В основе моделей механики сплошной среды, описывающих поведение вещества под действием динамических нагрузок, лежат законы сохранения массы, количества движения и энергии. Для разных задач эти законы сохранения записываются в разных формах. Ниже мы будем рассматривать их, следуя [1]. В случае непрерывных течений законы сохранения образуют систему дифференциальных уравнений в частных производных. В прямоугольных декартовых координатах эта система имеет вид dV dt.
VdivU = О,.
0.1) dU dt.
VgradP • asx asy aszN x f—4 z V dx dy dz 0,.
0.2) dps + div ((P8 + P) U-q) ax dy dz 0,.
0.3) где U — скорость, p — плотность, V = 1/p — удельный объем, s = Е + 0.5U2, Еудельная внутренняя энергия, Р — давление, q — тепловой поток, t — время. Векторы.
Sx — Sxx i + тху j + x^k, Sy =xyxI + Syyj + xyzk, Sz = xzxT + xzyj+Szzk.
0.4) cuобразуют девиатор тензора напряжений, а давление Р является шаровой частью тензора напряжений. Векторы i, j, k — единичные векторы ортогонального базиса.
Система уравнений (0.1}—(0.3) замыкается уравнениями состояния определяющими уравнениями для q, Sjj, ту и уравнением траектории частиц.
При интенсивных динамических воздействиях на материалы, таких, как электровзрыв фольги, детонация взрывчатого вещества, удар пластиной, поток электронов или частиц, мощное рентгеновское, лазерное или другие виды излучений, как правило, возникают ударные волны. Распространяясь по веществу и взаимодействуя со свободными или контактными поверхностями, они могут отражаться волнами разрежения. При взаимодействии встречных волн разрежения возникают растягивающие напряжения. Под действием растягивающих нагрузок сначала рвутся наиболее слабые связи между кристаллами и зернами, затем эти микроразрушения сливаются, и возникает трещина.
Разрушение вещества в различных условиях зависит от характера динамического воздействия. В одних экспериментах определяющей причиной разрушения является большая дисторсия и связанная с ней работа девиатора тензора напряжений. При этом дилатация, а значит, работа давления PdV может быть малой. В других экспериментах причиной разрушения являются большие отрицательные давления, а работа напряжений сдвига может быть малой. В большом количестве экспериментальных работ по изучению откольного разрушения опыты ставятся так, что нормаль к фронту ударной.
F (P, V, E)=0, Ф (Т, У, Е)=0,.
0.5).
0.6) волны ортогональна свободной поверхности вещества, и до наступления разрушения движение можно рассматривать как плоское. В таких экспериментах разрушение происходит, в основном, из-за больших растягивающих давлений.
Основным методом исследования откольного разрушения является физический эксперимент, основным методом прогнозирования разрушения является математическое моделирование. Существует много различных моделей, описывающих отклик вещества на динамическое воздействие, в том числе моделей прочности и разрушения. Следует заметить, что в каждой модели можно выделить адиабатическое ядро, в котором присутствует только шаровая часть тензора напряжений, т. е. давление. Под адиабатическим ядром понимается система законов сохранения в дифференциальной форме без учета теплопроводности, девиаторов тензора напряжений и энерговыделения. Общая погрешность математической модели может быть представлена в виде суммы погрешностей физической модели, погрешности аппроксимации адиабатического ядра и погрешности аппроксимации уравнений, порождаемых девиатором тензора напряжений.
А =мод + Д1^ + Ад .
Следствием уравнений адиабатического ядра является постоянство энтропии вдоль линии тока. При расчетах реальных задач сильные и слабые разрывы взаимодействуют друг с другом и с контактными разрывами, в результате чего может произойти необратимое накопление погрешностей из-за осцилляций и дистракции разрывов, что в итоге дает существенное различие между характеристиками реального физического процесса и его математического образа. Для адекватного описания поведения материалов необходима высокая точность как кинетических моделей разрушения, так и численных методов с оптимальными дистракцией и немонотонностью.
В случае идеальной сжимаемой жидкости без учета теплопроводности и девиатора тензора напряжений (вязкости, упругости, пластичности) система законов сохранения (0.1)—(0 3) имеет вид: dV dt dU.
VdivU = 0, dt f VgradP = 0,.
0.7) d dt.
E + U.
