В настоящее времязначительно расширился класс прикладных задач механики? деформируемого твердого тела (МДТТ). В связи с развитием современных технологий возникла потребность. проведения: новых исследований в механике материалов, что в свою очередь связано с. существенными достижениями в технике проведения г экспериментальных исследований. Проблемы механики, возникшие при разработке новых материалов, требуют развития, новых моделей и методов решенияТак, развитие технологии с одной стороны и техники проведения экспериментов с другой привели • ктому, что во многом изменилось понимание характера взаимодействия элементов, ктуры материалов на: различныхктурных уровнях. Возможность учета физических явлений в материалах на разных масштабных, уровнях привели к дальнейшему развитию методов исследования в механике материалов. Рядом несомненных перспектив обладают методы прямого численного моделирования материалов, связанные: с учетом реальнойктуры материаловна атомно-молекулярном I уровне. Тем: не: менее, методы, МДТТ, основанныена развитии: новых континуальных и континуально-дискретных моделях являются * формально болееобоснованными. В частности," они лежат в основе современной механики материалов. Поэтому весьма актуальными остаются < проблемы, связанные с развитием, именно методов решения прикладных задач МДТТ, с возможностью их применения в сложных моделях: механики материалов.
Внедрение нового поколения конструкционных материалов позволяет решать проблемы совершенствования: конструкций, увеличения: сроков их службы и снижения материалоемкости, однако, это требует дальнейшего развития методов решения < прикладных задач и расчетных моделей, учитывающих особенности* деформирования* материалов. Механика материалов' связана с определением? моделей деформирования? материалов и построением соответствующих математических моделей (формулировкой краевых задач), в то время как: конкретные свои свойства материалов проявляются в элементах конструкций. Поэтому класс задач, связанных с. развитием уточненных моделей деформирования конструктивных элементов и численно-аналитических методов исследования их поведения при различных условиях нагружения, также представляется актуальным.
Наилучшими (в смысле энергетической постановкизадачи) для решения прикладных проблем МДТТ являютсявариационные подходы к моделированию, вариационные методы выделения частных моделей и прямые методы решения, основанные на вариационных постановках задач. Такие подходы обеспечивают корректность и энергетическую согласованность моделей. Вариационные подходы являются идеальным средством построения моделей сред со сложными свойствами[52], и могут быть использованы как основа для получения корректных вариантов моделей деформирования конструкций, получения критериев корректностии согласованности (например, при использовании уточненных моделей стержней, пластин и оболочек). Наконец, вариационные методы исследования дают мощные средства для построения решений прикладных задач (прямые методы решения).
Отметим, что с точки зрения прикладных задач имеет место два взаимно дополняющих, подхода: разработка методов получения, наиболее точных аналитических и численных решений задач теории упругости ортотропного тела для широкого класса краевых задач-: разработка алгоритмов получения приближенных, частных решений, являющихся основой для проведения качественного анализа деформирования материалов и конструкций. Как правило, характер изменения частных решений заранее известен из физических соображенийили из решения в рамках вспомогательных частных моделей (например, можно считать известным для пластин и оболочек характер изменения частных решений: типа краевых эффектов или асимптотик сингулярных решений в задачах механики разрушения). Тогда решение сводится к корректному определению соответствующих амплитудных характеристик. Наилучшей основой для обоих этих подходов является вариационный метод исследования.
Поэтому разработка методов получения на базе вариационных подходов, как численно-аналитических, так и приближенных решений, связанных с частным характером изменяемости: перемещений (решения), представляется! актуальной задачей и имеет значительный практический интерес. Исследованию этих вопросов — посвящена диссертация.
Перейдем к обзору работ, посвященных проблемам, обсуждаемым, в диссертации. Отметим, что при этом не ставится задача дать полное сравнительное. описание. способов построения новых моделей материалов, уточненных моделей деформирования конструктивных элементов, методов построения «аналитических и численных решений задач теории, а также вариационных подходов и методов. Имеются известные подробные обзоры, в монографиях [1, 4, 5, 6, 7, 11, 15, 25, 37,41−43, 47, 48, 59, 61], обзорных статьях [10, 16, 19, 29, 52, 62 и др.].
