Стабилизация систем с последействием нейтрального типа

Дифференциальными уравнениями с последействием называются такие уравнения, в которых неизвестная функция и ее производные входят при различных значениях аргумента. Например,.

Подобные уравнения приходится рассматривать в тех случаях, когда в рассматриваемой физической или технической задаче силы, действующие на материальную систему, зависят от скорости и положения тел этой системы не только в данный момент времени, но и в некоторые моменты, предшествующие данному.

Наличие последействия в технической системе зачастую оказывает существенное влияние на изучаемый процесс. Например, причиной неустойчивости горения топлива в жидкостных ракетных двигателях является наличие достаточно большого времени запаздывания, необходимого для превращения топливной смеси в продукт сгорания. Кроме того оказалось, что явление последействия эффективно влияет на интенсивность вибраций, сопровождающих механическую обработку (точение, сверление, шлифование, выглаживание и др.) конструкционных материалов (различных сталей и сплавов). Вибрации, сопровождающие процессы механической обработки, оказывают решающее воздействие на стойкость и надежность работы инструментов, производительность труда, а также на качественные и эксплуатационные характеристики изделий (точность геометрической формы, волнистость и шероховатость поверхности наклепа, величину и знак остаточных напряжений, сопротивление усталости и т. д.).

Исследование динамики относительных перемещений детали и инструмента на базе теории обыкновенных дифференциальных уравнений часто не дает удовлетворительного результата. Это обусловлено последейс1х (() Ж Д/,*(/),*(* - ТЬ, т> 0. сИ ствием сил резания, зависящих как от относительных перемещений детали и заготовки в данный момент времени t так от перемещений в предыдущие моменты времени t — т, где т — последействие.

Впервые уравнения с последействием рассматривались в работах математиков 18−19 вв. — Кондорсе (1771 г.), И. Бернулли, JI. Эйлера, П. Лапласа, С. Пуассона. Однако их систематическое изучение началось лишь с середины 40-х годов 20 в., когда выяснилась та большая роль, которую играют эти уравнения в различных вопросах механики, физики, биологии, технических и экономических наук.

Начиная с работ А. Д. Мышкиса в России и Е. М. Райта за рубежом, дифференциальные уравнения с последействием привлекают внимание многих ученых. Различным вопросам этой теории посвящен ряд монографий, как, например, А. Д. Мышкиса [35], Л. Э. Эльсгольца и С. Б. Норкина [50], Э. Пинни [40], H.H. Красовского [15], Р. Беллмана и К. Кука [7], Е. М. Маркушина [31]. Методы исследования систем с последействием развиты в работах Ф. Л. Черноусько [45], [46], [47], С. Н. Шиманова [33], [48], [49], Ю. С. Осипова [38], [39], А. Б. Куржанского [18], [19], [20], Н. В. Азбелева [1], [2], Э. Г. Альбрехта [3], [4] и др.

Ежегодно появляются многочисленные публикации, посвященные теории и приложениям дифференциально-разностных уравнений [5], [51], [52], [53], [54]. Несмотря на достигнутые успехи в развитии, в целом эта теория еще далека от завершения. Большой интерес представляет разработка различных методов исследования систем с последействием. Одной из центральных проблем, возникающих при исследовании, является проблема устойчивости. Серьезные трудности возникают при решении задач стабилизации систем с последействием. Это связано с особенностями поведения корней характеристических функций.

Большое количество регулируемых систем с последействием описывается линейными уравнениями нейтрального типа [33], [44] dxAt) «г, ^ ч dxJt-т) at k=i at s = 1,2,., п. где ?(t) — управление, ms — постоянные коэффициенты. Нули характеристической функции.

Д (Л) = | Л1-а-Ье~Ят-аЛе~Лт — ]c (v)eAvdv-f P{v)XeXvdv (2).

— гт где, а = {ask }, Ъ = {bsk }, а = }— постоянные матрицы, ф) = {^?(v)}, /?(v) = {A,(v)}- интегрируемые функции, v Е [—г, 0], г = const > 0 — последействие, / - единичная матрица, предполагаем простыми, расположенными в порядке возрастания мнимых частей.

Наличие последействия существенно осложняет исследование динамических процессов в регулируемых механических системах, так как характеристическая функция (2) может содержать корни с положительной действительной частью. Это обстоятельство приводит к необходимости формирования управляемых воздействий.

