Характеризация устойчивости решения задач о внешней и равномерной оценке выпуклого компакта шаром

1. Интерес математиков к оценке и аппроксимации достаточно сложных множеств множествами простой геометрической структуры во шик очень давно (см., например, монографии Т. Боннезена, В. Фенхеля [2], Л. Ф. Тота [21] и библиографии в них). Ныне эю направление активно поддерживается в рамках негладкого анализа и недифференцируе-мой оптимизации, основы которых заложены в трудах Р. Т. Рокафеллара, Б. Н. Пшеничного, В. Ф. Демьянова, А. М. Рубинова, Ф. Кларка, Ж.-П.Обена, И. Экланда, Н. З. Шора, Б. Т. Поляка, М. С. Никольского, Е. С. Половинкина ([20], [17J-I18], [5]-[7], [9], [13]-[14], [24], [19], [12], [15]-[16]) и других математиков. Именно негладкий анализ дает эффективные необходимые математические инструменты для успешного исследования таких задач.

Задачи по оценке множеств находят обширные приложения в естествознании, в том числе и в самой математике. Известны многочисленные работы, связанные с внешними и внутренними эллипсоидальными оценками множеств и многозначных отображений (напр., работы Н. З. Шора [24], Ф. Л. Черноусько [23], А. Б. Куржанского и др.). Можно также указать на работы по внешним и внутренним оценкам заданных множеств ориентированными параллелепипедами и их приложениями (см., напр., [1]). Е. С. Половинкиным в [15] рассматривались внутренние и внешние многогранные аппроксимации выпуклых множеств.

Наряду с эллипсоидом и многогранником к числу наиболее простых множеств, как в геометрическом смысле, так и, но числу задающих параметров, относится шар любой нормы.

Задача о внешней оценке компакта шаром произвольной нормы, которая заключается в построении шара используемой нормы с наименьшим радиусом, содержащего оцениваемый компакт, рассматривались Б. Н. Пшеничным в [17].

Задача о наилучшем приближении (равномерной оценке) в метрике Хаусдорфа выпуклого компакта евклидовым шаром была поставлена и изучалась в работе М. С. Никольского и Д. Б. Силина [12].

Основная цель диссертации — исследование устойчивости решения этих двух задач относительно погрешности задания оцениваемого (приближаемого) компакта.

2. Приведем математическую формализацию задачи о внешней оценке, которую также называют задачей об описанном шаре или задачей о чебышевском центре множества.

Пусть D заданный компакт из конечномерного действительною пространства Ер, а функция п (х) удовлетворяет на Жр аксиомам нормы. Тогда задачу о внешней оценке компакта D шаром нормы л (-) можно записать в виде.

R (x) = тахп (ж — у) —> min. (0.1) yeD хек?

Значение функции R (x) выражает радиус наименьшего шара с центром в точке х, содержащего в себе компакт D. Точка х*, доставляющая минимальное значение функции R (x), является центром искомого описанного шара, a R* = R (x*) — его радиус.

Известно ([2]), что для случая, когда п (х) = ||х|| - евклидова норма, решение задачи (0.1) единственно. При этом центр описанного шара принадлежит выпуклой оболочке точек, одновременно принадлежащих границе компакта D и поверхности описанного шара (то есть его граничной сферы). Верно и обратное, а именно, шар, содержащий компакт и обладающий указанными выше точками множества D на его границе, есть описанный шар. Следовательно центр описанного шара всегда принадлежит выпуклой оболочке компакта D.

Диаметр компакта D d* = max Цж — % x, yeD и радиус описанного евклидова шара R* связаны неравенством, полученным Г. Юнгом (см. [И, с.73]).

R* < 4/, Р &bdquo-сГ.

2(р+1).

Как показывают примеры, если п (х) не является евклидовой нормой, то задача (0.1) может иметь неединетвенное решение, а центр описанного шара может не принадлежать выпуклой оболочке компакта D.

