Стохастические модели систем с взаимодействием при дискретных состояниях

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Изложен способ построения точных замкнутых решений первого и второго уравнений Колмогорова для стохастических моделей процессов рождения и гибели квадратичного типа. Метод применим к марковским процессам рождения и гибели других типов. а). Для бимолекулярной реакции со схемой взаимодействий 2 Т —У кТ, к = 0,1, построено интегральное представление решения уравнений модели — уравнений в частных… Читать ещё >

Стохастические модели систем с взаимодействием при дискретных состояниях (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

Глава 1. Уравнения Колмогорова для марковских моделей систем с взаимодействием
- 1. 1. Марковские процессы на дискретном множестве Nn. 39 1.1.1. Первая и вторая системы дифференциальных уравнений для переходных вероятностей
- 1. 2. Многомерные производящие функции
- 1. 3. Марковские процессы с взаимодействием
  - 1. 3. 1. Модели систем с превращениями частиц типов
Т,., Тп. Схема взаимодействий
- 1. 3. 2. Второе уравнение для производящей функции переходных вероятностей
- 1. 4. Ветвящиеся процессы с взаимодействием
- 1. 4. 1. Первое уравнение для экспоненциальной производящей функции переходных вероятностей
- 1. 4. 2. Второе уравнение для производящей функции переходных вероятностей
- 1. 5. Ветвящиеся процессы. Система нелинейных дифференциальных уравнений
- 1. 6. Класс процессов
Выводы к главе

Актуальность темы

В диссертационной работе рассматриваются стохастические модели систем с взаимодействием в виде марковских процессов рождения и гибели при дискретном множестве состояний 7Vn, N = {0,1,2,.}, и непрерывным временем t? [0,оо). Точка фазового пространства, а = (ai,., an) Е Nn интерпретируется как такое состояние системы, в котором имеется совокупность частиц = +. + о-пТп, состоящая из ai частиц типа Ti, ., an частиц типа Тппереход случайного процесса в другое состояние — результат взаимодействия одного из комплексов частиц 5е", ег Е А, где, А = {е1,. ,?•'} С Nn — заданное множество. Результат взаимодействия комплекса частиц не зависит от наличия других частиц в системе. Такие модели являются подклассом дискретных систем со стохастическим характером эволюции, определяемым случайными процессами взаимодействия элементов системы между собой и с окружающей средой. В литературе по математическому моделированию для отдельных элементов в системах этого подкласса используется название «частица», что обусловлено спецификой элементов таких систем и процессов их взаимодействия. При различии физической природы, происхождения и масштабов систем взаимодействующих элементов, существенным является то, что определяемые для исследования этих систем математические модели основаны на понятиях и результатах теории вероятностей и теории случайных процессов. Рассматриваемые в диссертации модели являются однородными во времени марковскими процессами с конечным или счетным множеством состояний, важным свойством которых является то, что их поведение определяется инфинитезималь-ными характеристиками и начальным распределением. Основополагающий вклад в разработку и анализ стохастических моделей систем взаимодействующих частиц внесли отечественные ученые А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, М. А. Леонтович, H.H. Боголюбов, Б. А. Севастьянов, Р. Л. Добрушин. Существенный вклад в развитие этого научного направления внесли зарубежные ученые М. С. Бартлетт, Т.Е. Хар-рис, Н. Т. Бейли, А.Т. Баруча-Рид, И. Пригожин, Ж. Гани, Т. Куртц, Н. Г. Ван Кампен и др.

1.1. Марковская модель без взаимодействия при дискретных состояниях определяется как однородный во времени марковский ветвящийся процесс в фазовом пространстве Ny переходные вероятности которого Pij (t), i7j G N, t G [0, oo), удовлетворяют при t —>¦ 0+ условиям (Л > 0) [74]:

Pij (t) = ipj-i+1t + o (t), j ^ г — 1, j ф ц.

Pi:i (t) = l-it + o (t), j=i- (B.l).

Pij (t) = o (t)) j Pi = 0. Свертывая вторую (прямую) и первую (обратную) системы дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей с помощью производящих функций.

OO OO Jоо j=0 г=0 ' к—0 получаем уравнения в частных производных (|s| ^ 1): i)=A (/iW-S)^) Л (0-.) = .< (В.2) второе, и первое — = Лг (ЧЙ-|к' •) = «». (В-3) где =^2kLo PkWPt' уравнения первого порядка (В.2) нетрудно получить [48], [98], что ieN, (В.4) то есть переходные вероятности удовлетворяют нелинейному свойству.

31+32 + —+3г = ].

Последнее равенство означает, что если состояние г модели интерпретировать как наличие г частиц, то отдельные частицы эволюционируют независимо друг от друга. Из (В.4) следует = и подставляя это выражение в (В.З), получаем нелинейное уравнение = А (Л (*к (*- в)) — Я («- *)), Р,(0- з) = (В.5) являющееся основным при исследовании моделей ветвящихся процессов.

1.2. Простейшая марковская модель с парными взаимодействиями является обобщением модели (В.1). Переходные вероятности? АГ, такой модели удовлетворяют при? —>• 0+ условиям:

Рхз (Ь) = г (г — 1) р^+2ь + о (*), з^г- 2, ^ ^ г;

Ру (0 = 1 — г (г — 1) А* + о (*), 7 = «- (В.б).

