О разрешимости диофантовых уравнений малых степеней

Настоящ-ш диссертация посвящена решению в целых и в натуральных числах уравнений второй и третьей степени. Она относится к элементарной теории чисел.

Широко известным диофантовым уравнением является уравнение вида ж2 — Ny2 = 1, где N — положительное целое число, не являющееся точным квадратом. Его обычно называют уравнением Пелля. Хорошо известно, что это уравнение имеет бесконечное множество решений в целых числах ж, у. Наибольшее проникновение в характер решений дает алгоритм непрерывных дробей (см., например [36, с. 104]).

Вопрос о существовании решений так называемого уравнения, минус Пелль" ж2 — Ny2 = -1 (0.1) более труден и простых точных условий для его разрешимости неизвестно.

Д. Морделл в своей известной монографии [1] поставил задачу о получении простых условий для разрешимости в целых числах х, у уравнения (0.1).

Непосредственно из уравнения (0.1) следует, что необходимым условием его разрешимости в целых числах является представимость n в виде суммы двух квадратов взаимно простых чисел. Известно также, что уравнение (0.1) разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда длина периода цепной дроби числа Vn равна нечетному числу (см., например,[33, с.123]).

Заметим также, что период непрерывной дроби для y/~n — всегда нечетное число, когда n является простым числом р и р = 1 (mod 4) (см. [36]).

Одним из результатов диссертации является следующее необходимое условие разрешимости этого уравнения.

Теорема 1. Пусть уравнение (0.1) разрешимо в целых числах. Тогда существует представление числа n в виде n = А2 + В2, где, А и В — натуральные числа, (А, В) = 1, причём, А является нечетным числом и квадратичным вычетом по модулю n.

В частности, отсюда следует, что при.

N = 34, 205, 109−113 = 12 317 уравнение (0.1) неразрешимо в целых числах.

Действительно, нетрудно увидеть, что для этих значений n справедливы только следующие представления n = 34 = 2 • 17 = З2 + 52.

Д7,.

JT 17.

1 Г.

17″ (-1).

3^-1.

— 1;

3^-1.

5 =(-!)" •- = -!• n = 205 — 5 • 41 = (I2 + 22)(42 + 52) = u2 + З'2 = б2 + 13.

2, о2 ч 3—1 = (-1) — = -1- n = 12 317 = 109 • 113 = (З2 + 102)(72 + 82) = 1012 + 462 = 592 + 94 т)~м)~ ' т)~ ш)~ ш)~ '.

Отметим, что условие теоремы не является достаточным. Например, при n = 505 = 5 • 101 = (I2 + 22)(12 + 102) = 212 + 82 = 192 + 122 имеем.

19 / 19 Л.

— L ч.

V 5 J V101, но уравнение ж2 — 505у2 = -1 неразрешимо в целых числах х, у, так как 1.

505 = 22 +.

2 +.

8 ±1.

2+ 1.

22 + /505 и период цепной дроби V505 имеет четную длину равную 4.

Замечание. Отметим, что если р — простое число, р = 5 (mod 8), то уравнение разрешимо в целых числах.

Для случая р = 1 (mod 8) из теоремы 1 вытекает.

Следствие 1. Пусть р — простое число, р = 1 (mod 8), т. е. где А, В — натуральные числа. Тогда а) если р = 1 (mod 16), В — нечетное число, то уравнение (0.2) не имеет решений в целых числахб) если р ф 1 (mod 16), В — четное число, то уравнение (0.2) также не имеет решений в целых числах.

Перейдем к рассмотрению систем диофантовых уравнений Пелля. В работе [27] установлено, что система диофантовых уравнений не имеет решений в натуральных числах x, y, z. Доказательство основано на полученных там же результатах по теории совместных рациональных приближений.

Подобные системы уравнений иногда могут быть решены с использованием некоторых результатов работ В. Люнгрена. Нижеследующая лемма является одним из таких его утверждений (см. ж2 — 2ру2 = -1.

0.2) р = А2 + 16В2.

28]- [1], стр.270−271).

Лемма 1. Уравнение х2 — DyA = 1, где D натуральное число, не являющееся полным квадратом, имеет не более двух пар решений в натуральных числах х, у. Если оно имеет две пары решений (xi, yi),, 2/2), где у2 > у, то х + /~Dy является фундаментальным решением уравнения и — Dv2 = 1, причем либо х2 + VDyl = (®i + VDyl)2, либо х2 + y/Dyl = (xi + VDy) A.

На основе этой леммы в диссертации доказываются следующие утверждения.

Теорема 2. Пусть анатуральное число. Тогда система уравнений х2 — (a + l) z2 = 1 У2 — az2 = 1 не имеет решений в натуральных числах x, y, z.

