Периодические траектории бильярдных динамических систем

Содержание

Рассмотрим компактную гладкуюго выпуклую гиперповерхность (без края) в евклидовом пространстве. Рассмотрим лучи, движущиеся внутри поверхности по закону «угол падения равен углу отражения». Такой закон отражения определяет бильярдную динамическую систему, определенную на следэд^щм пространстве. Точ-кои пространства является пара, состоящая., .из точки гиперповерхности и не принадлежащего касательному пространству к гиперповерхности в этой точке направления. Динамическая система (отображение) определяв тся следующим образом: через точку проводим прямую вдоль направления, заданного в этой точке. Прямая пересечет нашу гиперповерхность еще в одной точке. Направление в полученной точке определяем как отраженное относительно касательного пространства (в полученной точке) к гиперповерхности направление прямой. Классический результат Люстерника и Шнирельмана утверждает, что у такой динамической системы, построенной по компактной гладкой выпуклой гиперповерхности в п-мерном евклидовом пространстве, не меньше п дважды периодических траекторий. Эта оценка точна и достигается на эллипсоиде с разными осями.

Рассмотрим многозначную бильярдную динамическую систему Б, определенную подобным образом для не обязательно выпуклой гладкой гиперповерхности. В работе исследуется вопрос о числе дважды периодических траекторий такой динамической системы. Каждой дважды периодической траектории ((х, а)(у, Ь))(В (х, а) = (у, 6), В (у, Ь) = (х, а)) (х, у — точки гиперповерхности, а, b — направления в этих точках) сопоставим отрезок [х, у] с концами на гиперповерхности. Условие дважды периодичности состоит в точности в том, что отрезок [х.у] перпендикулярен в концах к гиперповерхности. Пусть / — иммерсия многообразия Мп в Ип+к. Диаметром иммерсированного многообразия f (Mn) назовем отрезок, соединяющий две различные точки f (x) и f (y) иммерсии и перпендикулярный к касательным плоскостям f*(TxM) и /*(ТуМ) к иммерсированному многообразию в этих точках. Один из основных результатов работы состоит в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть Мп замкнутое многообразие размерности п и В = Z dim Н,(М, Z2). Тогда, для иммерсии общего положения многообразия М в евклидово пространство Rn+fc- число диаметров Мп в ~Rn+k не меньше {В2 + (п — 1) В).

Теорема 1 отвечает на вопрос о числе дважды периодических траекторий обобщенной бильярдной динамической системы для иммер-сированной в евклидово пространство гиперповерхности. В следующем утверждении обсуждается точность оценок теоремы 1.

Теорема 2. Для многообразий Sn (n-мерная сфера), Sn х Sk (произ ведение п и к-мерной сферы) и (двумерная сфера с д ручками) оценки Теоремы 1 точны и достигаются на вложениях в евклидово пространство 11п+1- и р³ соответственно.

На рисунке 1 показан вложенный в трехмерное евклидово пространство тор на котором достигается оценка Теоремы 1.

Рис. 1. 10 диаметров тора: 2 вертикальных, остальные 8 в плоском сечении.

Задача о диаметрах (двойных нормалях) иммерсированного подмногообразия общего положения евклидова пространства рассматривалась Такенсом и Уайтом в [25]. В [25] доказано, что число диаметров вложенного в евклидово пространство замкнутого многообразия Мк размерности к не меньше, чем:

Т?(МК) = 2

1 — (¿г 2

2 — +

-1к — в,

2к—1 д*2к—2 — + ?0 к — ¿2к- + Л2к-2 ~ ¦ ¦ ¦ + (1()

Здесь ?1 = сИтН{(Мк х Мк, А-К), Д — диагональ в Мк х Мк, К — поле коэффициентов, [а] наименьшее целое не меньшее а. Оценка Такенса и Уайта удовлетворяет следующим неравенствам:

1- (В2К — Вк) +2к > ТУ (Мк, К) > 1- (В], — ВК), где ВК — сумма чисел Бетти Мк с коэффициентами в поле К.

