Cyflogx приближается суммой конечного и не зависящего от х числа первых членов этого ряда. Аналитическая природа этого эффекта заключается в однозначном характере особой точки соответствующей производящей функции при D, делящем к. Но с чисто арифметической точки зрения такая взаимосвязь казалось бы независимых параметров D и к выглядит совершенно неожиданной. Подобный эффект возникает и в том случае, если рассматривать сумму ц (п) по числам, все простые делители которых принадлежат множеству Eit U. U Eik. При к < D в соответствующей асимптотической формуле имеется главный член в виде суммы с растущим числом слагаемых, а при к = D мы приходим к известной оценке суммы ^2п<�х ц (п) величиной <�С xe~Cy/^ogx.

1. Landau Е. Uber die Einteilung der positiven Zahlen nach vier Klassen nach der Mindestzahl der zu ihrer addition Zusammensetzung erforderlichen Quadrate // Arch. Math, und Phys. (1.I). 1908. V. 13. N. 4. P. 305−312.

2. Виноградов И. М. Некоторое общее свойство распределения простых чисел-// Матем. сб. 1940. Т. 7(49). Вып. 2. С. 365−372.

3. Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М.: Наука, 1976.

4. Линник Ю. В. Об одной теореме теории простых чисел // Докл. АН СССР. 1945. Т. 47. Вып. 1. С. 7−8.

5. Кауфман P.M. О распределении {д/р} // Матем. заметки. 1979. Т. 26. Вып. 4. С. 497−504.

6. Balog A. On the fractional part of рв // Arch. Math. 1983. V. 40. P. 434−440.

7. Гриценко С. А. Об одной задаче И. М. Виноградова // Матем. заметки. 1986. Т. 39. Вып. 5. С. 625−640.

8. Гриценко С. А. Тернарная проблема Гольдбаха и проблема Гольдбаха-Варинга с простыми числами, лежащими в промежутках специального вида // УМН. 1988. Т. 43. Вып. 4. С. 203−204.

9. Виноградов И. М. Оценка одной тригонометрической суммы по простым числам // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т. 23. С. 157 164.

10. Leitmann D. On the uniform distribution of some sequences // J. London Math. Soc. (2). 1976. V. 14. N. 3. P. 430−432.

11. Baker R.C., Kolesnik G. On the distribution of pa modulo one // J. Reine Angew. Math. 1985. V. 356. P. 174−193.

12. Cao X., Zhai W. On the distribution of pa modulo one //J. Theor. Nombres Bordeaux. 1999. V. 11. N. 2. P. 407−423.

13. Чанга M.E. Простые числа в специальных промежутках и аддитивные задачи с такими числами // Матем. заметки. 2003. Т. 73. Вып. 3. С. 423−436.

14. Mirsky L. Arithmetical pattern problems relating to divisibility by r-th powers // Proc. London Math. Soc. (2). 1949. V. 50. P. 497−508.

15. Mirsky L. Note on an asymptotic formula connected with r-free integers // Quart. J. Math. (Oxford). 1947. V. 18. N. 71. P. 178−182.

16. Heath-Brown D.R. The square sieve and consecutive square-free numbers // Math. Ann. 1984. V. 266. N. 3. P. 251−259.

17. Tsang K.-M. The distribution of r-tuples of square-free numbers // Mathematika. 1985. V. 32. N. 2. P. 265−275.

18. Чанга M.E. О количестве простых, дающих бесквадратные суммы с заданными числами // УМН. 2003. Т. 58. Вып. 3. С. 197 198.

19. Landau Е. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Prim-zahlen. V. 2. Leipzig: Teubner, 1909.

20. Постников А. Г.

Введение

в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971.

21. Бредихин Б. М. Остаточный член в асимптотической формуле для функции vG (x) j j Изв. ВУЗов. Математика. 1960. Т. 6(19). С. 4049.

22. Wirsing Е. Das asymptotische Verhalten von Summen uber multiplicative Funktionen, I // Math. Ann. 1961. V. 143. N. 1. P. 75−102.

23. Левин В. В., Файнлейб А. С. Применение некоторых интегральных уравнений к вопросам теории чисел // УМН. 1967. Т. 22. Вып. 3(135). С. 119−198.

24. Чанга М. Е. О числах, все простые делители которых лежат в специальных промежутках // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. Т. 67. Вып. 4. С. 213−224.

25. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

26. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит, 1994.

27. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980.

28. Хуа Л.-К. Аддитивная теория простых чисел. Тр. МИАН. Т. 22. М., 1947.

29. Estermann Т. Proof that every large integer is the sum of two primes and a square // Proc. London Math. Soc. (2). 1937. V. 42. P. 501.

30. Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.

31. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.

32. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. М.: ИЛ, 1953.

33. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Т. 2. М.: Физматгиз, 1963.

34. Марджанишвили К. К. Оценка одной арифметической суммы // Докл. АН СССР. 1939. Т. 22. Вып. 7. С. 391−393.