Теорема 3. Пусть анатуральное число. Тогда система уравнений х2 — (а + 2) z2 = 1.

2 2 1 у — az = 1 в натуральных числах х, у, 2 не имеет решений, если, а + 1 не является полным квадратом, и имеет единственное решение х = 2а + 3, у = 2а + 1, z = 2 у/а + 1, если, а + 1 является полным квадратом.

Вышеописанные результаты составляют содержание первой главы диссертации.

Вторая глава посвящена вопросам разрешимости в целых числах некоторых диофантовых уравнений третьей степени.

Хорошо известно, что любое рациональное число представляется в виде суммы трёх кубов рациональных чисел (см., например, [37] стр. 197 или [5] стр. 726). В связи с этим возникает вопрос о возможности отыскания всех таких рациональных чисел, которые можно разложить в сумму двух кубов рациональных чисел. Или, если угодно, эту задачу можно переформулировать следующим образом: найти все целые числа а, для которых уравнение.

Ж3 + У3 = az3 (0.3) разрешимо в ненулевых целых числах.

Вопрос о разрешимости уравнения (0.3) является одной из классических задач теории диофантовых уравнений и привлекает внимание математиков в течение уже долгого времени.

Первые результаты по этому уравнению были получены JI. Эйлером в [38]. Эйлер доказал, что уравнение (0.3) неразрешимо, если, а = 1, 4 и х = ?/, если, а = 2. В 1856 г. Сильвестр [39] высказал предположение о неразрешимости уравнения (0.3) для a = p, 2p, 4p2,4g, g2,2g2, где р и q — простые числа соответственно вида 18/ + 5 и 18/ + 1. В 1870 г. этот и подобный ему результат были доказаны Пепи-ным [40]. А в 1879 г. Сильвестром [41] была доказана следующая теорема.

Теорема А. (см. [1, стр. 127]) Пустъ р, р2, р, q, q2, q — простые числа, Pi, P2, P = 5 (mod 18), qi, q2, q = 11 (mod 18). Тогда, если a e {p, 2p, 9p, p2,9p2,4p2,pq, PiphqAq, 9q, 2q2, q2,9q2,qiql, p2q2}, то уравнение (0.3) не имеет решений в ненулевых целых числах x, y, z.

Позднее ван дер Корпут [42] получил неразрешимость уравнения (0.3) для, а = р, р2, где р — простое, не равное 2 и р = 2 или 5 (mod 9).

Фундаментальный вклад в исследование подобного рода уравнений был внесен Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддеевым (см [22]).

Ряд важных результатов, касающихся уравнения (0.3), приведен в известной монографии JI. Д. Морделла [1]. В настоящей работе рассматривается случай a =pq, где р, q — простые числа с условиями р = 2 (mod 3), q = 1 (mod 3). Здесь доказывается следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть p, q — простые числа, р = 2 (mod 3), q = 1 (mod 3), 4q — р2 ^ 3 (mod 9). Пусть, далее, р не является кубическим вычетом по модулю q. Тогда уравнение х3 + у3 = pqz3 (0.4) не имеет решений в ненулевых целых числах х, у, z.

В работе [34] М. 3. Гараев показал, что если функции п, т): N2^N (J{0}, g{n, m): N2 —>N)J{0} таковы, что система неравенств п < f{n, m) + 2g (n, т) + 5 т < д (п, т) + 2/(п, т) + 5 имеет конечное} число решении в натуральных числах п, т, то уравнение х3 + /(z, z) x2 + д (х, z) x + у + 1 = xyz также имеет конечное число решений в натуральных числах х, у, z.

В работах [7, 8] С. П. Моханти и А. М. С. Рамасами показали, что если натуральные числа а, 6, с таковы, что (а6,с) = 1, с — бесквадратное, то уравнение ах3 4- by + с = xyz имеет конечное число решений в натуральных числах. В диссертации мы существенно усиливаем последний результат.

Теорема 5. Пусть а, 6, c, d, e — целые неотрицательные числа, ade ф 0. Тогда уравнение ах3 + bx2 + сх + dy + е = xyz имеет конечное число решений в натуральных числах x, y, z.

В заключение выражаю глубокую благодарность научному руководителю профессору В. Н. Чубарикову, оказавшему большое влияние на мои занятия математикой.

1. Mordell L. J., Diophantine equations, Academic Press, New York, 1969.

2. Hurwitz A., Zahlentheorie, Algebra und Geometrie. Mathematische Werke. Bd 2, Basel, 1933.

3. Cassels J. W. S., On a diophatine equation, Acta arithm. 6 (1960), 47−51.

4. Sansone G., Cassels J. W. S., Sur la probleme de M. Werner Mnich, Acta arithm. 7 (1962), 187−190.

5. Dickson L. E., History of the theory of numbers, vol. II, New York, 1934.

6. Серпинский В., 250 задач no элементарной теории чисел, Просвещение, М, 1968.