Целью работы является разработка методов стабилизации систем с последействием нейтрального типа. Развиваемый в диссертации метод исследования переходных процессов линейных систем с последействием опирается на идею перехода к спектральной канонической системе обыкновенных дифференциальных уравнений dqjjt) dt «'~JJ J ^/,(0 + ^(0,7 = 1,2,. (3).

При этом решение х (7 + V) = {ху (/ + V)}, V е [— г, 0] исходных уравнений представляется в виде ряда.

00 х ((+ у)= Е/ДО^-М, (4).

7=1 где Уу (?) — канонические переменные, (у) — собственные решения уравнений (1) при отсутствии управляющих воздействий [31].

Переход от уравнений (1) к спектральной системе (3) будет допустим, если ряд в правой части (4) сходится.

Содержащиеся в диссертации исследования развивают методы решения рассматриваемых задач стабилизации систем с последействием нейтрального типа [32], [48]. Представляет значительный интерес разработка метода решения задачи перемещения корней характеристической функции системы с последействием в любые наперед заданные точки комплексной плоскости, которая является основной для данной работы. Защите подлежат:

1. Исследование систем нейтрального типа сведением к счетной канонической системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Метод перемещения корней характеристической функции системы с последействием в любые наперед заданные точки комплексной плоскости.

Материал диссертации разбивается на четыре главы. Первая глава посвящена сведению системы уравнений с последействием (1) к счетной системе обыкновенный дифференциальных уравнений. С этой целью рассматривается пространство С|г 0] непрерывных на отрезке последействия п — мерных вектор-функций со скалярным произведением [32], [44], определяемым равенством 1 ш (5).

— гг Ъл хк (I + у) к о+ т + у) Оу+])[рл (V) +.

Т V Ж с$к (у)хк ((+ а)}у3 (t + а — у)(1о (1у}, V е [- т, 0], где х1(у) = х (г + у), у*(-у) = у (1-у).

Во второй главе рассматриваются задачи, решение которых приводит к перемещению корней характеристических функций уравнений с последействием нейтрального типа (1) в заданные точки комплексной плоскости. Для задачи передвижения корней Х^ в положение [Лу , — 1,2,.к выбрано управляющее воздействие с,{1) [31] в виде линейной комбинации обобщенных координат с постоянными коэффициентами к к ?(0 = Е Р ]Я г (0 > где Р] = Оу — к]) П.

7=1 '=1.

Г 3 Л Л 1,2,.А,.

-./у, а функции fJ (/) строятся с помощью скалярного произведения (5). Построен пример устойчивости уравнения с последействием. Для уравнения х (0 = х ((- 2я) + ?(/) (6) решена задача стабилизации. Сформировано управляющее воздействие о.

30] вида ?(/) = |/(у)х (/ + у) с1у, где /(у) — некоторая интегрируе.

— 2 п мая функция, V е [—2я", 0], обеспечивающее уравнению (6) асимптотическую устойчивость.

В третьей главе рассматриваются задачи синтеза уравнений с последействием, обладающих наперед заданным спектром. Задача стабили9 зации состоит в том, чтобы найти постоянные а5к и функции схк (V), /Зхк (V), V е [—г, 0], при которых корни характеристической функции (2) имеют отрицательные действительные части. С этой целью разработана процедура перемещения характеристических корней в любые наперед заданные точки комплексной плоскости. Установлены рекуррентные соотношения, позволяющие перенести к корней характеристической функции в левую комплексную полуплоскость. Предлагаемый способ синтеза опирается на одно из свойств скалярного произведения решений сопряженных уравнений с последействием [32]. Изложенная процедура переноса корней характеристических функций предлагается для уравнений запаздывающего типа.

Развитая теория иллюстрируется конкретными примерами.

В четвертой главе предложены механико-математические модели процессов точения и сверления, содержащие уравнения с последействием нейтрального типа. В рамках предложенных моделей сформулированы основные задачи стабилизации процессов обработки конструкционных материалов. Ж.

— г.

Заключение

.

Резюмируя содержание диссертационной работы, следует отметить основные результаты.

1. Дается применение метода С. Н. Шиманова и Е. М. Маркушина к исследованию систем с последействием вида (1.1.1), в основе которого лежит переход к канонической счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Разработана методика синтеза линейных систем нейтрального типа.

3. Разработанный метод перемещения характеристических корней в любые наперед заданные точки комплексной плоскости распространен для уравнений запаздывающего типа.

4. Предложены механико-математические модели, учитывающие последействие сил при механической обработке материалов. Указана возможность эффективного применения уравнений с последействием для описания процессов вибрации технологических систем.