Некоторые вопросы распространения нестационарных возмущений в линейных вязкоупругих материалах

• Развитие современной техники вызвало широкое применение полимерных, композитных и других материалов с ярко выраженными реологическими свойствами. Изучение физико-механических свойств этих материалов и анализ их применения в промышленных сооружениях, машиностроении, строительство и т. д. показали необходимость использования в расчетах на прочность соответствующих конструкций методов теории вязкоупругости, основы которого заложены еще в классических трудах Больцмана и Вольтерра. Интенсивное развитие теории вязкоупругости началось с шестидесятых годов. В разработку этой теории большой вклад внесли советские ученые А. А. Ильюшин, А. Ю. Ишлинский, М. А. Колтунов, А. К. Молмейстер, В. В. Москвитин, П. М. Огибалов, Б. Е. Победря, Ю. Е. Работнов, А. Р. Ржаницын, М. И. Розовский, Г. Н. Савин и многие другие, а также зарубежные ученые Ахенбах, Бленд, Колеман, Крис-тенсен, Ферри и др.

Параллельно с созданием строгой математической теории вязкоупругости развивались и методы решения конкретных прикладных задач, в том числе динамических, которые ставят своей целью ответить на вопросы, возникающие в практике в условиях динамических нагружений. Отметим, что в развитии динамических задач механики деформируемых твердых тел существенный вклад внесли советские ученые Д. Г. Агаларов, В. М. Бабич, В. В. Болотин, А. С. Вольмир, И. И. Ворович, Л. А. Галин, А. Л. Гольденвейзер, А. Г. Горшков, Э. И. Григолюк, А. Н. Гузь, Н. В. Зволинский, А. А. Ильюшин, А. Ю. Ишлинский, К. А. Керимов, И. А. Кийко, М. А. Колтунов, В. С. Ленский, С. И. Мешков, У. К. Нигул, Л. В. Никитин, В. В. Новожилов, П.М.

Огибалов, Г. И. Петрашень, И. М. Рабинович, Ю. Н. Работнов, Х. А. Рахматулин, А. Р. Рэканицын, П. Ф. Сабодаш, А. Я. Сагомонян, Л. И. Слепян, В. И. Смирнов, С Д. Соболев, В. В. Соколовский, В. П. Тамун, Л. А. Толоконников, И. Е. Трояновский, И. Г. Филиппов, Г. С. Шапиро, Е. И. Шемякин, Д. И. Шерман и многие другие.

Среди динамических задач вязкоупругости следует выделить задачи о колебаниях вязкоупругих систем и нестационарных волновых задач. При решении задач колебании вязкоупругих элементов конструкций в работах [19,20,27,37,38,42,66] был применен известный метод усреднения, который получил дальнейшее развитие в трудах [66,67] .

Особенно сложными являются нестационарные динамические задачи вязкоупругости, которые имеют важные практические приложения во многих областях современной техники, технологии, в строительстве и т. п., где широко используются полимерные, композитные и различные конструкционные материалы, подвергающиеся в процессе эксплуатации импульсивным воздействиям. В начале изучения этих проблем для описания поведения материала принимались простейшие модели Максвелла [37], Фойгта [16,86] и их простые комбинации [ 8,26,48,78,86.]. Но вообще говоря, поведение реальных материалов не может описываться такими простыми моделями, возможно лишь исключение коротких времен и прифронтовых асимптотик, при которых решения, основанные на этих моделях, могут дать хорошие качественные картины действительного волнового поля. Вследствие этого, большинство известных подходов к решению нестационарных динамических задач линейной вязкоупругости ставило своей целью выяснить влияние свойств материала на решение простых задач, предполагая затем качественно распространить полученные данные на более сложные задачи, в которых возможны упругие решения [8,9,29,34,68] .

Позднее, для описания механических свойств материалов в нестационарных динамических задачах вязкоупругости принимались интегральные соотношения Больцмана-Вольтерра с различными конкретными ядрами, которые, несомненно, привели к некоторым математическим трудностям при решении задач. Это обстоятельство привело к развитию численных [б, 54J, приближенных [2,72] и асимптотических методов решения [77,80,87,88], дающих в конечном итоге значения некоторых функций вблизи переднего фронта волны [64,77,84] или при коротких и больших временах после удара [13,14,17,34,45,61,62], а также различные аппроксимации [2,12,32,33,52,56]. В таких постановках задачи существуют также некоторые приближения, связанные с выбором ядер интегральных операторов [1,7,15,36,46,59,60,63,74,75] .

Анализируя проблему распространения нестационарных волн в линейных вязкоупругих материалах, наталкиваемся с двумя довольно различными задачами. Первая состоит в описании дифференциального уравнения движения, выбора уравнении состояния и определения начальных и краевых условий, а вторая, обычно более трудная, в решении задачи. Эта проблема давно интересовала ученых и отражалась во многих трудах [2,9,26,29,37,65,68,76, 78,86]. Здесь имеются многочисленные подходы, которые ставят своей целью получение решений краевых задач о распространении нестационарных волн наиболее эффективным и наименее трудоемким способом. В число этих методов входят метод интегральных преобразований, метод разделения переменных, метод интегральных уравнений, метод характеристик, лучевые, а также численные методы. Наиболее эффективным среди них оказались методы интегральных преобразований Лапласа, Фурье, Меллина, Ханкеля и их комбинации.

