Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных групп

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии

Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации -нильпотентных групп

Курсовая работа Исполнитель:

Студентка группы М-31

____________ Бондаренко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

____________ Скиба М.Т.

Гомель 2005

Перечень условных обозначений

Введение

Описание конечных групп с плотной системой-субнормальных подгрупп для формации -нильпотентных групп

Заключение

Литература

Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;

и —- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

—- пустое множество;

—- множество всех, для которых выполняется условие ;

—- множество всех простых чисел;

—- некоторое множество простых чисел, т. е. ;

—- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число —- любое число вида ;

—- множество всех целых положительных чисел.

—- некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел .

Запись означает, что предшествует в упорядочении, .

Пусть —- группа. Тогда:

—- порядок группы ;

—- порядок элемента группы ;

—- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

—- множество всех простых делителей порядка группы ;

—- множество всех различных простых делителей натурального числа ;

—группа —- группа, для которой ;

—группа —- группа, для которой ;

—- подгруппа Фраттини группы, т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

—- подгруппа Фиттинга группы, т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

—- коммутант группы ;

—- —холловская подгруппа группы ;

—- силовская —подгруппа группы ;

—- дополнение к силовской —подгруппе в группе, т. е. —холловская подгруппа группы ;

—- группа всех автоморфизмов группы ;

—- является подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа —- неединичная собственная подгруппа;

—- является нормальной подгруппой группы ;

—- подгруппа характеристична в группе, т. е. для любого автоморфизма ;

—- индекс подгруппы в группе ;

;

—- централизатор подгруппы в группе ;

—- нормализатор подгруппы в группе ;

—- центр группы ;

—- циклическая группа порядка ;

Если и —- подгруппы группы, то:

—- прямое произведение подгрупп и ;

—- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы .

Группа называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

—- подгруппа, порожденная всеми, для которых выполняется .

Группу называют —нильпотентной, если .

Группу порядка называют —дисперсивной, если выполняется и для любого имеет нормальную подгруппу порядка. Если при этом упорядочение таково, что всегда влечет, то —дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.

Цепь —- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп —- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь называетсяцепью (с индексами); если при этом является максимальной подгруппой в для любого, то указанная цепь называется максимальнойцепью.

Ряд подгрупп называется:

субнормальным, если для любого ;

нормальным, если для любого .

Нормальный ряд называется главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .

Классы групп, т. е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т. е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

—- класс всех групп;

—- класс всех абелевых групп;

—- класс всех нильпотентных групп;

—- класс всех разрешимых групп;

—- класс всех —групп;

—- класс всех сверхразрешимых групп.

Пусть —- некоторый класс групп и —- группа, тогда:

—- —корадикал группы, т. е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из, для которых. Если —- формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы, факторгруппа по которой принадлежит. Если —- формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и. Класс групп называется наследственным илизамкнутым, если из того, что, следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .

Пусть —- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется:

— нормальной, если ;

— абнормальной, если .

Максимальнаяцепь называетсясубнормальной, если для любого подгруппанормальна в. Подгруппа группы называетсясубнормальной, если существует хотя бы однасубнормальная максимальнаяцепь.

Группа называется группой с плотной системойсубнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп и группы, из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе существует такаясубнормальная подгруппа, что. В этом случае также говорят, что множествосубнормальных в подгрупп плотно.

Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.

С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп, то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из. Среди таких обобщений выделим следующие исследования.

Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О. Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальнымитыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д. Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.

Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.

В начале 70-х годов по инициативе С. Н. Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы, обладающая некоторым свойством, называется плотной в, если для любых двух подгрупп из, где не максимальна в, найдетсяподгруппа такая, что. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С. Н. Черниковым.

В 1974 году С. Н. Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы, в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А. Манном и В. В. Пылаевым.

Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа являетсясубнормальной в, если существует цепь подгрупп такая, что являетсянормальной максимальной подгруппой в для любого. Если совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, -замкнутой насыщенной формацией), тосубнормальная подгруппа оказывается субнормальной.

В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных —подгруппами, —субнормальными или —абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л. А. Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.

Ясно, что вопрос С. Н. Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если —- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех еесубнормальных подгрупп плотно?

В таком виде вопрос С. Н. Черникова был исследован в работе для случая, когда —- класс всехнильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда —- произвольнаязамкнутая насыщенная формация либонильпотентных, либодисперсивных, либо сверхразрешимых групп.

Описание конечных групп с плотной системой-субнормальных подгрупп для формации -нильпотентных групп

Пусть —- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, —- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой.

Доказательство. Пусть —- группа наименьшего порядка, для которой лемма не верна. Так как неразрешима, то она имеет подгруппу порядка, где —- простое число. По условию, имеетсубнормальную подгруппу такую, что делит. Поэтому в существует максимальная подгруппа, содержащая. Таким образом, .