7. Mohanty S. P., Ramasamy А. М. S., On the positive integral solutions of the Diophantine equation x3 + by + 1 — xyz = 0(b > 0), Bull. Malays. Math. Soc. 7JVU (1984), 23−28.

8. Mohanty S. P., Ramasamy A. M. S., On the positive integral solutions of the Diophantine equation ax3 + by + c — xyz = 0, Indian Math. Soc. (N. S.) 62№l-4 (1996), 210−214.

9. Виноградов И. M., Основы теории чисел, Наука, М, 1982.

10. Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, Наука, М, 1980.

11. Виноградов И. М., Особые варианты метода тригонометрических сумм, Наука, М, 1976.

12. Н. Davenport, Multiplicative Number Theory (2nd ed.), Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1980.

13. Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел, Наука, М, 1983.

14. Прахар К., Распределение простых чисел, Мир, М, 1967.

15. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н., Теория кратных тригонометрических сумм, Наука, М, 1987.

16. Гаусс К. Ф., Труды по теории чисел, АН СССР, М, 1959.

17. Дирихле П. Г. JI., Лекции по теории чисел, ОНТИ, М —Л, 1936.

18. Венков Б. А., Элементарная теория чисел, ОНТИ, МЛ, 1937.

19. Хассе Г., Лекции по теории чисел, ИЛ, М, 1953.

20. Айерленд К., Роузен М., Классическое введение в современную теорию чисел, Мир, М, 1987.

21. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, Наука, М, 1985.

22. Делоне Б. Н., Фаддеев Д. К., Теория иррациональностей третьей степени, Труды МИ АН СССР (Т.11), 1940 г.

23. Дэвенпорт Г., Высшая арифметика, Наука, М, 1965.

24. Landau Е., Elementary number theory, Chelsea, New York, 1966.

25. Nagell Т., Introduction to number theory, Wiley, New York, 1951.

26. Nagell Т., Sur les restes et les non-restes cubiques., Arkiv for matematik 1№ 39 (1952), 579−586.

27. Rickert J., Simultaneous rational approximations and related Diophantine equations., Math. Proc. Cambridge philos. Soc. 113 (1993), 461−472.

28. Ljunggren W., Einige Eigenschaften der Einheiten reeller guadratischer und rein biguadratischer Zahlkorper., Oslo Vid Acad Skrifter 1J№ 12 (1936).

29. Sierpinski W., A selection of problems in the theory of numbers, Pergamon Press, Oxford, 1964.

30. Эдварде Г. M., Последняя теорема Ферма, Мир, М, 1980.

31. Вейль Г., Алгебраическая теория чисел, ИЛ, М, 1947.

32. Mordell L. J., The infinity of rational solutions of y2 — x3 + k, London Math. Soc. 41 (1966), 491−498.

33. Гашков С. Б., Чубариков В. Н., Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений, Наука, М, 1996.

34. Гараев М. 3., Диофантовы уравнения третьей степени, Материалы международных научных чтений по аналитической теории чисел и приложениям. МГУ (1997), 14−15.

35. Гараев М. 3., О диофантовом уравнении х3 + y3 + z3 = nxyz, Вестник МГУ, сер. матем. и мех. № 2 (1997), 59−60.

36. Бейкер А., Введение в теорию чисел, Вышэйшая школа, Минск, 1995.

37. Hardy G. Н., Wright Е. М., An Introduction to the Theory of Numbers, Clarendon Press, Oxford, 1989.

38. Euler L., Opera postuma № 1 (1862), 243−244 (about 1782).

39. Sylvester J. J., Annali di Sc. Math, e Fis 7 (1856), 398 Math. Papers II 63.

40. Pepin Т., Jour, de Math 2№ 15 (1870), 217−236.

41. Sylvester J. J., Comptes Rendus Paris 90 (1880), 289, 1105 Amer. Jour. Math. № 2 (1879) 389 393.

42. Van der Corput, Nieuw Archief voor Wiskunde 2№ 11 (1915), 64−68.

43. Хессами Пилеруд X., О диофантовом уравнении х2 — Ny2 = —1, Вестник МГУ, сер. матем. и мех. № 2 (1999), 65−67.

44. Гараев М. 3., Хессами Пилеруд X., Замечание о системе диофантовых уравнений Пелля, Фундаментальная и прикл. математика. Т. 5 Вып. 3 (1999), 927−930.

45. Хессами Пилеруд X., О диофантовом уравнении ах3+bx2 +cx+dy + e = xyz, Вестник МГУ, сер. матем. и мех. № 1 (2000), 50−52.