Системы дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных

История вопроса. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производных, называемые также неявными дифференциальными уравнениями (НДУ), известны давно и возникают во многих прикладных задачах. Вопрос о строении особых точек НДУ возник еще в XIX веке, король Швеции и Норвегии Оскар II включил его в список из четырех вопросов на премию 1885 года наряду со знаменитой «проблемой трех тел» [1, с. 50]. Однако для достаточно полного решения этой задачи потребовалось около ста лет. Речь идет, разумеется, об одном неявном уравнении с одной фазовой переменной: dy.

F (x, y, p) = 0, где Р = ^ х, уеШ}. (0.1).

В 1878 г. Анри Пуанкаре (Jules Henri Poincare) опубликовал работу [38], в которой исследовал уравнение (х — х$)тр = f (x, y) с аналитической правой частью f (x, у), см. также [39, с. 581]. В частности, Пуанкаре доказал, что при т = 1 решения этого уравнения могут быть разложены в ряды по степеням (х — xq) и (х — xq) v, где v — некоторая константа, или, в частном случае, в ряды по степеням (х — ^о) и 1п (ж — гго).1.

Позже А. Пуанкаре получил важные результаты и для произвольного НДУ вида (0.1), где F — полином [39, с. 600]. Для этого он выразил х, у, р через вспомогательные переменные 77, (и стал рассматривать последние как координаты точки в пространстве. Уравнение (0.1) означает тогда, что точка находится на некоторой алгебраической поверхности, и задает на этой поверхности поле направлений.2 Пуанкаре показал, что через каждую неособую точку этого поля проходит единственная траектория, а особые точки делятся на седла, фокусы, узлы и центры.

В 1932 г. итальянский математик Чибрарио (Maria Cinquini-Cibrario) опубликовала работу [23] о канонических формах линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка у) ихх + 2Ъ (х, у) иху + с (х, у) иуу = f (x, у, и, их, иу), (0.2) где и = и (х, у) — неизвестная функция. Характеристиками уравнения (0.2) являются интегральные линии уравнения а (х, у) dy2 — 26(ж, у) dxdy + с (х, у) dx2 = 0,.

1 При этом Пуанкаре опирался на предшествующие работы Врио (Charles Auguste Briot), Буке (Jean Claude Bouquet), Фукса (Lazarus Immanuel Fuchs) и Томе (Johannes Karl Thomae).

2 Сейчас этот способ хорошо известен в теории дифференциальных уравнений как метод введения параметра. которое представляет собой квадратичное НДУ первого порядка: a (z, y) p2 ~ 2Ь (х, у) р + с (х, у) = 0, где р = (0.3).

Уравнение (0.3) может быть однозначно разрешено относительно производной р в окрестности любой точки плоскости (х, у), за исключением точек, в которых дискриминант, А = б2 — ас квадратного уравнения (0.3) обращается в нуль. Уравнение, А = 0 определяет на плоскости (ж, у) кривую ?>, называемую дискриминантной кривой уравнения (0.3) или линией вырождения (линией смены типа) уравнения (0.2). Кривая D состоит из особых точек НДУ (0.3) и разделяет области эллиптичности и гиперболичности (0.2). В общем случае почти все особые точки регулярные, а нерегулярные особые точки лежат на D дискретно (точные определения можно найти в [2] - [5] или [15]). М. Чибрарио в [23] нашла канонический вид уравнения (0.2) и нормальную форму р2 = х, р = dyjdx (0.4) уравнения (0.1) в окрестности регулярной особой точки. Этот результат (часто называемый теоремой Чибрарио) ныне стал классическим и вошел во многие учебники и монографии [1] - [5], [16]. В статье [15] отмечено, что нормальная форма (0.4) была позже найдена, по-видимому, одновременно Л. Дара (L. Dara) [24] и Ю. А. Бродским, который использовал предварительную нормальную форму, полученную Р. Томом (Rene Thorn) в [46]. Некоторые результаты в этом направлении можно также найти в [15], [16], [24], [28], [29], [33], [40], [46]. Статья [19] содержит полный список канонических форм уравнений (0.2) и историю проблемы.

Исследование уравнения (0.1) в окрестности нерегулярной особой точки проводилось различными авторами.