2 VdivPU = 0.
В случае плоских, сферически-симметричных или цилиндрически-симметричных движений, когда все величины зависят только от времени и одной лагранжевой координаты, уравнения (0.7) принимают вид.
3V «р (»)?(г~и)-о. at.
0.8) аи, ч а, ар л кхф (а)г 1тгт = 0, at ам.
0.9) д at.
V2 .
0.10).
Здесь М — массовая лагранжева координата, dM = (p (oc)pdra, г — расстояние до центра или оси симметрии, а =1,2,3, ср (1)=1, cp (2)=7i, cp (3)=47t/3. Для замыкания к уравнениям (0.7) или (0.8)—(0.10) добавляется уравнение состояния.
F (P, V, Е) = 0. (0.11).
Положение каждой частицы в пространстве определяется ее эйлеровой координатой г = r (M, t), удовлетворяющей уравнению.
— U = 0.
0.12) м.
В случае одномерных симметричных движений справедливо также уравнение ф (а) дМА.
— v=o,.
0.13) которое также может использоваться для нахождения г. Во многих численных методах применяются следствия из уравнений (0.8)-(0.10) дЕ | раф (а)Эга'1и at ам о,.
0.14) at at.
0.15).
Одним из важнейших следствий системы законов сохранения (0.8)—(0.10) и уравнения состояния (0.11) является постоянство энтропии вдоль линии тока в адиабатических течениях. Уравнения (0.8)—(0.15) содержат три термодинамические функции Р, V и Е. Пусть V и Е независимы. В этом случае все остальные термодинамические функции, в том числе и на изэнтропе, зависят от V и Е. Уравнение скорости изменения энтропии S (V, E) вдоль линии тока имеет вид as at as" i av fd av at aE v дБ at.
0.16).
Поскольку as Ue. 1 'as^ v 1 —, то из (0.16) следует a at at.
0.17).
Из (0.15), (0.17) следует уравнение сохранения энтропии вдоль линии тока (траектории частицы) идеальной среды at.
0.18).
Продифференцировав по t уравнение состояния (0.11), получим скорость изменения давления ар at ар^ чЗУ,.
8V at ар^ дЕ at'.
Подставив сюда (0.15), получим еще одно следствие из уравнения состояния и законов сохранения а2 — = 0, (0.19) at at где, а = ч5УУе Р кдЕу.
— квадрат скорости распространения звуковых возмущений в лагранжевых (массовых) координатах. Из (0.8) и (0.19) следует ар [а2дф (д)ага-1и0 (0.20) at ам.
На поверхности сильного разрыва система законов сохранения принимает вид условий Гюгонио-Ренкина.
W (v±v)=-(u±u),.
W (U±U) = P±P, E+ -E. + 0.5(P+ +P)(V+ -V) = 0,.
0.22).
0.23).
0.21) dm где W = — - скорость распространения разрыва в лагранжевых (массовых) dt координатах, величины с индексом характеризуют состояние вещества перед линией разрыва, а с индексом «+» — за линией разрыва, U+, U. -нормальные к поверхности разрыва компоненты вектора скорости U.
Условия на контактных границах (КГ) получаются из (0.21)-(0.23) в частном случае, когда поток массы через поверхность разрыва отсутствует, т. е. при W = 0. Тогда из (0.21)-(0.23) следует непрерывность интенсивных величин — скорости и давления — на КГ:
При этом экстенсивные величины — удельный объем и удельная внутренняя энергия — могут оставаться разрывными.
В силу нелинейности уравнений газовой динамики их решение в общем случае можно найти лишь численно. Наиболее разработанным численным методом решения задач газодинамики является метод конечных разностей. В разностных методах непрерывные функции заменяются дискретными, определенными в узлах разностной сетки. Вообще говоря, для каждой функции может быть выбрана своя сетка, однако, во избежание дополнительных интерполяций при вычислении давления из уравнения состояния по V и Е, эти величины задаются на одной и той же сетке. После этого остается две возможности: 1) значения скорости определяются на той же.
0.24) сетке, что и давление- 2) значения скорости определяются на сетке, отличной от той, на которой определяется давление.