Рц (г) = о (г), 3 <г — 2, где р*. ^ 0, /г? ./V- = 1, Рг = 0. Из второй и первой систем.

Колмогорова для переходных вероятностей получаем дифференциальные уравнения для производящих функций,.

5М-Л (ВД-**)^, (В.7) = (В-8).

В случае уравнения второго порядка (В.7) нелинейное свойство (В.4) для переходных вероятностей не выполнено. Если состояние г модели интерпретировать как наличие г частиц, то частицы зависят друг от друга, или взаимодействуют.

Исследование модели с взаимодействием (В.7), (В.8) не сводится к уравнению вида (В.5), как в случае модели (В.2), (В.З). Актуальным, в частности, является вопрос, в какой степени известные методы исследования марковских моделей без взаимодействия могут быть перенесены на марковские модели с взаимодействием — в первую очередь, имеется ли аналог нелинейного свойства (В.4) для моделей с взаимодействием. Для этого в настоящей диссертации строятся явные решения уравнений вида (В.7), (В.8) и их обобщений на более сложные модели с взаимодействием.

2. Обзор исследований в этой области. Данная выше интерпретация марковских процессов на показывает, что рассматриваемые в диссертации модели систем при дискретных состояниях могут описывать широкий класс реальных систем взаимодействующих элементов, в которых одни элементы системы превращаются в другие элементы в результате взаимодействия нескольких существующих в данный момент. М. А. Леонтович [1] дал модель стохастической системы с попарно сталкивающимися частицами в виде марковского процесса на фазовом пространстве всех п-мерных векторов с целыми неотрицательными компонентами и указал на связь между такой моделью бимолекулярной химической реакции и детерминированным описанием кинетики такой реакции — законом действующих масс (см. также [11], гл. 8, «Приложения в химии»). Близкие к модели [1] марковские процессы на АГ2 изучались в [5] как модели кинетики цепной реакции рождения нейтронов с учетом ядер тяжелых элементов. В [7], [8] методы теории марковских процессов с дискретными состояниями применялись к исследованию неравновесных пространственно-однородных стохастических моделей физико-химических процессов в многокомпонентном разреженном газе. Марковские процессы рождения и гибели на N и И2 рассматриваются в связи с применениями в теории массового обслуживания [23] и в теории надежности [22]. Б. А. Севастьянов [75] определил модели ветвящихся процессов с взаимодействием — класс марковских процессов на .ЛГП, который обобщил ряд рассматриваемых ранее марковских моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях.

Определение модели [75] является строгим с точки зрения теории случайных процессов (определено вероятностное пространство (Q, Д, Р)) и в нем соблюдены феноменологические законы кинетики и ряд положений статистической физики.

Аналитический метод исследования марковских моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях сводится к рассмотрению первой и второй систем дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей марковских процессов. Число случаев, для которых удается найти явное решение уравнений Колмогорова для процессов со счетным множеством состояний, невеликоизвестные решения относятся к процессам рождения и гибели на N: процесс простой гибели, процесс чистого рождения, процесс рождения и гибели пуас-соновского типа (выражения для переходных вероятностей содержат бесселевы функции), процесс рождения и гибели линейного типа и некоторые модификации указанных процессов. Данные в [1], [5], [8], [11], [12], [13], [75] и другие примеры применения аналитического метода при рассмотрении моделей систем с взаимодействием характеризуются использованием многомерной производящей функции для записи второго уравнения Колмогорова в виде уравнения в частных производных (линейное уравнение).

Детально исследованным классом марковских моделей на Nn являются ветвящиеся процессы с невзаимодействующими частицами [74], когда второе уравнение для производящей функции переходных вероятностей есть уравнение в частных производных первого порядка. Из независимости эволюций частиц следуют нелинейные свойства переходных вероятностей и нелинейное уравнение для одночастичной производящей функции переходных вероятностей, полученные А. Н. Колмогоровым и H.A. Дмитриевым [31], и ставшие основой применения аналитических методов для моделей систем без взаимодействия. Уравнение работы [31] относится к виду кинетических уравнений для одночастичной функции распределения [36]. В статистической физике для систем взаимодействующих частиц принято описание с помощью цепочки функциональных уравнений для многочастичных функций распределения [37]- таким цепочкам уравнений и уравнениям для одночастичных функций распределения в моделях неравновесных физико-химических процессов с непрерывным фазовым пространством и их математической теории посвящена обширная литература, см. [36]. В диссертации показано, что первая система дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей является цепочкой уравнений в случае марковской модели системы с взаимодействием. Таким образом, из [31] и [37] следует задача выявления нелинейных свойств и вывода нелинейных уравнений для таких стохастических моделей. Для решения данной проблемы строятся точные замкнутые решения первого и второго линейных уравнений для переходных вероятностей.

Второе уравнение Колмогорова, как уравнение в частных производных порядка выше первого, рассматривалось в [1], [5], [8], [75] и др. D.A. McQuarrie, C.J. Jachimowcki, М.Е. Russel [102], D.A. McQuarrue [103] получили незамкнутое решение уравнения (В.7) в случаях h (s) = 1 и h (s) = s в виде ряда, содержащего многочлены Геген-бауэра. Для многих других моделей систем с взаимодействием решение нестационарных или стационарных уравнений приводит к выражениям для производящих функций искомых вероятностей состояний в виде рядов по специальным функциям. J. Letessier и G. Valent (см. обзор [108], [106], [107] и др.) методом разделения переменных получили решения второго уравнения в виде рядов по гипергеометрическим функциям для некоторых процессов рождения и гибели квадратичного, кубического и биквадратичного типов. Основные аналитические трудности связаны с суммированием этих рядов, приведением решений такого вида к замкнутой интегральной форме.