В практических ситуациях информация об оцениваемом компакте D может носить приближенный характер, ю есть вместо компакта D нам может быть известен некоторый компакт D? такой, что h (D, D?) < е.

Здесь е > 0 — известная погрешность задания компакта D, а h (A, В) = max{sup inf п (а — b), sup inf n{a — 6)} сел ьев icii аел.

— расстояние Хаусдорфа между множествами, А и В в норме п (-).

И, таким образом, о решении задачи (0.1) мы можем судить по решению приближенной задачи.

R?(x) = та. хп (х — у) min. (0.2) yeDt xGRp.

Получение условия устойчивости и оценка характера устойчивости задачи (0.1) относительно оптимального значения целевой функции R (x) и центра описанного шара — один из вопросов, решаемых в диссертации.

Любая норма, как следует из ее аксиом, является выпуклой функцией на всем пространстве. Поэтому, легко видегь, и функция R (x), являющаяся результатом операции максимума от выпуклых функций, также выпукла на Следовательно задача (0.1) является задачей выпуклого программирования. Известно (см. [10, с.42]), что вопрос о характериза-ции устойчивости задачи выпуклого программирования легко решается, если целевая функция является сильно выпуклой ([3, с. 181]). Однако ни при каких условиях на компакт D и используемую норму п (-) функция R (x) не является сильно выпуклой не только на W, но и любом выпуклом множестве с непустой внутренностью. Именно это обстоятельство затрудняет исследование устойчивости задачи (0.1).

3. Приведем математическую формализацию второй задачи, исследуемой на устойчивость решения.

Пусть D непустой выпуклый компакт из ЕУ', h (A, В) — расстояние Ха-усдорфа между множествами, А и В в евклидовой норме,.

— евклидов шар с центром в точке х и радиусом г.

Тогда задачу о наилучшем приближении эюго выпуклого компакта D евклидовыми шарами в метрике Хаусдорфа можно записать в виде h (D, B (x, r)) -> min. (0.3).

4 4 «хеш, г>о 4 '.

Задача (0.3) впервые была поставлена и рассматривалась в работе М. С. Никольского и Д. В. Силина [12]. В ней доказаны существование и единственность решения, получено необходимое условие решения. Отметим, что задача (0.3) рассматривалась авторами [12] в рамках более общей задачи о наилучшем приближении элемента пространства непустых выпуклых компактов с метрикой Хаусдорфа элементами его подпространства, которое представляет собой всевозможные линейные комбинации фиксированного набора элементов данного пространства. Очень важным обстоятельством, установленным в [12], оказалось то, что центр шара наилучшего приближения xq для компакта D в задаче (0.3) является одновременно единственным решением задачи.

R (x)~pn (x) min. (0.4) xei).

Здесь.

R (x) = max||a? — y\, pn{x) = min \x — г/||, ft = W>D. yeD ye fi.

При этом радиус шара наилучшего приближения есть.

ЯЫ + РпЫ ro =-J-' а кроме того.

• ит Pit \ RM ~ min h[D, D [х. г)) =—-. xe№, r>o v ' v ' JJ 2.

Поэтому задачи (0.3) и (0.4) являются эквивалентными. Значение R (x) выражает радиус наименьшего шара с центром в ючке х, содержащего компакт D. Значение функции рп (х) для х е D выражает радиус наибольшего шара с центром в точке х, содержащегося в выпуклом компакте D. Таким образом, величина R (x) — рп (х) есть толщина минимального шарового слоя с центром в точке х G D, содержащего границу компакта.

Задача (0.4) о построении шарового слоя наименьшей толщины, содержащего границу выпуклого компакта D известна давно. Впервые близкая, но постановке задача рассматривалась М. Оканем в [25], где был предложен способ построения кругового кольца наименьшей ширины, содержащего заданное конечное семейство точек. А. Лебегом в [2G] рассматривалась задача о построении кольца «наименьшей толщины содержащего границу 2-мерного выпуклого множества. Позднее Т. Боннезен и [27] для задачи на плоскости и Н. Критикос в [31] для задачи в трехмерном пространстве получили необходимое и досипочное условие решения и доказали единственность решения.

