Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем с двумя независимыми переменными

1. Начиная со второй половины прошлого века интенсивно развивается теория устойчивости для уравнений с частными производными.

Основы теории устойчивости для уравнений параболического типа построены в работах Т. И. Зеленяка, В. С. Белоносова, М. М. Лаврентьева (мл.), М. П. Вишневского, получены приложения этих результатов к задачам химической кинетики [1], [2], [7] - [10], [13] - [16], [32] - [34], [93], [106]. В работах П. А. Кучмента, А. И. Милославского [44], [60], [61] распространена теория мультипликаторов Флоке-Ляпунова на линейные уравнения параболического типа с периодическими по всем аргументам коэффициентами и на этой основе получены признаки устойчивости и дихотомии решений задачи Коши для уравнений этого класса.

Первые результаты по теории устойчивости для уравнений гиперболического типа получены в работах М. А. Рутмана, Р. К. Романовского [73], [76], [82] - [86], где доказаны спектральные признаки устойчивости и дихотомии решений задач Гурса и Коши для подклассов гиперболических систем с постоянными и медленно меняющимися коэффициентами. В работах Р. К. Романовского [70] - [72], [81] исследовано асимптотическое поведение — устойчивость, дихотомия, экспоненциальная расщепляемость — решений задачи Коши для гиперболических систем первого порядка с двумя независимыми переменными с гладкими коэффициентами на основе свойств фундаментальной матрицы гиперболической системы, в частности в [72] описана структура оператора монодромии гиперболической системы с периодическими по времени коэффициентами, отвечающего за устойчивость, в пространственнооднородном случае вычислены резольвента и спектр этого оператора. В работах Н. А. Елтышевой [26], [27] установлен признак устойчивости решений смешанной задачи для автономных систем этого класса в терминах спектра неограниченного оператора. В последние годы в работах Г. Крейсса, О. Ор-тиза, О. Рейла, А. Ширикяна и JI. Р. Волевича, JI. Р. Волевича и С. Г. Гин-дикина и других авторов получен ряд результатов по анализу асимптотического поведения различных классов гиперболических уравнений с многими пространственными переменными [12],[17], [104], [108] - [110], [113]. В частности, в [104] исследовано асимптотическое поведение решений задачи Коши для квазилинейной гиперболической системы первого порядка с малым параметром методами теории возмущений. В [17] на основе развитого в работе аппарата энергетических оценок исследуется устойчивость и дихотомия решений смешанной задачи для классов гиперболических уравнений высокого порядка.

В выполненных в последние годы фундаментальных исследованиях М. И. Вишика, А. В. Бабина и М. И. Вишика, В. В. Чепышова и М. И. Ви-шика, В. В. Чепышова и А. Ю. Горитского по аттракторам нелинейных эволюционных уравнений [5], [47], [48], [98] - [100], [112] содержатся приложения к анализу асимптотического поведения подклассов нелинейных параболических и гиперболических уравнений. В книге К. Чиконе и Ю. Латушкина [101] исследуется асимптотическое поведение решений задачи Коши для линейных эволюционных уравнений в банаховом и гильбертовом пространстве методами теории полугрупп.

В указанных выше работах по теории устойчивости для гиперболических систем исследования проводились главным образом на основе первого метода Ляпунова. Представляет интерес распространение второго (прямого) метода.

Ляпунова на этот класс динамических систем. Особый интерес для приложений к теории колебаний, теории автоматического управления представляет случай систем, параметры которых периодически или почти периодически зависят от времени.

Первые результаты по прямому методу Ляпунова для гиперболических уравнений получены в последние годы в работах Е. В. Воробьевой, Р. К. Романовского и И. Д. Макаровой [19], [74], где доказаны на этом пути признаки устойчивости решений задачи Коши и смешанной задачи для подклассов гиперболических систем с двумя независимыми переменными. Диссертационная работа является продолжением этих исследований.