Однако, методы интегральных преобразований неразрывно связаны со сложными задачами обратного преобразования, которые в случае более реальных соотношений между напряжением и деформацией неизбежно приводят к необходимости большого числа разрезов по ветвям в процессе контурного интегрирования, В целом, процедура контурного интегрирования быстро становится непрактичной из-за больших математических трудностей. Этот факт и является причиной того, что многие практические интересные задачи не были исследованы до последних времен.

В работах [27,68,70,7I, 73j при решении нестационарных динамических задач для различных конструкций аналитический вид ядер релаксации не задается. При этом в [27] решения строятся с помощью некоторых приближенных методов, которые приводят окончательное решение к решению интегро-дифференциальных уравнений свободных и вынужденных колебаний вязкоупругих систем, реализуемые методом усреднения или замораживания [19,20,39, 42,44,66,67], а в работах [68,70,71,73]- методом продолжений.

В последних работах считается, что воздействие реализуется в течении конечного отрезка времени, причем концы отрезка подчиняются некоторым условиям. Продолжая функции импульса периодически с некоторым периодом, связанным с длиной отрезка, решения ищутся в виде ряда Фурье по времени, а влияния начальных условий не учитываются.

В последние годы в работах [21,22,23,24,25,31,40,4l] созданы новые методы решения нестационарных краевых задач однородной и неоднородной анизотропной линейной вязкоупругой среды при произвольных (кроме естественных ограничений) наследственных ядрах, поставлены и решены аналогичные задачи при непостоянных (ядра объемной и сдвиговой релаксации не пропорциональны) значениях коэффициента Пуассона. Тем самым открывались возможности для глубокого исследования практически и теоретически важных задач с учетом более реальных физико-механических свойств изучаемых объектов, которые возникают как в самих материалах, так и окружающих, в местах их эксплуатации.

Вместе с тем, представляет интерес сделать глубокий анализ распространения нестационарных волн в линейных вязкоупру-гих материалах при малой вязкости, построить более точные решения интегро-дифференциального уравнения колебания вязкоупру-гих систем и с их помощью получить решения нестационарных волновых задач, получить конкретные решения для наиболее распространенных ядер с указанными методами и традиционным методом контурного интеграла, исследовать влияние различных граничных и начальных условий, неоднородности материалов, слоистость конструкций и т. д. на волновое поле. Частичному решению этих проблем посвящена диссертационная работа.

Работа состоит из трех глав.

В первой главе рассматриваются одномерные задачи о распространении нестационарных волн в вязкоупругих стержнях полубесконечной и конечной длины. Начальные условия нулевые, а на торце (для полубесконечного стержня) задаются напряжения, смещения и скорость смещения в виде единичной функции Хевисайда. В изображениях Лапласа решения всех задач получены в виде экспоненциальной функции с некоторыми коэффициентами. Представляя экспоненциальную функцию в виде интегралов Фурье, показана идентичность знаменателей подинтегральных функций и изображения решения интегро-дифференциального уравнения колебания вязкоупругих систем. Далее, построено решение последнего уравнения в виде ряда и показано, что первый член этого ряда является соответствующим решением интегро-дифференциального уравнения колебания вязкоупругих систем, полученный хорошо известным методом усреднения. Построены первые два члена ряда. Оценено влияние второго члена для слабо сингулярного ядра Ржани-цына с параметрами для материалов полипропилена и стеклопластика КАСТ-В. Получен фундаментальный результат о том, что при низких частотах влияние последующих членов незначительно и они возрастают с увеличением частоты. При значениях частоты, равных сто, амплитуда второго члена ряда при некоторых значениях времени составляет 20−25 $ амплитуды первого члена, причем амплитуды всех членов ряда с течением времени уменьшаются по экспоненциальному закону, а фазы сдвинуты.

Во второй главе диссертации исследуются распространения нестационарных волн сдвига в тонких одно и двухслойных цилиндрах с нагрузками, заданными по некоторым участкам боковых поверхностей и динамическое кручение полого толстостенного цилиндра с некоторыми возмущениями, заданными на торце. Отметим, что аналогичные задачи для сплошных и полых цилиндров из упругих и линейных вязкоупругих материалов с определенными целями исследованы в работах [3,4,22,24,25,30,31,49,55,79,81,82,85] .

