Системы экспонент в весовых гильбертовых пространствах на R

Диссертация посвящена проблеме разложения в ряды из экспонент элементов гидьбертова пространства L2(I, exp/i), в частности вопросам существования базисов Рисса, вопросам полноты и минимальности систем экспонент.

Пусть / — интервал вещественной оси, h (t) — выпуклая функция на этом интервале и L2(/, exp/i) пространство локально интегрируемых функций на I, удовлетворяющих условию.

Оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением.

Определение. Семейство {eXkt, к = 1,2,.} называется безусловным базисом в пространстве L2(I, exp/i), если.

1) семейство {eXkt, к = 1,2,.} полно в пространстве L2(I, exp/i);

2) существуют положительные постоянные т, М такие, что для любой конечной последовательности а* 6 С справедлива двусторонняя оценка mEklV’T^llE^II2.

Мы здесь придерживаемся определения из работы [43]. Как отмечено в этой работе, если система {еЛ, с'} образует безусловный базис в пространстве L2(7, ехр/г), то любая функция / G L2(I, ехр/г) единственным образом разлагается в безусловно (перестановочно) сходящийся ряд по этой системе: к к к оо tel.

2.2).

Известно, что если система {eXkZ, к = 1,2,.} образует безусловный базис Рисса в пространстве X, то любой элемент / этого пространства представляется единственным образом в виде суммы ряда по данной системе экспонент:

00 к=1.

Поэтому задача о существовании базисов Рисса относится к проблематике представления функций посредством рядов экспонент.

В диссертации показывается, что базисы Рисса из экспонент достаточно редкое явление. Приводятся необходимые условия базисности систем экспонент в пространстве L2(/.exp/i), условия отсутствия базисов из ъкспонент и обсуждаются вопросы полноты и минимальности систем экспонент в L2(I. exp/i).

Тема представления функций посредством рядов экспонент стала объектом пристального внимания многих математиков после появления в 19G5 году работы А. Ф. Леонтьева [26], в которой было показано, что при некоторых А* можно указать области D, в которых произвольные аналитические в замкнутой области D функции допускают разложение в ряд по системе экспонент ехр (А^, г). За последующие два десятилетия.

A. Ф. Леонтьевым и его учениками и коллегами была создана стройная теория представления рядами экспонент, в которой были изучены и примыкающие вопросы — теоремы единственности, восстановление функций по коэффициентам и т. д. Результаты в этом направлении подытожены в монографиях [25], [27]. [28].

С начала семидесятых годов под влиянием таких работ как L. Eh-renpreis ([59]), В. A. Taylor ([62]), P. Oliver ([60]), D. М. Schneider ([61]),.

B. В. Напалков ([41], [42]). в данной проблематике систематически стали применяться методы функционального анализа. В классической теории рядов экспонент сходимость рядов рассматривалась как сходимость в естественной топологии равномерной сходимости на компактах. Одним из следствий функционального подхода стало изучение сходимости рядов в различных топологиях счетно нормированного типа. Другими словами, стало возможным представление рядами экспонент функций из заданного локально выпуклого пространства, с естественным условием, что ряды сходятся в топологии этого пространства. Еще одним следствием функционального подхода явилось распадение проблемы представления рядами экспонент на две составляющие задачи: описание сильно сопряженного пространства в терминах преобразования Лапласа и построение целых функций с заданной асимптотикой. В связи с тем, что каждая из этих составляющих задач имеет применения в других проблемах комплексного анализа, они стали объектом самостоятельного интенсивного исследования. Применительно к пространствам счетно нормированного типа обе задачи получили законченное решение к концу восьмидесятых годов. По описанию сопряженных пространств в терминах преобразования Лапласа следует отметить работы [2], [16], [39]. По существу в этих работах получено описание сопряженного пространства к весовым пространствам, замкнутым относительно дифференцирования. По проблеме целых функций с заданной асимптотикой окончательный в общей постановке результат получен в работе [51]. Таким образом, к началу девяностых годов стала актуальной задача представления рядами экспонент функций из нормированных пространств. В пространствах нормированного типа более естественным оказалось не просто разложение в ряды экспонент, а изучение базисов Рисса из экспонент.

Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова на выпуклых многоугольниках были сконструированы в работе [24]. Напомним, что пространство Смирнова на области D — это пополнение пространства многочленов относительно нормы где ds (z) — элемент длины границы области D. Анализ работы [24] показывает, что и задача о безусловных базисах из экспонент распадается на две составляющие части: описание сопряженного пространства и построение целых функций с тонкими асимптотическими оценками. В указанной работе [24] доказано, что сопряженное пространство к пространству Смирнова E2{D), где D выпуклый многоугольник, в терминах преобразования Лапласа совпадает с пространством целых функций F (Л), удовлетворяющих условию.