Принципиальные результаты приразработке, прикладных моделейновых, конструкционных материалов (в том числе композитов), асимптотических итерационных т иных приближенных методов исследования деформаций элементов конструкций получены в первую очередь такими * учеными как: А. В. Бабешко, А. В. Березин, В. А. Бунаков, Г. А. Ванин,-В.В.Васильев, И. И. Ворович,. Р. В. Гольдштейн, Э. И. Григолюк,. Е. М. Зверяев, Н. Ф. Морозов, Ю. М. Новичков, И. Ф. Образцов,. А. Н. Полилов, Б. Е. Победря, ГЛ. Попов, — Н. Н. Рогачева, Ю. Н. Тарнопольский, С. П. Тимошенко и др. Отметим универсальность алгоритма построения уточненных моделей с использованием вариационной постановки[52]. При вариационно-энергетическом ' методе весь процесс моделирования заменяется заданием формы, потенциальной энергии деформации и сводится к определению списка аргументов. По списку аргументов устанавливается конкретная г форма потенциальной энергии. Например, для линейных процессов потенциальная энергия должна записываться как квадратичная форма от аргументов с учетом их тензорной размерности[27]. Следует также особо отметить, что весьма эффективными в этом направлении являлись асимптотические методы [11, 16,20,22,30, 31, 51, 60, 67, 71, 72], методы гипотез в механике композитных стержней, пластин и оболочек [5, 10, 16, 69], итерационные схемы [17, 33, 71, 72] и др.
Основные этапы развития современных аналитических методов механики деформируемого твердого тела связаны с именами таких известных ученых как: Н. Х. Арутюнян,.
A.Я.Александров, В. М. Александров, В. А. Бабешко, В. В. Болотин, В. В. Васильев, В. В. Власов, И. И. Ворович, Л. А. Галин, Г. А. Гринберг, В. Т. Гринченко, В. М. Даревский, А. И. Каландия, Б. Г. Коренев, Н. Н. Лебедев, А. И. Лурье, Н. Ф. Морозов, К. М. Моссаковский, Н. И. Мусхелишвили, П. Ф. Папкович, Б. Е. Победря, В. К. Прокопов, Г. Я. Попов, В. Л. Рвачев, А. Ф. Улитко, Ю. А. Устинов, Я. С. Уфлянд, К. Ф. Черных, Д. И. Шерман и др.
Широкое развитие получилипрямые методы исследования — прикладных задач теории упругости, основанные на фундаментальных исследованиях И. Г. Бубнова, Б. Г. Галёркина, С. К. Годунова, Л. В. Канторовича, М. В. Келдыша, Н. М. Крылова, С. Г. Михлина, В. Ритца, С. Л. Соболева, Е.Трефтца.
В настоящей работе в рамках вариационной процедуры развивается способ построения приближенных решений, в форме разложений по специальной системе тригонометрических функций. Поэтому кратко остановимся на: методах получения решений прикладных задач теории упругости с помощью разложений по заданной системе функций;
Один из распространенных подходов в развитии методов решения двумерных задач теории упругости связан с представлением решения с помощью разложенияв тригонометрические ряды Фурье. При исследовании краевых задач с неперекрестными граничными условиями решение, как правило, сводится к определению искомых коэффициентов в разложениях из бесконечной системы алгебраических линейных уравнений. Важные результаты в разработке этих методов получены Б. Л. Абрамяном, Н. Х. Арутюняном,.