2. Основным содержанием диссертационной работы является дальнейшее развитие теории устойчивости для гиперболических систем с двумя независимыми переменными на основе прямого метода Ляпунова. Эта задача включает в себя построение класса функционалов Ляпунова, в терминах которых формулируются признаки устойчивости, разработку специального варианта прямого метода Ляпунова для систем с периодическими и почти периодическими по времени коэффициентами с ослабленным условием на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Акрамов, Т. А. Качественный анализ дифференциальных уравнений, описывающих химические реакции с учетом диффузии / Т. А. Акрамов // Математическое моделирование каталитических реакторов. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение. — 1984. — С. 102−115.

2. Акрамов, Т. А. Некоторые качественные свойства системы реакция-диффузия / Т. А. Акрамов, М. П. Вишневский // Сиб. мат. журн. — 1995. Т. 36 № 1. — С. 3−19.

3. Алексенко, Н. В. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами / Н. В. Алексенко, Р. К. Романовский // Диф. уравнения. — 2001. Т. 37. № 2. — С. 147−153.

4. Алексенко, Н. В. Устойчивость решений нелинейных почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа / Н. В. Алексенко // Изв. вузов. Математика. — 2000. № 2. -С. 3−6.

5. Бабин, А. В. Аттракторы эволюционных уравнений / А. В. Бабин, М. И. Вишик М.: Наука, 1989.

6. Барбашин, Е. А. Функции Ляпунова / Е. А. Барбашин. — М.: Наука, 1970.

7. Белоносов B.C. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений / B.C. Белоносов, Т. И. Зеленяк. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1975.

8. Белоносов, B.C. О качественных свойствах решений параболических уравнений / B.C. Белоносов, М. П. Вишневский, Т. И. Зеленяк, М. М. Лаврентьев (мл.) // АН СССР, Сиб. отделение. Вычислительный центр. — Новосибирск, 1983. (Препринт 466).

9. Белоносов, B.C. Об устойчивости стационарных решений нелинейных параболических систем / B.C. Белоносов, М. П. Вишневский // Мат. сб. — 1977. Т. 104(146). — № 4(12). — С. 535−558.

10. Белоносов, B.C. Оценки решений нелинейных параболических систем в гельдеровских классах с весом и некоторые их приложения /B.C. Белоносов // Мат. сб. 1979. — Т. 110. — № 2. — С. 163−188.

11. Боголюбов, Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. — М.: Наука, 1974.

12. Вишневский, М. П. Критерий устойчивости решений смешанных задач для параболических уравнений / М. П. Вишневский //Краевые задачи для уравнений с частными производными. Труды семинара С. Л. Соболева. Новосибирск. 1984. — № 1. — С. 5−22.

13. Вишневский, М.П. О стабилизации решений слабо связных кооперативных параболических систем / М. П. Вишневский // Мат. сб. — 1992. — Т. 183. № 10. — С. 45−62.

14. Вишневский, М. П. Поведение решений нелинейных параболических уравнений при большом времени / М. П. Вишневский, Т. И. Зеленяк, М. М. Лаврентьев (мл.) // Сиб. мат. журн. — 1995. — Т. 36. № 3. — С. 510−530.

15. Волевич, Л. Р. Смешанная задача для дифференциальных уравнений в частных производных с квазиоднородной старшей частью / Л. Р. Волевич, С. Г. Гиндикин — М.: Эдиториал УРСС, 1999.

16. Воробьева, Е. В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е. В. Воробьева, Р. К. Романовский // Сиб. мат. журн.- 2000. Т. 41. — № 3. — С. 531−540.

17. Воробьева, Е. В. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными / Е. В. Воробьева, Р. К. Романовский // Сиб. мат. журн. — 1998. Т. 39. — № 6. — С. 12 901 292.

18. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн // М.: Наука, 1970.

19. Демидович, Б. П. Об одном случае почти периодичности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка /Б.П. Демидович // УМН. 1953. — Т. 8. — Вып. 6(58). — С. 103−106.

