Краевые задачи с нелокальным условием для уравнений смешанного типа в прямоугольной области

В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Повышенный интерес к этим классам уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в безмоментной теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Исследования последних лет также показали, что такие уравнения являются основой при моделировании биологических процессов.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми [65] и С. Геллерстедта [77]. В дальнейшем основы теории уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф. И. Франкля, A.B. Бицадзе, К. И. Бабенко, С. Агмона, J1. Ниренберга, М. Прот-тера, К. Моравец и многих других авторов. Результаты полученные ими и их последователями приведены в монографиях A.B. Бицадзе [6], [9], JI. Бер-са [5], К. Г. Гудейлея [13], Т. Д. Джураева [14], М. М. Смирнова [57], [58], Е. И. Моисеева [35], К. Б. Сабитова [53], М. С. Салахитдинова [54].

Среди краевых задач особое место занимают нелокальные задачи. Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф. И. Франкля [67], A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [7], В. А. Ильина,.

Е.И. Моисеева [18], [19], Н. И. Ионкина [26], В. И. Жегалова [15]-[17], А.И. Ко-жанова [29], A.M. Нахушева [41], JI.C. Пулькиной [44], [45], O.A. Репина [46], [47], A.JI. Скубачевского [56], А. П. Солдатова [61] и других.

Особо выделим работу A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [7], которая повлекла за собой систематическое изучение нелокальных краевых задач для эллиптических и других типов уравнений.

М.Е. Лернер, O.A. Репин [33] в полуполосе D = {и (х, у) |0 < х < 1, у > 0} изучили задачу: найти функцию и (х, у) со свойствами: и (х, у) G C (D) П CD o{x = 0})ПCD).

Утихх + Uyy = 0, (яг, у) ED, т > -1- и (х, у) ->• 0 при у +оо равномерно по х G [0,1]- и (О, у) — и (1, у) = ipi{у), их (0, у) = <�р2{у), у > 0- и (х, 0) = т (х), 0<х<1, где т (х), ipi (y), Р2(у) — заданные достаточно гладкие функции, причём т (х) ортогональна к системе функций 1, cos (2n + 1)7гж, п = 0,1,2,. .

В другой работе [34] ими исследована аналогичная задача в полуполосе D для уравнения ихх + иуу + (2р/у)иуb2u = 0, b > 0, р е R, (0.1) при условии ipi (y) = 0 и <�р2{у) = 0. В этих работах на основании принципов экстремума доказана единственность. Методом разделения переменных и интегральных преобразований установлена разрешимость рассматриваемой задачи.

Е. И. Моисеев в [36] изучил аналогичную нелокальную краевую задачу в полуполосе D для вырождающегося эллиптического уравнения:

Утихх + иуу = 0, m > -2, u (x, 0) = f (x), 0 О, f{x) е с2+а[о, 1], /(о) = /(1), /'(о) = о в классе функций и (х, у) в C (D) П C2(D) и стремящихся к нулю или ограниченных на бесконечности. Методом спектрального анализа доказано единственность и существование решения. При этом решение задачи построено в виде суммы биортогонального ряда. В другой работе [37] эти результаты перенесены на уравнения утихх + иуу — Ь2ути = 0, Ъ = const >0, т > 0, и (0.1).

В работе Сабитова К. Б. и Сидоренко О. Г. [49] решена следующая нелокальная задача: найти в области D = {(я, г/)|0 < х < 1,0 < у < Т} функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и{х, у) е C (D) fC1{DJ{x = 0, y>0}J{x = l, y>0})n C2{D) — ymuxx — uyy — b2ymu = 0, (x, у) e Dux{0,y) = ux (l, y), u (0,y) = u (l, y), 0 < у < Tu (x, 0) = t (x), 0 < x < 1- Uy (x, 0) = v (x), 0 < x < 1, где т (х) и v (x) — заданные достаточно гладкие функции. Здесь доказательство единственности и существования решения задачи приводится спектральным методом.

Нахушев A.M. установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области [39].

В работах Сабитова К. Б. [50] — [52] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа sgny • ymuxx + Uyy — b2sgny • ymu = 0, m > 0, b > 0, в прямоугольной области. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и доказана теорема существования решения задачи Дирихле.

Изложенный в работах Е. И. Моисеева, К. Б. Сабитова спектральный метод применен при обосновании корректности постановки нелокальных начальнограничных и граничных задач для различных типов вырождающихся дифференциальных уравнений.

Целью данной работы является доказательство единственности и существования решения краевых задач для вырождающегося уравнения смешанного типа.

Lu ЕЕ К (у)ихх + иуу — b2K (y)u = 0, (0.2) где К (у) = sgny- |y|m, т = const > 0, 6 = const > 0, в прямоугольной области D = {(ж, у)| 0 < х < 1, —а < у < (3}, а,(3 > 0, со следующим нелокальным условием:

0, у) = и (1, у) или их (0, у) = их (1, у), -а<�у<(3, в сочетании с другими локальными граничными данными, методом спектрального анализа.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул.