Свойства минимального по ширине кольца, содержащего границу двумерного выпуклого компакта изучались в связи с другими экстремальными задачами по оценке того же компакта (см. [29]-[32]). Так в работе I. Vincze ([30]) оценивается соотношение минимального радиуса круга, содержащего выпуклый компакт D С 3R2 и внешнего радиуса кольца «наименьшей толщины содержащего границу компакта D, а также соотношение максимального радиуса круга, содержащегося в D, и внутреннего радиуса кольца «наименьшей толщины». Получены следующие оценки.

Для задачи (0.4) в пространстве произвольной размерности р необходимое и достаточное условие было получено уже в 1988 в работе I. Barany ([32]). Заметим, что в этой работе существенным образом были задействованы средства выпуклого анализа. Дело в том, что функция R (x) является выпуклой на всем пространстве Rp, а функция рп (х) — вогнутой.

D. mm{R (x) :xGD] л/3 r{xq) maх{рп{х) :хе D} < РпЫ).

2. на выпуклом компакте D. Поэтому целевая функция Ф (ж) = R{x) —рп (ж) задачи (0.4) является выпуклой на D.

В работе [32] также доказано, что при р > 3 имеет место точная оценка: min {R (x) :х е D] ^ 1, * «1 N.

— п/ ч— > ~(cos а0 + cosа0 — Н—),.

R{x о) 2 cosa о где ао € [0,7г/2] и является решением уравнения sin2 а — 2 cos3 а = 0, а величина тах{/зп (ж): х 6 D] Рп (х о) может быть сколь угодно большой.

Ввиду эквивалентности задач (0.3) и (0.4) на них всегда интересно смотреть в сравнении с задачей о внешней оценке.

R (x) min и с задачей о внутренней оценке.

Рп (х) max.

XdD выпуклого компакта D евклидовым шаром. В связи с этим задачи (0.3) и (0.4) можно назвать задачами о равномерной оценке выпуклого компакта D евклидовым шаром.

Как и для задачи (0.1), ставится цель получить характеристику устойчивости задачи (0.3) относительно погрешности приближаемого компакта.

4. Диссертация состоит из двух глав, содержащих И параграфов. Нумерация параграфов сквозная. При изложении, кроме уже введенных, используются следующие обозначения:

A, intA, соА — соответственно замыкание, внутренность, выпуклая оболочка множества А,.

А + В = {а + Ь: аеА, ЪеВ}, А-В = {а-Ь:аеА, ЬеВ}.

— алгебраическая сумма и разность множеств, А и В,.

А — В = {с: с+ В С А}.

— разность Минковского ([7]) или JI.C. Понтрягина множеств Aw В xhx2] = co{xhx2}.

— отрезок, соединяющий точки х и х2, и=d>w)2),/2.

1=1 евклидова норма элемента х Е Жр, р х, у>=^х{г)у{г) 1=1.

— скалярное произведение элементов х, у Е.

Вп (х, г) = {уеШр: п (ху) < г}, Sn (x, г) = {у Е: п (ж — у) =.

— шар и сфера нормы п (-) с центром в точке х и радиусом г,.

Qp (x, D) = {yeD: рдОг) = п (®- - у)}.

— проекция точки х на множество D в норме п (-),.

Qr (x, D) = {у Е D: Д (®-) = п (®- - у)}.

— множество точек касания множества D и шара B (x, R (x)),.

К (А) = {гЕ: За > 0, а Е A, v = аа}.

— конус, натянутый на множество А,.

K+ = {we Rp :< v, w >> 0, Vu Е К}.

— конус, сопряженный к конусу Я" ,.

К (х, А) — конус возможных направлений множества, А в точке х Е то есть К (х, А) = 7(2, А), где.

7(а?, Л) = {д Е Rp: < 0: х + ад Е Д, а Е (0, ад)},.

W (x, A) = sup < x, a > a? A.

— опорная функция множества A,.