Здесь лучи rellfik, г > 0 перпендикулярны сторонам многоугольника D, a h (.

<5} попарно не пересекаются и вне этих кругов выполняется двусторонняя оценка.

Ю. И. Любарский в статьях [34], [35] предпринял попытку обобщения результатов работы [24] на области более общего вида. В работе [34] потах c.

При этом условии на опорную функцию сопряженное пространство к пространству Смирнова над областью D совпадает с пространством целых функций F с нормой.

А в статье [35] введены функции типа синуса для областей, удовлетворяющих этому условию, и такие функции сконструированы. Как показано в этой же работе система ехр (Л^г), где А*, к = 1,2,., — нули целой функции типа синуса для области D, в отличии от случая многоугольника, не образует безусловный базис Рисса в пространстве Смирнова E2{D)..

В работе [32] (более подробно в [33]) задача об описании сопряженного пространства к пространству Смирнова в терминах преобразования Лапласа получила решение в общем случае. Оказалось, что сопряженное пространство топологически изоморфно гильбертовому пространству целых функций F с нормой и h (.

<�р) — кусочно постоянная функция со скачками в направлениях ipk, к = 1,2,., п, перпендикулярных сторонам многоугольника D, и при некоторых постоянных т, М > 0 имеет место двусторонняя оценка +/г" (</>)> 0, ip G [0−7г]. здесь использованы обозначения т < K{re1^) < М, j = 1,2,., п, г > 0..

Тем самым, в случае, когда D — многоугольник, результат из работы [32] совпадает с теоремой Б. Я. Левина и 10. И. Любарского. Если же опорная функция области D удовлетворяет условию из работы [18], то выполняются соотношения.

Таким образом, и в этом случае теорема из статьи [16] повторяет теорему Ю. И. Любарского из [34]..

В диссертации В. И. Луценко [33] на основе более детальной разработки методов работы [35] было показано, что если на границе области D имеется дуга, в любой точке которой кривизна границы существует и отлична от нуля, то безусловных базисов Рисса из экспонент в пространстве Смирнова на этой области не существует. Тем самым, было получено далеко идущее обобщение результата из работы [35]..

С 1990 года началась разработка темы о безусловных базисах Рисса из экспонент в пространствах Бергмана..

Пространством Бергмана B2{D), где D — область на плоскости С, называется пространство функций, аналитических в D и интегрируемых с квадратом модуля по мере Лебега на D. Структура гильбертова пространства в B2(D) — определяется скалярным произведением где через m (z) обозначена плоская мера Лебега..

В диссертации Исаева К. П. [18] доказано утверждение о том, что если на границе области D имеется точка, в которой существует отличная от нуля кривизна, то в пространстве D не существует базисов Рисса из экспонент. Тем самым, безусловные базисы Рисса из экспонент могут существовать в пространствах Бергмана лишь на «обобщенных» выпуклых многоугольниках, то есть на выпуклых областях у которой кривизна в точках границы либо равна бесконечности, либо равна нулю. В качестве положительного результата сконструированы безусловные базисы Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых многоугольниках..

С того же времени началось изучение представлений функций из пространства L2(I, exp/i) рядами экспонент. Так как основным инструментом является преобразование Лапласа, первоначально была изучена асимптотика интегралов Лапласа (см. [50]) и дано описание пространства e2rh (.

0 < а < А'(<�р) < А < оо, tp Е [0- 2тг], r2 rh (.

— < К (ге%ч>) < В—tp е [0- 2тг], г > 0..

Ф ' сопряженного к L2(/, exp/i). В этой работе предложены геометрические характеристики выпуклых функций, позволяющие вести работу, в отличие от классического случая, не только в случае гладких функций веса..

Для функционала S на пространстве L2(I, exp h) его преобразованием Фурье-Лапласа называется функция.

S{) = S (eXt), ЛеС..

По известному общему виду функционалов на гильбертовых пространствах получаем, что преобразование Фурье-Лапласа непрерывного функционала имеет вид для некоторой функции / 6 L?(I, W)..

В работе Луценко В. И. и Юлмухамстова Р. С. [29] доказана следующая теорема, дающая описание сопряженного пространства к L2(I, exp h).