B.Т.Гринченко и А. Ф. Улитко, Г. Я. Поповым, В. М. Даревским и другими учеными, в работах которых не только строятся эффективные приближенные решения, но и. исследуются полученные бесконечные системы алгебраических уравнений, оценивается, сходимость к точному решению. Для построения? эффективных методов решений существенным представляется выделение сингулярных составляющих решений в окрестности особых угловых точек области в частное решение. Построению сингулярных решений в математическом плане посвящены фундаментальные исследования A.B.Кондратьева, О. А. Олейник, В. Г. Мазьи, Б. А. Пламеневского, а в приложении к. задачам механики В. Т. Гринченко, А. И. Каландия,.
C.Е.Михайлова, Н. Ф. Морозова, С. А. Назарова, Г. П. Черепанова и др. Существенный прогресс в совершенствовании методов решения двумерных задач теории упругости вызван развитием метода однородных решений и его модификацийВ трудах В .М. Александрова, ИИ. Воровича, Г. А. Гринберга, А. И. Лурье, Б. М. Нуллера, П. Ф. Папковича, В. К. Прокопова и др., посвященных развитию этого подхода в задачах МДТТ, получены новые фундаментальные результаты. Большое распространение. получили методы,. использующие идею разделения1 переменных, в частности, решения Файлона и Рибьера плоской задачи теории упругости и Навье и Леви задач теории изгиба пластин, в которых искомые функции представляются в виде рядов Фурье по тригонометрическим функциям [2, 16, 28, 43−47, 55, 61 и др.]. Интегральный аналог тригонометрических рядов — интегральное преобразование Фурье используется для построения точного решения плоской задачитеории упругости для бесконечной полосы, причем, на бесконечные граничные условия выполняются интегрально, в смысле Сен-Венана [51].
Представление решения в виде одинарных тригонометрических рядов соответствует использованию ортогональных однородных решений. В общем случае ортогональные однородные решения * позволяют построить — точные решения • только тогда, когда на > двух противоположных границах области заданы перекрестные граничные условия, при которых одновременно задаются, например, нормальные составляющие внешних усилий и касательные составляющие перемещений. Ряд работ, в которых ортогональные однородные функции используются для получения замкнутых и приближенных решений прикладных задач отмечен в обзоре [16]. Следует отметить, что интенсивное развитие методов. решения задач теории упругости! во многом связано с практической потребностью решать сложные задачи смешанного типа. Последним посвящены книги и обзоры [1, 11, 19, 22, 39, 47]. Ряд интересных схем решений краевых задач теории упругости можно найти в работах [1,4, 8, 10, 11, 17, 20, 22, 30,31,54,59,69,71,72].
Новый этап в¡-. развитииметодов < решения задач теории. упругости > для канонических областей связан с решением проблемыразложения. функций по неортогональным системамоднородных функций. Если использовать терминологию, введенную А. И. Лурье, то отмеченный подход можно отнести г к: методу однородных решений (нетривиальные решения уравнений" теории упругости, удовлетворяющие однородным: граничным условиям на части поверхности упругого тела). В — 1867 году Файлон, используя методы контурного интегрирования, получил разложение полинома в ряд по неортогональным собственным функциям. В дальнейшем метод Файлона нашел применение: в работах А.И.Лурье[26] и был существенно развит В.К.Прокоповым[50]. Однородные функции, не образуя ортогонального семейства, подчиняются, некоторым соотношениям ортогональности. Эти соотношения, являющиеся аналогом формул Фурье, после публикации, работы В.К.Прокопова[50] стали, называться.: условиями обобщеннойортогональности. П.Ф.Папкович[45, 46], получивший условия обобщенной ортогональности, позволяющие в некоторых случаях точно • решить проблему.
ВВЕДЕНИЕ
5 разложений двух различных вещественных функций, неоднократно указывал на фундаментальную роль разложении по системам однородных функций. Метод полимоментов, при' котором граничные условия выполняются не для самих граничных функций, а для их интегральных характеристик, использован в работе А. В. Костарева [19], В. К. Прокопова [50] и других авторов.