A/(z) = inf {a > 0: x? aM}.

— функция Минковского множества А, df (x) — субдифференциал выпуклой функции /(•) в точке х, fx, g) = lma-1[f{x + ag) — f{x)}.

Q| О.

— производная функции /(•) в точке х по направлению д.

Первая глава диссертации содержит §§ 1-G, ее главная цель — характе-ризация устойчивости решения задачи (0.1) о внешней оценке.

В § 1, кроме постановки задачи о внешней оценке, даются сведения из истории ее исследования, некоторые из которых используются далее.

В § 2 приводятся некоторые вспомогательные факты, главные из которых касаются свойств строго и сильно квазивынуклых норм. Эги свойства использовались далее при исследовании свойств целевой функции R (x) в задаче (0.1) и функции расстояния, также играющей важную роль. Если понятие строго квазивыпуклой нормы и ее свойства использовались в выпуклом анализе ранее (см. напр. [34]), то понятие г-сильно квазивыпуклой нормы, как нормы, обладающей r-сильно выпуклым ([15]) единичным шаром, вводится впервые.

Следующий факт позволяет сравнивать поведение таких норм на отрезках с поведением сильно выпуклых функций.

Лемма 2.8. Если тг (-) является r-сильно квазивыпуклой нормой, то для любых точек х и Х2, отличных от 0-" и a G [0,1] выполняется неравенство n (axi + (1 — а) х2) < an (xi) -I- (1 — а) п (хг) — Cia (l — а) п (х{)п (х2) «2.

2r (an{x) + (1 — а) п (х2)).

Х X2 п (х i) п (х 2) где константа С — полоэ/ситпелъная константа, для которой.

CilMI.

Для сильно квазивыпуклой нормы, единичный шар ко юрой имеет представление.

Bn{Op, l) = f]B{a, r), (0.G) аел где, А — симметричный относительно 0-, компакт, получена конкретная формула, ее выражающая.

Лемма 2.9. Если единичный шар нормы п (-) имеет вид (0.6) при условии, А С intB (Qp, r), то саму норму можно выразить следующей формулой п (х) = шах а,®- >| + у/< а, х >2 +||я||2(г2 — ||а||2) аел г2 — ||а|'2.

В § 3 исследуются свойства функции R (x), являющейся целевой в экстремальной задаче (0.1). Очень важным для характеризации устойчивости решения является следующий факт.

Теорема 3.1. Если п (-) является г-сильно квазивыпуклой нормой, то для любых х и x.

R{axi + (1 — а) х2) < aR (xi) + (1 — oi) R{x2).

Cia (l-ot)R{xi)R (x2).

-Уа ®2 — Уа.

R{x i) R{x2) 1.

2r (aR{xi) + (1 — a) R{x2)) где C — полоэ/сительпая константа, для которой выполняется (0.5).

При исследовании задач (0.1) и (0.2) важную вспомогательную роль играет функция расстояния. В § 4 изучаются свойства функции расстояния до строго и сильно выпуклых множеств, а также до множеств, которые являются их дополнениями. Нетрудно видеть, что функция расстояния.

Ра (х) — штп (х — у) у ел не может быть строго, и тем более сильно выпуклой или вогнутой на любом выпуклом множестве с непустой внутренностью при любом множестве, А и любой используемой норме. Однако строгая (сильная) выпуклость множества, А или его дополнения и строгая (сильная) квазивыпуклость нормы п (-) дают возможность сравнивать поведение функции ра< -стояния на некоторых отрезках с поведением строго (сильно) выпуклой или строго (сильно) вогнутой функции, а в некоторых случаях говорить о ее строгой квазивыпуклости или строгой квазивогнутости..

Для случая, когда D — строго выпуклое множество доказана.

Теорема 4.1. Если D является строго выпуклым множеством и точки х и Х2 из D таковы, что.

PtiM < рп (х2) < pq{xi) + п{х 1 — х2), то для любого a 6 (0,1) выполняется строгое неравенство рп (ахi + (1 — а) х2) > арп (хi) + (1 — а) рп (х2)..