В главе 1 исследуются нелокальные начально-граничные и граничные задачи для вырождающегося уравнения гиперболического типа. Методом спектрального анализа доказаны теоремы единственности и существования решений задач.

Рассмотрим вырождающееся уравнение гиперболического типа.

Lu = утихх — иуу — Ь2ути = 0, (0.3) т = const > 0, b = const > О, в прямоугольной области Q = {(х, у) 0 < х < 1, 0 < у < Т}. Для уравнения (0.3) в области Q поставлены и решены следующие нелокальные задачи.

Задача 1.1. Найти в области Q функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: у) е C{Q) П CQU{x = 0} U {х = 1}) П C2(Q) — (0.4).

Lu = 0, (х, у) eQ] (0.5) и (х, 0) = т (х), иу (х, 0) = v (x), 0 < х < 1- (0.6).

0, у) = и{ 1, у), их{0, у) = 0, у > 0, (0.7) где t (x), v (x) — заданные достаточно гладкие функции, причём т (0) = т (1), т'{ 0) = 0.

Задача 1.2. Найти в области Q функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (0.4) — (0.6) и.

0, У) = их{ 1, у), и{1, у) = 0, у > 0, (0.8) где т (ж), и (х) — заданные достаточно гладкие функции, причём т'{0) = r'(1), т (1) = 0.

Задача 1.3. Найти в области Q функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (0.4), (0.5) и и (х, 0) = т{х), и (х, Т) = ф (х), 0 < х < 1- (0.9).

0, у) = и{ 1, y) t tix (0, у) = 0, 0 < у < Т, (0.10) где т (х), ф (х) — заданные достаточно гладкие функции, причём т (0) = г (1), т'(0) = 0, ф (0) = ^(1), ^'(0) = 0.

Задача 1.4. Найти в области Q функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (0.4), (0.5), (0.9) и.

0,у) = |х,(1,у),"(1,у) = 0, 0 <�у<�Т, (0.11) где т (х), ф (х) — заданные достаточно гладкие функции, причём т'(0) = г'(1), г (1) = 0, ^(0) = ФЫ = 0.

При решении задач 1.1 — 1.4 применяются системы корневых функций одномерной задачи для уравнения.

Х" (х) + XX{х) = 0, 0 < х < 1, с соответствующими граничными условиями.

Х (0) = Х{1), Х'(0) = 0 и Х'(0) = Х'(1), Х (1) = 0: совртгп*)}"!, 1, {xsin^Tmz)}^- (0.12).

4(1 — х) cos (27ггг.яг)}^1, 2(1-z), {4sin (2жпх)}&trade-=1, (0.13) которые построены в работах [24], [25]. Они являются биортонормированными системами, полны и образуют базис Рисса в пространстве 1).

Используя системы (0.12) и (0.13), решение задачи (0.4) — (0.7) построено в виде суммы биортогонального ряда.

СЮ 00 и (х, у) = щ{у) + УЛип (у) cos (27Trix) + y^ vn (y)xsm (2irnx), (0.14) п=1 n=1 где функции uo (y), un (y), vn (y) определены соответственно по формулам: («о^о + 7р~ ctg ?-)J±{poyq)y/y — ^-Y±(p0yq)^y, Ьф 0, щ (у) = ^ 2Яао 24 2Яао 24 оУ + то, 6 = 0,.

0.15).

Un (y) = K^ln + +.

0.16).

Vn (y) = К^П + ^ctg^)J±{pnyq)y/y — ^Y±(Pnyq)s/y, (0.17) где an = Pn = y/b2 + (2тгn)2/q, J±.{z) и Yi{z) — функции Бесселя I и II рода порядка v = ^ > 0 соответственно, q = (т + 2)/2, w-(y) = -^y2q+4anJ^nyq)-bnYlq (Pnyq)}[ 2^(рпуО)Уфпу*).

-^(РпуОЩ-гМ ~ (РПУ<1)У±+1{РПУ (1)}-ТЬпУ2д+ЧгиРпУ") — У^РПУ^У^РпУ^ШРПУ^.

2 о *Я ¿-Я *Я пУ2д+Щ (РпУч) — ^я+1(РпУ^-1(РпУя)]УфпУд)+.

ТТТ1 7 Г 7Г Т1 ап + 2 — 6П] Л. {рпуч)у/у — -у-о ЪпУЛрпУ^у/у,.

7ГГП 7 Г 7ГТ, п = С^п^п + о-Ctg —, Ьп = п тп, г/п — коэффициенты разложения функций т (ж) и г/(ж) по системе {4 з1п (27гпж)} го, ио — коэффициенты разложения функций т (х) и и (х) по системе {2(1 — х)}, тп, Уы ~ коэффициенты разложения функций т (х) и у{х) по системе {4(1 — х) соз (27гпж)}.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 0.1. Если существует решение задачи (0.4) — (0.7), то оно единственно.

При доказательстве этого утверждения используется полнота системы функций (0.13) в пространстве ^[0,1].