20. Дергузов, В. И. Достаточные условия устойчивости гамильтоновых уравнений с неограниченными периодическими коэффициентами / В. И. Дергузов // Мат. сб. 1964. — Т. 64(106). — № 3. — С. 411−435.

21. Добровольский, С. М. Метод функций Ляпунова для почти периодических систем / С. М. Добровольский, Р. К. Романовский // Мат. заметки. 1997. — Т. 62. — № 1. — С. 151−153.

22. Добровольский, С. М. Об устойчивости решений линейных систем с почти периодической матрицей / С. М. Добровольский, А. С. Котюргина, Р. К. Романовский // Мат. заметки. — 1992. — Т. 52. № 6. — С. 10−14.

23. Добровольский, С. М. Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте / С. М. Добровольский, А. В. Рогозин // Сиб. мат. журн. 2005. — Т. 46. — № 1. — С. 98−105.

24. Елтышева, Н.А. К вопросу об устойчивости решений некоторых гиперболических систем / Н. А. Елтышева // ДАН СССР. — 1986. — Т. 289. — № 1. С. 30−32.

25. Елтышева, Н.А. О качественных свойствах решений некоторых гиперболических систем на плоскости / Н. А. Елтышева // Мат. сб. — 1988. — Т. 135. № 2. — С. 186−209.

26. Еругин, Н. П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами / Н. П. Еругин. Минск: Изд-во АН БССР, 1963.

27. Жиков, В. В. Об обратимости оператора ^ + A (t) в пространстве ограниченных функций / В. В. Жиков, В. М. Тюрин // Мат. заметки. — 1976. — Т. 19. № 1. — С. 201−207.

28. Жукова, О. Г. Об устойчивости одного класса систем граничного управления с обратной связью /О.Г. Жукова, М. В. Мендзив // Докл. АН ВШ РФ. 2006. — № 2(7). — С. 6−13.

29. Зверкин, A.M. Полнота системы решений типа Флоке для уравнений с запаздыванием / A.M. Зверкин // Диф. уравнения. — 1968. — Т. 4. — С. 474−478.

30. Зеленяк, Т.П. К вопросу об устойчивости решений смешанных задач для одного класса квазилинейных уравнений / Т. И. Зеленяк // Диф. уравнения. 1967. — Т. 3. — № 1. — С. 19−29.

31. Зеленяк, Т. И. Качественная теория краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка параболического типа / Т. И. Зеленяк — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1972.

32. Зеленяк, Т.И. О качественных свойствах решений квазилинейных смешанных задач для уравнений параболического типа / Т. И. Зеленяк // Мат. сб. 1977. — Т. 104. — № 3. — С. 486−510.

33. Кириченова, О. В. Метод функций Ляпунова для систем разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / О. В. Кириченова, А. С. Котюргина, Р. К. Романовский // Сиб. мат. журн. — 1996. — Т. 37. — № 1. С. 170−174.

34. Кириченова, О. В. Об устойчивости решений нелинейных почти периодических систем разностных уравнений / О. В. Кириченова // Сиб. мат. журн. 1998. — Т. 39. — № 1. — С. 45−48.

35. Колесов, Ю. С. Обзор результатов по теории устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / Ю. С. Колесов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль, 1977. — С. 82−141.

36. Красносельский, М. А. Нелинейные почти периодические колебания / М. А. Красносельский, В. Ш. Бурд, Ю. С. Колесов. — М.: Наука, 1970.

37. Крейн, М. Г. Обобщение некоторых исследований A.M. Ляпунова о линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами / М. Г. Крейн // ДАН СССР. 1950. — Т. 73. -К0- 3. — С. 445−448.

38. Крейн М. Г. Основные положения теории А-зон устойчивости канонической системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / М. Г. Крейн //В сб.: Памяти А. А. Андронова. — Изд-во АН СССР, 1955. С. 413−498.

39. Крейн, М. Г. Гамильтоновы системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / М. Г. Крейн, В. А. Якубович // Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. — 1963. Т. I. — С. 277−305.

