Спектральные свойства диссипативных операторов в идефинитных пространствах

Со знаменитой работы Понтрягира Л. С. [38] начинается интенсивное развитие теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой. Основные результаты этой теории освещены в целом ряде обзоров и монографий. Геометрия индефинитных пространств подробно рассмотрена в работе Гинзбурга Ю. П. и^Иохвидова И.С. [18] и книге J. Bognar [52Jj теория операторов в этих пространствах в обзорах Иохвидова IC-C. и Крейна М. Г. ([24], [25]), Азизова Т. Я. и Иохвидова JH.С. ([5], [6]), монографии Т. Ando ([47]), монографии Иохвидова И. С., Крейна М. Г. д Лангера Г. К. ([57]), обзорной статье Лангера Г. К. [58], монографии Азизова Т. Я. и Иохвидова И. С. [7]- приложения этой теории к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве и квантовой теории поля изложены в монографиях Далецкого Ю. Л. и Крейна М. Г. [20] и К. Надя [37], соответственно. Подчеркнем, что в приведенных работах речь идет о бесконечномерных абстрактных пространствах, в то время как линейные преобразования в конечномерных пространства^ с индефинитной метрикой изучалась еще в конце прошлого века (Фробениус), а интегральные 7Гсамосопряженные (в современной терминологии) уравнения рассматривались в 30-е годы XX века (Крейн М.Г.). Интерес к «конечномерной индефинитной теории» и ее приложениям наблюдается и в наши дни (см., например, монографию I. Gohberg, P. Lancaster, L. Rodman [55J).

Видное место в связи с широкими возможностями для приложений занимает теория диссидативных операторов и связанных с ними преобразованием Кэли сжатий в индефинитных пространствах (в дальнейшем называемых J-диссипативными операторами и /-сжатиями, соответственно). Матричной теории J-сжадий посвящеца известная работа Потапова В. П. [39], породившая ныне целое направление в теории операторов в связи с приложениями к теории функций. Интерес ж, J-диссипативным операторам возник значительно позднее и их систематическое изучение началрсь с работ Азизова Т. Я. [1], Крейна М. Г. и Лангера Г. К. [28], хотя в связи с вопросами теории устойчивости они доявшшсь еще в монографии [20]. Существенный вклад в теорию J-диссипативных и i-сжимающих операторов и их приложений внесли указанные выше работы, а также работы Гинзбурга Ю. П. [15], Бродского М. Д. [14], Крейна М. Г. и Шмульяна Ю. Л. ([31], [30]), Иохви-дова И.С. [23], Шмульяна Ю. Л. [44], Иохвидова ЕЛ. ([21], совместно с Азизоаым Т. Я. [4]), Иохвидовых Е.И.и И.С. [22], Хацкевича В. А. [42], Костюченко А. Г. и Шкаликова А. А. [26], Шкаликова А. А. ([45], [46]), Баскакова А. Г. и Юргеласа В. В. [13], Ran и Temme [62], Temme [65] и многие другие. Подробнее о работах до 1984 г. см. библиографию в [6] kl [7J. Отметим, что в исследовании операторов важным момендом является изучение его структуры. В частности, как известно, каждая матрица допускает жорданово разложение. Специфика этих разложений для J-унитарных операторов изложена в учебнике Мальцева А. И. [34], для /-самосопряженных операторов в монографии I. Gohberg, P. Lancaster, L. Rodman [55] и статье Azizov T.Ya., P. Binding, J. Bognar, B. Na-jman [49], для /-диссипативным операторов в работах Ran и Temme [62] и Temme [65] (в двух последних с частичным использованием наших результатов). Интересный аспект в связи с задачей Коши отмечен в работе Свиридюка Г. А.и Сухановой М. В. [40].

Кроме того, «индефинитный подход» оказался эффективным при отыскании классов операторов (и полугрупп операторов), подобных сжимающим операторам (и полугруппам сжатий) в гильбертовом пространстве.