Сравним оценку Теоремы 1 с оценкой Такенса и Уайта. Для им-мерсированной ориентированной поверхности рода д мы оцениваем диаметры числом 2д2 + 5^ + 3, оценка Такенса и Уайта (для вложений) дает 2д2 + 3д + Ъ. Например, для иммерсии двумерного тора в евклидово пространство наша формула гарантирует по меньшей мере 10 диаметров с учетом кратностей, тогда как оценка Такенса и Уайта (для вложений) гарантирует всего 8. Наша оценка для двумерного тора точна и достигается в классе вложений тора в трехмерное пространство. Для М = х 5П мы гарантируем 2(п + к) + 6 диаметров и эта оценка точна. Например для Б' х 57 каша формула дает 34 диаметра, а оценка Такенса и Уайта 20.

Идея доказательства Теоремы 1 состоит в построении функции, критические точки которой соответствуют диаметрам иммерсиро-ванного многообразия и применения к этой функции теории Морса-Ботта [13, 18].

Следующая цель работы состоит в распространении оценок Теоремы 1 на более широкий класс гиперповерхностей. Для формулировки результатов напомним стандартные определения контактной геометрии [7, 9].

Пусть В — гладкое многообразие. (Коориентированным) контактным элементом на многообразии Б, приложенным в данной точке, называется (коориентированная) гиперплоскость в касательном пространстве в этой точке. Все (коориентированные) контактные элементы на В образуют пространство РТ* В (5Г*В) проективизо-ванного кокасательного расслоения (сферизованного кокасательного расслоения). Пространство РТ* В (5Т*В) несет канонически определенную контактную структуру [7, 9].

Иммерсированное подмногообразие X с трансверсальными самопересечениями в В определяет лежандрово подмногообразие Р (Х) С РТ*В (5(Х) С БТ*В) — множество всех (коориентированных) контактных элементов, касающихся А' (см. [9]).

Коориентированный) волновой фронт в В — проекция лелсандрова подмногообразия РТ*В (5Т*Б) в В. Для лежандрова подмногообразия общего положения в РТ*В (5Т* В) ее (коориентированный) волновой фронт в Я — особая стратифицированная (коориентированная) гиперповерхность, у которой в каждой точке есть (коориентированная) касательная плоскость. Лежандрово подмногообразие общего положения в РТ*В (5Т*В) восстанавливается однозначно по своему волновому фронту в В.

Рассмотрим замкнутое подмногообразие Ь с трансверсальными самопересечениями в евклидовом пространстве Ип+1.

Определение: Назовем волновой фронт Е чекановским волновым фронтом типа Ь. если Е волновой фронт лежандрова подмногообразия изотопного Р (Ь) С РТ*Лп+1 в классе вложенных лежандровых подмногообразий PT*Rn+1.

Назовем диаметром волнового фронта в евклидовом пространстве Rn+1 отрезок, соединяющий две различные точки волнового фронта, и перпендикулярный ему в концах.

Теорема 3. Число диаметров (с учетом кратностей) чеканов-ского волнового фронта типа Lk не меньше чем (В2 — В) + Щ-.

Рассмотрим замкнутое подмногообразие L с трансверсальными самопересечениями в евклидовом пространстве Rn+1.

Определение: Назовем коориентированный волновой фронт Е чекановским волновым фронтом, типа L, если Е волновой фронт лежандрова подмногообразия изотопного S (L) С ST*Rn+1 в классе вложенных лежандровых подмногообразий РТ*Rn+1.

Коориентированные чекановские волновые фронты типа L —^ это коориентированные волновые фронты, полученные из эквидистанты L гомотопией в классе ¡-«ориентированных волновых фронтов без опасных самокасаний.

Назовем попутным (противопутным) диаметром коориентиро-ванного волнового фронта такой диаметр этого волнового фронта, коориентации которого в концах сонаправлены (направлены в противоположную сторону).

Теорема 4. Число попутных (соответственно, противопутных) диаметров с учетом кратностей ко ориентир о ванного чекановского волнового фронта типа L не меньше чем В2 — В (соответственно, В2 + пВ).