Отметим еще одну особенность построения, решения в форме разложения неоднородным решениям (ортогональным или неортогональным). Так как речь идет о построении решенияв- канонических областях с угловыми точками, то при некоторых типах граничных условийна части границ, примыкающих к угловым, точкам, последние* могут стать иррегулярными.1 Тогда напряжения, вычисленные по соответствующим решениям, становятся неограниченными при приближении к особым точкам из области. В общем случае особенность имеет вид: гр 1п гаШ{г, 0), где IV (г, 0) < - регулярная функция.
Однако, от функций, представляемых в виде равномерно сходящихся нарассматриваемых интервалах^ разложенийпо однородным решениям, требуется по крайней 5 мере ограниченное изменение • на этом интервале/ Т. е. так определяются только регулярные составляющие искомого решения. Поэтому при построении этого решения в виде разложения по однородным функциям необходимо предварительно выделить сингулярную составляющую в частное решение.
Отметим, что изучение сингулярных составляющих решений представляет и самостоятельный интерес, потому что такие. решения используются < в: упруго-пластическом анализе работы конструкции и являются основой анализа прочности в механике разрушений* [37−39,59].
Исследованию решений? эллиптических: краевых задач в областях с коническими! точками посвященыработы[22, 30, 31, 37, 38, 59, 60, 63, 64] и другие. Вних выводятся асимптотические представления решений вблизи конических точек. Коэффициенты линейных комбинаций являются функционалами от правых частей исходной краевой задачи, и в теории, упругости носят название: коэффициентов интенсивности. Явные — интегральные: формулы, содержащие специальные решенияоднородной сопряженной задачи, для* коэффициентов в асимптотике решений общих эллиптических краевых задач были изучены в статье В. Г. Мазья и Б. А. Пламеневского[31].
Общий метод построения асимптотических разложений, решений эллиптических краевых задач в областях с малыми локальными возмущениями границы области предложен в книге В. Г. Мазья, СА. Назарова,. Б.А.Пламеневского[30, 31 и др]. В частности, там содержится алгоритм нахождения асимптотики решений линейных для областей с затупленными углами и конусами, малыми отверстиями, узкими щелями и сглаженными ребрами. Следует отметить важный и трудный случай построения асимптотического разложения решения задачи Дирихле для оператора Лапласа в трехмерной области с исключенной тонкой трубкой или полостью, исследованный г в работах М. В. Федорюка [60] и В. Г. Мазья, С. А. Назарова, Б.А.Пламеневского[31].
Особо следует отметить вариационные методы решения краевых задачЗадачи математической < физики, а также теории упругости обычно сводятся — к дифференциальным уравнениямв частных производных, которые далее интегрируются / при соответствующих краевых или начальных условиях.
С практической точки зрения наибольший интерес представляет получение численных точных и приближенных значений искомых величин. Для решения краевых задач достаточно хорошо применимы «прямые методы» решения (по определению С.Л.Соболева[53] «прямыми называютсятакие методы приближенного решениязадачтеории дифференциальных, и интегральных уравнений, которые сводят эти: задачи кконечным: системам алгебраических: уравнений»). Широкое развитие получили исследования прямых методов в прикладных задачах теорииупругости, основанные на фундаментальных, исследованиях И. Г. Бубнова, Б. Г. Галёркина, С. К. Годунова, Л. В .Канторовича, М. В. Келдыша,. Н. М. Крылова, Р. Куранта,-. С. Г. Михлина, В. Ритца, Е.Трефтца. П. Ф. Папковича, С. П. Тимошенко.
В теории ипрактике применения: прямых методов, во многих случаях задачу интегрирования" дифференциального уравнения можно заменить равносильной задачейi об определении — функции, сообщающей — некоторому интегралу наименьшее значение, то есть «вариационной задачей». Так, например, можно свести интегрирование в задаче теории упругости при обычныхстатических краевых условиях, к отысканию — минимума1, энергии упругого тела. Этот наиболееважныйиз вариационных методов известен: втехнической литературе как «энергетический».