3 работе Sz.-Nagy -[64] доказано, что каждая равномерно ограниченная группа операторов, действующих в гильбертовом пространстве, подобна группе унитарных операторов. Аналогичная гипотеза относительно полугрупп сжатий не подтвердилась (см. Foguel [54] и Packel [59]). Эта проблема (с дополнительными условиями на операторы, .входящие в полугруппу) упоминалась в работе P. Halmos [56] и получила свое решение (отрицательное) в статье G. Pisier [61]. Кроме этих работ, проблема подобия в последнее время получила широкое освещение в работах российских и зарубежных математиковГомшпда A.M. [17], Маламуда ММ. [33), Набоко С. Н. [36], R. Delaubenfels [53].

В данной работе рассматриваются диссипатирные, бисжимающие операторы и полугруппы, состоящие из бисжатий в пространствах с индефинитной метрикой, а так же задача Коши с диссипативным оператором в этих пространствах.

Цели настоящей работы:

1) Изучение жордановых базисов J-диссипативных операторов и приложение полученных результатов к описанию максимальных семидефи-нитных подпространств;

2) Нахождение необходимых и достаточных условий подобий^{-сжимающего} (максимального я^-диссипативного) оператора в пространстве Понтрягина с к отрицательными квадратами некоторому сжимающему (максимальному диссипативному) оператору в гильбертовом пространстве.

3) Нахождение необходимых и достаточных условий подобия J-би-сжимающего оператора, действующего в пространстве Крейна, некоторому сжатию в гильбертовом пространстве.

4) Изучение задачи Коши с i-диссипативным оператором в пространстве Крейна и установление достаточных условий, при которых разрешающие полугруппы этой задачи подобны полугруппам сжатий в гильбертовом пространстве (а их генератор соответственно диссипативному оператору в гильбертовом пространстве).

Методы исследования.

В работе используются методы линейной алгебры, связанные с построением жордановых базисов линейных операторов в конечномерном пространствеметоды спектральной теории операторов, действующих в индефинитных пространствахметоды построения решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, а так же некоторые полу групповые методы.

Научная новизна.

Основные результаты работы являются новыми. Из них можно выделить следующие:

1) Построено разложение жорданова базиса #-диссипативного оператора, порождающее разложение пространства в прямую сумму невырожденных подпространств, инвариантных относительно этого оператора.

2) Доказаны новые необходимые и достаточные условия подобия сжимающего (максимального 7г&-диссипативного) оператора некоторому сжимающему (максимальному диссипативному) оператору, действующему в гильбертовом пространстве;

3) Доказаны необходимые и достаточные условия подобия /-бисжима-ющего оператора некоторому сжатию в гильбертовом пространстве;

4) Доказана равномерная корректность задачи Коши с максимальным диссипативным оператором в пространствах Крейна и Понтрягина.

5) Получены достаточные условия подобия равномерно ограниченной (Со)-полугруппы, состоящей из /-бисжатий, некоторой полугруппе сжатий в гильбертовом пространстве. В частности доказано, что любая равномерно ограниченная (Со)-полугруппа в Щ подобна некоторой полугруппе сжатий в гильбертовом пространстве.

Практическая и теоретическая значимость.

Работа носит теоретический характер.

Результаты диссертации могут найти применение в изучении вопросов подобия операторов, действующих в гильбертовом пространстве, операторам сжатия и в исследовании некоторых типов дифференциальных уравнений.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на IV Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (KPOMIILTV) в 1993 г., на Воронежских математических школах «Понтрягинские чтения-IV» (1993 г.) и «Понтрягинские чтения-VII» (1996 г.), на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» в Москве в 1998 г., на конференции IWOTA 1998 (Groningen, Netherlands), на семинарах профессора Азизова Т. Я. в 1993;98 гг., профессора Борисовича Ю. Г. в 1998 г., профессора Покорного Ю. В. в 1998 г.