По лемме, множество всехсубнормальных подгрупп плотно в любой факторгруппе группы. Поэтому лемма верна для любой нетривиальной факторгруппы группы. Так как класс всех разрешимых групп и класс всехнильпотентных групп —- насыщенные формации, то мы получаем, что. Очевидно, имеет минимальную нормальную подгруппу, содержащуюся в .

1. Рассмотрим случай. Допустим, что неразрешима. Тогда содержит подгруппу порядка, где. Так как 1 не максимальна в, то в существуетсубнормальная подгруппа такая, что. По лемме, естьчисло. Мы получаем, что и, т. е. оказываетсянильпотентнойгруппой. Противоречие. Следовательно, разрешима.

Ввиду леммы, лемма верна для. Значит, либо разрешима, либо являетсянильпотентнойгруппой. Так как, то мы видим, что лемма верна и для .

2. Теперь рассмотрим случай. Из леммы и индуктивного предположения вытекает, что лемма верна для любой собственной подгруппы группы. Следовательно, каждая собственная подгруппа группы либо разрешима, либо являетсянильпотентнойгруппой.

2.1. Предположим, что содержит разрешимуюнормальную максимальную подгруппу. Тогда разрешима, а —- неразрешимаянильпотентнаягруппа. Из следует, что являетсягруппой для некоторого простого .

Предположим, что и. Так как неразрешима, то имеет подгруппу порядка, где. По условию, в существуетсубнормальная подгруппа такая, что. Так как —- -группа, а по лемме, индекс являетсячислом, то мы получаем, что —- -нильпотентнаягруппа. Противоречие.

Случай и невозможен, так как —- неразрешимаянильпотентнаягруппа. Поэтому остается рассмотреть случай. Но тогда являетсяразрешимойгруппой. Так как неразрешима, то в холловойподгруппе из найдется нециклическая силовская подгруппа. Пусть —- произвольная максимальная подгруппа из. Тогда не максимальна в. По условию, в существуетсубнормальная подгруппа такая, что. Обозначим через формацию всехнильпотентных групп. По лемме, -субнормальна в. Теперь по теореме, мы имеем. Следовательно,, а значит, централизует. Получается, что любая нециклическая силовская подгруппа из централизует. Так как не принадлежит, то не централизует. Итак, в имеется циклическая силовская подгруппа, которая не централизует. Ввиду теоремы, не максимальна в. Теперь, применяя к те же рассуждения, что и для, получаем, что централизует. Пришли к противоречию.

2.2. Итак, пусть теперь каждаянормальная максимальная подгруппа группы являетсянильпотентнойгруппой. Тогда оказываетсягруппой, а еекорадикалнильпотентен. Так как группы Шмидта разрешимы, то отсюда следует, что имеетабнормальную максимальную подгруппу, которая не являетсянильпотентной. По предположению, разрешима. По лемме, каждаяабнормальная максимальная подгруппа из принадлежит. По теореме, являетсягруппой для некоторого простого числа. Если, тонильпотентна, противоречие. Таким образом,, т. е. естьгруппа. Выберем в подгруппу, удовлетворяющую следующим условиям: 1) —- степень простого числа; 2) не являетсягруппой; 3) не максимальна в. По условию, в найдетсясубнормальная подгруппа такая, что. По теореме, , а потому мы имеем. Так как ненильпотентна, то мы получаем, что не являетсягруппой. Мы видим, что в существует силовскаяподгруппа такая, что максимальна в, и. Если нециклическая, то она имеет две различные максимальные подгруппы и, которые, как мы доказали, централизуют. Отсюда следует, что и централизует, что невозможно. Следовательно, —- циклическая максимальная подгруппа в. Группа у насразрешима. Будем считать, что содержится в холловойподгруппе группы. Если максимальна в, то учитывая, что циклическая, мы получаем, что, по теореме, подгруппа разрешима. Но тогда и разрешима. Получаем противоречие. Таким образом, не максимальна в. По условию, в найдется такаясубнормальная подгруппа, что. Так как, мы получаем, чтосубнормальна в. По теореме,. Снова получили противоречие. Лемма доказана.

Пусть —- некотораязамкнутая насыщеннаянильпотентная формация, —- группа c плотной системойсубнормальных подгрупп. Предположим, что, —- -группа, ненильпотентна, а все ееабнормальные максимальные подгруппынильпотентны. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

1) —- группа Шмидта и ;

2), силовскаяподгруппа из совпадает с и является ее минимальной нормальной подгруппой;

3), —- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в, имеющая индекс в, а подгруппа является циклической, причем .