В 1959 г. в работе А. В. Пхакадзе и А. А. Шестакова [40] при помощи так называемого уравнения первого приближения было описано типичное поведение интегральных кривых уравнения (0.1) в окрестности нерегулярной особой точки (сложенные узел, седло, фокус).3.

В 1971 г. физики А. Д. Пилия и В. И. Федоров [36] получили аналогичные результаты, рассматривая особенности поля электромагнитной волны в холодной анизотропной плазме с двумерной неоднородностью. С этими же особенностями столкнулся и Ф. Такенс (Floris Takens) при изучении уравнений релаксационного типа [44].

3 Некоторые ошибки и неточности, допущенные в работе [40], были исправлены в [42].

В 1975 г. JI. Дара в работе [24] показал, что для функции F общего положения4 уравнение (0.1) может иметь только пять типов нерегулярных особых точек: хорошо сложенное седло, хорошо сложенный узел, хорошо сложенный фокус, эллиптическая сборка, гиперболическая сборка. Первые три особенностей называются хорошо сложенными, а две последние — собранными. JI. Дара сформулировал гипотезу, что в окрестности каждой своей хорошо сложенной особой точки уравнение (0.1) топологически эквивалентно нормальной форме.

Р2 + 7Х2 dy Р = ^ (0″ 5) где параметр 7 < 0 для седла, 0 < 7 < ¼ для узла, 7 > ¼ для фокусаа в окрестности собранной особой точки (0.1) топологически эквивалентно р3 — ур = х для эллиптической сборки и ръ + ур = х для гиперболической сборки.

В начале 1980;х годов А. А. Давыдов столкнулся с проблемой классификации особых точек ИДУ при исследовании областей достижимости двумерных управляемых систем [12] - [14].

В 1985 г. А. А. Давыдов опубликовал работу [15], в которой доказал, что гипотеза JI. Дара верна для хорошо сложенных особых точек, но не верна для собранных. В [15] были найдены нормальные формы НДУ общего положения в окрестности нерегулярной особой точки, для которой дискриминантная кривая гладкая. Так, в окрестности хорошо сложенной особой точки уравнение (0.1) локальным диффеоморфизмом плоскости (х, у) приводится к нормальной форме рЛ-кх)2 — у, р = dy/dx, (0.6) где параметр к < 0 для сложенного седла, 0 < к < 1/8 для сложенного узла, к > 1/8 для сложенного фокуса.5 Топологическая эквивалентность убивает параметр к в каждой из трех нормальных форм (0.6). Таким образом, хорошо сложенные особые точки имеют относительно диффеоморфизмов один модуль, а относительно гомеоморфизмов структурно устойчивы. Топологические нормальные формы собранных особых точек содержат функциональные инварианты.

В 1994 г. была опубликована монография [16], содержащая все результаты, полученные А. А. Давыдовым ранее в этой области. В 1995 и.

4 Точнее, для функции F из открытого всюду плотного множества в пространстве гладких функций с С3-топологией Уитни (определение топологии Уитни можно найти в [11, с. 69]).

5 Нормальная форма Давыдова (0.6) получается из нормальной формы Дара (0.5) с помощью замены переменных у = 2у 4- кх2, при этом к = 7/2.

1996 гг. А. А. Давыдов (с соавторами) опубликовал работы [17] - [19], где были получены нормальные формы невырожденных сложенных особых точек уравнения (0.1) в нерезонансном и резонансном случаях, а также нормальные формы вырожденных сложенных особых точек конечной кратности (называемых элементарными). В [19] приводится также полная гладкая классификация типичных линейных дифференциальных уравнений с частными производными (0.2).

Таким образом, проблему исследования особых точек уравнения (0.1) при п = 1 в настоящее время можно считать решенной.

В работах Р. Тома, Ф. Такенса и Л. Дара использовался разработанный А. Пуанкаре подход к исследованию НДУ — поднятие многозначного поля направлений НДУ на задаваемую им поверхность в пространстве {х, у, р), где р = dy/dx. В результате полученное поднятое поле оказывается однозначным и гладким, сложенные особые точки (узлы, седла и фокусы) превращаются при этом в обычные узлы, седла и фокусы. Этот подход (который можно сравнить с введением римановой поверхности многозначной функции комплексного переменного) был затем неоднократно использован в работах других авторов. Обобщение этого метода на случай НДУ произвольной размерности будет использовано и в настоящей работе.