Описание поведения функции рп (х) сразу на всем множестве D даег.

Теорема 4.2. Если D является строго выпуклым мноэюеством, то функция рп (х) является строго квазивогнутой па D..

Нижние лебеговы множества функции рр{х).

G (, D) = {х GW: pD{x) < ] характеризует.

Теорема 4.3. Если D является строго выпуклым мпоясеством, а гс (-) — строго квазивыпуклой нормой, то для любого, А > О мноэюество G{A, D) является строго выпуклым..

По аналогии с теоремой 4.1, получены также условия, при которых функция pd{%) ведет себя на некоторых отрезках как строго выпуклая функция..

Теорема 4.5. Пусть D — строго выпуклое мнооюество, а п (-) — строго квазивыпуклая норма. Если точки х и х2 из Ер удовлетворяют неравенству.

Pd{XI) < ря (®-2) < Pd (X) + п{х — х2), причем х2 D, то для любых, а? (0,1) выполняется pD (ax 1 + (1 — а) х2) < apD (xi) + (1 — a) pD{x2)..

Нижеследующие два факта говорят о том, насколько усиливаются соответствующие свойства функции рп{х), зафиксированные в теоремах 4.3 и 4.5, если D — сильно выпуклое множество, а п (-) — сильно квазивы-иуклая норма..

Теорема 4.6. Если D является г-сильпо выпуклым мпоэюеством, а п (') — Г2-сильио квазивыпуклой нормой, то для любого, А > 0 мпоэ/сество G (X, D) является (п + Аг2)-сильно выпуклым..

Теорема 4.7. Пусть D является г-сильпо выпуклым мпоэюеством, а п (-) — Г2-сильно квазивыпуклой нормой, и точки х и %2 таковы, что xhx2]f]D = l.

Тогда для любых точек у € Qp (x 1, D), У2 Е Qp{x2, D) и любого, а? [0,1] справедливо неравенство: с pD (ax 1 + (1 — а) х2) < apD (x) + (1 — a) pD (x2) — у0¹ ~ <*)*.

У1~У2\2, PD (X)pd (X2).

-г.

Х ~У х2 — У2.

PD{X 1) PD{? 2) n r2[apD (xi) + (1 — a) pD (x2)].

В некоторых относительно простых ситуациях, а именно, на отрезках, концы которых равноудалены от множества О или Г}, функция расстояния может вести себя как сильно выпуклая или сильно вогнутая функция..

Теорема 4.9. Пусть D — г-сильпо выпуклое Mnooicecmeo, п (-) -сильно квазивыпуклая норма, а точки х и Х2 таковы, что pD (x 1) = pD (x2) = р > 0, {хих2} р| D = 0..

Тогда для всех значений a G [0,1] справедливо неравенство pD (axi + (1 — а) х2) <Р~ НЖ1 ~ ж2||2, где С — положительная константа, удовлетворяющая (0.5).

Теорема 4.10. Пусть D является г-сильно выпуклым мноэюеством. Тогда для любых точек xi и х2 из D таких, что.

Pn (®i) = РпМ = Р 13 и любых значений a? [0,1] выполняется неравенство рп (ах 1 + (1 — а) х2) >р+ Cl0?^r НЖ1 ~.

Следует отметить, что важную роль в исследовании свойств функции R (x) и функции расстояния, касающихся случаев с сильно выпуклым множеством D или сильно квазивыпуклой нормой, сыграли факты из сильно выпуклого анализа (см. [15]-[16])..

Свойства функции R (x) и функции рассюяния использованы далее в § 5, где сформулирован и доказан критерий решения задачи (0.1) в форме, связывающий ее с задачей о внутренней оценке нижнего лебегова множества функции R (x) шаром используемой нормы..

Теорема 5.1. Точка х* является решением задачи (0.1) тогда и только тогда, когда для любого, А > R* она является центром вло-оюенного в мноэюеетво GR (А) = {х Е Ш. р: R (x) < А} шара наибольшего радиуса, то есть решением задачи где Q (A) = MPGR (А). При этом радиус вложенного шара есть рщ л) М = А-Я*..