Теорема 0.2. Если т (ж), ф) е С3[0,1] и т (0) = т (1), 1/(0) = 1/(1), т'(0) = 0, 1/'(0) = 0, т" (0) = т" (1), и" (0) = И (1), то существует решение (0.4) -(0.7) и оно представимо в виде суммы ряда (0.14), где коэффициенты определяются по формулам (0.15) — (0.17).

Аналогично решение нелокальной задачи 1.2 построено в виде суммы биор-тогонального ряда со 00 и (х, у) = 2(1 — х) щ{у) + 4(1 — х) ^ ип (у) соб (27гпх) + 4 ^ ип (у) ът (21гпх),.

П=1 71= 1.

0.18) где функции щ{у), ип (у), уп (у) определены соответственно по формулам (0.15) — (0.17), но тп, ип — коэффициенты разложения функций т (х) и и (х) по системе {Ах 8т{2ттх)}, то, щ — коэффициенты разложения функций т (х) и р{х) по системе {1}, тп, vn — коэффициенты разложения функций т (х) и и (х) по системе {cos (27rn:c)}.

Теорема 0.3. Если существует решение задачи (0.4) — (0.6) и (0.8), то оно единственно.

При доказательстве используется полнота системы функций (0.12) в пространстве ½ [0,1].

Теорема 0.4. Если t (x), v (x) G С3[0,1] и т (0) = r (l), и (0) = z/(l), т'(0) = 0, v) = 0, т" (0) = т" (1), u" (Q) = и" (1), то существует решение задачи (0.4) — (0.6) и (0.8) и оно представило в виде суммы ряда (0.18), где функции щ (у)-,'и'п (у)-,^п (у) определены соответственно по формулам (0.15) — (0.17) с учетом новых значений коэффициентов тп, vn, tq, щ, тп и ь>п.

Решение задачи (0.4), (0.5), (0.9) и (0.10) построено в виде суммы ряда (0.14), где функции щ (у), ип (у), уп (у) определены соответственно по формулам: щ{у).

J±.(p0To)VT)у/у 2qa0 *Т '.

Фо ~ Ч. , п т у + ъо, ь = 0 ,.

0.19).

Un{v) =-Хф^)-^.

Y^f)^, (0.20) q.

2 qan n + S-Yr (pnTo)VT.

2 q.

7ГТ,.

— УЛРпУ'Ш (0.21).

2qan г?

Теорема 0.5. Если существует решение задачи (0.4), (0.5), (0.9) и (0.10), то оно единственно только тогда, когда при всех п.

6 Т (п) = JjL (pnTq) ^ 0 (0.22).

2 q.

Если нарушено условие (0.22) при некотором п = щ и Т = То, то однородная задача 1.3 (где т (х) = ф (х) ~ 0) имеет ненулевое решение у) = соъ (2кпох)у/уЗ±{рПоу (1).

Теорема 0.6. Существуют Т и постоянная Со > 0 такие, что при больших п справедлива оценка.

Ыт/п6Т (п) > С0 > 0. (0.23) п.

Теорема 0.7. Если т{х), ф{х) е С3[0,1], 5т{п) ф 0 при всех п? ./V, г (0) = т (1), ф (0) = ф (1), т'(0) = 0, ^(0) = 0, т" (0) = т" (1), ф" (0) = ф" (1), выполнены условия (0.22) и (0.23), то существует решение задачи (0.4), (0.5), (0.9), (0.10), и оно представимо в виде суммы ряда (0.14), где функции ио{у)^ип (у)^п (у) определены соответственно по формулам (0.19) — (0.21).

Аналогично обосновываются теоремы единственности и существования для задачи (0.4), (0.5), (0.9) и (0.11). Также в первой главе для уравнения колебания струны.

Пи (х, ?) = ииихх = 0 в прямоугольной области ф = {(я,£) | 0 < х <1,0 <? < Т} изучена задача Ильина В. А. об управлении.

Задача 1.5. Найти в замкнутой области <5 функцию и (х, Ь) и соответствующие управления /?(?), и ({), удовлетворяющие следующим условиям: и (х, г) е С (д) п с2(<�Э), пи{х, г) = о, {х, г) е <2- и (х, 0) = <�р (х), щ (х, 0) = ф (х), 0 < х < I] и{х, 1) = ч>(х), щ{х, 1) = ф (х), 0 <х<1, и (= и (1,г) = и (ь), о<�г<�т, где ip (x)^(x), ipi (x),^i (x) — заданные достаточно гладкие функции, причём tp (0) = /х (О), Vi (0) = МП <р (1) = 1/(0), <Р!(1) = и (Т).

Эта задача на управление впервые была решена В. А. Ильиным в классах функций W^iQ) и W${Q). Важными частными случаями задачи 1.5 являются задача о полном успокоении колебательного процесса и задача об отыскании таких граничных управлений /li (t) и u (t), которые для струны, находящейся в начальный момент времени t = 0 в покое, приводят ее в момент времени t = Т к наперед заданному смещению и скорости. Эти задачи рассматривались Ф. П. Васильевым, А. Г. Бутковским как в ситуации граничного управления на двух концах, так и в ситуации, когда управление ведётся только на одном конце, а другой конец закреплён.