Содержание работы. В настоящей работе исследуются системы НДУ общего вида dx.

F (t, x, p) = 0, р = —, (0.7) где х = (ж1,., хп), р = (р1,., рп), F = (F1,., Fn) — п-мерные векторы.6 Всюду предполагается, что функция F достаточно гладкая, по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемая по совокупности переменных. Таким образом, особенности уравнения (0.7) связаны только с обращением в нуль определителя матрицы dF/др.

Уравнения (0.7) при п > 1 изучены гораздо хуже, чем при п = 1. Некоторые результаты имеются в [34] и [44]. В работе [34] Н. Д. Пазий исследовала аналитическую классификацию дифференциальных уравнений с частными производными соболевского типа. Известны также прикладные задачи, приводящие к таким уравнениям, в частности, в радиотехнике, электронике и биологии [44], [47], [53], [54]. Например, [44] исследу.

6 В данной работе всегда будем обозначать векторы жирным, а их координаты и вообще все скалярные величины, а также матрицы — обычным шрифтом. ются вырожденные вариационные задачи и нелинейные электрические (R.L.C.) цепи. В [53], [54] при помощи теории катастроф, а также геометрических и топологических методов строятся математические модели, описывающие динамику сердцебиения и нервной деятельности.

Некоторые частные случаи уравнения (0.7) при п > 1 изучены достаточно хорошо. Например, существует обширная литература, посвященная системам вида.

A (t)p = B (t)x + f{x), (0.8) где A (t), B{t) — матрицы соответствующих размеров, причем A (t) может быть вырожденной (см., например, [9], [10], [20] - [22], [49, с. 23] и цитированную там литературу). Некоторые авторы проводят исследование нелинейного уравнения (0.7) при помощи специальным образом связанного с ним уравнения вида (0.8), см., например, работы [40] - [49] из библиографии в [9].

Заметим, что, в отличие от дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных, для корректного задания начальных условий для уравнения (0.7) необходимо задавать не только начальные момент времени Ц и точку фазового пространства Xq, но также и начальное значение производной р0, которое не может быть произвольным. Действительно, рассмотрим уравнение.

F (*0,®0>p) = O (0−9) относительно неизвестной р. Возможны случаи, когда уравнение (0.9).

— (0 имеет несколько различных решении pfr, каждому из которых может соответствовать свое решение сc^(t) уравнения (0.7), удовлетворяющее условию x^(to) = xq, = рЦК Возможна ситуация, когда уравнение (0.9) вообще не имеет решений. Тогда уравнение (0.7) также не имеет ни одного решения с начальным условием ж (to) — хо.

Эти рассуждения приводят к идее рассматривать (2п + 1)-мерное пространство с координатами (t, x, p), которое называется пространством 1-струй функции x (t) и будет обозначаться в данной работе символом Начальное условие для уравнения (0.7) следует задавать в виде ж (to) = х0, p (t0) = ро, выбирая при этом такую точку Т0 = (to, ®о>Ро) пространства что.

F (to, xo, p0) = 0. Такие точки То будем называть допустимыми.

Такая постановка задачи используется, например, в [48, с. 117].

Особыми точками уравнения (0.7) обычно называются такие допустимые точки То, в которых уравнение (0.7) не может быть разрешено относительно производной р, т. е. точки, в которых матрица dF/dp вырождена. Такое определение особой точки принято в большинстве работ, учебников и монографий. Например, в [1] - [5], [9], [10], [15] - [19]. Близкое определение особой точки дается в [25] и [35]. В настоящей работе мы также примем данное определение. Заметим, однако, что некоторые авторы используют другие определения особых точек. Так, например, в [40] и [48] особыми точками уравнения (0.7) называется более узкий класс, который в терминологии настоящей работы называется неправильными особыми точками (точные определения будут даны в первом параграфе первой главы).

В окрестности каждой неособой точки То уравнение (0.7) разрешимо относительно производной (по теореме о неявной функции) и эквивалентно уравнению р = f (t, x) с начальным условием x (to) = Поэтому в окрестности неособой точки верна классическая теорема, которая гарантирует существование и единственность решения x (t), определенного на некотором интервале времени, содержащем to.