40. Крылов, Н.М.

Введение

в нелинейную механику / Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов. — Киев: Изд-во АН УССР. — 1937.

41. Кубышкин, Е. П. Параметрический резонанс в системах с последействием при почти периодическом возмущении / Е. П. Кубышкин // Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль, 1978. — С. 110−117.

42. Кучмент, П. А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных / П. А. Кучмент // УМН. — 1982. — Т. 37. — № 4. — С. 3−52.

43. Лаврентьев, М.М.(мл.) Повышение гладкости решений некоторых гиперболических задач // М. М. Лаврентьев (мл.), Люлько Н. А. // Сиб. мат. журн. 1997. — Т. 38. — № 1. — С. 109−124.

44. Левитан, В. М. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения / В. М. Левитан, В. В. Жиков. — М.: Изд-во МГУ, 1978.

45. Лесик, С. Л. Аттрактор неавтономного гиперболического уравнения с малым параметром / С. Л. Лесик // Мат. заметки. — 2000. — Т. 67. — № 2. С. 308−318.

46. Лесик, С. Л. Аттрактор неавтономного гиперболического уравнения с малым параметром / С. Л. Лесик // Мат. заметки. — 2002. — Т. 72. — № 6. С. 945−948.

47. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов // В кн.: Собрание сочинений. М.: Изд-во АН СССР. — 1956. — Т. 2. — С. 7−263.

48. Мендзив, М. В. Об устойчивости одного класса распределенных систем управления с обратной связью / М. В. Мендзив // Омский гос. техн. ун.-т. Омск, 2006. — 13 с. — Деп. в ВИНИТИ 19.06.2006, № 816-В2006.

49. Мендзив, М. В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем на плоскости с периодическими по времени коэффициентами /М.В. Мендзив, Р. К. Романовский // Диф. уравнения. 2008. — Т. 44. — № 2. — С. 257−262.

50. Мендзив, М. В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем с почти периодическими по времени коэффициентами / М. В. Мендзив // Омский научный вестник. 2006. — № 3(36). — С. 75−78.

51. Милославский, А.И. К теории Флоке для параболических уравнений / А. И. Милославский // Функциональный анализ. — 1976.'— Т. 10. — № 2. С. 80−81.

52. Милославский, А. И. Теория Флоке для абстрактных параболических уравнений с периодическими коэффициентами / А. И. Милославский // Канд. диссертация. — Ростов-на-Дону, 1976.

53. Митропольский, Ю. А. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием / Ю. А. Митропольский, Д. И. Мартынюк. — Киев: Вища школа, 1979.

54. Митропольский, Ю. А. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно-периодическими коэффициентами /Ю.А. Митропольский, A.M. Самойленко, Д. И. Мартынюк. — Киев: Наукова думка, 1984.

55. Мышкис, А. Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости / А. Д. Мышкис, В. Э. Аболиня // Мат. сб. — 1960. Т. 50. — № 4. — С. 423−442.

56. Петровский, И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И. Г. Петровский — М.: Наука, 1951.

57. Романовская, A.M. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболической системы второго порядка с периодическими коэффициентами / A.M. Романовская // Изв. вузов, сер. мат. — 1987. — № 7. — С. 44−48.

58. Романовский, Р. К. Метод Римана для гиперболических систем / Р. К. Романовский, Е. В. Воробьева, Е. Н. Стратилатова. — Новосибирск: Наука, 2007.

59. Романовский, Р. К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем нейтрального типа с почти периодическими коэффициентами / Р. К. Романовский, Г. А. Троценко // Сиб. мат. журн. 2003. — Т. 44. — № 2. — С. 444−453.

60. Романовский, Р. К. Метод функционалов Ляпунова для почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений / Р. К. Романовский, Г. А. Троценко, Н. В. Алексенко. — Омск: Изд-во ОмГТУ, 2007.

61. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р. К. Романовский // ДАН СССР. 1982. — Т. 267. — № 3. — С. 577−580.

62. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р. К. Романовский // Мат. сб. 1985. — Т. 127. — № 4. — С. 494−501.

63. Романовский, Р. К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами / Р. К. Романовский // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. — Киев. 1987. — С. 47−52.

64. Романовский, Р. К. Об устойчивости решений задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа / Р. К. Романовский // ДАН СССР. 1965. — Т. 163. — № 5. — С. 1077−1080.

65. Романовский, Р. К. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости / Р. К. Романовский, Е. В. Воробьева, И. Д. Макарова // Сиб. журн. индустр. математики —2003. Т. VI. — № 1(13). — С. 118−124.

66. Романовский, Р. К. Об экспоненциальной дихотомии решений уравнений гиперболического типа / Р. К. Романовский // УМН. — 1976. — Т. 32. — № 1. С. 259−260.

67. Романовский, Р. К. Прямой метод Ляпунова для уравнений с почти периодическими коэффициентами / Р. К. Романовский, Н. В. Алексенко, С. М. Добровольский, О. В. Кириченова. — Омск: Изд-во ОмГТУ, 2001.

68. Романовский, Р. К. Устойчивость решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости с периодическими по времени коэффициентами / Р. К. Романовский, М. В. Мендзив // Сиб. мат. журн. — 2007. — Т. 48. № 5. — С. 1134−1141.

69. Романовский, Р. К. Устойчивость решений смешанной задачи для гиперболических систем с периодическими по времени коэффициентами /Р.К. Романовский, М. В. Мендзив // Докл. АН ВШ РФ. — 2006. № 1(6). — С. 78−85.

70. Романовский, Р. К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными / Р. К. Романовский // Мат. сб. 1987. -Т. 133. — № 3. — С. 341−355.

71. Рутман, М. А. Критерий ограниченности решений для линейных дифференциальных уравнений с частными производными, обладающих старшим членом / М. А. Рутман // ДАН СССР. 1962. — Т. 147. — Вып. 4. — С. 789−792.

72. Рутман, М.А. О некоторых операторных уравнениях в полуупорядоченном пространстве, имеющих применение в теории устойчивости по Ляпунову / М. А. Рутман // ДАН СССР. 1955. — Т. 101. — Вып. 1. -С. 217−220.

73. Рутман, М.А. О порядке экспоненциального роста решений некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными / М. А. Рутман // ДАН СССР. 1959. — Т. 124. — Вып. 4. — С. 764−767.

74. Рутман, М. А. Об устойчивости решений некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами / М. А. Рутман // ДАН СССР. 1956. — Т. 108. — Вып. 5. — С. 770−773.

75. Рутман, М. А. Операторные уравнения в полуупорядоченных пространствах и некоторые качественные теоремы для линейных дифференциальных уравнений с частными производными / М. А. Рутман // УМН. — 1957. Т. 12. — Вып. 1(73). — С. 234−238.

76. Стругова, Т. М. Об устойчивости линейных стохастических разностных систем с почти периодическими коэффициентами / Т. М. Стругова // Мат. заметки. 2005. — Т. 78. — № 3. — С. 472−475.

77. Фомин, В. Н. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах / В. Н. Фомин // Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1972.

78. Халанай, А. Теория устойчивости линейных периодических систем с запаздыванием / А. Халанай // Rev. math, pures et eppl. — 1961. — V. 6. — № 4. P. 633−653.

79. Хапаев, M.M. Об исследовании на устойчивость в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с почти-периодическими коэффициентами / М. М. Хапаев, О. В. Анашкин // ДАН СССР. 1978. — Т. 240. — № 5. — С. 1028−1031.

80. Хапаев, М. М. Усреднение в теории устойчивости / М. М. Хапаев. — М.: Наука, 1986.

81. Шиманов, С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени / С. Н. Шиманов // Прикл. мат. и мех. — 1963. — Т. 27. — Вып. 3. — С. 450−458.