Сначало с помощью метода интегральных преобразований Лапласа по времени и косинуса преобразования Фурье по осевой координате определяются точные выражения изображения смещения. Считая оболочку тонкой, получены приближенные выражения изображения смещения и в дальнейшем произведено обращения этих выражений при некоторых граничных условиях. Устремляя длины участка, где задано возмущение, к нулю при условии, что суммарная нагрузка остается конечной и отличной от нуля, получено решение поставленной задачи для тонкой оболочки, находящейся под воздействием сосредоточенной кольцевой нагрузки. Аналогичное решение получено и в том случае, когда оболочка скручивается с двумя сосредоточенными кольцевыми нагрузками, расположенными на некотором расстоянии друг от друга, и когда одна из этих нагрузок остается неподвижной, а другая сообщает оболочке некоторую скорость. Наследственные свойства материала оболочки описывались дробно-экспоненциальным ядром Работнова, моделью стандартного линейного тела, функцией ползучести, представленной так, чтобы охватить материал Максвелла как частный случай и моделью Максвелла.

Аналогичные исследования приведены и для двухслойной цилиндрической оболочки. При этом рассмотрены случаи, когда оба слоя упругие или вязкоупругие и один из слоев упругий, а другой — вязкоупругий.

Последний, третий параграф этой главы посвящен исследованию распространения нестационарных крутильных волн в полом полубесконечном и конечном цилиндрах нагрузками, заданными на торце. Задача решается методами интегральных преобразований Лапласа и разделения переменных. Подробно исследован случай, когда свойство материала цилиндра описывается моделью Максвелла. Несмотря на то, что модель Максвелла плохо описывает свойство реальных материалов при значительных временах, проведен анализ поведения полученных решений при больших значениях времени, когда возмущение на торце меняется по синусоидалъному закону. Получен результат о том, что коэффициент затухания при больших значениях времени сильно зависит от частоты торцевых нагрузок.

В третьей главе диссертации исследуется распространение нестационарных волн сдвига в неоднородных вязкоупругих полупространствах, находящихся под воздействием импульсивных антиплоских касательных нагрузок. Сначало рассмотрен случай, когда функция релаксации не зависит от координаты, а плотность является функцией радиальной координаты. В цилиндрической системе координат задача решена с применением интегральных преобразований Лапласа по времени и Меллина по радиальной координате. Обращение полученных выражений осуществлено сначало для упругого материала, а затем с использованием обобщенной теоремы умножения Эфроса построены соответствующие решения для линейного вязкоупругого полупространства. Отметим, что аналогичное решение для упругого полупространства получено в работе [53].

Во втором параграфе этой главы аналогичная задача решена для вязкоупругого полупространства, когда и плотность и функция релаксации зависят от глубины. Задача решена методами интегральных преобразований Лапласа и Фурье, обратные преобразования для упругого полупространства вычислены методом, развитым в работе [64], а для вязкоупругого полупространства — с помощью обобщенной теоремы умножения Эфроса. Определены выражения смещения на фронтах волны, как в случае полупространства, так и в случае слоя.

В заключение выражаю глубокую благодарность своим научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору И. А. Кийко и кандидату физико-математических наук, старшему научному сотруднику М. Х. Ильясову за постановку задачи и постоянное внимание при выполнении диссертационной работы.

Выводы.

Методами интегральных преобразований Лапласа, Меллина и Фурье решены задачи о распространении нестационарных волн сдвига в неоднородных вязкоупругих полупространствах. Рассмотрены случаи, когда функция релаксации не зависит от координаты, а плотность обратно пропорциональна квадрату радиальной координаты и когда функция релаксации и плотность зависят от глубины полупространства. Определены смещения на фронте волны и построены графики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. Построены решения нестационарных краевых задач о распространении возмущений в линейных вязкоупругих материалах при малой вязкостиполучены решения для некоторых конкретных ядер.

Методом интегрального преобразования Лапласа построено в виде ряда решение интегро-дифференциального уравнения колебания линейных вязкоупругих систем. Показано, что первый член этого ряда является решением указанного уравнения, полученного известным методом усреднения, а последующие члены дают уточнение этого решения.

Численными расчетами показано, что при низких частотах влияния последующих членов ряда незначительны, а с увеличением частоты они возрастают.

2. Исследованы распространения нестационарных волн кручения в тонких однослойных и двухслойных цилиндрах с нагрузками, заданными на некоторых участках боковых поверхностейполучены решения в случае сосредоточенных кольцевых нагрузок. При этом для описания вязкоупругих свойств материалов применялось дробно-экспоненциальное ядро Работнова, модель стандартного линейного тела, модель Максвелла и функция ползучести, представленная так, чтобы охватить модель Максвелла как частный случай. Исследовано распространение нестационарных волн кручения в толстостенном полом вязкоупру-гом цилиндре полубесконечной и конечной длины. Подробно рассмотрен случай, когда свойство материала цилиндра описывается моделью Максвелла. Показано, что при больших значениях времени коэффициент затухания сильно зависит от частоты торцевых нагрузок.

3. Исследовано влияние вязкости и неоднородности материалов на распространение нестационарных волн сдвига в полупространствах, находящихся под действием импульсивных антиплоских касательных нагрузок.

Рассмотрены случаи, когда функция релаксации не зависит от координаты, а плотность обратно пропорциональна квадрату радиальной координаты и когда оба эти функции зависят от координаты, направленной вглубь полупространства. Здесь существенно то, что функция релаксации представлена в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от времени, а другая — от координаты. Определены выражения смещения на фронтах волны и при малых значениях времени.