В отличие от неособой точки, в окрестности которой верна теорема существования и единственности, для особой точки ситуация совершенно иная. Даже при предположении бесконечной гладкости (или аналитичности) функции F возможны ситуации, когда для особой точки Tq существует idрешений, определенных при t < to (такие решения будем называть входящими в То), и со+ решений, определенных при t > to (такие решения будем называть выходящими из То). Числа ил, и)+ могут быть различными, а также быть равными нулю или бесконечности.

Допустимую точку То будем называть (<х>, и-+)-точкой, если в нее входит решений и из нее выходит ирешений уравнения (0.7). Очевидно (по теореме о неявной функции), что все неособые точки уравнения (0.7) являются (1,1)-точками. Обратное, вообще говоря, неверно. В первой главе показано, что для уравнения (0.7) общего положения почти все особые точки являются либо (2, 0)-точками, либо (0, 2)-точками, а особые точки других типов составляют подмножество меньшей размерности.

Изложим вкратце содержание работы и ее основные результаты.

Первая глава посвящена исследованию так называемых правильных особых точек уравнения (0.7). Для уравнения общего положения допустимые точки образуют (п + 1)-мерное многообразие $ в пространстве, а особые точки — n-мерное подмногообразие Я С называемое криминантой. Почти все особые точки являются правильными (они составляют на Я открытое всюду плотное подмножество), а неправильные точки образуют стратифицированное подмногообразие 9 Т С Я, размерность максимального страта которого равна п — 1.

В первом параграфе вводятся основные понятия, которые будут использованы в дальнейшем, и даются формальные определения (правильной и неправильной особой точки, входящего и выходящего решения и др.). Излагается основная конструкция работы — поднятие многозначного поля направлений уравнения (0.7) на задаваемое им многообразие $ в пространстве Эта конструкция суть очевидное обобщение подхода, развитого в цитированных выше работах Р. Тома, Ф. Такенса и JI. Дара и описанного также в [1] - [5], [15] - [17] для случая п = 1. Она позволяет сводить исследование уравнения (0.7) к исследованию поднятого векторного поля v на (п + 1)-мерном многообразии.

Во втором параграфе доказывается основная теорема, которая дает простой способ определять о-+)-тип почти любой правильной особой точки (множество правильных особых точек, для которых теорема не применима, соответствует вырождению бесконечной коразмерности). Доказывается также аналог этой теоремы для частного случая одного дифференциального уравнения n-го порядка, не разрешенного относительно старшей производной.

В третьем параграфе доказывается, что решение x (t), выходящее из правильной особой точки То = (to, Xo, Po) (или входящее в нее), может быть представлено в виде композиции гладкой функции и радикала J t — tо (или yj to —t соответственно), где степень v определяется во втором параграфе. Этот результат дает возможность приближенного вычисления решения х (t) в виде степенного ряда от переменной у/1 — tо или д/ £о — t и представляет собой аналог теоремы о представлении функций в виде дробно-степенных рядов (рядов Пюизо).

Вторая глава посвящена исследованию неправильных особых точек уравнения (0.7). Как уже было сказано, исследование уравнения (0.7) сводится в данной работе к исследованию поднятого векторного поля v на (п+1)-мерном многообразии При этом правильным особым точкам уравнения (0.7) соответствуют неособые точки поля v, а неправильным особым точкам уравнения (0.7) — особые точки поляи, т. е. точки, в которых v обращается в нуль. Обратный переход от поля v к исходному уравнению (0.7) представляет собой проектирование 7 Г многообразия $ С J^ и проходящих по нему траекторий поля v на подпространство (x, t) пространства Таким образом, при исследовании правильных особых точек единственная трудность заключалась в исследовании этого проектирования (в особых точках уравнения (0.7) якобиан отображения 7 г обращается в нуль и, следовательно, отображение тг имеет особенность). При исследовании неправильных особых точек помимо указанной трудности возникает еще одна — исследование особых точек поднятого поля V.

