Разностные методы решения краевых задач для уравнений параболического типа с дробной производной в граничных условиях

Использование дробных производных для описания и изучения физических процессов стохастического переноса стало в последние годы одной из популярных областей физики, многие проблемы фильтрации жидкости в сильно-пористых (фрактальных) средах приводят также к необходимости изучения краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка [34], [48], [50], [7], [18], [19], [20].

Сама идея обобщения понятия дифференцирования ^^ на нецелые р возникла с самого зарождения дифференциального исчисления, первые работы в этом направлении принадлежат Г. Лейбницу, Я. Бернулли, Л. Эйлеру и Ж. Фурье [58],[59],[64].

В 1832—1837 гг. появляется серия работ Лиувилля [64]—[ТО], сделавших его по праву создателем теории дробного исчисления. В работах Б. Римана, Х. Хольмгрена, А. Летникова, А. Грюнвальда [62] было продолжено изучение производных любого порядка.

К первым работам по теории дифференциальных уравнений дробного порядка следует отнести работы L. O’Shaughnessy, S. Mandelbrojt [77],[75]. Задачу типа Коши для уравнения D%xy = f (x, y) рассмотрели E. Pitcher, W.E. Sewell в работе [72], в которой они доказали теорему существования и единственности решения рассматриваемой задачи. В дальнейшем эти результаты были значительно обобщены в работах M.A.Bassam, A.Z.A1. Abedeen, A.Z.A1. Abedeen, H.L.Arora [60]—[63], где получен ряд результатов, аналогичных теоремам из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

В работе А. М. Нахушева [31] изучена задача Штурма — Лиувилля для дифференциального уравнения дробного порядка тп.

Ly = у" (х) а0(х)у'(х) + ak (x)D%*k (wk (x)y (x)) + am+i (x)y (x) = f (x), k=1.

0 < аь < l, ao (x), am+i, ajfc (x), wk (x), к = 1,2,., mf (x) — непрерывные на [0,1] функции, Dqx— оператор дробного в смысле Римана-Лиувилля дифференцирования порядка а. К задаче Штурма-Лиувилля.

Ро2/'(°) + 0оу (О) = г0, Piyl) + giy (l) = гь для этого уравнения редуцируются многие прямые и обратные задачи для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа.

В работах [1, 2] Т. С. Алероев исследовал спектр задачи Дирихле для дифференциального уравнения и" {х) + a (x)Dgxu = f (x), 0 < х < 1, 0 < а < 1.

Им показано, что задача w (0) +/?u'(0) = it (l) = 0, /3 ^ 0, /(х) = 0, а (х) = А не имеет отрицательных собственных значений.

Еще раньше A.M. Нахушевым в [31] показано, что число Л является собственным значением задачи и (0) = 0, и (1) = 0, а (х) = А для этого уравнения тогда и только тогда, когда А* является нулем функции Миттаг-Леффлера Е2-а, 2(—А).

Ряд работ В. К. Вебера [11] -[16], М. И. Иманалиева, В. К. Вебера [22] посвящен исследованию систем дифференциальных уравнений дробного порядка. Работы [7, 8, 9,17, 52, 53, 54] посвящены построению и исследованию разностных схем для обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений с дробной производной по времени и пространственной координате.

Бабенко Ю.А. в работе [6] для определения тепловых и диффузионных потоков на границе раздела двух сред применил метод расщепления оператора уравнения на два множителя, каждый из которых содержит производную порядка | по t (см. также [28]).

В монографиях [41],[33] дан достаточно полный обзор работ, посвященных дифференциальным уравнениям дробного порядка. Монография [33] посвящена качественно новым свойствам операторов дробного интегро 5 дифференцирования, и их применения к дифференциальным уравнениям дробного порядка.

В работе [7] рассмотрена краевая задача для уравнения параболического типа с дробной порядка производной по времени в граничных условиях. Методом сведения к интегральным уравнениям доказано существование и единственность рассмотренной задачи. Здесь же доказана с помощью принципа максимума сходимость разностной схемы в равномерной метрике.