В изучении асимптотических свойств марковских моделей с взаимодействием достигнут существенно меньший прогресс по сравнению с родственными задачами для марковских моделей ветвящихся процессов. И. С. Бадалбаев, A.B. Дряхлов [95] рассмотрели залачу об асимптотическом поведении вероятности продолжения в модели (В.7) с парными взаимодействиями при частных случаях функции h (s). Марковская модель в взаимодействием частиц разных типов (процесс на N2) связана со случайными блужданиями в четверти плоскости, асимптотические задачи для которых рассматривались В. А. Малышевым [24], Ю. И. Громак, В. А. Малышевым [25], A.A. Могульским, Б. А. Рогозиным [29]. Асимптотические задачи для моделей с взаимодействием на N рассматривали W.A.O'N. Waugh [111], [112], P.R. Parthasarathy [113], В. И. Решетняк [93], Р. В. Бойко [94]. Частными случаями общей марковской модели с взаимодействием при дискретном фазовом пространстве являются модели распостранения эпидемии, см. работы М.С. Бартлет-та [12], Н. Бейли [13], G. Weiss [118], V. Siskind [114], J. Gani [115], A.H. Старцева [116] и др.

Замкнутые решения уравнений Колмогорова дают возможность простого вывода тех или иных асимптотических свойств и предельных теорем для вероятностных моделей систем с дискретными состояниямипримеры рассмотрения таких свойств даны в диссертации. При использовании марковских процессов в качестве стохастических моделей, как правило, возникает и требует решения общая для математического моделирования проблема оценки влияния на характеристики моделей точности значений задаваемых параметров модели [6]. Проблема получения точных решений уравнений Колмогорова для рассматриваемых моделей систем с взаимодействием является актуальной, и ее решение не только представляет теоретический интерес, но и имеет практическое значение для исследования дискретных стохастических систем методами математического моделирования при использовании в качестве моделей марковских процессов.

3. Цель работы. Основной проблемой, на решение которой направлена диссертация, является анализ задач, возникающих при математическом моделировании стохастических систем с взаимодействием с помощью марковских процессов со счетным множеством состояний и изложение методов и подходов к их решению на основе первого и второго дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей. Даны примеры применения аналитических методов при рассмотрении реальных процессов превращения частиц из различных областей естественных и технических наук.

4. Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации впервые предложен систематический подход к рассмотрению марковских моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях.

5. Основные результаты диссертации.

1. Построена общая стохастическая модель системы с взаимодействием при дискретных состояниях, включающая в себя ряд моделей, рассматривавшихся ранее. Для частных случаев дана классификация на основе рассмотрения специальных классов марковских процессов с множеством состояний 7УП.

2. Найдены формы записи дифференциальных уравнений Колмогорова для производящих функций переходных вероятностей для различных классов марковских моделей систем с взаимодействием.

3. Предложен метод экспоненциальной производящей функции для решения стационарной первой системы уравнений Колмогорова. Даны примеры применения метода для нахождения финальных вероятностей в моделях систем с парными взаимодействиями частиц одного или разных типов.

4. Предложен способ построения замкнутых решений первого и второго нестационарных уравнений для марковских процессов рождения и гибели квадратичного, пуассоновского, полиномиального и других типов. Метод применен к модели системы с парными взаимодействиями частиц одного типа и ее обобщению с частицами финального типа.

5. Получены точные решения первого и второго уравнений для марковских моделей на Nn, являющиеся новыми и обобщающие известные решения. Выявлены нелинейные свойства марковских моделей систем с взаимодействием.

6. Изложен способ статистического моделирования на ЭВМ марковских систем с взаимодействием на примере процесса «хищник-жертва» при дискретных состояниях и проведено исследование этого процесса.

7. Проведен анализ марковских моделей с взаимодействием при дискретных состояниях как стохастических систем взаимодействующих частиц статистической физики.

6. Методы исследования. В диссертации применялись методы теории вероятностей, теории марковских процессов с непрерывным временем, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Использовался аппарат специальных функций: ортогональные многочленыбесселевы функциигипергеометрические функцииэллиптические функции.

7. Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Решены задачи, имеющие значение для развития теории математического моделирования и теории стохастических систем. Предложенные в диссертации аналитические методы решения уравнений Колмогорова могут найти применение в общей теории случайных процессов.

Практическая значимость результатов состоит в возможности их использования для исследования различных вероятностных моделей реальных систем с взаимодействием, когда в качестве моделей используются конечные и счетные однородные марковские процессы с непрерывным временем. Примеры систем с взаимодействием, моделями которых являются марковские процессы, часто встречаются в физике, химии, биологии, теории массового обслуживания и теории надежности. Результаты диссертации представляют интерес для исследований в таких областях теории неравновесных процессов и физико-химической кинетики, как взаимосвязь стохастического и кинетического описаний эво-люций разреженного газа, свойства кинетических уравнений, схемы и константы скорости химических реакций. Методы, применяемые в диссертации, могут быть использованы при изучении более сложных моделей случайных систем с взаимодействием.