Оказывается, что построенное на многообразии ^ поднятое поле v имеет такие особенности, которые не встречаются у векторного поля общего положения (они соответствуют вырождению бесконечной коразмерности). Дело в том, что компоненты поля оказываются функционально зависимыми, поле v имеет вид: х = v (x, y, z), y = w (x, y, z), (0.10) zl — аг (х, у, z) v + Рх, у, z) w, г = 1,., п — 1, где х, у, z1 G М1, z = (z1,., z12″ 1). Таким образом, исследование поднятого векторного поля v представляет собой отдельную задачу, которой посвящены вторая и третья главы.

Спектр линеаризации поля v в особой точке состоит из собственных значений (Ai, Л2, 0,., 0), где число нулей равно п—1. Множество особых точек векторного поля v задается системой уравнений v (x, y, z) = 0, w (x, y, z)= 0.

Если оба собственных значения Ai, А2 ненулевые, то эти уравнения (локально) независимы, и особые точки поля v образуют (п — 1)-мерное многообразие Wc С $ - пересечение нулевых уровней гладких функций v и w. При каких бы то ни было малых возмущениях исходного уравнения (0.7) изменяются только функции v, w, al, f3l. Многообразие Wc не исчезает и не вырождается, а лишь слегка деформируется. Нулевому собственному значению соответствует набор п — 1 независимых собственных векторов, касательных к многообразию Wc в рассматриваемой особой точке.

Если собственные значения Ai, А2 имеют ненулевые вещественные части, то Wc является центральным многообразием, причем ограничение поля на Wc тождественно равно нулю. Из теоремы сведения Шошитай-швили сразу же следует, что система (0.10) топологически эквивалентна произведению двумерного узла или седла х = у = ±-г/ и тривиальной (п — 1)-мерной системы z = 0. Во второй главе показано, что при выполнении дополнительных условий система (0.10) конечно-гладко эквивалентна прямому произведению z = 0 и двумерной системы со спектром (АЬА2).

В первом и втором параграфах второй главы проводится общее исследование поднятого векторного поля v в окрестности особой точки и доказываются некоторые вспомогательные утверждения, которые будут использованы в дальнейшем. В третьем параграфе вводятся и исследуются два ключевых для дальнейшего понятия — резонансы первого и второго рода.

Четвертый параграф содержит один из центральных результатов работы — теорему 2.2 о гладкой эквивалентности поднятого поля (0.10) (п — 1)-параметрическому семейству двумерных векторных полей х =v (x, y, z), y = w (x, y, z), (0.11) zl = 0, 2 = 1,., 71 — 1, где z = (z1,., zn1), в так называемом нерезонансном случае. Теорема 2.2 имеет место в предположении, что между собственными значениями Ai, А2 нет резонансных соотношений первого рода вплоть до некоторого порядка N (u), который зависит от Ai, А2 и от степени гладкости v сопрягающего диффеоморфизма. Этот случай назван нерезонансным.

Из теоремы 2.2 следует, что в нерезонансном случае в окрестности особой точки существует слоение многообразия $ - фазового пространства поднятого поля v — двумерными инвариантными многообразиями z = const векторного поля. Ограничение поля (0.11) на слой 2: = constэто двумерное векторное поле с особой точкой типа узел, седло или фокус. Таким образом, для того, чтобы перейти от поднятого поля v к исходному уравнению (0.7), нужно рассмотреть проекцию инвариантного слоя z — const на плоскости [t, x%) и {t, pl). Это сделано в пятом, заключительном параграфе второй главы.

Третья глава посвящена так называемому резонансному случаю. Точнее, в ней рассматривается резонанс Ai + А2 = 0, где Ai^ вещественные и ненулевые.

В первом параграфе, в соответствии с общими принципами теории особенностей, изучается стратификация особенностей векторного поля вида (0.10) по степени вырождения и по резонансам.

Во втором параграфе рассматривается несколько случаев, когда возникает резонанс Ai + Л2 = 0. В частности, показано, что такой резонанс возникает в точке, где rang (dF/dp) < п — 1.

В третьем параграфе исследуется трехмерное поле вида (0.10) (т.е. при п = 2) с резонансом Ai + А2 = 0. Показано, что поле с квадратичной частью общего положения имеет семейство инвариантных поверхностей, диффеоморфное слоению ху — z2 = с, с — const.