Эта теорема является самым трудным, но доказательству результатом первой главы..

Основным в первой главе является § 6, где собраны и доказаны факты, касающиеся устойчивости решения задачи (0.1)..

Выяснилось, что устойчивость задачи (0.1) относительно оптимального значения целевой функции R (x) имеет место всегда, причем справедлива.

Теорема 6.1. Справедливо неравенство.

R* - Щ < С2е, где.

R* = min R (x), Rt = min R?(x). zeip v h? v «а С2 — полоэюителъная константа, для которой п{х) < С2\х\, Vx е W..

0.7).

Каждому выпуклому компакту D, как элементу пространства всех выпуклых компактов Kv (W), можно сопоставить X (D) — множество решений задачи (0.1), то есть множество цен i ров описанных шаров. Поэтому можно рассматривать многозначное оюбражение.

Его характеризует.

Теорема 6.2. Многозначное отобраоюение Х (-) является полунепрерывным сверху всюду на Kv (Rp)..

Приведенный пример 6.1 говорит о том, что в некоторых ситуациях многозначное отображение Х (-) может не обладать свойством полунепрерывное&tradeснизу..

Основным результатом главы является.

Теорема 6.3. Пусть п (-) является г-сильно квазивыпуклой нормой. Если точка х* является решением задачи (0.1), а точка х£ - решением задачи (0.2), то справедливо неравенство где полоэюителъные константы С и С2 удовлетворяют неравенствам (0.5) и (0.7) соответственно..

5. Вторая глава диссертации содержит §§ 7−11, ее цель — исследование устойчивости задачи (0.3). В § 7 дается постановка этой задачи и формулировки результатов из работы М. С. Никольского и Д. Б. Силина [12], которые в значительной мере далее используются..

В § 8 приводятся некоторые свойства вспомогательной функции.

Х{-): ЩШР) 2КР..

Ло (я) = max Ця-у||, y€D0 где.

DQ = B{xhR{xl))f]B{x2,R{x2)) для некоторых фиксированных точек х ф хч.

В § 9 получены верхние и нижние оценки производной по направлениям функции расстояния при некоторых дополнительных условиях на выбор направления..

В § 10 рассматриваются некоторые свойства целевой функции.

Ф (х) = R{x) — рп (х) в экстремальной задаче (0.4)..

Во первых, получена оценка снизу для ее производной по направлению через значение производной, но этому направлению функции R (х)..

Теорема 10.1. Если intD ф 0, точка х? intD, а единичное направление g? Ер таково, что я// ч с. рп (х) то рЫхУ.

Я2(х) j'.

Во вторых, дается характеристика устойчивости оптимального значения целевой функции задачи (0.4)..

Теорема 10.2. Пусть Д- - выпуклый компакт такой, что h (D, De) < е, где е > 0. Если точка хо — решение задачи (0.3), а х£ - решение прибли-оюенной задачи h (De, B (x, r))-* min (0.8) xCKp, r>0 то справедливо неравенство ф{х0)-ф (х?)<4?..

Вспомогательные результаты §§ 8−10, а также работы [12] и первой главы диссертации применяются в § 11 для получения основных результатов — характеризации устойчивости задачи (0.3)..

Наиболее принципиальной и трудной, но доказательству во всей диссертации является.

Теорема 11.1. Пусть хо — центр шара наилучшего приближения в задаче (0.3), а хе — в приближенной задаче (0.8). Тогда справедливо асимптотическое неравенство где о (1) -)• 0 при? | 0..

Ее следствием, но сути, является получаемая далее оценка устойчивости радиуса шара наилучшего приближения.

Теорема 11.2. Если го — радиус гиара наилучшего приближения в задаче (0.3), а г£ - в приблиэ/сеннной задаче (0.8), то справедливо асимптотическое неравенство где о (1) 0 при с 4- 0..