Диссертационная работа посвящена построению и исследованию разностных схем для уравнений параболического типа с дробной производной в граничных условиях при любом, а? (0,1), где а— порядок дробной О производной.

В ней получены следующие результаты:

1. Для решения уравнения параболического типа общего вида с дробной производной по времени в граничных условиях получена априорная оценка, откуда следует единственность решения и непрерывная зависимость от правой части и начального условия.

2. С помощью принципа максимума доказана сходимость в равномерной метрике решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи для параболического уравнения с дробной производной в граничных.

О условиях.

3. Для решения нагруженного уравнения параболического типа с нелокальным условием получены априорные оценки в дифференциальных и разностных трактовках, откуда следует устойчивость и сходимость разностной схемы.

4. Для решения нелокальной по времени задачи для обобщенного уравнения переноса дробного порядка получена априорная оценка. Откуда следует единственность и непрерывная зависимость решения от входных данных.

5. На основе принципа максимума получены оценки в равномерной мет-t рике для решения разностной задачи, аппроксимирующей нелокальную задачу для обобщенного уравнения переноса дробного порядка, откуда следует сходимость разностной схемы в равномерной метрике.

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации.

1. Алероев Т. С. Задачи Штурма — Лиувилля для дифференциального уравнения первого порядка с дробными производными в младших членах. Дифференц. уравнения 1982, т. 18, N2, с. 341.

2. Алероев Т. С. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных операторов. Дифференц. уравнения. 1984, т.20, N1, с 171−172.

3. Андреев В. Б. об одном методе численного решения третьей краевой задачи для уравнения параболического типа в р— мерном параллелепипеде. Сб. «Вычисл. методы и программирование», вып. 4. М.: изд-во МГУ, 1967, с. 64−75.

4. Андреев В. Б. О сходимости разностных с расщепляющимся оператором, аппроксимирующим третью краевую задачу для параболического уравнения. ЖВМ и МФ. 1969, т. 9, N2, с. 337−349.

5. Анохин Ю. А., Горстко А. В., Дамещек Л. Ю. и др. Математические модели и методы управления крупномасштабным водным объектом. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение. 1987. 187с.

6. Бабенко Ю. И. Тепломассообмен. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. JL: «Химия», 1986, 144 с.

7. Березовский А. А., Шхануков М. Х., Керефов А. А. Краевые задачи для уравнения теплопроводности с дробной производной в граничных условиях и разностные методы их численной реализации. Укр. мат. журн. 1993, t.45,N9, с. 1289−1298.

8. Бечелова А. Р. О сходимости разностных схем для уравнения диффузии дробного порядка. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. научных трудов. Киев, 1996, с. 42−43.

9. Бечелова А. Р. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих третью краевую задачу для уравнения диффузии дробного порядка. Нели78• нейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. научных трудов. Киев, 1996, с 40−41.

10. Бэгли P. JL, Торвик П.Дж. Дифференциальное исчисление, основанное на производных дробного порядка новый подход к расчету конструкций с вязкоупругим демпфированием. Аэрокосмическая техника. 1984, т. 2, е2, с. 84−93.

11. Вебер В. К Асимптотическое поведение решений линейной системы дифференциальных уравнений дробного порядка. Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983, вып. 16, с 119−125.

12. Вебер В. К. К общей теории линейных систем с дробными производными. Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985, вып. 18, с 301−305.

13. Вебер В. К. Линейные уравнения с дробными производными и постоянными коэффициентами в пространстве обобщенных функций. Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985, вып. 18, с.306−312.

14. Вебер В. К. Об одном дифференциальном уравнении нецелого порядка.Сб. трудов аспирантов и соискателей Кирг. ун-та. Сер. мат. наук. 1973, вып. 10, с. 7−14.

15. Вебер В. К. Пассивность линейных систем дифференциальных уравнений с дробными производными и квазиасимптотика решений. Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983, вып. 16, с. 349−356.

16. Вебер В. К. Структура общего решения системы у^ = Ау, 0 < а < 1. Сб. тр. аспирантов и соискателей Кирг. ун-та. Сер. мат. наук. 1976, вып. 11, с.26−32.