Разностная схема, вообще говоря, должна отражать основные свойства сплошной среды. Поэтому естественно требовать, чтобы в разностной схеме прежде всего выполнялись разностные аналоги законов сохранения. Разностные схемы, в которых изменение массы, количества движения и полной энергии в области интегрирования определяются только потоками массы через границы, импульсом и работой сил, действующих на границах, называются консервативными. На важность требования консервативности схемы обращали внимание многие исследователи. Так, например, в начале 50-х годов А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [2] для обоснования интегро-интерполяционного подхода к конструированию разностных схем построили пример, когда неконсервативная разностная схема, обеспечивающая второй порядок точности в классе достаточно гладких коэффициентов, расходится в, классе разрывных коэффициентов [2]. Однако требование консервативности не исчерпывает всех требований к разностной схеме. Дело в том, что в так называемом дивергентном уравнении энергии «сохраняется» только полная энергия S = Е + 0.5U. Поэтому погрешности в определении скорости, т. е. кинетической энергии, влияют на точность вычисления внутренней энергии, которая является суммарной величиной, состоящей из упругой (холодной) энергии, тепловой энергии ядер, тепловой энергии электронов, свободной энергии и т. д. Упомянутые выше требования консервативности оставляют без контроля переходы энергии из одной формы в другую, а это может исказить температуру, давление, энтропию, энтальпию и другие термодинамические величины. В [3] приведен пример, когда погрешности аппроксимации приводят к заметному искажению внутренней энергии.
Для изучения свойств разностных схем разностные уравнения чаще всего рассматриваются в дифференциальной форме. Вопросы получения разностных уравнений газовой динамики в дифференциальной форме и исследование свойств их дифференциальных приближений подробно изучены в [4]. В [5] показано, что для того, чтобы определить диссипативные свойства разностной схемы, нужно построить для нее уравнение производства энтропии и уравнение производства массы и исследовать остаточные члены для этих уравнений. Очевидно, что изменение энтропии из-за погрешностей аппроксимации не должно превосходить ее изменений в характерных физических процессах.
Конечноразностные методы расчета нестационарных течений сжимаемых сред основываются на системе законов сохранения либо в форме Эйлера, либо в форме Лагранжа. И лагранжевы, и эйлеровы методы имеют свои достоинства и недостатки. Выбор системы координат для расчета течения газа определяется постановкой задачи. Если важны параметры потока в заданной пространственной области (например, течение газа в газопроводе, задачи обтекания жесткой поверхности и т. д.), то естественно выбрать эйлеровы координаты. В связи с тем, что в этом случае сетка является) неподвижной в пространстве, не возникают проблемы, связанные с сеткой. Однако, при расчете задач, связанных с течением определенной массы вещества, применение эйлеровых координат может привести либо к неоправданному уменьшению, либо к увеличению количества точек сетки и, следовательно, к потере точности численного решения. Например, при сильном сжатии вся рассчитываемая масса вещества может попасть в один счетный интервал эйлеровой сетки, что приводит к полной потере точности.
Чтобы обеспечить необходимую точность расчета центрированных волн разрежения в самом начале их существования, когда градиенты велики, С. К. Годунов предложил использовать подвижные сетки [6]. В этом случае точки сетки, связанные с контактными границами или со слабыми разрывами^ движутся вместе с ними. Промежуточные точки сетки получаются по произвольному закону с сохранением определенного минимума или максимума точек.
При использовании лагранжевых координат в задачах с большими деформациями в двумерной или трехмерной постановке возникают проблемы, связанные с перестройкой сетки. Но при необходимости детально исследовать газодинамические процессы, происходящие в некоторой фиксированной массе вещества, применение лагранжевых методов является наиболее целесообразным. В этом случае легко проследить историю деформирования частицы вещества, не возникает проблем с отслеживанием контактных границ, местами зарождения микроповреждений, зародышей новой фазы, что особенно важно для описания сложных процессов, связанных с деформациями и фазовыми переходами.