Основные результаты диссертации опубликованы в [35]-[40]..

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору А. П. Хромову за помощь и внимание к работе..

1. Абрамов О. В., Здор В. В., Супоня А. А. Допуски и номиналы систем управления. М.: Наука, 1976..

2. Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М.: Фазис, 2002..

3. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988..

4. Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. М.: Наука, 1971..

5. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н.

Введение

в минимакс. М.: Наука, 1972..

6. Демьянов В. Ф., Васильев JI.B. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981..

7. Демьянов В. Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990..

8. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974..

9. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1986..

10. Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986 И. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985..

11. Никольский М. С., Силин Д. Б. О наилучшем приближении вып) лого компакта элементами аддиала // Труды матем. института им В. А. Стеклова. 1995. Т.211, с.338−354..

12. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: М ip, 1988..

13. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988..

14. Половинкин Е. С. Сильно выпуклый анализ //Матем. сборник. 1996. т. 187, № 2. с. 102−130..

15. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004..

16. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи.М.: Наука, 1980..

17. Пшеничный Б. Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1982..

18. Поляк Б. Т.

Введение

в оптимизацию. М.: Наука, 1983..

19. Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973..

20. Тот Л. Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве. М.: Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 1958..

21. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериме!-рии. М.: Наука, 1966..

22. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового сосюяния динамических систем: Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988..

23. Шор Н. З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев: Наукова думка, 1979..

24. D’Ocagne М. Sur certaine figures minimales //Bull. Soc. Math. France 1884. v.12. P.168−177..

25. Lebesgue H. Sur quelques questions de minimum, relatives and courbes orbiformes, et sur leurs rapports avec le calcul des variations //J. Math. Pures Appl. 1921. V.4. p 67−96..

26. Bonnesen T. Uber das isoperimetrusche Defizit ebener Figuren //Math. Ann. 91 (1924). S. 252−268..

27. Bonnesen Т., Fenchel W. Theory der konvexen Korper. Berlin: Springer-Verlag, 1934..

28. Vincze St. Uber den Minimalkreisring einer Eiline//Acta Sci. Math. (Szeged). 1947. V.ll. № 3. P. 133−138..

29. Vincze I. Uber Kreisringe, die eine Eiline einbchlissen //Studia Sci. Math. Hungar. 1974. V.9. №½. P. 155−159..

30. Kriticos N. Uber konvexe Flachen und einschlissende Kugeln //Math Ann. 1927. V.96. P.583−586..

31. Barany I. On the minimal ring containing the boundary of convex body // Acta Sci. Math. (Szeged). 1988. V.52. №½. P.93−100..

32. Zucco A. Minimal shell of a typicall convex body //Proc. Airier. Math. Soc. 1990. V.109. № 3. P.797−802..

33. Dudov S.I., Zlatorunskaya I.V. Best approximation of a compact convexset by a ball in an arbitrary norm // Advances in mathematics research. 2002. V.2. Nova Science Publishers, Inc. New York, P.81−114..

34. Дудова А. С. Об устойчивости задачи о внешней оценке компакта шаром произвольной нормы // Тез. докл. 12-ой Саратовской зимней школы. Саратов. Изд-во Гос УНЦ «Колледж'2004, с.75−76..

35. Дудова А. С. Об устойчивости решения задачи внешней оценки компакта шаром произвольной нормы // Математика. Механика: Сб. научн.тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2004. — выи.6. С.54−56..

36. Дудова А. С. Об аппроксимации выпуклого компакта многогранником //Материалы 7-й междунар. Казанской летней научной школы-конференции. Казань: Изд-во Казанскою матем. общества, 2005, с. 68−69..

37. Дудова А. С. Об аппроксимации выпуклого компакта многогранником //Математика. Механика: Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат ун-та. 2005. вып.7. с.45−47..

38. Дудова, А С. Об одном критерии решения задачи о внешней оценке компакта шаром // Тез. докл. 13-ой Саратовской зимней школы. Саратов. Изд-во «Научная книга2006, с.65−66..