Работа Барсукова А. И., написанная на основе результатов, вошедших в дальнейшем в [3], была признана лучшей работой на конкурсе молодых математиков, организованном Воронежским математическим обществом в 1992 г. Публикации [3], [12] были удостоены Диплома I степени на Конкурсе индивидуальных грантов НИИ математики Воронежеского госуниверситета, посвященного 30-летию НИИМ и 80-летию ВГУ (среди студентов, магистров и аспирантов) в 1998 г.

Работа Барсукова А. И. была поддержана грантом Международного Научного Фонда NZP000 и грантом Международного Научного Фонда и Правительства России NZP300.

Публикации. Основные результаты полностью опубликованы в работах [10], [11], [3], [51], [12]. Работа [3], написана совместно с научным руководителем профессором Азизовым Т. Я. и при поддержке Международного научного фонда и правительства России, грант NZP300. Постановка задач в [3] принадлежит научному руководителю, а их решение — автору диссертации.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 87 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на семь параграфов и списка литературы из 65 наименований. Нумерация формул и утверждений в параграфах независимая — первая цифра показывает номер параграфа, а число после точкипорядковый номер формулы или утверждения в данном параграфе. При этом теоремы, леммы, следствия и замечания имеют самостоятельную нумерацию.

1. Азизов Т. Я. Инвариантные подпространства и критерии полноты системы корневых векторов /-диссииативных операторов в пространстве Понтрягина Щ. // ДАН СССР, — 1971. Т. 200, № 5. С. 10 151 017.

2. Азизов Т. Я. Диссипативные операторы в гильбертовом пространстве с индефинитной метрикой // Изв. АН СССР. Сер. матем- 1973.-Т.37, № 3. С. 639−662.

3. Азизов Т. Я., Барсуков А. И. Алгебраическая структура Н-диссипативных операторов в конечномерном пространстве // Матем. заметки. 1998. — Т. 63, вып. 2. — С. 163−169.

4. Азизов Т. Я., Иохвидов Е. И. Об инвариантных подпространствах максимальных /-диссипативных операторов. // Матем. заметки.-1972, — Т.12, № 6. С. 747−754.

5. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Линейные операторы в гильбертовых пространствах с С метрикой // УМН. 1971. — Т. 26, № 4. — С. 4393.

6. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой и их приложения. В кн.: Математический анализ. Т. 17 (Итоги науки и техники, ВИНИТИ). М., 1979. — С. 113 205.

7. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986. — 352с.

8. Азизов Т. Я., Сухочева Л. И. Новый подход к доказательству теоремы о приведении матриц к жордановой форме // Функциональный анализ. Линейные пространства. Ульяновск. 1990. — С. 3−5.

9. Ахиезер H.И., Глазман И.M. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. — 543 с.

10. Барсуков А. И. Структура жордановых цепочек индефинитно дисси-пативных операторов // Весенняя Воронежская матем. школа «Пон-трягинские чтения — IV»:. Тез. докл.- Воронеж, 1993.-С. 22.

11. Барсуков А. И. Задача Коши с диссипативным оператором в пространстве Крейна // Весенняя Воронежская матем. школа «Понтрд-гинские чтения — VII»: Тез. докл.- Воронеж, 1996. С. 29.

12. Барсуков А. И. О подобии полугруппы J-биежадий полугруппе сжатий // УМН.- 1998.-Т.53, вып. 4(322).- С. 188.

13. Баскаков А. Г., Юргелас В. В. Индефинитная диссипативность и обратимость линейных дифференциальных операторов // Укр. матем. журн. 1989. — Т. 41, № 1. — С. 1613−1618.

14. Бродский М. Л. О свойствах оператора, отображающего в себя неотрицательную часть пространства с индефинитной метрикой. // УМН.- 1959. Т.14, № 1. С. 147−152.