Область, в которой рассматривается движение вещества, разбивается сильными и слабыми разрывами на области гладкого течения, в которых выполняются законы сохранения в дифференциальной форме, тогда как на разрывах удовлетворяются условия совместности. Наиболее общим является решение, представляющее собой совокупность гладких решений, примыкающих друг к другу через линиисильных, слабых или контактныхразрывов с соблюдением условий совместности. Такая структура решения естественно описывается методом характеристик [7], учитывающим, в принципе, все особенности решения. От других разностных методов его отличает аппроксимация не законов сохранения, а характеристических уравнений и многократное использование операторов интерполирования. Сглаживание профилей, характерное для разностных схем с фиксированной сеткой, является минимальным в методе характеристик, так как применяемая в нем сетка строится с учетом области зависимости решения. Альтернативой методу характеристик являются разностные методы с нулевой дистракцией, выделяющие особенности в решении, например, ударные волны, слабые и контактные разрывы. В этом случае для расчета параметров течения используются алгебраические и дифференциальные уравнения — законы сохранения и их следствия, записанные для каждого типа разрыва. Примером является неоднородный метод В. Ф. Куропатенко, реализованный в программе «Волна» [8], где для решения системы разностных уравнений используется регулярная сетка для областей интегрирования с гладкими решениями и размазанными" особенностями и сетка особенностей, которая накладывается на регулярную сетку.
Наиболее простыми для реализации на ЭВМ являются методы с ненулевой дистракцией, получившие название «однородных». Для описания течения в ударном слое, заменяющем сильный разрыв, в этом случае в уравнения гидродинамики вводятся диссипативные члены. Первой схемой такого рода была схема Неймана-Рихтмайера [9], в которой по аналогии с физической вязкостью в уравнения газодинамики вводится псевдовязкость. При этом были использованы результаты Беккера [10], который в 1922 году показал, что введение физической вязкости в уравнения газодинамики приводит к появлению переходного слоя, толщина которого в газах сравнима с длиной пробега молекулы. В методе Неймана-Рихтмайера после введения псевдовязкости сильный разрыв заменяется переходным слоем конечной ширины. Другим вариантом однородных методов с псевдовязкостью, является ¦ метод, предложенный в США Лаксом и Вендрофом [11]. Лаке [12] предложил однородный метод с аппроксимационной «вязкостью». В СССР были созданы ¦ разностные схемы, в которых для диссипации энергии использовались уравнения физических процессов. Первой схемой такого рода была схема, предложенная С. К. Годуновым [13], в которой для расчета диссипации энергии применяются соотношения для распада произвольного разрыва. В отличие от схем Неймана-Рихтмайера и Лакса-Вендроффа, этот метод не содержит эмпирических констант. В методе, предложенном В. Ф. Куропатенко [14], [15] применяется разнородная аппроксимация на ударных волнах (УВ) и волнах разрежения (BP). Такие схемы в области гладкого течения аппроксимируют уравнения газодинамики, а на разрывах — условия Гюгонио. Диссипация энергии учитывается при расчете вспомогательного давления. Применение специальных разностных уравнений в ячейках сетки, содержащих сильный разрыв, приводит к конечной дистракции, т. е к замене сильного разрыва ударным слоем, шириной в несколько счетных интервалов. Таким образом, рассчитываемая ударная волна заменяется конечным числом ударных волн меньшей интенсивности. Этот метод, также не имеющий эмпирических констант, был реализован в разностных схемах, в которых давление, плотность и энергия определялись, как правило, в серединах интервалов, а скорость в узлах разностной сетки (недивергентные схемы). Предпринимались также попытки создания дивергентных разностных схем расчета ударных волн, реализующих этот метод, например [15]. Однако во всех реализациях немонотонность зависела от числа Куранта и при произвольном соотношении шагов по времени и по пространству наблюдались осцилляции за фронтом УВ.
Введение
диссипативных членов в разностные уравнения приводит с одной стороны к дистракции разрывов, а с другой стороны, к осцилляциям в решении. Как правило, рост дистракции сопровождается уменьшением амплитуды осцилляций и наоборот. Все разностные методы обладают различными дистракцией и осцилляционными свойствами. Так, например, метод Неймана-Рихтмайера дает сильные осцилляции как за фронтом УВ, так и в окрестности слабого разрыва на волне разрежения. Метод С. К. Годунова, являющийся монотонным, обладает сильной дистракцией слабых разрывов. При сложной картине течения, взаимодействии сильных и слабых разрывов друг с другом, а также с контактными разрывами влияние этих свойств разностного метода может накапливаться, что может быть причиной значительного отличия параметров численного решения: от характеристик реального физического процесса. Особенно существенным это влияние становится при описании таких тонких эффектов, как откольное разрушение и зарождение фазовых переходов. При применении подавляющего большинства существующих разностных методов для расчета откольного разрушения масса и начальный импульс отколов определяются с низкой точностью. Поэтому представляется актуальной задача построения разностного метода, сочетающего в себе малые амплитуды осцилляций и малую дистракцию разрывов.