К наиболее известным! прямым методам, в которых используется' вариационная* постановка задачи, можно отнести: метод Ритца [68], Бубнова-Галёркина [12], метод Власова-Канторовича [21], вариационно-разностная схема • методасеток,. метод конечных элементов- (метод гибридных конечных элементов, структурный конечных элементов, метод равновесных^ граничных элементов, метод сил, метод перемещений)[54]. Исторический обзор вариационных методов в математической физике сделан, в • частности, С.Г.Михлиным[32], приближенных методов — А.П.Филиным[61].
Вальтер Ритц1 предложил (1908) метод приближённого решения вариационных и тех краевых задач, которые сводятся к вариационным («метод Ритца»).
Пусть задан? функционал F (y (x)) и требуется найти такую функцию-принимающую в точках х0 и л, заданные значения, а = и b = y (je,), на которой.
1 Ритц Вальтер (Ritz Walter) (22.2.1878, Сьон,-7.7.1909, Гёттинген) — немецкий физик и математик. Учился в Цюрихском (1899−1900) и Гётгингенском (1900;02) университетах. Работал в Лейдене, а также в Тюбингене и Гётгингене (с 1908). Теоретическое обоснование метода дано советским математиком Н. М. Крыловым (1918).
ВВЕДЕНИЕ
7 функционал Г (у (х)) будет достигать экстремума. Значения исследуемого на экстремум функционала рассматриваются не на всех допустимых в данной задаче функциях.
00 а лишь на всевозможных линейных комбинациях вида: у"(х) = Дх) с постоянными коэффициентами а, составленных из и первых функций некоторой: выбранной системы Фх (л), <р2 (*),., (р&bdquo- (*),. (от удачного выбора этой системы функций зависит эффективность применения метода к решению конкретных задач). Необходимым условием выбора системы функций5 <�рх{х) является требование, чтобы функции уя (л-) удовлетворяли условиям уп (х0) = аи уп (х1)-Ь для всех значений параметров а,. При таком выборе функцийул (-с) функционал ^(^(д:)) превращается в функцию Ф (а1,а2,., ап) коэффициентов а, последние выбирают так, чтобы эта функция" достигала экстремума, т. е. определяют их из системы дФ уравнений: — = 0, (/ = 1,2,., и). да,.
Известно много вариантов, метода Ритца, используемых для приближённого решения вариационных и краевых задач.
Метод Галёркина2 (Бубнова —Галеркин). Решение краевой задачи представляется в виде линейной комбинации функций, принадлежащих полной системе и удовлетворяющих всем однородным граничным условиям. Коэффициенты в этой комбинации находятся из условия ортогональности в области результата подстановки указанной выше комбинации в левую часть дифференциального уравнения (уравнение представлено в форме, при которой в правой части имеется нуль — свободный член перенесен в левую часть) с каждой из функций системы, использованной в комбинации: .
Метод Треффтца. Искомое решение краевой задачи представляется в виде линейной комбинациифункций, принадлежащих полной системе и удовлетворяющих однородному дифференциальному уравнению. Коэффициенты в этой комбинации находятся из условия ортогональности на границе области результатов подстановки указанной выше комбинации в левую часть граничных условий (граничные условия представлены в форме, при которой в правой части имеется нуль—-свободный член перенесен в левую часть) с каждой из функций системы, использованной в комбинации. Таким путем получается приближенное решение, сколь угодно (при достаточно большом п) близкое к действительному.
2 Метод получил распространение после исследований Б. Г. Галёркина (1915) — ранее (1913) он применялся для решения конкретных задач теории упругости И. Г. Бубнова, в связи с чем иногда именуется методом БубноваГалёркина. Теоретическое обоснование метода принадлежит М. В. Келдышу (1942).