В основу диссертации положены результаты научных исследований, выполненных автором в Московском государственном техническом университете им. Н. Э. Баумана. Часть изложенных в диссертации результатов получена автором в качестве соисполнителя научно-исследовательских работ по темам, включенным в план НИР МГТУ им. Н. Э. Баумана:

НИР § 4.1/2000 «Стохастический анализ многомерных моделей функционирования сложных систем в теории надежности и массовом обслуживании» ;

НИР N° 4/2001 «Разработка теории и методов математического моделирования при анализе функционирования и устойчивости континуальных и дискретных систем» ;

НИР N° 5 — 2/2002 «Разработка методов стохастического оценивания показателей надежности и финансовых рисков при функционировании сложных систем по разнородным данным» .

Материалы диссертации используются в учебном процессе: автором в МГТУ им. Н. Э. Баумана с 1998/1999 учебного года читается обязательный семестровый курс «Дополнительные главы теории случайных процессов» для студентов специальности «Прикладная математика» факультета «Фундаментальные науки» [144].

8. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Главы диссертации подразделены на двадцать четыре пункта. Нумерация пунктов отдельная для каждой главы. Некоторые результаты сформулированы в виде теорем. При ссылке на теорему слева добавляется номер главы. Например, теорема 3.1 означает теорему 1 главы 3.

ВЫВОДЫ.

Проведенное в диссертационной работе математическое моделирование стохастических систем с взаимодействием при дискретных состояниях с использованием современных аналитических методов и вычислительной техники позволяет сделать вывод о разработке теоретических положений, совокупность которых составляет новое научное направление, обеспечивающее постановку и решение большого класса фундаментальных и прикладных задач. Разработаны новые математические методы моделирования, с единых позиций поставлены, обоснованы и исследованы стохастические модели физических, химических, биологических, а также технических объектов, связанных понятиями дискретного фазового пространства и схемы взаимодействий. Сформулируем основные результаты работы и перечислим примененные в диссертации методы построения точных решений уравнений Колмогорова для марковских моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях.

1. Введены общие стохастические модели систем с превращениями и взаимодействиями частиц типов Гг,., ТП, задаваемые схемой взаимодействий. Такие модели с дискретными состояниями есть частные случаи однородных марковских процессов со счетным множеством состояний и непрерывным временем. Предложена классификация моделей на основе рассмотрения специальных классов марковских процессов на Л/" п. В полном и систематическом виде изложены возможности записи в виде уравнений в частных производных первой и второй систем дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей с помощью многомерных производящих функций и оператора обобщенной производной. Каждому классу рассматриваемых моделей соответствует определенный вид таких уравнений в частных производных.

2. Получено уравнение для экспоненциальной производящей функции финальных вероятностей — стационарное первое уравнение и построены его точные решения для моделей систем с парными взаимодействиями. а). Найдено интегральное представление для вероятностей вырождения в модели со схемой взаимодействий 2 Т —> к2Т, Т —> кТ. Исследованы асимптотические свойства вероятностей вырождения. б). Рассмотрена модель системы с взаимодействием частиц разных типов Т + Т2 —>• 71 Тх +72² 5 при частных предположениях о случайном векторе (71,72). В случае 71 + 72 ^ 2 интегральное представление для финальных вероятностей найдено применением метода Римана для гиперболических уравнений. в). Исследована марковская модель эпидемии со схемой Т + Т2 —У ТУТ —У 0. Методом Римана найдено интегральное представление для финальных вероятностей и установлена предельная теорема для числа финальных частиц.

3. Изложен способ построения точных замкнутых решений первого и второго уравнений Колмогорова для стохастических моделей процессов рождения и гибели квадратичного типа. Метод применим к марковским процессам рождения и гибели других типов. а). Для бимолекулярной реакции со схемой взаимодействий 2 Т —У кТ, к = 0,1, построено интегральное представление решения уравнений модели — уравнений в частных производных параболического типа. Получено нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для подъинтегральной функции условных переходных вероятностей. Для модели со схемой 2 Т —> 3 Т дан вывод аналогичного уравнения. б). Для моделей систем с финальным типом, схемы взаимодействий 2Т1 71 Тг + 72Т2, 7! = 0,1, и 2ТХ ЗТ1 + 72Т2, найдены замкнутые решения линейных уравнений Колмогорова и соответствующие нелинейные уравнения. в). Приведены интегральные представления решений второго уравнения для моделей систем с двумя комплексами взаимодействия 2 Т —У к2Т, Т —> кгТ в критическом случае и соответствующие нелинейные уравнения. Рассмотрены асимптотические свойства таких моделей. г). Построены незамкнутые решения нестационарных уравнений Колмогорова для некоторых других одномерных и двухмерных процессов гибели квадратичного типа.

4. Выявлено нелинейное свойство переходных вероятностей марковских моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях путем построения точных решений первого и второго уравнений. Это свойство интерпретируется как условная независимость рождения и гибели отдельных эволюционирующих частиц друг от друга и обобщает свойство ветвления переходных вероятностей процессов с невзаимодействующими частицами. Тем самым, на стохастические модели систем с взаимодействием могут быть перенесены методы исследования стохастических моделей с независимыми частицами.