В случае Ь точка, теорема 4 была доказана Ферраном [22], нашедшим другие обобщения теорем Чеканова, нежели представленные ниже. Основное техническое утверждение при доказательстве теорем 3 и 4 это обобщение теоремы Чеканова [19, 16, 17, 21, 26]. Теорема Чеканова в свою очередь обобщает классические теоремы Люстерника-Шнирельмана и Морса о числе критических точек гладкой функции на замкнутом многообразии и является контактной версией гипотезы Арнольда о лагранжевых самопересечениях [6, 8, 23, 24]. Лежан-дрово подмногообразие, А пространства 1-струй функций на многообразии М определяет многозначную функцию, график которой — проекция, А в /°М = М х II. Теорема Чеканова утверждает, что если, А гомотопно 1-графику гладкой функции в классе вложенных лежан-дровых многообразий, то у графика многозначной функции должно быть много точек (их число определяется топологией М), в которых касательная плоскость к графику параллельна М х 0. Доказательство теоремы Чеканова состоит в том, что многообразие, А задаемся производящим семейством специального вида (этот факт также часто называется теоремой Чеканова) и в последующем применении к производящему семейству теории Морса (Люстерника-Шнирельмана).

Формулировке теоремы предпошлем несколько определений.

Пусть р: Е —> М расслоение. Функция к (общего положения) на Е определяет лежандрово многообразие в пространстве -71 М 1-струй функций на М. Многообразие критических по слою точек естественным образом отображается в (критической точке сопоставляется дифференциал функции к «вдоль базы», который корректно определен в критической по слою точке, и значение функции /г). Полученные пары образуют лежандрово многообразие, А в ]1М.

Определение. Назовем Е-квазифункцией лежандрово многообразие, гомотопное, А в в классе лежандровых вложений.

Назовем функцию, определенную на пространстве векторного расслоения, квадратичной на бесконечности, если она есть сумма функции, являющейся послойно невырожденной квадратичной формой, и функции с компактным носителем.

Теорема 5. Пусть, А — Е-квазифункция на замкнутом многообразии М, слой расслоения, Е —М компактен. Тогда многообразие, А задается производящим семейством, определенным, на пространстве расслоения Ех ^ —> М, и квадратичным на бесконечности.

Определение: Критические точки лежандрова многообразия, А в /]М — это такие точки А, образы которых при естественном отображении рм: М Т*М принадлежат нулевому сечению. Критические точки соответствуют точкам фронта — графи -а Е-квазифункции, касательная плоскость в которых параллельна М х 0. Назовем критическую точку невырожденной, если рм (А) трансвер-сально нулевому сечению в образе критической точки.

Из теоремы 5 при помощи теории Морса (Люстерника-Шнирельмана) можно получить следствие, обобщающее теорему Че-канова.

Следствие. Пусть, А — Е-квазифункция на замкнутом многообразии М, слой расслоения Е —> М компактен. Тогда число критических точек Л не меньше, чем, dim Е а) Е (bi (E) + 2qi (E)), где Ьг (Е) = dim Щ (Е, R), q^M) — мини-?=о малъное число образующих группы Tors Hi (E, Z), если критические точки, А невырождены. б) dim Hi (E, K), К — поле, если критические точки, А невырождены. в) cl (Е, А) + 1. Здесь с1(£ Д) когомологическая, длина многообразия Е с коэффициентами в произвольном, коммутативном, кольце А (см. [12]).

Теоремы 3 и 4 доказываются при помощи Теоремы 5 и явной конструкции, доставляющей доказательство следующего утверждения [5].

Предложение 6. Пространство ST*Rn+1 контактоморфно пространству .JlSn 1-струй функций на сфере Sn.

Воспользовавшись явной конструкцией контактоморфизма можно доказать, что диаметры соответствуют критическим точкам функции, построенной по производящему семейству.

Текст организован следующим образом. В Главе 1 доказана Теорема 1. В Главе 2 доказана Теорема 2. Глава 3 посвящена доказательству Теоремы 5 и некоторых дополнительных результатов о самопересечениях проекции квазифункции в кокасательное расслоение. В Главе 4 доказываются Теоремы 3 и 4.