15. Гинзбург Ю. И. О J-нерастягивающих оператор-функциях. // ДАН СССР, — 1959.-Т.117, № 2. С. 171−173.

16. Гинзбург Ю. П., Иохвидов И. С. Исследования по геометрии бесконечномерных пространств с билинейной метрикой // УМН. 1962.Т. 17. № 4. С. 3−56.

17. Гомилко A.M. О производящих операторах ограниченных полугрупп линейных операторов // УМН.- 1998.-Т.53, вып. 4(322).- С. 169.

18. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: ИЛ., 1963. -311 с. я?

19. Гохберг И. Ц., Крейн М, Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, М: Наука, 1965. — 448 с.

20. Далецкий Ю. Л^ Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. -534 с.

21. Иохвидов Е. И. О максимальных J-диссип-ативных операторов. // Сб. студенч. науч. работ, вып. 5 (естественные науки). Воронеж, 1972. С. 74−79,.

22. Иохвидов Е. И., Иохвидов И, С. О глобальном обращении одного дробно-линейного операторного преобразования. // Тр. НИИ мат. Воронеж, ун-та, — 1973 вып, 11. — С. 64−70,.

23. Иохвидов И. С. О банаховых пространствах с /-метрикой и некоторых классах линейных операторах в этих пространствах. // Изв. АН MCCR Сер, физ.-техн. и мат, наук, 1968, — № 1, С, 60−80,.

24. Иохвидов И. С., Крейн М. Г. Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой, П. // Тр. Моск. мат. о-ва.-1959, — Т, 8, С. 413−496.

25. Иохвидов И. С., Крейн М. Г. Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой, I. // Тр. Моск. мат. о-ва.-1965. Т. 5. С. 367 432,.

26. Костюченко А. Г., Шкаликов A.A. Самосопряженные операторные пучки и эллиптические задачи // Функциональный анализ и его приложения, 1983, — Т 17, № 2. — С, 38 61.

27. Крейн М. Г.

Введение

в геометрию индефинитных J-пространств и теорию операторов в этих пространствах //Киев: В кн. Вторая летняя матем, школа, 1965. Tl.- С, 15 92,.

28. Крейн М. Г., Лангер Г, К. О спектральной функции самосопряженного оператора в пространстве с индефинитной метрикой // Докл. АН СССР, 1963, — Т. 152, № 1. — С, 39 42.

29. Крейн М. Г., Лангер Г. К. О дефинитных подпространствах и обобщенных резольвентах эрмитова оператора в пространстве Понтря-гина Щ // Функциональный анализ и его приложения. 1971.-Т. 5, № 2. — С. 59−71- 1971. Т. 5, № 3. — С. 54−69.

30. Крейн М. Г., Шмульян Ю. Л. Об одном классе операторов в пространстве с индефинитной метрикой // Докл. АН СССР.- 1966. Т. 170. № 1.С, 34−37,.

31. Крейн М. Г., Шмульян Ю. Л. /-полярное представление плюс-операторов // Матем. исследования. 1966. — Т. 1, вып. 2. — С. 172 210,.

32. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М.- Наука, 1967, 464 с,.

33. Маламуд М. М. Критерий подобия замкнутого оператора самосопряженному // Укр. матем. журн. 1985. — Т. 37, № 1. — С. 49−56.

34. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. M.-JL: ГИТТЛ, 1948. -423 с.

35. Маркус A.C. Некоторые признаки полноты системы корневых векторов линейного оператора в банаховом пространстве // Матем. сборник, 1966. — Т, 70, № 4, — С. 526−561,.

36. Набоко С. Н. Об условиях подобия унитарным и самосопряженным операторам // Функциональный анализ. 1984. — Т. 18, вып. 1. С, 16−27,.

37. Надь К. Пространство состояний с индефинитной метрикой в квантовой теории поля, М: Мир, 1969, — 136 С,.