5. Получена цепочка уравнений для су-частичных функций распределения рассматриваемых стохастических моделей с взаимодействием. Принцип тождественности частиц и теорема Финетти-Хинчина о симметрии применены к выводу кинетического уравнения путем преобразования фазового пространства траекторий частиц для системы с взаимодействием к множеству деревьев. Получены осредняющая мера и уравнение для условных переходных вероятностей для моделей систем с парными взаимодействиями.

6. Изложен способ статистического моделирования на ЭВМ стохастических систем с взаимодействием на примере процесса «хищник-жертва» и проведено исследование реализаций этого процесса. Предложенный способ численного моделирования может быть применен к общей стохастической модели с взаимодействем при дискретных состояниях с произвольным числом типов частиц и комплексов взаимодействия.

7. Данные в диссертации методы построения решений уравнений Колмогорова и найденные решения дают основу применения аналитических и численных методов к исследованию стохастических моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях.

Показать весь текст

Список литературы

Леонтович М.А. Основные уравнения кинетической теории газов с точки зрения теории случайных процессов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. -1935. — Т. 5, №• 3−4. — С. 211−231.
Эмануэль Н.М., Кнорре Д. Г. Курс химической кинетики. М.: Высшая школа, 1974. — 400 с.
Учайкин В.В., Рыжов В. В. Стохастическая теория переноса частиц высоких энергий. Новосибирск: Наука, 1988. — 201 с.
Дорогов В.И., Чистяков В. П. Оценка флуктуаций нуклидов в нейтронном потоке методами теории ветвящихся процессов // Доклады АН СССР. 1983. — Т. 273, №- 5. — С. 1102−1104.
Дорогов В.И., Чистяков В. П. Вероятностные модели превращения частиц. М.: Наука, 1988. — 112 с.
Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике.-М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 496 с.
Ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. -М.: Высшая школа, 1990. 376 с.
Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.
Шематович В.И. Нестационарное статистическое моделирование столкновительных физико-химических процессов в разреженном газе: Автореф. дисс.. .. канд. физ.-матем. наук. М.: ВЦ АН, 1980. — 16 с.
Эпидемии процесс // Математическая энциклопедия. Т. 5. М.: Советская энциклопедия, 1985. — Кол. 1008.
Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. — 512 с.
Бартлетт М.С. Введение в теорию случайных процессов. М.: ИИЛ, 1958. — 384 с.
Бейли Н. Математика в биологии и медицине. М.: Мир, 1970. -328 с.
Bailey N.T.J. The mathematical theory of infections diseases. -London: Griffin, 1975.
Амелькин B.B. Дифференциальные уравнения в приложениях. -М.: Наука, 1969. 160 с.
Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. -М.: Наука, 1976. 288 с.
Косолапова Л.Г., Ковров Б. Г. Эволюция популяций. Дискретное математическое моделирование. Новосибирск: Наука, 1988. — 96 с.
Перцев Н.В. Вероятностная модель инфекционного заболевания. -Новосибирск, 1984. 21 с. (Препринт ВЦ СОАН, N- 462).
Перцев Н.В. Математическое моделирование динамики взаимодействующих популяций с ограниченным временем жизни индивидуумов: Автореф. дисс.. .. докт. физ.-матем. наук. Новосибирск: ВЦ СО АН, 1999. — 24 с.
Ермаков С.М., Михайлов Г. А. Курс статистического моделирования. М.: Наука, 1976. — 320 с.
Ермаков С.М., Некруткин В. В., Сипин A.C. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. -М.: Наука, 1984. 206 с.
Математические методы в теории надежности. / Г. Д. Карташов, О. И. Тескин, O.A. Бархатова, С. М. Швартин. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1982. — 32 с.
Бочаров П.П., Печинкин A.B. Теория массового обслуживания. -М.: Изд-во РУДН, 1995. 529 с.
Малышев В.А. Случайные блуждания. Уравнения Винера-Хопфа в четверти плоскости. Автоморфизмы Галуа. М.: Изд-во МГУ, 1970. — 202 с.
Громак Ю.И., Малышев В. А. Вероятность попадания в конечное множество при блуждании в квадранте с поглощением на границе / / Международная конференция по теории вероятностей и математической статистике: Тезисы докладов. Вильнюс, 1973. -С. 185−186.
Малышев В.А. Уравнения Винера-Хопфа и их применение в теории вероятностей // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. М., 1975. — Т. 13. — С. 5−35.
Fayolle G., Iasnogorodski R., Malyshev V. Random walks in the quarter-plane. Algebraic methods, boundary value problems and applications. Berlin: Springer-Verlag, 1999. — 156 p.
Two-sex problem //Encyclopedia of statistical sciences. V. 9. New-York: Wiley, 1988. — P. 373.
Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи математических наук. 1938. — Т. 5. — С. 5−41. Пер. с нем.: Math. Ann. -1931. — Bd. 104. — S. 415−458.
Колмогоров А.H., Дмитриев H.A. Ветвящиеся случайные процессы // Доклады АН СССР. 1947. — Т. 56, №¦ 1. — С. 7−10.
Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. Изд. 2-е. М.: Наука, 1974. — 120 с.
Хинчин А.Я. Математические основания статистической механики. М.: Гостехиздат, 1943.
Хинчин А.Я. О классах эквивалентных событий // Доклады АН СССР. 1952. — Т. 85, N° 4. — С. 713−714.
Румер Ю.Б., Рыбкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука, 1977. — 552 с.
Петрина Д.Я., Герасименко В. И., Малышев П. В. Математические основы классической статистической механики. Киев: Наукова думка, 1981. — 261 с.
Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистической физике. M.-JL: Гостехиздат, 1946. — 120 с.
Маслов В.П., Таривердиев С. Э. Асимптотика уравнений Колмого-рова-Феллера для системы из большого числа частиц // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. М., 1982. — Т. 19. -С. 85−124.
Маслов В.П., Шведов О. Ю. Метод комплексного ростка в задаче многих частиц и квантовой теории поля. М.: Изд-во УРСС, 2000. — 360 с.
Морозов А.Н. Необратимые процессы и броуновское движение. -М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1997. 332 с.
Тождественности принцип. Тождественные частицы. БСЭ. Изд. 3-е. М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 26. — С. 30−31.
Ветвления условие // Математическая физика. Энциклопедия. -М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. С. 84.
Линейные уравнения математической физики. / В. М. Бабич, М. Б. Капилевич, С. Г. Михлин, Г. И. Натансон, П. М. Риз, Л.Н. Сло-бодецкий, М. М. Смирнов. М.: Наука, 1964. — 368 с.
Бицадзе A.B., Калиниченко Д. Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1985. — 312 с.
Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. -М.: Наука, 1975. 128 с.
Copson Е.Т. Partial differential equations. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1975. — 280 p.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. — 576 с.
Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966. — 260 с.
Зайцев В.Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными: Точные решения. М.: Международная программа образования, 1996. — 496 с.
Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Наука, 1967. — 488 с.
Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1965. -423 с.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1973. -296 с.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены. М.: Наука, 1974. — 296 с.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. -М.: Наука, 1967. 300 с.
Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. -М.: ИИЛ, 1952. 476 с.
Славянов С.Ю. Структурная теория уравнений и специальных функций класса Гойна: Автореф. дисс.. .. докт. физ.-матем. наук. СПб.: СПбГУ, 1996. — 14 с.
Сидоров Ю.В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1989. — 480 с.
Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970. — 128 с.
Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1965. — 424 с.
Гурвиц А. Теория аналитических и эллиптических функций. JL: ГТТИ, 1933. — 344 с.
Уиттекер Э.Т., Ватсон Д. Н. Курс современного анализа. Ч. 2. Трансцендентные функции. М.: Физматгиз, 1963. — 516 с.
Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. — 375 с.
Гельфонд А.О., Леонтьев А. Ф. Об одном обобщении ряда Фурье // Математический сборник. 1951. — Т. 29 (71), N° 3. — С. 477−500.
Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. — 536 с.
Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
Миролюбов A.A., Солдатов М. А. Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981. — 208 с.
Градштейн И.С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. — 1108 с.
Прудников А.П., Брычков Ю. А., Марычев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. — 800 с.
Прудников А.П., Брычков Ю. А., Марычев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. — 752 с.
Прудников А.П., Брычков Ю. А., Марычев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986. — 800 с.
Риекстыньш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Т.2.-Рига: Зинатне, 1977. 464 с.
Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: ГИТТЛ, 1953. — 288 с.
Севастьянов Б.А. О некоторых типа-х марковских процессов // Успехи математических наук. 1949. — Т. 4, N- 4. — С. 194.
Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971. — 436 с.
Севастьянов Б.А., Калинкин A.B. Ветвящиеся случайные процессы с взаимодействием частиц // Доклады АН СССР. 1982. -Т. 264, N- 2. — С. 306−308.
Калинкин A.B. Вероятность вырождения одного ветвящегося процесса // Некоторые вопросы математики и механики / Под. ред.
B.В. Козлова и Б. В. Шабата. М.: Изд-во МГУ, 1983. — С. 58−59.
Калинкин A.B. Вероятность вырождения ветвящегося процесса с взаимодействием частиц // Теория вероятностей и ее применения. 1982. — Т. 27, N° 1. — С. 192−197.
Калинкин A.B. Стационарное распределение системы взаимодействующих частиц с дискретными состояниями // Доклады АН СССР. 1983. — Т. 268, №• 6. — С. 1362−1364.
Калинкин A.B. Финальные вероятности для ветвящегося случайного процесса с взаимодействием частиц // Доклады АН СССР. -1983. Т. 269, №¦ 6. — С. 1309−1312.
Исмагилов P.C., Калинкин A.B., Станцо В. В. Графы. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. — 40 с.
Калинкин A.B. Случайные процессы в естествознании: Дискретное фазовое пространство. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. -40 с.
Пиляева Н.В. Об одном разложимом ветвящемся процессе с частицами финального типа / / Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 2000. — Т. 7, N- 1.1. C. 128−129.
Ланге A.M. Об одном ветвящемся процессе с иммиграцией и взаимодействием частиц / / Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. — Т. 8, №¦ 2. — С. 785−786.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969. -400 с.
Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977. — 568 с.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2. М.: Мир, 1984. — 528 е.- 752 с.