В четвертом параграфе этот результат обобщается для векторного поля вида (0.10) с произвольным п > 2.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [55] - [60]. Они докладывались на семинаре по теории дифференциальных уравнений (руководитель — проф. Ю.С. Ильяшенко), на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (руководители — проф. В. А. Кондратьев, проф. В. М. Миллионщиков, проф. Н.Х. Розов) и на семинаре по теории динамических систем (руководители — акад. РАН Д. В. Аносов, проф. В.М. Закалюкин).

Результаты диссертации были представлены на международной конференции «Progress in Nonlinear Science», посвященной 100-летию со дня рождения А. А. Андронова (Нижний Новгород, 2−6 июля 2001 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 1−6 июля 2002 г.) и на конференции «Крымская Осенняя Математическая Школа» (Крым, Ласпи-Батилиман, 18 — 29 сентября 2002 г.).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А. Ф. Филиппову.

Автор также благодарен академику РАН Е. Ф. Мищенко, профессорам А. В. Арутюнову, Р. И. Богданову, А. А. Давыдову, В. М. Закалюкину, М. И. Зеликину, Ю. С. Ильяшенко и к. ф-м. н. А. С. Городецкому за внимание к работе и полезные советы.

1. Арнольд В. И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990.

2. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальныхуравнений. М.: Наука, 1978.

3. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальныхуравнений. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 2000.

4. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде СМ. Особенности дифференцируемыхотображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука, 1982.

5. Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.

6. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшаяшкола, 1991.

7. Бояринцев Ю. Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.

8. Бояринцев Ю. Е., Чистяков В. Ф. Алгебре-дифференциальные системы. Методырешения и исследования. Новосибирск: Наука, 1998.

9. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности.М.: Мир, 1977.

10. Давыдов A.A. Особенности границы достижимости в двумерных управляемых системах. Успехи матем. наук, 1982. — Том 37, вып. 3, с. 183 — 184.

11. Давыдов A.A. Граница достижимости в двумерных управляемых системах. Успехиматем. наук, 1982. — Том 37, вып. 4, с. 129.

12. Давыдов A.A. Особенности в двумерных управляемых системах. Дисс.. кандид. физ-мат. наук М.: МГУ, 1982. — 149 с.

13. Давыдов A.A. Нормальная форма уравнения, не разрешенного относительно производной, в окрестности его особой точки. Функц. анализ и его приложения, 1985, т. 19, вып. 2, с. 1 — 10.

14. Davydov A.A. Qualitative Theory of Control Systems. Mathematical Monographs, vol. 141. A M S, Providence, Rhode Islans, 1994.

15. Давыдов A.A., Ортиз-Бобадильл Л. Нормальные формы сложенных элементарныхособых точек. Успехи матем. наук, 1995. — Том 50, вып. 6 (306), с. 175 — 177.

16. Davydov А.А., Ortiz-Bobadilla L. Smooth normal forms of folded elementary singularpoints. J. Dynam. Control Systems, 1995, vol. 1, no. 4, pp. 463 — 482.

17. Давыдов A.A., Росалес-Гонсалес Э. Полная классификация типичных линейныхдифференциальных уравнений второго порядка с частными производными на плоскости. ДАН, 1996. — Том 350, № 2, с. 151 — 154.

18. Campbell S.L., Meyer CD., Rose N.J. Application of the Drazin inverse matrix to linearsystems of differential equations with singular constant coefficiants. S IAM Journ. Appl. Math., 1976, vol. 31, №. 3, pp. 421 — 425.

19. Campbell S.L. Singular systems of differential equations, I. Research Notes in Math., 1980, vol. 40. San Francisco-London-Melbourne: Pitman Advanced Publ. Progr., IX.

20. Campbell S.L. Singular systems of differential equations, II. Research Notes in Math., 1982, vol. 61. San Francisco-London-Melbourne: Pitman Advanced Publ. Progr., IX.

21. Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivativeparzialy di secondo ordine di tipo misto. Rend. Lombardo 65 (1932), p. 889 — 906.

22. Dara L. Singularities generiques des equations differentielles multiformes. Bol. Soc. Bras.Math., 1975, v. 6, № 2, p. 95 — 129.