Доказательство. По лемме, разрешима. Пусть —- некотораяабнормальная максимальная подгруппа из. Тогда, по условию, некоторая холловаподгруппа входит в и нормализует ее силовскуюподгруппу. Так как —- -группа, то. А так как инильпотентна, то из вытекает, что. Рассмотрим два случая: и .

1.. По лемме, либо максимальна в, либосубнормальна в. Пусть вначалесубнормальна в. Тогда, по теореме,. Так как, то получается, что —- силовскаяподгруппа из, нормализующая. Это противоречит тому, что ненильпотентна. Пусть теперь максимальна в. Тогда. Значит, либо совпадает с силовскойподгруппой, либо .

1.1.. Допустим, что в имеется ненильпотентнаянормальная максимальная подгруппа. Будем считать, что ее холловаподгруппа содержится в. Так как не максимальна в и, то, по лемме, -субнормальна в, а значит, и в. Теперь по теореме,, а значит, нильпотентна. Итак, —- группа Шмидта. Но тогда нормальна в, а значит, ввиду теоремы, не может быть абелевой. Таким образом,. Так как, то. Итак, —- группа типа 1).

1.2. не является силовскойподгруппой в. Тогда и Таким образом, является минимальной нормальной подгруппой в. Рассмотрим подгруппу. Подгруппа нормальна в и ненильпотентна. Подгруппа содержится в и характеристична в. Так как —- минимальная нормальная подгруппа, то —- силовскаяподгруппа из. Пусть —- такая строго содержащая подгруппа из, что максимальна в. Из равенства следует, что не являетсянильпотентной группой. Каждая собственная подгруппа из не максимальна в и, по лемме, являетсясубнормальной в, а значит, и в. Теперь по лемме, —- минимальная негруппа, т. е. —- группа Шмидта. Таким образом, —- циклическаягруппа,. Так как, то. Лемма в этом случае доказана.

2.. Таким образом, —- дополнение к подгруппе, которая является в этом случае силовской подгруппой в и к тому же минимальной нормальной подгруппой. Если каждая собственная подгруппа изсубнормальна в, то по лемме, является группой Шмидта, т. е. —- группа типа 3).

Предположим, что не является группой Шмидта. Тогда в имеется ненильпотентнаянормальная максимальная подгруппа, холловаподгруппа которой входит в, принадлежит и, ввиду теоремы, не являетсясубнормальной в (в противном случае, по теореме, подгруппа была бынильпотентной). Выберем в такую подгруппу, что и максимальна в. Допустим, что в имеетсясубнормальная в подгруппа, не содержащаяся в. Тогда, по теореме,, т. е.. Тогда содержит и, т. е.. Так как —- минимальная нормальная подгруппа, то. Любая собственная подгруппа из не максимальна в и, по лемме, являетсясубнормальной в. Теперь по лемме, примененной к, получаем, что —- минимальная негруппа. Таким образом, —- группа Шмидта. Значит, —- примарная циклическая группа. Так как разрешима и —- минимальная нормальная подгруппа, то мы видим, что —- группа типа 2).

Итак, каждая подгруппа из, -субнормальная в, содержится в. Пусть —- простой делитель индекса. Силовскаяподгруппа из не входит в и потому не являетсясубнормальной в. Поэтому по лемме, максимальна в. Отсюда следует, что. Лемма доказана.

Пусть —- некотораязамкнутая насыщеннаянильпотентная формация, —- группа c плотной системойсубнормальных подгрупп, и каждаяабнормальная максимальная подгруппа изнильпотентна. Тогда либо являетсянильпотентнойгруппой, либо группой одного из типов:

1) —- группа Шмидта и ;

2), силовскаяподгруппа является минимальной нормальной подгруппой в ;

3), , где —- минимальная нормальная подгруппа в, , циклическая, .

Доказательство. Пусть не являетсянильпотентнойгруппой. По лемме, разрешима. Пусть —- формация всехнильпотентных групп. Так как, то каждаяабнормальная максимальная подгруппа являетсяабнормальной, а значит, ввиду условия, инильпотентной. По тереме, —- -группа, и теперь мы применяем лемму в случае. Лемма доказана.

Пусть —- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, —- не -нильпотентная группа c плотной системой -субнормальных подгрупп и . Тогда любая -абнормальная максимальная подгруппа из либо -нильпотентна, либо является бипримарной группой Миллера—Морено.

Доказательство. По лемме, разрешима. Пусть —- ненильпотентнаяабнормальная максимальная подгруппа группы. По лемме, множество всехсубнормальных подгрупп в плотно. По лемме, каждаяабнормальная максимальная подгруппа из принадлежит. По теореме, —- -группа. Значит, —- группа типа 1), 2) или 3) леммы. В дальнейшем обозначает формацию всехнильпотентных групп. Пусть —- группа типа 1), т. е. —- группа Шмидта с нормальной силовскойподгруппой и. Тогда не максимальна в. По условию, в имеетсясубнормальная подгруппа такая, что. Кроме того,. Получается, чтосубнормальна в, а значит, и в. По теореме,, что невозможно. Итак, либо типа 2), либо типа 3) из леммы.