Теорема А. Пусть W (t) — ограничена снизу положительной постоянной на ограниченном интервале I и ограничена сверху на каждом компактном подмножестве I. Положим h (x) = supfe/(x? — In y/W (t)) — сопряженная no Юту к функции In yW (t) и определим р^{х) из условия гх+п ~ ti (x)-ti{t)dt = l. Jx-p-h.

Тогда у*..

1. Обобщенное преобразование Лапласа S (z) = S (ezt) функционала S па L2(I, W) является целой функцией, удовлетворяющей условиям.

S (z).

JR JR.

2. Если lniy (i) — выпуклая функция, то имеют место и нижняя и верхняя оценки.

П^Ц^Й^тгеИ..

Кроме того, в этом случае верно обратное утверждение: если F — целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условиям.

JrJR.

F{z) < Cpexph (x), z = x + iy, |F{x + iy)2e-2~hixVh{x)dh'{x)dy < oo, то существует функционал S € L2(I, W) такой, что.

S (z) = F{z), zeC..

3. Если ros.

W (t)= / e2xtd, i{x),.

J 00 где n (t) — неотрицательная борелевская мера на R, то для любого функционала S = / [ S (x + iy)4fl (x)dy..

J R J R.

В работе [30] эта теорема распространена на случай неограниченных интервалов I. Утверждение третьего пункта является одномерным случаем теоремы из работы [58]..

В работе Луценко В. И. [31] показано отсутствие базисов Рисса в случае веса h (t) = Ata, а > 1. 'Этот результат в диссертации является следствием теоремы 2.4(b).

Перейдем к подробному обзору результатов работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Нумерация приведенных во введении теорем, лемм и формул та же, что и в соответствующих разделах..

1. Абанин А. В. Достаточные множества и абсолютно представляющие системы. // Дисс. доктора физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1995..

2. Абузярова Н. Ф., Юлмухаметов Р. С. Сопряженные пространства к весовым пространствам аналитических функций. // Сиб. мат. ж. 2001. Т.42, т. С.3−17..

3. Башмаков Р. А., Напалков В. В. Достаточные множества на римановых поверхностях. // Доклады АН СССР. 1991..

4. Башмаков Р. А. О пространстве сопряженном к пространству Карлемана. // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. 1. Комплексный анализ. Уфа, 1996. С.10−15..

5. Башмаков Р. А. Квазианалитичность и полнота полиномов. // Сб. Теория функций, се приложения и смежные вопросы. Казань, 1999. С.35−36..

6. Башмаков Р. А. О свойстве некоторой функции с особенностями на отрезке. // Сб. Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. I. Комплексный анализ. Уфа, 2000. С. 9−13..

7. Башмаков Р. А., Исаев К. П. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа. // Вестник Башкирского университета, 2006, № 4, С. 3−6..

8. Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной плоскости. // М.: Мир, 1986..

9. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. // М., 1968. 618 е..

10. Державец Б. А. Пространства функций, аналитических в выпуклых областях С&tradeи имеющих заданное поведение вблизи границы. // Докл. АН СССР. 1984. Т.276. № 6. С. 1297−1301..

11. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. // М.: Наука. 1979..

12. Епифанов О. В.. // Матем. заметки, 1990, 48, № 5, С.83−87..

13. Епифанов О. В. Вариации слабо достаточных множеств в пространствах аналитических функций. // Изв. вузов. Матем. 1986, № 7. С. 50−55 ..

14. Епифанов О. В. Двойственность одной пары пространств аналитических функций ограниченного роста. // Докл. АН СССР. 1991. Т.319, № 6. С. 1297−1300..

15. Исаев К. П., Юлмухаметов Р. С. Преобразование Лапласа функционалов на пространствах Бергмана. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988..

16. Исаев К. П. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых областях. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН РАН. 2004 г..

17. Коробейник Ю. Ф. О безусловных базисах в Гильбертовом пространстве. // Матем. заметки. 1976. Т. 19. В. 2. С. 259−266. ..

18. Коробейник Ю. Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы. // Известия АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50. № 3. С. 539−565. ..

19. Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования. II Матем. заметки, 2004, 76:1, 97−110..

20. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. // М. Наука. 1966, 516 е..

21. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. // М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956..

22. Левин Б. Я., Любарский Ю. И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т.39. Ж С. 657 702..

23. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. // М. Наука, 1976..

24. Леонтьев А. Ф. О представлении произвольных функций рядами Дирихле. // ДАН СССР, 164, N1, (1965), 40−42..

25. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. // М.: Наука, 1980..

26. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент. // М.: Наука, 1981, 320с..

27. Луценко В. И., Юлмухаметов Р. С. Обобщение теоремы ПэлиВинера на весовые пространства). // Матем. заметки, 1990, 48, № 5, С.83−87..

28. Луценко В. И. Теорема Пэли-Винера на неограниченном интервале. // Исследования по теории приближений. Уфа. 1989. С.'79−85..

29. Луценко В. И. Информационные всплески в весовых пространствах. // Вестник Башкирского университета, 2004, Xs 1, С. 3−6..

30. Луценко В. И., Юлмухаметов Р. С. Теорема Пэли-Винера в пространствах Смирнова. II Труды МИАН им. В. А. Стеклова. 1991. Т.200. С.245−254..

31. Луценко В. И. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ Уро РАН. 1992 г..

32. Любарский Ю. И. Теорема Винера-Пэли для выпуклых множеств. // Изв. АН Арм. ССР. 1988. T.XXIII. № 2. С.163−172..

33. Любарский Ю. И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т.52. № 3. С. 559−580..

34. Любарский Ю. И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т.52. № 3. С. 559−580..

35. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. // М., 1968. Т.2. 624 е..

36. Напалков В. В.. // Матем. заметки, 1990, 48, № 5, С.83−87..

37. Напалков В. В. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы. // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1987. Т.51, № 2. С. 287−305..

38. Напалков В. В. О сравнении топологий в некоторых пространствах целых функций. // ДАН СССР. 1982. Т. 264, № 4. С. 827−830..

39. Напалков В. В. О дискретных достаточных множествах в некоторых пространствах и, елых функций. // ДАН СССР. 1980. т.250, № 4..

40. Напалков В. В. О дискретных слабо достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций. // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1981. т.45, № 5, с. 1088−1099..

41. Никольский Н. К., Павлов B.C., Хрущев С. В. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер. /. // Препринт ЛОМИ, Р-8−80. ..

42. Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. // М.: Наука. 1969..

43. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. // М.: Мир, 1973..

44. Седлецкий A.M. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. // М. 2005, 504 е..

45. Федорюк М. В. Метод перевала. // М.: Наука. 1977..

46. Эдварде Р. Функциональный анализ. // М. 1969. 1072 с..

47. Юлмухаметов Р. С. Асимптотическая аппроксимация субгармонических фщнкций. II Сиб. мат. ж. 1985. Т.26. № 4. С.159−175..

48. Юлмухаметов Р. С. Асимптотика многомерного интеграла Лапласа. // Сб. БНЦ УрО АН СССР, Уфа, 1989 ..

49. Юлмухаметов Р. С. Аппроксимация субгармонических функций. // Analysis Mathematica, 1985. T. ll, N3. С.257−282..

50. Юлмухаметов Р. С. Квазиапалитические классы функций в выпуклых областях. // Матем. сб. -1986. -Т. 11. 3. -С. 257−282..

51. Юлмухаметов Р. С. Однородные г) равнения свертки. // Док. АН СССР. -1991. -Т. 316. 2. -С. 312−315..

52. Юлмухаметов Р. С. Распределение целых функций с нулями в полосе. // Матем. сб. -1995. -Т. 186. 7. С. 148−160 ..

53. Юлмухаметов Р. С. Асимптотическая аппроксимация целых функций. // ДАН СССР, т.264, №, 1982 ..

54. Юлмухаметов Р. С. Достаточные множества в одном пространстве целых функций. // Математический сб. т. 116, JV53, 1981..

55. Aronszajn N. Theory of reproducing kernels. // Transactions of the American Mathematical Society, 1950, 68, N3, P.337−404..

56. Saitoh S. Fourier Laplace transforms and Bergman spaces on the tube domains. // Мат. вести. 1987, 38, № 4, C.571−586..

57. Ehrenpreis L. Fourier Analysis in Several Complex Variables. // New-York, 1970..

58. Oliver P. Sufficient sets for some spaces of entire functions. // Proc. London. Math. Soc. 1977. V.34, № 1, p.155−172..

59. Schneider D Discrete sufficient sets for some spaces of entire functions. // Trans. Am. Math. Soc. 1974. V.197, p.161−180..

60. Taylor B.A. Sufficient sets for spaces of entire functions. // Trans. Am. Math. Soc. 1972. V.163, p.207−209..

61. Taylor B.A. Some locally convex spaces of entire functions. // In:" AMS Summer Institute" - Proc. Symp. Pure Math. 1968. 11. p. 431−467..