Feller W. Infinitely divisible distributions and Bessel functions associated with random walks // SIAM J. Appl. Math. 1966. — V. 14. -P. 864−875.
Чжун Кай Лай. Однородные цепи Маркова. М.: Наука, 1964. -426 с.
Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов. -М.: Мир, 1971. 264 с.
Ватутин В.А., Зубков A.M. Ветвящиеся процессы // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. М., 1985. — Т. 23. — С. 3−67. Ч. II: J. Sov. Math. — 1993. — V. 67, п. 6. — Р. 3407−3485.
Полин А.К. Предельные теоремы для разложимых критических ветвящихся процессов // Математический сборник. -1976. Т. 100, N- 3. — С. 420−435.
Козлов М.В. Об асимптотике вероятности невырождения критических ветвящихся процессов в случайной среде / / Теория вероятностей и ее применения. 1976. — Т. 21, №¦ 4. — С. 813−825.
Решетняк В.И. Об одном классе ветвящихся процессов со взаимодействием частиц // Аналитические методы в теории надежности. Киев: ИМ АН УССР, 1985. — С. 106−114.
Бойко Р.В. О степенном росте мицелиальных колоний в моделях, построенных на базе ветвящихся с переменным режимом процессов // Вероятностные методы исследования систем с бесконечным числом степеней свободы. Киев: ИМ АН УССР, 1986. — С. 17−23.
Бадалбаев И.С., Дряхлов A.B. Об асимптотическом поведении вероятности продолжения ветвящегося процесса с парными взаимодействиями частиц // Теория вероятностей и ее применения. -1996. Т. 41, N° 4. — С. 721−737.
Гуревич К.Г., Матвеев В. Ф. Уравнение Бейли для производящей функции однородного марковского процесса и его применение // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. -Т. 8, N- 2. — С. 42−51.
Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962. — 720 с.
Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов. М.: Мир, 1966. — 356 с.
Колчин В.Ф. Случайные отображения. М.: Наука, 1984. — 208 с.
Колчин В.Ф. Случайные графы. М.: Физматлит, 2000. — 256 с.
Lederman W., Reuter G.E.H. Spectral theory for the differential equations of simple birth and death processes // Phil. Trans, of the Royal Sotiety of London. A. 1954. — V. 246. — P. 321−369-
McQuarrie D.A., Jachimowcki C.J., Russel M.E. Kinetic of small system. II // J. Chim. Phys. 1964. — V. 40, n. 10. — P. 2914−2921.
McQuarrie D.A. Stochastic approach to chemical kinetic //J. Appl. Probability. 1967. — V. 4. — P. 413−478.
Blumenfeld L.A., Grosberg A.Yu., Tikhonov A.N. Fluctuation and mass action law breakdown in statistical thermodynamics of small system // J. Chim. Phys. 1991. — V. 95. — P. 7541−7547.
Letessier J., Valent G. The generating function method for quadratic asimptotically symmetric birth and death processes // SIAM J. Appl. Math. 1983. — V. 44. — P. 773−783.
Letessier J., Valent G. Exact eigenfunctions and spectrum for several cubic and quartic birth and death processes // Phys. Lett. A. 1985. -V. 108, n. 5−6. — P. 245−247.
Valent G. An integral transform involving Hein function and a related eigenvalue problem // SIAM J. Math. Anal. 1986. — V. 17, n. 3. -P. 688−703.
Letessier J., Valent G. Some exact solutions of the Kolmogorov boundary value problem // Approx. Theory Appl. 1988. — V. 4, n. 2. — P. 97−117.
Ismail M.E.H., Letessier J., Valent G. Linear birth and death processes and associated Laguerre and Meixner polynomials // J. Approx. Theory. 1988. — V. 55. — P. 337−348.
Ismail M.E.H., Letessier J., Valent G. Quadratic birth and death processes and associated continuous dual Hahn polinomials // SIAM J. Math. Anal. 1989. — V. 20, no 3. — P. 727−737.
Waugh W.A.O'N. Uses of the sojourn time series for Markovian birth process // Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. V. 3. California: 1972. -P. 501−514.
Waugh W.A.O'N. Taboo extinction, sojourn times, and asymptotic growth for the Markovian birth and death process // J. Appl. Probability. 1972. — V. 9. — P. 486−506.
Parthasarathy P.R. Density-dependent Markov branching processes // Proceedings of the Antumn Course Research Seminars Mathematical Ecology. New-York: 1988. — P. 559−569.
Siskind V. A solution of the general stochastic epidemic // Biometri-ka. 1965. — V. 52, n. 3−4. — P. 613−616.
Gani J. On a partial differential equation of epidemic theory. I // Biometrika. 1965. — V. 52. — P. 617−622.
Старцев A.H. О распределении размера эпидемии в одной немарковской модели // Теория вероятностей и ее применения. 1996. -Т. 41, N- 4. — С. 827−839.
Stochastic processes in epidemic theory. (Conference Liminy, 1988) // Lecture Notes in Biomathematics. V. 86. California: Santa Barbara Univ. Press, 1990. — 197 p.
Weiss G. On the spread of epidemics by carries // Biometrics. 1965. -V. 21, n. 2. — P. 481−490.
Lefevre C., Picard P. Abel-Gontcharoff psevdopolinomials and the exact final outcome of sir epidemic model. Ill // Adv. Appl. Probability. 1999. — V. 31. — P. 532−550.
Lefevre С., Picard P. On the algebraic structure in markovian processes of death and epidemic types // Adv. Appl. Probability. 1999. -V. 31. — P. 742−757.
Калинкин A.B. Свойство ветвления для процесса чистой гибели // Третья Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам: Тезисы докладов. М.: Научное изд-во ТВП, 1996. — С. 6263.
Калинкин A.B. Двуполая проблема // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 1997. -Т. 4, N° 3. — С. 348−349.
Калинкин A.B. Финальные вероятности ветвящегося процесса с взаимодействием частиц и процесс эпидемии // Теория вероятностей и ее применения. 1998. — Т. 43, N° 4. — С. 773−780.