Метод Канторовича3 позволяет привести краевую задачу для дифференциального уравнения с частными производными к краевой задаче для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Отличие метода Канторовича от методов Ритца и Бубнова—Галеркина состоит в, том, что в последних произвол, за счет которого обеспечивается возможность используемое разложение считать решением, представлен числовыми коэффициентами в разложениях. Эти коэффициенты находятся из некоторых алгебраических уравнений. В методе же Канторовича произвол представлен функциями, отыскиваемыми из некоторых дифференциальных уравнений. В методе Канторовича априорная часть решения меньше, чем в методах Ритца или Бубнова—Галеркина. Сходство идей вариантов метода Канторовича с идеями методов Ритца и Бубнова — Галеркина послужило: основанием для некоторых авторов считать метод Канторовича модификацией указанных методов.
В работах К. Фридрихса (Friedrichs К.) и Р. Куранта (Courant R.) «энергетический метод» и проблема его обоснования получили дальнейшее развитие. Эти авторы изучали вариационные задачи, отвечающие уравнениям более общего видаизучение сходимости приближенных решений по Ритцу они заменили изучением более общей проблемы сходимости «минимизирующей последовательности». Многие результаты работ перечисленных ученых изложены в книге Р. Куранта и Д. Гильберта [23].
Пример прямого применения метода Ритца для получения, численных решений — метод конечных элементов4.
Проблемы оценки погрешностей приближенных методов, основанных на минимизации функционалов в методе Ритца, вопросы выбора минимизирующих последовательностей, оценки сходимости к решению уравнения и естественным граничным условиям в соответствии с теоремой о минимуме функционала полно и последовательно освещены в монографиях С.Г.Михлина[32−36].
В — настоящей работе изучаются вопросы использования вариационного подхода к проблемам построения приближенных решенийкраевых задач, формулировке прикладных частных моделей и решению некоторых прикладных задач механики твердого деформируемого тела.
3 Канторович Л. В. Об одном прямом методу решения задачи о минимуме двойного интеграла. Изв. АН СССР, 1933, № 5.
4 Еременко С. Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. — X. Изд-во Основа при Харьк. Унте, 1991.-272 с.
В диссертации последовательно рассмотрены следующие вопросы:
В первой главе на основе вариационной постановки краевых задач механики твердого деформируемого тела в перемещениях исследуется вопрос о возможности представления решения в виде ортогональных кинематических подпространств.
Во второй главе исследуется минимизирующая система функций, позволяющих обеспечивать приближенное выполнение разрешающих уравнений и естественных граничных условий в рамках вариационной процедуры.
В третьей главе на основе метода ортогонализации кинематических состояний предлагается алгоритм построения приближенных решений ряда прикладных задач механики деформируемого твердого тела, механики разрушения.
Основные результаты, полученные в диссертации, можно сформулировать следующим образом:
1. Предложен общий алгоритм построения ортогональных кинематических состояний в энергетической норме для вариационных постановок, соответствующих моделям различной сложности.
2. Построены и исследованы свойства минимизирующих последовательностей, позволяющех выполнить в среднем естественные граничные условия при минимизации функционала.
3. Предложен алгоритм построения аналитических решений в канонических областях с заданной точностью для моделей общего вида. В качестве примера приводится решение обобщенной бигармонической краевой задачи в прямоугольной области со статическими граничными условиями.
4. На основе ортогональных разложений кинематических состояний предложен алгоритм приближенного вычисления эффективных жесткостей.
5. Предложен алгоритм редукции исходной многомодульной модели среды к последовательности более простых моделей. При этом возможно понижение порядка вспомогательных задач.
6. Для тел с конечным числом трещин предложен алгоритм определения коэффициентов интенсивности напряжения, основанный на выделении ортогональных кинематических сингулярных состояний.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
1. Для моделей достаточно общего вида развита вариационная схема разложения решения на ортогональные подпространства, одно из которых определяется линейной оболочкой заданной конечной линейно-независимой системой функцийПроцедура разложения основана на требовании отсутствия перекрестных членов в выражении' потенциальной энергии.