82. Шобухов, А. В. Устойчивость бифуркационного периодического решения в системах типа «реакция-диффузия» / А. В. Шобухов // Математическое моделирование. — 1991. Т. 3. — № 6. — С. 22−28.

83. Штокало, И. З. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных уравнений с квазипериодическими коэффициентами / И. З. Штокало // Мат. сб.(новая серия) 1946. — Т. 19. — № 2. — С. 13−21.

84. Якубович, В. А. Параметрический резонанс в линейных системах / В. А. Якубович, В. М. Старжинский. — М.: Наука, 1987.

85. Якубович, В. А. Частотная теорема для периодических систем / В. А. Якубович // ДАН СССР. 1986. — Т. 287. — № 1. — С. 70−73.

86. Якубович, В. А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В. А. Якубович, В. М. Старжинский. — М.: Наука, 1972.

87. Chepyzhov, V.V. Attractors for non-autonomous evolution equations with almost periodic symbols / V.V. Chepyzhov, M.I. Vishik // C. r. Acad. sci. Ser. 1. 1993. — V. 316. — № 4. — P. 357−361.

88. Chepyzhov, V.V. Dimension estimates for attractors and for kernel sections of non-autonomous evolution equations / V.V. Chepyzhov, M.I. Vishik // C. r. Acad. sci. Ser. 1. 1993. — V. 317. — № 4. — P. 365−370.

89. Chepyzhov, V.V. Unbounded Attractors of Evolution Equations / V.V. Chepyzhov, A.Yu. Goritskii // Prop. Glob. Attractors Part. Differ. Equat. — Providence (R. I.). — 1992. — P. 85−128.

90. Chicone, C. Evolutional semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Y. Latushkin. — Providence, R.I.: AMS, 1999.

91. Floce, G. Sur les equations differentielles lineairas a coefficients periodiques / G. Floce //Ann. Fcolle Norm. 1883. — V. 12. — № 2. — P. 47−89.

92. Hale, J.K. Coincidence degree and periodic solutions of neutral equations / J.K. Hale, J. Mawhin // Differential Eq-ns. 1975. — 15. — P. 295−307.

93. Kreiss, H-O. Stability of quasi-linear hyperbolic dissipative systems / HO. Kreiss, O.E. Ortiz, O.A. Reula // Differential Equations. 1998. —V. 142. — № 1. — P. 78−96.

94. Lillo, J.C. First order periodic differential difference equations / J.C. Lillo // J. Math. Anal, and Appl. 1979. — V. 70. — № 2. — P. 389−398.

95. Peterson, L.D. Stability of solution of nonlinear diffusion problem / L.D. Peterson, C.G. Maple //Math. Anal, and Appl. — 1996. V. 14. — № 2. — P. 221−241.

96. Poincare, H. Sur le problems des trios corps et les equations de la dynamique / H. Poincare // Acta Math. 1890. — V. 13. — P. 5−270.

97. Shirikyan, A. Asymptotic behavior of solutions to second-order hyperbolic equations / A. Shirikyan // ICM" 98: Int. Congr. Math., Berlin, Aug. 18−27, 1998: Abstr. Short. Comm. and Poster Sess. Bielefeld. — 1998. — P. 221−222.

98. Shirikyan, A. Asymptotic behavior of solutions to second-order hyperbolic equations with non-linear damping term / A. Shirikyan // Pend. Accad. Naz. sci/ XL. Mem. mal. e appl. 1998. — V. 22. — № 1. — P. 1−21.

99. Stokes, A.P. A Floquet theory for functional differential equations / A.P. Stokes // Proc. Nat. Acad, of Sci, U.S.A. 1962 — 48. — P. 13 301 334.

100. Vishik, M.I. Asymptotic behavior of solutions of evolutionary equations / M.I. Vishik // Lezioni Linsee. Cambridge University Press, Cambridge. — 1992.

101. Weijiu, L. The exponential stability of the problem of transmission of the wave equation / L. Weijiu, W. Graham // Bull. Austral. Math. Soc. — 1998. V. 57. — № 2. — P. 305−327.