38. Понтрягин Л. С. Эрмитовы операторы в пространствах с индефинитной метрикой. // Изв. АН СССР, Сер. матем. 1944. — Т. 8-С. 243−280,.

39. Потапов В. П. Мультипликативная структура J-нерастягивающих матриц-функций // Тр. Москов. мат. о-ва. 1955. — Т. 4. — С. 125−236.

40. Свиридюк Г. А., Суханова М. В. Разрешимость задачи Коши для линейных сингулярных уравнений эволюционного типа // Дифференц. уравнения. 1992. — Т.28, № 3. — С. 508−515.

41. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970. -352 с.

42. Хацкевич В. А. Об инвариантных подпространствах фокусирующих плюс-операторов // Мат. заметки. 1981; Т. 30, № 5. — С. 695−702.

43. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы, М.: ИЛ, 1962. 829 с.

44. Шмульян Ю. Л. О J-нерастягивающих операторах в /-пространствах // Укр. матем. журн. 1968. — Т. 20, № 3. — С. 352−362.

45. Шкаликов A.A. О принципах отбора и свойствах части собственных и присоединенных элементов пучка операторов // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем, мех, 1988, — № 4, — С, 16−25,.

46. Шкаликов A.A. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и связанные спектральные задачи // Тр. семинара им. И. Г. Петровского, 1989, — Т. 14, — С, 224,.

47. Ando Т. Linear operators on Krein spaces. Sapporo: 1979. — 58 p.

48. Azizov T.Ya., Langer H. Some spectral properties of contractive and expansive operators in indefinite inner product spaces // Math. Nachr.1993. Y. I62. P. 247−259,.

49. Barsukov A.I. On bounded Co-semigroups of J-bicontractions // IWOTA 1998: Book of Abstracts, Groningen, 1998,.

50. Bognar J. Indefinite inner product spaces. Berlin: Springer, 1974.

51. Delaubenfels R. Similarity to a contraction for power-bounded operators with finite peripheral spectrum // Transactions of Amer. Math. Soc. -1998, V. 350, № 8. — P. 3169−3191.

52. Foguel S.R. A counterexample to a problem of Sz,-Nagy // Proc. Amer. Math. Soc. 1964. — V. 15. — P, 788−790.

53. Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Matrices and Indefinite Scalar Procucts. Basel: Birkhauser, 1983. 374 p.

54. Halmos P. Ten problems in Hilbert space J/ Amer. Math. Soc. 1970. — V. 76, № 5, — P. 887−933,.

55. Iohvidov I.S., Krein M.G., Langer H. Introduction to the stectral theory of operators in space with an indefinite metric, Berlin: Akademie-Verlag, 1982. 120 p.

56. Langer H. Spectral function of definitizable operators in Krein spaces // Lecture Notes in Mathematics. 1982. — № 948, — P. 1−46.

57. Packel E.W. A semigroup analogue of Foguel’s counterexample // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. — V, 21. — P. 240−244.

58. Phillips R. The extention of dual subspaces invariant under an algebra // Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces, Jerusalem, 1960. Pergamon Press, 1961. P. 366−398,.

59. Pisier G. A polynomially bounded operator on Hilbert space, which is not similar to a contraction // J. of Amer. Math. Soc. 1997. — V. 10, № 2. — P. 351−369.

60. Ran A.-C.M., Temme D. Dissipative matrices and invariant maximal semidefinite subspaces // Linear Algebra Appl. 1994. V. 212/213. — P. 169−213.

61. Shkalikov A.A. Operator pencils arising in elasticity and hydrodynamics: the instability index formula // Operator Theory: Advances and Application, BasehBirkhauser-1996.-V.87 — P. 258−285.

62. Sz.-Nagy B. On uniformly bounded linear translations in Hilbert space // Acta Sei. Math. Szeged. 1946/48. №. — P. 152−157.

63. Temme D. Dissipative Operators in Indefinite Scalar Product Spaces. -Amsterdam, 1996. 152p.