23. Еругин H.П., Штокало И. З. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. «Вища школа», 1974.

24. Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационномисчислении. М.: Факториал, 1998.

25. Ильяшенко Ю. С., Яковенко СЮ. Конечно-гладкие нормальные формы локальныхсемейств диффеоморфизмов и векторных полей. Успехи матем. наук, 1991. Том 46, вып. 1 (277), с. 3 — 3 9 .

26. Кузьмин А. Г. О поведении характеристик уравнения смешанного типа вблизи линии вырождения. Дифференц. уравнения, 1981. — Том 17, № 11, с. 2052 — 2063.

27. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990.

28. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968.

29. Ландис Е. Е. Тангенциальные особенности. Функц. анализ и его приложения, 1981, т. 15, вып. 2, с. 36 — 49.

30. Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965.

31. Муминов Н. С. О структуре семейства траекторий в окрестности особой точкидифференциального уравнения первого порядка второй степени. Дифференц. уравнения, 1972. — Том 8, W б, с. 953 — 963.

32. Пазий H.Д. Локальная аналитическая классификация уравнений Соболевскоготипа. Дисс.. кандид. физ-мат. наук. Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 1999. — 128 с.

33. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.М.: Наука, 1970.

34. Пилия А. Д., Федоров В. И. Особенности поля электромагнитной волны в холоднойанизотропной плазме с двумерной неоднородностью. Ж Э Т Ф, 1971, т. 60, вып. 1, с. 389 — 399.

35. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970.

37. Соколов П. В. К статье А. В. Пхакадзе и А. А. Шестакова «О классификации особыхточек дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной». Матем. сборник, 1961, т. 53 (95), вып. 4, с. 541 — 543.

38. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1959.

39. Tokens F. Constrained equationsa study of imphcit differential equations and theirdiscontinuous solutions. Lect. Notes Math. 1976. 525, p. 143 — 234.

40. Takens F. Partially hyperbolic fixed points. Topology, 1971, vol. 10, № 2, p. 133 — 147.

41. Thorn R. Sur les equations differentielles multiforme et leur integrales singulieres. Bol.Soc. Bras. Math., 1971, v. 3, № 1, p. 1 — 11.

42. Thorn R. L ' evolution temporelle des catastrophes. Applications of global analysis, I.Comm. Math. Inst. Rijksuniv. Utrecht. 1974. 3, p. 61 — 69.

43. Федорюк M.B. Обыкновенные дифференциальные уравнения. M.: Наука, 1980.

44. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью.М.: Наука, 1985.

45. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

46. Хирш М. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1979.

47. Шошитайшвили А. Н. Бифуркации топологического типа векторного поля вблизиособой точки. Труды семинара И. Г. Петровского, 1975. Вып. 1., с. 279 — 309.

48. Zeeman Е.С. Differential equations for the heartbeat and nerve impulse. Towards aTheoretical Biology, vol. 3, p. 8 — 6 7. 'Waddington Ed., Edinburg University Press, 1969.

49. Zeeman E.G. Differential equations for tfie heartbeat and nerve impulse. DynamicalSystems (ed. by M. M. Peixoto). N .Y.: Acad. Press, 1973, p. 683 — 741.

50. Ремизов A.O. 0 правильных особых точках обыкновенных дифференциальныхуравнений, не разрешенных относительно производных. Дифференц. уравнения, 2002, т. 38, № 5, с. 622 ^ 630.

51. Ремизов А. О. О неправильных особых точках коранга 1 систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных. Дифференц. уравнения, 2002, т. 38, «^2 8, с. 1053 — 1062.

52. Ремизов А. О. Векторные поля с неизолированными особыми точками. ДАН, 2002.Т. 384, № 6, с. 735 — 737.

53. Ремизов А. О. Типичные особые точки неявных дифференциальных уравнений. Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем., Механика. 2002, № 5, с. 10 — 16.

54. Ремизов А. О. Неявные дифференциальные уравнения и векторные поля с неизолированными особыми точками. Мат. сборник, 2002. Т. 193, Ш И, с. 105 — 124.

55. Ремизов А. О. Неявные дифференциальные уравнения и порождаемые ими векторные поля. Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 1 — 6 июля 2002 г.), с. 115 — 117.