Разложения и автоморфизмы фундаментальных групп поверхностей

1. Обзор проблем и результатов.

Группа называется разложимой, если она представляется в виде фундаментальной группы нетривиального редуцированного графа групп [58, 12]. Такое представление называется разложением группы. Согласно теории Басса — Серра, группа разложима тогда и только тогда, когда она действует без общей неподвижной точки на некотором дереве [58].

Исследование разложений групп и связанных с ними действий групп на Е-деревьях — одна из важных задач комбинаторной теории групп. Разложения групп позволяют лучше понять строение их подгрупп [58], а в случае гиперболических групп — изучить динамику и классифицировать их автоморфизмы, а также выяснить строение групп автоморфизмов этих групп (см. обзор Бествины [13], а также работы [15, 52, 55, 57]).

Истоки многих идей и методов исследования разложений групп находятся в топологии. Отметим здесь теорему Зейферта — ван Кампена, теорию Столлингса концов групп, теоремы об алгебраическом торе и о 18Л-разложении групп (Рипс, Села, Данвуди, Сагеев, Свенсон, Па-пасоглу и Фудживара). Далее мы говорим только о тех разложениях, в которых реберные группы конечно порождены.

В тех случаях, когда группа имеет ярко выраженное геометрическое происхождение, естественно спросить.

1) всякое ли ее разложение геометрично?

2) как связаны произвольные разложения с геометрическими?

Мы отвечаем на эти вопросы для фундаментальных групп замкнутых (то есть компактных и без края) поверхностей, понимая под геометрическим разложением такое, которое индуцируется разбиением поверхности на подповерхности. Формальные определения приводятся ниже. Оказывается, не все разложения таких групп геометричны это дает ответ на вопрос 10.69, сформулированный X. Цишангом в [3]), однако все разложения почти геометричны в некотором точном смысле [78]. Кроме того, эти группы, за исключением фундаментальной группы бутылки Клейна, обладают свойством реберной жесткости: при фиксированных реберных подгруппах имеется конечное число вариантов для вершинных подгрупп в разложениях группы.

Представлять разложения и подгруппы в виде геометрических объектов помогает теорема Скотта [54], утверждающая, что любая конечно порожденная подгруппа Н фундаментальной группы х), где Т — компактная поверхность, реализуется несжимаемой подповерхно-стью в некотором конечнолистном накрытии поверхности Т.

На алгебраическом языке это означает, что Н выделяется как вершинная подгруппа в некотором разложении подходящей подгруппы конечного индекса в 7 Г (Т, х).

Такой подход позволил нам решить проблему автоморфной сопряженности двух конечно порожденных подгрупп группы щ (Т, ж) [76]. Ранее проблема автоморфной сопряженности была решена Уайтхедом для элементов свободной группы [65], Герстеном для конечно порожденных подгрупп свободной группы [34] и Левиттом и Фогтманн для элементов группы щ (Т, х) [45].

Скотт отмечает, что толчком к его исследованию [54] явилась работа М. Холла [39], в которой доказано, что любая конечно порожденная подгруппа свободной группы ^ конечного ранга выделяется свободным множителем в некоторой подгруппе конечного индекса группы Е. Фактически, Скотт доказывает обобщение теоремы Холла на геометрическом языке.

Группа С называется холловой (в честь М. Холла [39]), если всякая ее конечно порожденная подгруппа выделяется свободным множителем в некоторой подгруппе конечного индекса группы С. Мы доказываем, что конечно порожденная группа холлова тогда и только тогда, когда она почти свободна и всякая ее конечная подгруппа выделяется свободным множителем в подходящей подгруппе конечного индекса [70]. Это свойство алгоритмически распознаваемо в классе групп, заданных конечными графами конечных групп. Используемая техника — накрытия комплексов.

Исследование автоморфизмов свободных групп — одно из важных и интересных направлений в комбинаторной теории групп, в котором геометрические идеи и методы находят яркое воплощение.

Пусть Гп — свободная группа ранга п и Аи^^) — группа ее автоморфизмов. Важнейшей характеристикой автоморфизма, а Е Аи1-(.Рп) является группа его неподвижных точек: Г1х (а) = Рп а (х) = х}. Используя технику трейн-треков Бествина и Хэндель [2] доказали, что гк (Г1х (а)) ^ п. Детальный анализ этой техники позволил Коллинзу и Тёрнеру [3] классифицировать автоморфизмы, а с условием гк (?[х (а)) = п. Однако получить полную классификацию автоморфизмов Еп по рангам групп их неподвижных точек и классификацию этих групп с точностью до сопряженности в Аи^-Р^) пока не удается. Мы показываем возможность получения такой классификации для геометрических автоморфизмов.

Автоморфизм, а группы Рп называется геометрическим, если он индуцируется гомеоморфизмом некоторой компактной поверхности Т с краем при отождествлении групп и ^(Т1, х). Неподвижные точки автоморфизма реализуются минимальными замкнутыми кривыми в Т. Несжимаемые подповерхности в Т, связанные с этими кривыми, соответствуют группам неподвижных точек автоморфизма.

При п = 2 любой автоморфизм геометричен. Это позволило нам получить классификацию автоморфизмов свободной группы ранга 2 по рангам групп неподвижных точек, классификацию групп неподвижных точек автоморфизмов и классификацию стабилизаторов элементов из 1² [79]. В качестве следствия мы получаем алгоритм, решающий проблему сопряженности в группе Аи^^), а также алгоритм для нахождения базиса подгруппы Г1х (а-) для, а Е Аи^Рг).

Одним из перспективных направлений геометрической теории групп является исследование свойств групп, инвариантных относительно ква-зиизометрий, а также описание классов квазиизометричных групп (см. книги М. Громова [37, 38]). Мы исследуем частный случай квазиизо-метрий — билипшицевы отображения (они обобщают понятие изоморфизма).

Группу можно рассматривать как метрическое пространство со словарной метрикой относительно фиксированного порождающего множества. Метрические пространства и (Хг,^) называются би-липшицево эквивалентными, если существуют биекция ср: Х —> Х2 и константа (3 > 0 такие, что ^с1(х, у) ^ ?2((р (х),(р (у)) ^ (Зй{х^у) для всех ж, у Е Х.

Мы доказываем, что бесконечные соизмеримые гиперболические группы билипшицево эквивалентны [73, 75]. Это дает ответ на один вопрос М. Громова [37, стр. 23] в классе гиперболических групп. Ранее П. Папасоглу [51] доказал аналогичное утверждение для свободных групп. Позднее и независимо В. Некрашевич [7] доказал, что квази-изометричные гиперболические группы билипшицево эквивалентны. Отметим, что идеи нашего доказательства (в частности лемма о пара-сочетаниях из комбинаторики и идея превращения инъективного отображения в биективное), могут быть применены для доказательства еще более общего факта: неаменабельные конечно порожденные группы квазиизометричны тогда и только тогда, когда они билипшицево эквивалентны [66]. Наше доказательство применимо также для положительного решения другого вопроса М. Громова из [37, стр. 23] (см. определение 5.1.2):

Будут ли произвольные разделенные сети в гиперболическом пространстве ШР, п ^ 2, билипшицево эквивалентны?

Удивительно, что для евклидовых пространств размерности п ^ 2 аналогичный вопрос решается отрицательно [20].

2. Формулировки основных определений и теорем.