В диссертации излагается разностный метод расчета неустановившихся течений сжимаемой жидкости, который на волне сжатия в акустическом приближении удовлетворяет условиям теоремы С. К. Годунова и обеспечивает монотонность профилей, обладает небольшой дистракцией разрывов, имеет нулевую диссипацию в области, где справедливы законы сохранения в дифференциальной форме, и практически не дает энтропийных следов при выходе УВ на свободную поверхность.
Созданный метод излагается в одномерной постановке в случае плоской симметрии. Уравнения в случае сферической и цилиндрической симметрии не обсуждаются в данной работе, так как для описания подавляющего большинства экспериментов по откольному разрушению достаточно рассмотреть плоский случай. В [16] показана принципиальная возможность обобщения метода на двухили трехмерный случай, однако это выходит за рамки данной работы. 1.
На защиту выносятся:
1. Дивергентная разностная схема расчета ударных волн, реализующая метод В. Ф. Куропатенко, основанный на применении условий Гюгонио для определения характеристик среды в области ударных слоев.
2. Уравнения для определения вспомогательных величин — давления и скорости — в области непрерывных течений и их обоснование.
3. Исследование диссипации энергии, дистракции разрывов, устойчивости и монотонности предложенной разностной схемы. Обоснование отсутствия диссипации энергии на волнах разрежения и малости амплитуды осцилляций за разрывом.
4. Аналитическое решение задачи о выходе ударной волны на свободную поверхность конденсированной среды с последующим взаимодействием двух волн разрежения и откольным разрушением среды.
5. Сравнительный анализ точности разностных схем при решении задачи об откольном разрушении конденсированной среды.
Диссертация состоит из введения и четырех глав. В первой главе излагаются априорные методы исследования свойств разностных схем и выбираются критерии их сравнения. Во второй главе проводится теоретический анализ свойств методов расчета ударных волн и волн разрежения. Поскольку известно всего четыре принципиально различных механизма описания диссипации энергии в разностных методах расчета ударных волн, то исследуются только разностные схемы Неймана-Рихтмайера, Лакса, Годунова и Куропатенко. В третьей главе излагается новая разностная схема, исследуются ее свойства и проводится верификация численного метода. Четвертая глава посвящена аналитическому решению задачи с откольным разрушением и исследованию влияния свойств разностных схем и характерных погрешностей в окрестности сильных и слабых разрывов на моделирование откольного разрушения.
Выводы.
1. Предложена разностная схема расчета неустановившихся течений сплошных сред, относящаяся к классу схем, не содержащих эмпирических констант при описании диссипации энергии в ударном слое, заменяющем сильный разрыв. Разностная схема реализует метод В. Ф. Куропатенко, основанный. на применении условий Гюгонио для определения характеристик среды в области ударных слоев и на интегрировании с наперед заданной точностью уравнений изэнтроп в случае адиабатических течений. Исследована устойчивость, аппроксимация, диссипация энергии, дистракция и монотонность новой разностной схемы. Для: обоснования ее достоинств проведены аналогичные исследования разностных схем Неймана-Рихтмайера, Лакса, Годунова и недивергентной разностной схемы Куропатенко.
2. Построено аналитическое решение задачи с откольным разрушением конденсированной среды после выхода ударной волны на свободную поверхность. Специально подобранное граничное условие позволяет реализовать режим откола только в одной точке среды.
3. Создана методическая программа «Кама», в которой реализована предложенная разностная схема. Расчеты по программе показывают, что разностная схема «Кама» сочетает в себе малую амплитуду осцилляций и малую дистракцию разрывов, что позволяет наиболее точно описывать взаимодействие разрывов различных типов друг с другом и, следовательно, поведение веществ при откольном разрушении. Применение условий Гюгонио для описания диссипации энергии в области ударного слоя и выбранный вид разностных уравнений позволяют избежать появления энтропийных следов при выходе ударной волны на свободную поверхность вещества.
4. Проведен сравнительный анализ точности разностных схем при решении задачи об откольном разрушении конденсированной среды. Показано, что погрешность определения массы откола в расчете по предложенной в диссертации разностной схеме «Кама» значительно меньше, чем при расчете по разностным схемам [9], [13], [14], [44].