1.,. Тогда холловаподгруппа группы строго содержит некоторую .

Предположим, что —- типа 2). Пусть —- произвольная собственная подгруппа из. Так как не максимальна в, то существуетсубнормальная в подгруппа такая, что. Подгруппа будетсубнормальна в. Поэтому и будетсубнормальна в. По теореме,, т. е.. Таким образом, каждая собственная подгруппа изнильпотентна, а значит, —- группа Шмидта, в которой —- минимальная нормальная подгруппа. Значит, в этом случае лемма верна.

Итак, —-группа типа 3), т. е., —- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в, силовскаяподгруппа из циклическая и. Еслисубнормальна в, то, по теореме, нильпотентна и, значит,, что невозможно. Значит, несубнормальна в. Если не максимальна в, то, по условию, в найдетсясубнормальная подгруппа такая, что. Получается, что —- нормальная подгруппасубнормальной разрешимойподгруппы, а потому будетсубнормальной в. Итак, максимальна в, а значит,. Пусть —- силовскаяподгруппа из, являющейся дополнением к в, очевидно,. Так как не максимальна в, то для некоторойсубнормальной подгруппы из. Тогда. Так как, то мы видим, что не содержится в. Ввиду леммы, -абнормальные максимальные подгруппыабнормальных максимальных подгрупп из принадлежат, поэтому, по теореме, имеем. Получается, что. Вспоминая, что —- минимальная нормальная подгруппа в, мы получаем, что содержащаяся в минимальная нормальная подгруппа группы совпадает с, либо с. Случай не возможен, так как и ненильпотентна. Значит,. Рассмотримнильпотентную подгруппу. По условию, содержится в некоторой подгруппе из, котораясубнормальна в. Так как, то будетабнормальна в, а значит, и в. Тогда, по теореме, -нильпотентна, что противоречит тому, что ненильпотентна. Случай 1 полностью рассмотрен.

2.. Будем доказывать этот случай по индукции, используя тот уже доказанный нами факт, что дляабнормальных максимальных подгрупп, индекс которых не является степенью, утверждение леммы выполняется. Нам надо рассмотреть две возможности: —- либо типа 2), либо типа 3) из леммы.

Рассмотрим сначала случай, когда типа 2), т. е., силовскаяподгруппа из совпадает с и является минимальной нормальной подгруппой в. Ясно, что содержит силовскуюподгруппу группы, а нормальна в; а кроме того, холловаподгруппа из является холловойподгруппой в. Подгруппа являетсяабнормальной максимальной подгруппой в; кроме того, —- холловаподгруппа в. Если —- любаяабнормальная максимальная подгруппа из, не сопряженная с, то индекс не делится на. Но тогда —- -абнормальная максимальная подгруппа в с индексом, не делящимся на. По доказанному, либонильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Будем считать, что. Заметим, что. Если —- -замкнутая группа Миллера-Морено, то —- минимальная нормальная подгруппа в и, значит,, что невозможно. Таким образом, в всеабнормальные максимальные подгруппынильпотентны. По теореме, —- -группа. Вспоминая, что, получаем. Допустим, что в имеется максимальная подгруппа такая, что ненильпотентна. По теореме, несубнормальна в. Так как не максимальна в, то для некоторой собственнойсубнормальной подгруппы из. Значит,. Подгруппа максимальна в и содержится в. Поэтому. Так как и, то является собственнойсубнормальной подгруппой в, и поэтому является собственной подгруппой в. Так как ненильпотентна, то. Подгруппа содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе из. По индукции, либонильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Предположим, что —- группа Миллера-Морено. Тогда, где максимальна в, а —- минимальная нормальная подгруппа в. Так как и, то, что невозможно, так как —- собственная подгруппа в. Значит, -нильпотентна и, более того, принадлежит. Если не максимальна в, то, по условию,, гдесубнормальна в. Но тогдасубнормальна в, что невозможно. Таким образом, максимальна в и, значит,, где. Так как и максимальна в и имеет силовскуюподгруппу порядка, то —- максимальная нормальная подгруппа в, а значит, —- тоже элементарная абелевагруппа.

2.1.,. Так как —- минимальная нормальная подгруппа в, то. По теореме Машке,, где. Так как, тоглавные факторы и центральны. Но тогда и содержатся в. Если, то из вытекает, что, а это противоречит тому, что —- -эксцентральный главный фактор в. Значит,. Рассмотрим подгруппу. Подгруппа не максимальна в, поэтому, где —- некотораясубнормальная подгруппа из. Так как, то не может бытьсубнормальной в. Поэтому. Из максимальности в выводим, что совпадает либо с, либо с. В обоих случаях. Отсюда и изсубнормальности подгруппы следует, чтосубнормальна в, и мы приходим к противоречию.