В последнем параграфе данной главы выписаны в явном виде решение u (x, t) задачи 1.5 и соответствующие граничные управления? i (t) и v (t) при произвольном Т > 0 и установлены необходимые и достаточные условия принадлежности решения u (x, t) к классам Ck (Q), к = 0,1,2 .

Глава 2 посвящена изучению нелокальных граничных задач для вырождающегося эллиптического уравнения.

Lu = ymuxx + иуу — b2ymu = 0, (0.24) в прямоугольной области Q. Для уравнения (0.24) в области Q исследованы следующие задачи.

Задача 2.1. Найти в области Q функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и{х, у) е C (Q) П CQu{x = 0} U {х = 1}) П С2(£) — (0.25).

Lu = 0, (x, y) eQ- (0.26) и (х, 0) = т (х), и (х, Т) = <�р (х), 0<х<1 (0.27).

О, у) = t*(1, у), их (0, у) = О, 0 < у < Т, (0.28) где т (х), <�р (х) — заданные достаточно гладкие функции, причём т (0) = т (1), т'(0) = 0, ч>(0) = у>(1), <р'(1) = 0.

Задача 2.2. Найти в области Q функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (0.24) — (0.26) и их (0, у) = их{ 1, у), м (1, у) = О, 0 < у < Т, (0.29) где т (х), ip (x) — заданные достаточно гладкие функции, причём т'(0) = т'(1), т (1) = О, у/(0) = у/(1), (1) = 0.

Используя системы (0.12) и (0.13), решение задачи (0.25) — (0.28) построено в виде суммы ряда (0.14), где функции щ (у), ип (у), vn (y) определены соответственно по формулам: (р0-а10тоКфоТ^у/Т о (у) = <

2 i.

Ро — го.

Ь (poT^'VTt^PW^Vy + «10−70K±(p0yq)Vyi b Ф °> у + r0, 6 = 0,.

0.30) щп — w+(T) — alnrlnKj.(PnT^Vf Un{y) =-i,(PnT")VT9.

2 q ainTlnKj (pnyq)y/y + w+{y), (0.31).

2q ipn — alnTnKi (pnT4)Vr Vn{y) =-Ь (p TI) VT-+ ЪпТпКфпУ*)^, (0.32).

2 q где «ю = г7тт (^)% и ~ модифицированные функции Бесселя I и III рода порядка г/ = ½q соответственно,.

ZiTT 71.

У) = —^Л (РгУ) — an/x (pnyq)){y2ql (l+.

Q *Я *Я x+1(p"!,'))[ifx+1(p"!-9) + ^.(wOD.

— 2К1я (рпу*)1фпу1) — 211+фпу")Кг1(рпу1)}+ +^anK^Pnf)y2^{ll (Pnf) — ПЛРпУ^^РпУ4)},.

Q 2 q *Я 2g.

Vn-ai"TnKi{p"T>)y/T «» = 1фпТ*)</г •= аыТп' тп, <Рп — коэффициенты разложения функций т (х) и <�р (х) по системе {4 sin (27rna:) го, (ро — коэффициенты разложения функций т (х) и ip{x) по системе {2(1 — х)}, ты> fin — коэффициенты разложения функций т (х) и <�р (х) по системе {4(1 — х) cos (27rnrc)}.

Теорема 0.8. Если т (х), ip (x) G С3[0,1], т (0) = т (1), у>(0) = т'(0) = О, </?'(0) = 0, т" (0) = т" { 1), ^" (0) = ?>" (1)" т0 существует единственное решение (0.25) — (0.28) и оно представимо в виде суммы ряда (0.14), где функции щ (у), ип (у), vn (y) определены соответственно по формулам (0.30).

0.32).

Решение задачи 2.2 построено в виде суммы ряда (0.18), где функции щ (у), ип (у), vn (y) определены соответственно по формулам (0.30) — (0.32), но тп, <рп коэффициенты разложения функций т{х) и ip (x) по системе {4a-sin (27rnx)}, го, (ро — коэффициенты разложения функций т (х) и ip (x) по системе {1}, тп, (pin — коэффициенты разложения функций т (х) и.

Теорема 0.9. Если т (х), ф) G С3[0,1], т (0) = т (1), (0) = (1), т'(0) = 0, 0) = 0, т" (0) = т" { 1), <р" (0) = у" (1), тпо существует единственное решение (0.25) — (0.27) и (0.29) и оно представимо в виде суммы ряда (0.18), где функции wo (у), ип (у), vn (y) определены соответственно по формулам (0.30).

0.32) с учетом новых значений коэффициентов тп, (рп, то, щ, тп и ipn. В главе 3 установлены критерии единственности и теоремы существования решений нелокальных задач для уравнения смешанного типа (0.2):

Lu = К (у)ихх + иуу — b2K (y)u = 0, где К (у) = sgny • уш, m = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D = {(ж, у) 0 < х < 1, -а < у < j3], а > 0, 0 < /3 < +оо.