17. Гараперина И. Ю., Бечелова А. Р. Об одном итерационном методе решения первой краевой задачи для дифференциального уравнения с дробной производной. Вестник Кабардино-Балкарского государственного университета. Нальчик, 1996, вып. 1, с. 38−40.

18. Джарбашян М. М. Интегральные преобразования функций в комплексной области. М.: Наука, 1966, 671 с.

19. Джарбашян М. М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма-Лиувилля. Изв. АН Арм. ССР, мат. 1970, т. 5, N2, с. 71−97.

20. Джарбашян М. М., Нерсесян А. Б. Дробные производные и задачи Ко-ши для дифференциальных уравнений дробного порядка. Изв. Ан Арм. ССР, мат, 1968, т. 3, N1, с. 3−29.

21. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках.

22. Иманалиев М. И., Вебер В. К. Об одном обобщении функции типа Миттаг-Леффлера и его применение. Исследование по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1980, вып.13, с. 49−59.

23. Кочубей А. Ю. Диффузия дробного порядка. Дифференциальные уравнения. 1990, т.26 с. 660−670.

24. Кумыкова С. К. Об одной краевой задаче для уравнения signymuxx + ууу = 0. Дифференциальные уравнения. 1976, т. 12, N1, с. 79−88.

25. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964, 632 с.

26. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973, 407 с.

27. Нахушев A.M. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтера третьего рода. Дифференциальные уравнения. 1974, т. 10, N1, с. 100−111.

28. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения, Дифференциальные уравнения. 1983, т. 19 N1 с. 86−94.

29. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложения. Нальчик, 1995, 50 с.

30. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995, 301 с.

31. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их приложения., Нальчик, 2000 г. -298с.

32. Нигматуллин P.P. Решение обобщенного уравнения переноса в среде с фрактальной геометрией. Phs.stat. Sol. b. 133. 1986.

33. Самарский А. А. Теория разностых схем. М.: 1989, с. 616.

34. Самарский А. А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа. Ж. вычисл. матем. и матем. физика., 1963, N2 266−298.

35. Самарский А. А. Аддитивные схемы. Доклад на Международном съезде математиков в Москве. Тезисы докладов, секция 14, вычислит, математика, 1966, с 46−47.

36. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973, 415 с.

37. Самарский А. А. Локально-одномерные схемы на неравномерных сетках. ЖВМ и МФ. 1963, т. 3, N3, с. 431−466.

38. Самарский А. А. Об одном экономическом разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области. ЖВМ и МФ. 1962, т. 2, N5, с. 787−811.

39. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: «Наука и техника», 1987, 688 с.

40. Тихонов А. Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности. Матем. сборник. 1935, т. 42, N2, с. 199−216.

41. Худалов М. З. О сходимости разностных схем для уравнения параболического типа с нелокальным условием. Тез. докл. Второй международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы биологии, информатики и физики». -Нальчик, 2001, с. 90.

42. Худалов М. З. Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа. Владикавказский математический журнал. Т4., Вып.4, 2002 г. стр.59−64.

43. Худалов М. З. Нелокальная задача для обощенного уравнения переноса с дробной производной по времени. Априорная оценка. Вестник СОГУ, серия Естественные науки, 2002, N2.

44. Худалов М. З., Шхануков М. Х. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности. Вестник СОГУ, 1999, N1, с 60−61.

45. Худалов М. З., Юртин И. И. Определение области загрязнения в процессах диффузии с реакцией. // Сб. научных трудов «Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения». Институт математики НАН Украины, Киев: 1998, с.225−227.

46. Чукбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные. ЖЭТФ. 1995, т. 108, вып. 5(11), с. 1875−1884.

47. Шефер Д., Кефер К. Фракталы в физике. Тр. б-го Междунар. симпоз. по фракталам в физике. (МЦТФ. Триес, Италия, 8−12 июня 1985). М., 1988, с. 62−71.

48. Шогенов В. Х., Кумыкова С. К., Шхануков-Лафишев М. Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные. Дкол. АМАН. 1996, т.2, N 1, с. 43−45.