2.2.,. Так как, то главные факторы и изоморфны, откуда выводим, что содержится в. Но тогда —- неединичная подгруппа из, что невозможно, так какэксцентральна. Получили противоречие.

2.3.. Так как, то из следует, что, а это противоречит минимальности в. Поэтому остается принять, что. Это означает, чтонильпотентна. Но была выбрана ранее так, что ненильпотентна. Снова получили противоречие.

Таким образом, в нет максимальных подгрупп таких, что ненильпотентна. Получается, что —- минимальная ненильпотентная группа с минимальной нормальной подгруппой, т. е. —- группа Миллера-Морено.

Пусть теперь —- группа типа 3), т. е., —- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в, не являющаяся силовской в, а силовскаяподгруппа из является циклической и. Еслисубнормальна в, тонильпотентна по теореме и, кроме того, дополнение к в тоженильпотентно. А это противоречит тому, что ненильпотентна. Поэтому в дальнейшем мы будем иметь в виду, что несубнормальна в .

Если не максимальна в, то по условию,, гдесубнормальна в. Так как, то получается, чтосубнормальна в, что невозможно. Итак, максимальна в. Пусть —- дополнение к в, а —- дополнение к в силовскойподгруппе из. Тогда,. Подгруппа не максимальна в, но максимальна в, т. е.. Поэтому, по условию, существуетсубнормальная подгруппа такая, что. Значит, содержится в максимальной подгруппе группы, содержащей. Равенство показывает теперь, что не содержится в. Подгруппа максимальна в, поскольку ее индекс равен. Так как —-собственнаясубнормальная подгруппа в, то не равна, но содержит. Значит,. Но —- собственнаясубнормальная подгруппа в, поэтому. Получается, что —- собственная подгруппа из. Ясно, что содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе группы. Для лемма верна по индукции, поэтому либонильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Еслинильпотентна, то из выводим, что и поэтому, что невозможно. Таким образом, —- группа Миллера-Морено, у которой —- силовскаяподгруппа. Но тогда ввиду того, что и, мы получаем. Снова получили противоречие. Лемма доказана.

Пусть —- -группа, не принадлежащая непустойзамкнутойнильпотентной формации такой, что содержит и не совпадает с множеством всех простых чисел. Скажем, что является:

1) группой типа, если — ненильпотентнаягруппа Шмидта с ;

2) группой типа, если, , нециклическая, —- минимальная нормальная подгруппа в, является нильпотентной максимальной подгруппой в, а любая другая максимальная подгруппа из, содержащая, является группой Миллера-Морено;

3) группой типа, если, ,, , в имеется нильпотентнаянормальная максимальная подгруппа, а такжеабнормальная максимальная подгруппа, являющаяся группой Миллера—Морено;

4) группой типа, если, , где, , нормальна в, циклическая, —- минимальная нормальная подгруппа в, имеется точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются, и ;

5) группой типа, если, —- минимальная нормальная подгруппа в, является циклической максимальной подгруппой в, —- либо группа Миллера-Морено, либо группа типа, и —- группа Фробениуса;

6) группой типа, если, и если, и —- силовская база группы, то нормальна в, нормальна в, одна из подгрупп, нормальна в, максимальна в, имеется точно три класса сопряженных максимальных подгрупп в, представителями которых являются: —- группа Миллера-Морено, и ;

7) группой типа, если, , —- группа порядка, не являющаяся группой Фробениуса и имеющая точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются: —- либо группа Миллера-Морено, либо группа типа, —- группа типа, ;

8) группой типа, если, , —- группа Фробениуса порядка, имеющая точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются: —- либо группа Миллера-Морено, либо группа типа, —- либо группа Миллера-Морено, либо группа типа, .

Пусть, где —- -замкнутая насыщеннаянильпотентная формация. Будем считать, что и таковы, что, но. Так же, как и в примере, строим группу Шмидта порядка. По теореме Гольфанда, существует группа Шмидта порядка. Очевидно,. Таким образом, группы и —- группы типа .

Пусть, где —- -замкнутая насыщеннаянильпотентная формация. Будем считать, что. Пусть —- неабелева группа порядка. Тогда, где, ,. Рассмотрим группу, где. Ясно, что,. Таким образом, —- группа типа .

Пусть, где —- -замкнутая насыщеннаянильпотентная формация. Пусть —- циклическая группа порядка, —- такая подгруппа из, что —- простое число, делящее и входящее в. Пусть. Так как циклическая, то из теоремы вытекает, что и. Отсюда следует, что —- -нормальная нильпотентная максимальная подгруппа, а любая подгруппа порядка является группой Миллера-Морено. Значит, —- группа типа .