Задача 3.1. Найти в области D функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и (х, у) G C (D) nCD U {я = 0} U {я = 1}) Г) C2(D+ U IL) — (0.33).

Lu (x, у) = 0, (х, у) G D+ U IL- (0.34) и (х,(3) = (р (х), и (х, -а) = ф (х), 0 < х < 1- (0.35) и (0,у) = и (1,у), их{0,у) = 0, —а <у<(3, (0.36) где ip (x) и ф (х) — заданные достаточно гладкие функции, причем </?(0) = ^(1)) </>'(0) = 0, ф (0) = ф{ 1), ^(0) = 0, D+ = D п {у > 0}, IL = D П {у < 0}.

Задача 3.2. Найти в области D функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (0.33) — (0.36) их{0,у) = их{1,у), п (1,2/) = 0, -а<�у<(3, (0.37) где <�р (х) и ф (х) — заданные достаточно гладкие функции, причем ip'(0) = <р'(1), <р{ 1) = 0, ф'(0) = ^(1), ^(1) = 0.

Задача 3.3. Найти в области D (где (3 = +ooj ограниченную функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям и (х, у) е C (D) f]C1(DU{x = 0}U{x = 1}) П C2(D+ U IL) — (0.38).

Lu (x, y) = 0, (x, y) eD+ U D- (0.39) u (0,y) = u (l, y), ux (0,y) = 0, —a < x < 1, (0.41) где ф (х) — заданная достаточно гладкая функция, причем ф (0) = ф (1), ^(0) = 0.

Используя системы (0.12) и (0.13), решение задачи (0.33) — (0.36) построено в виде суммы ряда (0.14), где функции щ (у), ип (у), уп (у) определены соответственно по формулам: ^у/ауА0(а, у) + ф0у/руА0(Р, у).

— ет-• г/>0'М0,.

ИоЫ= -у)+ фо^Ао (0,-у) «.

До {<�х>0)у/<�хр

— ф°{у + а) + ф0, 6 = 0,.

Уп{у) = < а + Р <�рПу/ау&п{а, у) + фпу/РуАп (у, (3).

Рпу/-ауВп (а, -у) + фпу/—(ЗуАп (—у, (3).

Ап{а, р)^ф, у/Щ[фы-'шп (а)]Ап (у,(3).

У> о, У<0, ип (у) = < л/^ац/Ьь ~ гу+((3)]Вп{а, -у)™п{у), У< о, где.

А п («, У) = ЫРпа^Кфпу») +.

2д.

2,.

2?

2? 1±(РпРя)Кфпу") — 1фпуЧ) КфпП.

2?

2″.

2″.

0.42).

0.43).

0.44).

Яя (а, -у) = ПЫ-у)9)^(Р""') «Ы-у)9),.

Zq ¿-д ¿-ф ¿-ц.

УфпУя) = 7гШРпу^фпу^))/28т[к/{2д)}, Д0(а, у), А,(у,/?), Д)(а, -у), До (~У, Р) определяются соответственно через Дп (а, у), Ап (у,(3), Вп{а,—у), Дп (—у,/?) при п = 0, фп — коэффициенты разложения функций (р (х) и ^(ж) по системе (48т (27гпж)}, (ро, фо — коэффициенты разложения функций ip (x) и ф (х) по системе {2(1 — ж)}, <�рп, фп — коэффициенты разложения функций <�р (х) и ф (х) по системе {4(1 — х) cos (27rnrc)}.

Теорема 0.10. Если существует решение и (х, у) задачи (0.33) — (0.36), то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех п.

Ап (а,(3) = J г (рпоР)К±.(pnF) + /i (iWJ")Fi (рпа") ф 0. (0.45).

2 g 2 g 2 g 2g.

Если при некоторых а, (3 и п = к нарушено условие (0.45), т. е. Д^а, /?) = 0, то однородная задача (0.33) — (0.36) (где <�р (х) = ф (х) = 0) имеет нетривиальное решение.

J Ak (a, y) cos (27rfor), у > 0, Uk (x, y) = < Ak (-y, P) cos (2nkx), у< 0.

Теорема 0.11. Существуют, а > 0 и постоянная Cq > 0 такие что при всех /3 > 0 и больших п справедлива оценка miy/n5n (a, p) >Со> 0, (0.46) п где.

Kdpn0″).

2g.

Теорема 0.12. Пусть ф) G С3[0,1], ф{х) G С3+т[0,1], < 7 < 1, (0) = tp{ 1), ф (0) = ф (1), <^(0) = 0, ф'(0) = 0, </(0) = <р" (1), ф" {0) = ф" { 1) и выполнены условия (0.45) и (0.46). Тогда задача (0.33) — (0.36) однозначно разрешима и это решение определяется рядом (0.14), где функции щ{у), ип (у), уп (у) определены соответственно по формулам (0.42) — (0.44).