Калинкин A.B. Естественная структура множества марковских процессов // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 1998. — Т. 5, №- 2. — С. 222−223.
Калинкин A.B. Структура множества марковских процессов // Вестник РУДН. Прикладная математика и информатика. -1998, N- 1. С. 93−103.
Kalinkin A., Valent G. Exact solution of the linear Kolmogorov equations for a quadratic death process // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 1998. -Т. 5, N° 2. — С. 304−305.
Калинкин A.B. Проблема точных решений уравнений Колмогорова для марковских процессов с дискретными состояниями / / Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Естественные науки. 1999, N- 1. -С. 14−24.
Калинкин A.B. О нелинейных уравнениях для специальных классов марковских процессов // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Естественные науки. 1999, №• 2. — С. 59−70.
Демидов С.А., Калинкин A.B., Стрыгина JI.A. Ветвящийся процесс со схемой взаимодействий частиц вида «хищник-жертва» // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 1999. — Т. 6, N° 1. — С. 137−138.
Калинкин A.B. Свойство ветвления для процесса гибели пуассо-новского типа // Теория вероятностей и ее применения. 1999. -Т. 44, №¦ 1. — С. 177−178.
Калинкин A.B. Ветвящийся процесс с взаимодействием частиц // Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. -М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. С. 104.
Калинкин A.B. О работах советских математиков по основаниям физической статистики 30−40-х гг. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 1999. -Т. 6, №- 1. — С. 148−150.
Калинкин A.B. О марковском процессе с кинетической схемой, А + А —> пАу, А —> тА // Научно-методическая конференция, посвященная 35-летию образования факультета «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н. Э. Баумана: Тезисы докладов. М., 1999. -С. 20−21.
Калинкин A.B. Неравновесная статистическая физика и случайные процессы: принцип тождественности частиц // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Естественные науки. 2000, N- 1. — С. 38−48.
Калинкин A.B. Уравнения процесса гибели и размножения и оператор Гельфонда-Леонтьева обобщенной производной // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 2000. — Т. 7, N° 1. — С. 106−107.
Калинкин A.B. Теорема Финетти-Хинчина о симметрии в неравновесной статистической физике // Доклады РАН. 2000. — Т. 370, N- 4. — С. 457−460.
Калинкин A.B. Третье уравнение Колмогорова для ветвящегося процесса с взаимодействием частиц // Доклады РАН. 2000. -Т. 371, №• 2. — С. 159−162.
Калинкин A.B. Метод экспоненциальной производящей функции для случайных блужданий в четверти плоскости // Доклады РАН. 2000. — Т. 375, № 5. — С. 583−587.
Калинкин A.B. Является ли пуассоновский процесс ветвящимся процессом? // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 2000. — Т. 7, N- 2. — С. 355−356.
Kalinkin A.V. Branching property for a Poisson-type death process // J. Math. Sei. (New York) 2000. — V. 99, n. 3. — P. 1261−1266.
Калинкин A.B. Асимптотика вероятности продолжения для одного критического ветвящегося процесса с парными взаимодействиями частиц // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 2000. — Т. 7, N- 2. — С. 493.
Калинкин A.B. Преобразование фазового пространства траекторий для системы взаимодействующих частиц к множеству деревьев // Необратимые процессы в природе и технике: Тезисы докладов Всероссийской конференции. М., 2001. — С. 176.
Калинкин A.B. Точные решения уравнений Колмогорова для критического ветвящегося процесса с двумя комплексами взаимодействия частиц // Успехи математических наук. 2001. — Т. 56, N- 3. -С. 173−174.
Калинкин A.B. Курс теории марковских процессов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. — Т. 8, N- 1. -С. 198−200.
Калинкин A.B. Уравнения марковского процесса, уравнения формальной кинетики и уравнения движения твердого тела около неподвижной точки // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. — Т. 8, №• 1. — С. 200−201.
Kalinkin A.V. Markov’s model of the two-sex population // Dynamics of non-homogeneous systems. Proceedings of ISA RAS (Moscow: Editorial URSS). 2001. — V. 4. — P. 75−81.
Калинкин A.B. О вероятности вырождения ветвящегося процесса с двумя комплексами взаимодействия частиц // Теория вероятностей и ее применения. 2001. — Т. 46, N° 2. — С. 376−381.
Калинкин A.B. Третье уравнение для ветвящегося процесса со схемой взаимодействий 2Ti —71 Ti + 72Т2, 71 = 0,1 // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. — Т. 8, N° 2. -С. 766−767.
Калинкин A.B. Вероятность остановки на границе случайного блуждания в четверти плоскости и ветвящийся процесс с взаимодействием частиц // Теория вероятностей и ее применения. -2002. Т. 47, №¦ 3. — С. 452−474.
Калинкин A.B. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // Успехи математических наук. 2002. — Т. 57, N° 2. — С. 23−84.
Калинкин A.B. Многочлены Чебышева в одной задаче для случайного блуждания в четверти плоскости. // Необратимые процессы в природе и технике: Тезисы докладов второй Всероссийской конференции. М., 2003. — С. 179−180.
Калинкин A.B. Решение уравнений Колмогорова для вероятностной модели бимолекулярной реакции // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2003. — Т. 10, N° 1. — С. 173−174.

Заполнить форму текущей работой