Пусть —- нециклическая группа порядка, —- неабелева неприводимая группа автоморфизмов порядка группы, где и —- простые числа из, —- -замкнутая насыщеннаянильпотентная формация. Тогда, где —- группа типа .

Пусть —- группа порядка такая, что имеет силовскуюподгруппу порядка. Пусть, где —- -замкнутая насыщеннаянильпотентная формация. Тогда —- группа типа .

Пусть и —- нечетные простые числа, —- группа простого порядка, —- группа порядка. В существует элемент порядка, который действует нетривиально на и. Циклическую группу порядка превратим в группу операторов группы с помощью гомоморфизма с ядром порядка. Пусть. Очевидно, что и —- группы Миллера-Морено, а —- нильпотентная максимальная подгруппа. Пусть —- такаязамкнутая насыщеннаянильпотентная формация, что. Тогда группа —- группа типа .

Пусть, , —- различные простые числа и порядок по модулю равен. Пусть —- такаязамкнутая насыщеннаянильпотентная формация, что. Пусть —- группа из примера. Допустим, что существует неабелева группа автоморфизмов порядка группы. Тогда —- группа Миллера-Морено. Ясно, что группа —- группа типа. Эта ситуация реализуется, например, в случае, , .

Пусть —- группа простого порядка. Тогда имеет порядок, и можно подобрать так, что в ней найдется подгруппа порядка, где и —- различные простые числа. Рассмотрим группу. Подгруппа будет максимальной самонормализуемой подгруппой, а подгруппы и —- максимальными подгруппами Миллера-Морено. Пусть —- такаязамкнутая насыщеннаянильпотентная формация, что. Тогда группа —- группа типа .

Пусть —- непустая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, —- не -нильпотентная -группа, у которой множество всех -субнормальных подгрупп плотно. Тогда является группой одного из типов для некоторого .

Доказательство. Пусть ненильпотентна. Тогда, по лемме 4.1.1, разрешима.

1. Допустим, что обладает ненильпотентнойабнормальной максимальной подгруппой. По лемме, —- бипримарная группа Миллера-Морено, а значит,. Заметим еще, что, где —- минимальная нормальная подгруппа в .

1.1. Рассмотрим вначале случай. Тогда есть степень либо простого, либо. Пусть. Пусть —-силовскаяподгруппа из, содержащая. Если не максимальна в, то, где —- некотораясубнормальная в подгруппа. Тогдасубнормальна в, а значит, и в (напомним, что из следует, что). Но тогда, по теореме,, противоречие. Значит, и. Пусть —- максимальная подгруппа из, содержащая. Так какабнормальна, то, по лемме, либонильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Но —- минимальная нормальная подгруппа в, поэтому ясно, что не может бытьзамкнутой группой. Таким образом, -нильпотентна. Если, то из и из условия вытекает, что существуетсубнормальная в подгруппа такая, что. Так как, то, что противоречит равенству. Итак, мы должны рассмотреть только случай. Подгруппа является циклической и максимальна в. Поэтому очевидно, что максимальная подгруппа из нормальна в. Пусть —-минимальная нормальная подгруппа в. Так как —- минимальная нормальная подгруппа в, то —- -группа, не входящая в, а значит,. Так как максимальна и не нормальна в, то. Ясно теперь, что, а значит, нормальна в. Таким образом, получается, что, что противоречит равенству. Итак, теперь надо рассмотреть случай, т. е. —- силовскаяподгруппа в, а —- минимальная нормальная подгруппа в. Допустим, что силовскаяподгруппа из не равна 1. Так как, то. Тогданильпотентна, а значит, силовскаяподгруппа из содержится в. Но это противоречит равенству. Итак,. По теореме Бернсайда, -нильпотентна и, значит, —- силовскаяподгруппа в. Максимальная подгруппа из не максимальна в, поэтому для некоторойсубнормальной в подгруппы. Так как —- абелевагруппа, то. Значит, оказываетсясубнормальной в. По теореме,. Мы получаем, что —- группа типа .

1.2. Рассмотрим теперь случай. Тогда ясно, что —- холлова подгруппа в; будем полагать, что делится на и. Пусть, и —- попарно перестановочные силовские подгруппы из такие, что. Так как и, то. Рассмотрим максимальную подгруппу из, содержащую. Если не максимальна в, то ввиду условия, где —- -субнормальная собственная подгруппа группы, а значит,, что противоречит равенству. Значит, максимальна в и поэтому, где, так как. Понятно, что содержащаяся в минимальная нормальная подгруппа группы совпадает либо с, либо с. Пусть —- максимальная подгруппа из, содержащая. Так как —- группа Миллера-Морено, то холловаподгруппа из нильпотентна. Таким образом, если, тонильпотентна и. Если не максимальна в, то существуетсубнормальная подгруппа такая. что. Тогдасубнормальна в, где —- формация всехнильпотентных групп, анильпотентна по теореме, т. е.. Следовательно, если не нормальна в, то, максимальна в и. В любом случае, силовскаягруппа из нормальна в. Пусть —- еще одна максимальная подгруппа индекса. Тогда, так как циклическая. Понятно теперь, что и сопряжены. Итак —- группа типа .