На основании систем (0.12) и (0.13) решение задачи 3.2 построено в виде суммы ряда (0.18), где функции щ (у), ип (у), уп (у) определены соответственно по формулам (0.42) — (0.44), но здесь (рп, фп — коэффициенты разложения функций ip (x) и ф (х) по системе {4xsin (27rna-)}, сро, фо — коэффициенты разложения функций (р (х) и ф{х) по системе {1}, ipin, фп — коэффициенты разложения функций ip (x) и ф (х) по системе {cos (27rna-)}.

Теорема 0.13. Если ф) в С3[0,1], ф (х) 6 С3+7[0,1], < 7 < 1, ^'(0) = у/(1), V'(0) = V>'(1), *>(1) = 0, ф (1) = 0, = </(1), Г (0) = <(1) «выполнены условия (0.45) и (0.46), то существует единственное решение задачи (0.33) — (0.35), (0.37) и оно представимо в виде суммы ряда (0.18), где функции щ (у), ип (у), ип (у) определены соответственно по формулам (0.42) — (0.44) с учётом новых значений коэффициентов <рп, фп, ipо, фо, <ры, Фы.

Решение задачи 3.3 построено в виде суммы биортогонального ряда (0.14), где функции щ (у), ип (у), vn (y) определены соответственно по формулам: fk^Kifoi/iySoia), у > 0,.

Zq.

Му) = Фоу/^Уг.Ы-у)'1)/^), У < о, (°-47).

Фо, -а<�у< 0, b = 0. Щ У №n — w-(a))^Y±.(pn (-y)< 0, х i у> о. S 1 (0.49).

Теорема 0.14. Если существует решение и (х, у) задачи (0.38) — (0.41), то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех п.

5п (а) = Уфп^)ф 0. (0.50).

2 q.

Теорема 0.15. Существуют, а > 0 и постоянная Со > 0 такие, что при больших п справедлива оценка mi^5n (a) >С0>0. (0.51) п.

Теорема 0.16. Пусть ф (х) G С3+7[0,1], < 7 < 1, ф{0) = ф (1), ф'{0) = 0, ф" (0) = ф" (1) и выполнены условия (0.50) и (0.51). Тогда задача (0.38) — (0.41) однозначно разрешима и это решение определяется рядом (0.14), где функции щ{у), ип (у), ип (у) определены соответственно по формулам (0.47) — (0.49)..

Следствие. Построенные решения и (х, у) задач 3.1 — 3.3 принадлежат классу С2(И) и функции и (х, у) всюду в И являются решениями уравнения (0.2). Следовательно, линия изменения типа у = 0 уравнения (0.2) как особая линия устраняется..

На защиту выносятся следующие результаты:.

1) доказательство единственности и существования решений нелокальных начально-граничных задач и нелокальных граничных задач для вырождающегося уравнения гиперболического типа-.

2) найдено в явном виде решение задачи на граничное управление для уравнения струны и установлены необходимые и достаточные условия принадлежности решения к классам Ск (С}), к = 0,1,2-.

3) доказательство единственности и существования решений нелокальных граничных задач для вырождающегося уравнения эллиптического типа-.

4) доказательство единственности и существования решений нелокальных граничных задач для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольнике и в полуполосе, при этом установлен критерий единственности и решение задач построено в виде суммы биортогонального ряда..

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [79] -[86] автора..

1. Бабенко, К.И. К теории уравнений смешанного типа: дисс. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02/ К. И. Бабенко — Москва, 1952..

2. Бабенко, К.И. О принципе максимума для уравнения Эйлера — Трикоми / К. И. Бабенко // Докл. АН СССР. 1985. — Т. 285. — № 4. — С. 777 -782..

3. Бабенко, К.И. О задаче Трикоми / К. И. Бабенко // Докл. АН СССР. -1986. Т. 291. — № 1. — С. 14 — 19..

4. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. -М.: Наука, 1966. Т. 2. 296 с..

5. Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / JI. Берс. -М.: ИЛ, 1961. 208 с..

6. Бицадзе, A.B. Уравнения смешанного типа / A.B. Бицадзе. — М.: Изд—во АН СССР, 1959. 164 с..

7. Бицадзе, A.B. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач / A.B. Бицадзе, A.A. Самарский // Докл. АН СССР. 1969. — Т. 185. -№ 4. — С. 739 — 740..

8. Бицадзе, A.B. К теории нелокальных краевых задач / A.B. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1981. — Т. 277. — № 1. — С. 17 — 19..

9. Бицадзе, A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных / A.B. Бицадзе. М.:Наука, 1981. — 448 с..

10. Ватсон, Г. Н. Теория бесселевых функций.1./ Г. Н. Ватсон. — М.: ИЛ, 1949. 421 с..

11. Гудерлей, К. Г. Теория околозвуковых течений / К. Г. Гудерлей. —М.: ИЛ, 1960. 421 с..

12. Джураев, Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т. Д. Джураев —М.: ИЛ, 1961. — 208 с..