2. Показано, что для заданной, конечной системы кинематических состояний (системы вектор-функций) всегда существует такая их линейная комбинация, что имеет место указанная ортогонализация, и энергия деформации представима в аддитивной форме.
3. Указана структура кинематических состояний в подпространстве, ортогональном" подпространству линейной оболочки заданных состояний.
4. Показано, что коэффициенты определяющие ортогональное подпространство обеспечивают соответствующие разложения и объемных и поверхностных распределенных нагрузок.
5. Изучена последовательность минимизирующих функций, позволяющих в процессе минимизации функционала Лагранжа приближенно удовлетворить разрешающему уравнению и естественным (статическим) граничным условиям. В качестве такой системыфункций для прямоугольных областей рассматриваются гармонические функции, которые не обращаются в ноль на границах области вместе со своими производными. Эта система функций определяется с точностью до вещественного параметра.
6. Исследованы свойства неортогональной системы функций (обобщенная ортогональность, достаточные условия сходимости разложения функции по этим системам, сходимость минимизирующих последовательностей). Показано, что несмотря на то, что системы функций, составленные из производных этих функций, не ортогональны, коэффициенты Фурье в разложении по этим системам находятся точно.
7. Установлено, что использование гармонических неортогональных систем функций в процедуре минимизации функционала Лагранжа также позволяет точно найти' коэффициенты разложения искомого решения в ряды по: этим системам функций через интегральное преобразование Фурье.
8. Предложен приближенный способ вычисления коэффициентов в виде простых алгебраических выражений (в явном виде для любого члена ряда). Для тестовой-гармонической задачи исследуется численная сходимость решения-к граничным условиям, дается численная оценка погрешности в зависимости от параметра, определяющего заданную систему функций.
Приводятся примеры использования процедуры ортогонализации кинематических состояний для приближенного решения некоторых прикладных задач.
9. Предлагается алгоритм построения последовательности приближенных решений, в котором решение каждого последующего приближения ищется из подпространства ошибок предыдущего приближения. Особенности алгоритма заключаются в том, что коэффициенты в разложении искомого решения на каждом шаге приближения находятся по одним и тем же: формулам. Корректируются лишь выражения: работы внешних сил. с учетом: решения предыдущего приближения. Показано, что в случае канонических областей может быть реализовано сжимающее отображение.
10. Предложен алгоритм приближенного определения эффективных жесткостей. При этом амплитудный коэффициент, при> исследуемом векторе перемещениятрактуется как податливость, соответствующая выбранному перемещению. Привычислении эффективной' жесткости (податливости) на каждом шаге приближения используется> алгоритм уточненияпотенциальной энергии деформации. На примере показано, что уже в первом приближениипредложенный алгоритм дает результат, хорошо приближающий точное решение. Первое приближение дает погрешность, непревышающую 7%, второе — 4%.
И. Предложен алгоритм построения частных решений, связанных с заданной" изменяемостью кинематических состояний с использованием ¦ процедуры ортогонализации. При этом вариационная процедура позволяет корректно определить граничные условия для частных моделей, для — которых разрешающийоператор имеет порядок. меньше, чем в. исходной, общей задаче. Алгоритм позволяет отыскивать частные решения для многомодульных сред.
12. Предложен метод приближенного: определения коэффициентов интенсивности1 напряжений в задачах механики разрушения, основанный на представлении решения в форме прямой суммы ортогональных кинематических подпространств, включающих, соответственно, сингулярную и регулярную составляющую * решения. Метод позволяет приближенно определить коэффициент интенсивности для конечного тела с конечным? числом трещин (конечного числа особенностей). Для этого достаточно знать асимптотики сингулярных решений в окрестности особенностей.
13. Получены приближенные формулы для? определения коэффициентов интенсивности для гармонической" и: бигармонической задач5 механики разрушения? (с гармоническим и бигармоническим оператором). Напримерах показано, что полученное приближенное решение хорошо согласуется с имеющимися в литературе решениями.