2. Теперь будем полагать, что каждаяабнормальная максимальная подгруппа группынильпотентна. Тогда —- группа одного из типов 1)-3) леммы Если —- группа типа 1), то доказывать нечего. Пусть —- группа типа 3), т. е., , где, ,, циклическая, а —- минимальная нормальная подгруппа в. Заметим, чтосверхразрешима. Пусть —- максимальная подгруппа группы. Если содержит и не содержит, то. Если содержит и, то. А если содержит, то и. Таким образом, имеет точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются, и. Значит, в этом случае группа —- группа типа. Пусть и —- минимальная нормальная подгруппа в. Рассмотрение этого случая разобьем на две части: и .

2.1. Пусть вначале. Пусть. Очевидно,. Предположим, что имеет максимальную подгруппу, являющуюсясубнормальной в. По теореме,. Очевидно,. Ясно, что любая максимальная подгруппа из, отличная от, не являетсясубнормальной в. Если циклическая, то —- группа типа. Поэтому считаем, что нециклическая. Пусть —- максимальная подгруппа из, отличная от. Рассмотрим подгруппу, являющуюсясубнормальной в. Так как несубнормальна, то. Пусть —- -абнормальная максимальная подгруппа из. Так как, то —- степень, т. е. содержится в подгруппе, сопряженной с в. Будем считать, что. Силовскаяподгруппа из нормальна в и в, т. е. нормальна в. Но —-минимальная нормальная подгруппа. Поэтому —- -группа, т. е. максимальна в. По лемме, каждая собственная подгруппа из будетсубнормальной в (мы применяем утверждение 2) леммы для случая). Теперь, по лемме, является минимальной негруппой, откуда следует, что —- группа Миллера-Морено, т. е. —- группа типа. Предположим теперь. что любая максимальная подгруппа из не являетсясубнормальной в. Пусть —- максимальная подгруппа из, причем. Подгруппа не принадлежит, иначе была бысубнормальной. Если максимальна в, то —- группа Миллера-Морено. Если не максимальна в, то строго содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе из. Подгруппа ненильпотентна, так как в противном случае, что противоречит тому, что несубнормальна. Итак,, в существует ненильпотентнаяабнормальная максимальная подгруппа,. Но этот случай уже рассмотрен, т. е. —- группа типа. Таким образом, максимальная подгруппа из нормальна в. Рассмотрим группу, ее порядок равен. Понятно, что если и —- две различные подгруппы из, то, и значит,, так как каждая максимальная подгруппа из не нормальна в. Следовательно, —- группа Фробениуса с циклической подгруппой порядка. Так как, то получается, что циклическая. Так как —- единственная максимальная подгруппа, содержащая, то. Итак, —- группа типа .

2.2. Пусть теперь. По лемме, —- минимальная нормальная подгруппа группы. Если собственная подгруппа из не является максимальной в, то, по условию, существуетсубнормальная вгруппа, содержащая. По теореме, , а значит,. Итак, каждая собственная не максимальная подгруппа из поэлементно перестановочна с. Так как ненильпотентна, то ясно, что силовскаяподгруппа и силовскаяподгруппа из не могут одновременно быть не максимальными в, т. е. либо обе они максимальны в, либо только одна из них максимальна в. Эти два случая мы рассмотрим.

2.2.1. Пусть максимальна в. Тогда, как отмечалось, нильпотентна, а ненильпотентна. Пусть —- произвольная максимальная подгруппа из. Тогда не максимальна в и, по условию, содержится в некоторойсубнормальнойподгруппе, которая, по теореме, будет поэлементно перестановочна с. Отсюда следует, что —- группа Миллера-Морено. Если нормальна в, то. Пусть —- максимальная подгруппа из, содержащая. Каждая собственная подгруппа из, как отмечалось, поэлементно перестановочна с. Значит, каждая собственная подгруппа из будетнильпотентна. Но. Поэтому не может быть группой Шмидта. Значит, -нильпотентна и. Значит,. Получается, что каждая максимальная подгруппа из нормальна в, т. е. нильпотентна. Итак, если нормальна в, то —- группа типа .