13. Жегалов, В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В. И. Жегалов // Уч. записки Казанск. ун-та — 1962. — Т. 122. кн. 3. С. 3 — 16..

14. Жегалов, В. И. Задача Франкля со смещением / В. И. Жегалов // Изв.Вузов.Математика. 1979. — № 9. — С. И — 20..

15. Жегалов, В. И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В. И. Жегалов // Неклассич. уравнения матем. физики. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1985. С. 168 — 172..

16. Ильин, В. А. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Докл. АН СССР. 1986. — Т. 291, № 3. — С. 534 — 539..

17. Ильин, В. А. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1987. — Т. 23, № 8. — С. 1422 — 1431..

18. Ильин, В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах / В. А. Ильин // ДАН. 1999, Т. 369, № 5. С. 592 596..

19. Ильин, В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени / В. А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1999. — Т. 35, № 11. — С. 1517 — 1534..

20. Ильин, В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщённого решения волнового уравнения с конечной энергией / В. А. Ильин // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 11. С. 1513 — 1528..

21. Ильин, В. А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии / В. А. Ильин // Докл. РАН. 2001, Т. 376, № 3. С. 295 299..

22. Ионкин, И. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н. И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1977. — Т. 13, № 2. — С. 294 — 304..

23. Ионкин, Н. И. Об устойчивости одной задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н. И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1979. — Т. XV, № 7. — С. 1279 — 1283..

24. Ионкин, Н.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями / Н. И. Ионкин, Е. И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1979. — Т. 15, № 7. — С. 1284 — 1295..

25. Калиев, И. А. Математические модели фазовых переходов / И. А. Калиев.- Новосибирск: ИГ СО РАН, 2002. 166 с..

26. Калиев, И. А. Истечение вязкого теплопроводного газа из нецилиндрических убывающих по времени областей / И. А. Калиев, М. С. Подкуйко // Докл. РАН. 2006. — Т. 408, № 2. — С. 165 — 167..

27. Кожанов, А. И. Краевые задачи и свойства решений уравнений третьего порядка / А. И. Кожанов // Дифференц. уравнения. 1989. — Т. 25, № 25. С. 2143 2153..

28. Кожанов, А. И. Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений / А. И. Кожанов, JI.C. Пульки-на // Докл. РАН. 2005. — Т. 404, № 5. — С. 589 — 592..

29. Лебедев, H.H. Специальные функции и их приложения / H.H. Лебедев.- М.: Мир, 1963. 471 с..

30. Лернер, М. Е. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / М. Е. Лернер, O.A. Репин // Сиб. матем. журнал. 1999. — Т. 40. — М. — С. 1260 — 1275..

31. Лернер, М.Е. О задачах типа задачи Франкля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода / М. Е. Лернер, O.A. Репин // Дифференциальные уравнения. 1999. — Т. 35, № 8. — С. 1087 — 1093..

32. Лернер, М. Е. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуполосе для обобщённого осесимметрического уравнения Гельмгольца / М. Е. Лернер, O.A. Репин // Дифференциальные уравнения. — 2001. — Т. 37, № 11. С. 1562 — 1564..

33. Моисеев, Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е. И. Моисеев. М.: МГУ, 1988. — 150 с..

34. Моисеев, Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. — 1999. — Т. 35, Ш. С. 1094 — 1100..

35. Моисеев, Е.И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи / Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. — 2001. — Т. 37, № 11. — С. 1565 1567..

36. Нахушев, A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1969. — Т. 5, № 1. — С. 44 — 59..

37. Нахушев, A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области /A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1970. — Т. 6, № 1. — С. 190 — 191..

38. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев. — М.: Высшая школа, 1995. — 301 с..

39. Нахушева, З. А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных / З. А. Нахушева // Дифференц. уравнения. 1986. — Т. 22, № 1. — С. 171..

40. Нахушева, З. А. Первая и вторая краевые задачи для параболического уравнения второго порядка / З. А. Нахушева // Дифференц. уравнения. -1990. Т. 26, № 11. — С. 1982 — 1992..

41. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев — М.: Наука. — 1983. — 752 с..

42. Пулъкина, Л. С. Смешанная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения / JI.C. Пулькина // Неклассич. уравнения матем. физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. С. 176 — 184..

43. Пулъкина, Л. С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / J1.C. Пулькина // Дифференц. уравнения. -2004. Т. 40, ДО 7. — С. 887 — 892..

44. Репин, O.A. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой — полуполоса / O.A. Репин // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 4. — С. 565 — 567..

45. Репин, O.A. Нелокальная задача A.M. Нахушева для уравнения смешанного типа / O.A. Репин // Вестник СамГТУ. 2001. — № 12. — С. 5 -9..

46. Сабитов, К. Б. Уравнения математической физики / К. Б. Сабитов — М.: Высшая школа, 2003. — 256 с..

47. Сабитов, К. Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области / К. Б. Сабитов // Докл. РАН. 2007. — Т. 413, № 1. — С. 23 — 26..

48. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа / К. Б. Сабитов, Г. Г Биккулова, А. А. Гималтдинова — Уфа.: Гилем, 2006. 150 с..

49. Салахитдипов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа / М.С. Сала-хитдинов. — Ташкент: Фан, 1974. — 156 с..

50. Самарский, А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / А. А. Самарский // Дифференц. уравнения. 1980. — Т. 16, № И. — С. 1925 — 1935..

51. Скубачевский, A.JI. Нелокальные эллиптические задачи с параметром / A.JI. Скубачевский // Матем. сборник. 1983. — Т. 121, № 2. — С. 201 -210..

52. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов. — М.: Наука, 1970. 296 с..

53. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов. — М.: Высшая школа, 1985. 304 с..

54. Соболев, С. JI. Пример корректной краевой задачи для уравнения колебания струны с данными на всей границе / C.JI. Соболев // Докл. АН СССР. 1956. — Т. 109, № 4. — С. 707 — 709..

55. Солдатов, А. П. Об одной задаче теории функций / А. П. Солдатов // Дифференц. уравнения. 1973. — Т. 9, № 2. — С. 325 — 332..

56. Солдатов, А. П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением / А. П. Солдатов // Дифференц. уравнения. 1974. — Т. 10, № 1. С. 143 152..

57. Солдатов, А. П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Би-цадзе. I. Теоремы единственности / А. П. Солдатов // Докл. РАН. 1993. Т. 332, № 6. С. 696 — 698..

58. Солдатов, А. П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе. II. Теорема существования / А. П. Солдатов // Докл. РАН. -1993. Т. 333, № 1. — С. 16 — 18..

59. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, A.A. Самарский. — М.:Наука, 1977. 735 с..

60. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа / Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1947. — 192 с..

61. Франклъ, Ф.И. О задачах Чаплыгина для смешанных дои сверхзвуковых течений / Ф. И. Франкль // Изв. АН СССР. Серия математическая. — 1945. Т. 9. — № 2. — с. 121 — 142..

62. Франкль, Ф. И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф. И. Франкль // ПММ.- 1956. Т. 20. № 2. — с. 196 — 202..

63. Франклъ, Ф. И. Избранные труды по газовой динамике / Ф. И. Франкль.- М.: Наука, 1973. 703 с..

64. Хачев, М. М. Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольнике / М. М. Хачев // Дифференц. уравнения. Минск 1975. — Т. 11, № 1. — С. 151 — 160..

65. Хачев, М. М. Задача Дирихле для одного уравнения смешанного типа / М. М. Хачев // Дифференц. уравнения. Минск 1976. — Т. 12, № 1. — С. 137 — 143..

66. Хачев, М. М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа / М. М. Хачев. — Нальчик. Изд. «Эльбрус». 1998. — 169 с..

67. Фокин, М.В. О задаче Дирихле для уравнения колебания струны / М. В. Фокин. //В кн.: Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. — Новосибирск. — 1981. С. 178 — 182..

68. Шабат, Б. В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа / Б. В. Шабат // Докл. АН СССР. 1957. — Т. 112, № 3. — С. 386 — 389..

69. Cannon, J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient / J.R. Cannon // Ann. Math, pura ed Appl., 1963. V. 62. P. 371 — 377..

70. Dunninger, D. The condition for uniquencess of solution of the Dirichlet problem for the wave equation in coordinate rectangles / D. Dunninger, E. Zachmanoglou // J. Math. Anal, and Appl., 1967. — V. 20. № 1. P. 17 -21..

71. Eutiquio, С. Uniqueness of solutions of the Dirichlet problem for singular ultrahyperbolic equations / C. Eutiquio, F. Young // Proc. of Amer. Math. Soc., 1972. — V. 36. № 1. P. 130 — 146..

72. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineare aux derivees partielles du second order de type mixte: These pour le doctorat. — Uppsala, 1935. 92 p..

73. Young, F. Uniqueness of solutions of the Dirichlet problem for singular ultrahyperbolic equation / F. Young // Proc. of Amer. Math. Soc., 1972. -V. 36. № 1. P. 130 — 136..

74. Сабитова, Ю.К. О граничном управлении на двух концах процессом, описываемом телеграфным уравнением /Ю.К. Сабитова // Труды всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики». СГПА, СФ АН РБ. Уфа: Гилем, 2004. — С. 93 — 103..

75. Сабитова, Ю.К. О гладкости решения задачи граничного управления на двух концах для уравнения струны / Ю. К. Сабитова // Дифференц. уравнения. 2006. — Т. 42, № 1. — С. 132 — 134..

76. Сабитова, Ю.К. О гладкости решения задачи граничного управления на двух концах для уравнения струны за произвольный промежуток времени / Ю. К. Сабитова // Дифференц. уравнения. 2006. — Т. 42, № 8. — С. 1140 — 1142..

77. Сабитова, Ю. К. Нелокальная задача для вырождающегося уравнения смешанного типа / Ю. К. Сабитова // Материалы конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара: «Универс—групп» .2007. С. 101 — 106..