49. Шогенов В. Х., Шхануков-Лафишев М.Х., Бештов Х. М. Дробные производные: интерпретация и некоторые применения в физике. Препринт. Сообщения объединенного института ядерных исследований. Дубна, 1997, Р4−97−81.

50. Шхануков-Лафишев М.Х., Бечелова А. Р. Замечание к постановке краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными. Сб. научных трудов. Киев, 1996, с. 286−287.

51. Шхануков-Лафишев М.Х., Бечелова А. Р. Численное решение третьей краевой задачи для обобщенного уравнения диффузии дробного порядка. Нелокальные задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики. Нальчик, 1996, с. 103.

52. Шхануков М. Х. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с дробной производной. Докл. РАН. 1996, т. 348, N6, с.746−748.

53. Эйлер Л. De progressionibvs transcendentibvs, sev qvarv termini generales algebrace dari neqvevnt /L.Eulero//Comment. Acad. Sci. Imperials petropolitanae. 1738. T. 5. P. 38−57.

54. Al-Abedeen A.Z. Existence theorem on differtial equations of generalized order// Rafidam J.Sci. Mosul. Univ. Iraq. 1976.Vol.l.P.95−104.

55. Al-Bassan M.A. On fractional calculus and its applications to the theory of ordinary differential equations of generalized order // Lect. Notes in Pure and Appl. Math. Dekker. New York, 1982. Vol. 80. P. 305−331.

56. Al-Bassan M.A. Some existence theorems on differential equations ofgeneralized order // Ibid. 1965. Bd 218. S. 70−78.

57. Fourier J. the Analytical Teory of Heat. N.Y. Dover pull., 1955. 466 p. (First publ.: Theorie Analytique de la Chaleur. A Paris: Chez firmin diclot peer et fils, 1822).

58. Grunwald A.K. Uber «bergenzte» Derivationen und deren Anwendung // Я. angew. Math, und Phys. 1867. Bd 12. S. 441−480.

59. Leibniz G.W. Leibnizan de l’Hospital// Oeuvres Mathematiques de Leibniz. Paris: Libr, de A. Franck, ed. 1853.p.l.Vol.2.P.297−302.

60. Liouville J. Memoire sur le calcul des differentielles a indices quelconques //Ibid. P. 71−162.

61. Liouville J. Memoire sur le changement de la variable independante dans le calcul des differentielles a indices quelquens // J^ 1'Ecole Roy. Polytechn. 1835. T. 15, sent. 24. P. 17−54.

62. Liouville J. Memoire sur le theoreme des fonctions complementaires // J. fur reine und angew. Math. 1834. Bd 11. S. 1−19.

63. Liouville J. Memoire sur l’integration des equations differentielles a indices fractionnaires // Ibid. 1837. T. 15, Na 55, P. 58−84.

64. Liouville J. Memoire sur l’usage Ton pent faire de la formule de Fourier, dans le calcul des differentielles a indices quelconques // Ibid. 1835. Bd 13. S. 219−232.

65. Liouville J. Memoire sur une formule d’analyse // Ibed. 1834. Bd 12, Ne 4, S. 273- 287.

66. Liouville J. Memoire sur quelques questions de geometrie et de mecanique, et sur un nouveau genre de calcul pour resoudre ces questions // J. l’Ecole Roy. Polytechn. 1832.T. 13, sect.21.P. 1−69.

67. Mandelbrojt S. Sulla generalizzazione del calcolo delie variazione // Atti Reale Accad. Naz. Lincei. Rend CI. sci. fis. mat. e natur. Ser. 6. 1925. Vol. 1. P. 151−156.

68. Pitchel E., Sewell W. Existence theorems for solutions of differntial equations of non-integral order. Ibid.1938. Vol.44,N 2. P. 100−107.

69. O’Shaughnessy L. Problem 433 // Amer. Math. Month. 1918. Vol. 25. P. 172−173.

70. Steinig John. The Changes of Sign of Fractions Integrals. Math. Z. 116. 1970. P.183−190.