Пусть теперь не нормальна в. По теореме Бернсайда, -нильпотентна, т. е.. Учитывая, что нильпотентна, получаем, что нормальна в, т. е. оказывается группой типа .

2.2.2. Пусть теперь подгруппы и являются максимальными в. Тогда одна из них нормальна в. Пусть. Тогда. В этом случае, и —- максимальные подгруппы в. Если одна, нильпотентна, то —- группа типа. Предположим, что и не нильпотентны. Поскольку каждая собственная подгруппа из поэлементно перестановочна с, а подгруппа ненильпотентна, то является циклической. Но тогда, так как максимальна в сверхразрешимой подгруппе. Рассмотрим подгруппу. Так как, то. Если максимальна в, то —- группа Миллера-Морено. Пусть не максимальна в. Так как и, токорадикал подгруппы является неединичнойгруппой. Ясно, что содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе из, причем, так как самонормализуема в. Мы видим, что —- группа типа .

Возможны два случая: нормальна в и ненормальна в .

Пусть не нормальна в. Если, то —- группа Фробениуса с нильпотентной нормальной подгруппой, что противоречит нашему допущению. Пусть, где,. Так как элементарная абелева, то существует такаяподгруппа, что. Мы видим, что —- группа типа, а сама —- группа типа .

Предположим теперь, что нормальна в, т. е. нильпотентна и имеет порядок. Очевидно, что в этом случае является группой Фробениуса с ядром, а —- группа типа, либо группа Миллера-Морено. Рассмотрим. Если максимальна в, то —- группа Миллера-Морено. Пусть не максимальна в. Так как, то содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе из, причем, так как самонормализуема в. Получается, что —- группа типа. В этом случае оказывается группой типа. Теорема доказана.

Таким образом, теоремы дают описание ненильпотентных групп, у которых множество всехсубнормальных подгрупп плотно, где —- некотораязамкнутая насыщенная формациянильпотентных групп.

В случае, когда —- формация всехнильпотентных групп, из теоремы вытекает результат Л. Н. Закревской.

Теорема остается новой в случае, когда —- формация всех нильпотентныхгрупп. В частности, при мы получаем результат В. В. Пылаева.

Заметим, что в работе при описании групп с плотной системойсубнормальных подгрупп, где —- формация всехнильпотентных групп, Л. Н. Закревской была допущенна ошибка. Так в ситуации, когда силовскаяподгруппа группы, где —- силовская подгруппа максимальной подгруппы группы, , является элементарной абелевой группой, утверждается, что, что в общем случае не верно.

Заключение

В данной работе рассмотрены конечные группы с плотной системойсубнормальных подгрупп в случаях, когда —- либо произвольнаязамкнутая формациянильпотентных групп, либо произвольнаязамкнутая формациядисперсивных групп, либо произвольнаязамкнутая формация сверхразрешимых групп. Основной вывод, который вытекает из теорем состоит в том, что за исключением нескольких вполне обозримых случаев в любой группе, не принадлежащей, существуют несубнормальные подгруппы и такие, что, не максимальна в, и из всегда следует, что несубнормальна в .

1.Гольфанд Ю. А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. —- 1948. —- Т. 60,№ 8. —- C. 1313—1315.

2.Закревская Л. Н. Конечные группы с плотной системойсубнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. —- Минск: Наука и техника, 1984. —- 71—88.

3.Закревская Л. Н. Конечные группы сплотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. —- Мн.:Наука и техника, 1986. —- 59—69.

4.Каморников С. Ф., Селькин М. В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. —- Минск: Бел. навука, 2003. —- 254 с.

5.Кехмадзе Ш. С. Квазинильпотентные группы // Докл. АН СССР. —- 1964. —- № 155. —- С. 1003—1005.

6.Монахов В. С. О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Матем. зам. —- 1972. —- Т. 11, № 2. —- C. 183—190.

7.Пылаев В. В. Конечные группы с плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Некоторые вопросы теории групп. —- Киев: Инст. математики АН УССР, 1975. —- С. 197—217.

8.Пылаев В. В. Конечные группы с обобщенно плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Исследования по теории групп. —- Киев: Инст. математики АН УССР, 1976. —- С. 111—138.

9.Семенчук В. Н. Минимальные негруппы // Алгебра и логика. —- 1979. —- Т. 18, № 3. —- C. 348—382.

10.Черников С. Н. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп // Некоторые вопросы теории групп. —- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. —- С. 5—29.

11.Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы бесконечных подгрупп // Укр. мат. журн. —- 1967. —- № 6. —- С. 111—131.

12.Черников С. Н. О нормализаторном условии // Мат. заметки. —- 1968. —- № 1. —- С. 45—50.

13.Чунихин С. А. Освойствах конечных групп // Матем. сб. —- 1949. —- Т. 25, № 3. —- с. 321—346.