Смешанные пространственные задачи для преднапряженного физически нелинейного упругого слоя

Значение контактных задач теории упругости определяется не только их непосредственным приложением к расчету напряженно-деформированного состояния в упругих телах при их контактном взаимодействии. Решать контактные задачи приходится при вычислении контактной электропроводности или теплопроводности, а также для расчета фактической площади контакта, являющейся основной характеристикой при определении скорости износа трущихся деталей машин.

С другой стороны, решения задач о трещинах используются в механике разрушения как один из основных моментов расчета деталей на прочность при деформировании, так как практически никакая технология не позволяет изготовить элементы конструкций без микроконцентраторов напряжений.

Поскольку во всех элементах конструкций присутствуют начальные напряжения, природа возникновения которых различна, решение смешанных задач с учетом начальных напряжений представляется весьма актуальным. Последнее обстоятельство в основном связано с тем, что начальные напряжения существенно влияют на напряженно-деформированное состояние тел, подверженных действию внешних нагрузок [32] .

Как известно, впервые задачу о контактном сжатии упругих тел поставил и решил Г. Герц [1М]. На основании гениальной догадки о характере решения интегрального уравнения контактной задачи, пользуясь «полуобратным методом», им были получены формулы, связывающие между собой внедрение штампа и вдавливающую силу, а также эксцентриситет и полуоси эллиптической площадки контакта. После этого в течение длительного времени, в связи с отсутствием адекватного математического аппарата, исследования по контактным задачам практически не проводились.

Дальнейшее развитие задача Г. Герца получила в работах Н. М. Беляева [35−37]. Он первым рассмотрел проблему об определении напряжений в глубине тела, под эллиптическим в плане штампом. Им были получены формулы для распределения напряжений в любой окрестности зоны контакта, а также были определены точки наиболее опасные по прочности. Оказалось, что этими точками являются центр площадки давления и конец ее большой полуоси, а также точка, лежащая на оси симметрии под площадкой контакта на глубине 0,33а (ос — большая полуось).

И.Я.Штаерман [138], пользуясь доказанной им теоремой о виде контактного давления на эллиптической площадке контакта под основанием штампа, описываемым полиномом степени 2п, решил задачу о вдавливании в упругое полупространство штампа, имеющего в основании параболоид второго или четвертого порядка.

А.И.Лурье [9б], решая контактную задачу для полупространства с эллиптической зоной контакта, использовал прием, основанный на разделении переменных уравнения Лапласа в общих эллипсоидальных координатах. Этим методом им были рассмотрены задачи о плоском эллиптическом в плане наклонном штампе и задача для неплоского штампа. Он получил формулы, выделяющие ограниченное на контуре эллиптической зоны контакта решение интегрального уравнения контактной задачи.

Л.А.Галин [51] с помощью функций Ламе доказал общую теорему о виде контактного давления для полиномиального штампа в случае эллиптической области контакта. Им также были исследованы штампы эллиптической формы в плане с произвольными основаниями, именно, получены квадратурные формулы для перемещений и поворотов штампа под действием заданных сил и моментовна основании ©-тих результатов он нашел оценки для перемещений штампа с плоским основанием произвольной формы в плане.

В.И .Довнорович [73] показал как задача о вдавливании в упругое полупространство полиномиального эллиптического в плане штампа может быть сведена к решению системы линейных алгебраических уравнений. На основе этих результатов им было получено ограниченное решение контактной задачи для эллиптического штампа с основанием, описываемым полиномом с членами только второй и третьей степени.

В работе В. М. Александрова [з] был полностью решен вопрос о действии полиномиального эллиптического в плане штампа на упругое полупространствоим была получена простая система линейных алгебраических уравнений, как в случае ограниченного, так и неограниченного решения интегрального уравнения контактной задачи на контуре области контакта.

Из работ зарубежных авторов по контактным задачам для эллиптических в плане штампов можно выделить [139] и [149]. В первой из них решается общая смешанная задача для плоского эллиптического штампа, действующего на упругое полупространство, а именно, вычисляются и перемещения, и напряжения в любой точке полупространства. Во второй — излагается очень простое решение задачи о вдавливании плоского эллиптического в плане штампа в упругое полупространствополучена известная формула для распределения давлений, определены нормальные перемещения границы полупространства.

А.Н.Бородачев [39,40] предложил эффективный метод вычисления контактного давления под эллиптическим в плане полиномиальным штампом, основывающийся на использовании теоремы Ф. В. Дайсона [шД. Им получена более удобная для практического использования, чем в [з], система линейных алгебраических уравнений. А. Н. Бородачев [38] также дал эффективный приближенный аналитический метод, основанный на использовании тензора перемещений Грина, для определения коэффициента интенсивности напряжений нормального отрыва для неограниченного однородного и изотропного упругого тела, ослабленного плоской эллиптической трещиной.

Наиболее полно исследованы контактные задачи теории упругости с круговой линией раздела граничных условий.

В.М.Абрамов [I] дал полное аналитическое решение общей смешанной задачи о несимметричном давлении плоского кругового штампа на упругое полупространство без учета сил трения. В этой работе он первым при решении контактной задачи воспользовался парным интегральным уравнением.

Л.А.Галин [51] решил в конечном виде задачу для кругового в плане штампа с произвольно изогнутым основанием. В основе его метода лежит решение задачи Дирихле о нахождении гармонической функции, исчезающей на бесконечности и непрерывной всюду, кроме внутренности кругового диска. Им также указано, что количество эффективно решаемых вариантов задачи о вдавливании штампа в упругое полупространство может быть увеличено применением преобразования инверсии Кельвина.

В работах В. И. Моссаковского [103,104] решается контактная задача теории упругости для полупространства без учета сил трения в случае, если функция, описывающая форму основания круглого в плане штампа, раскладывается в тригонометрический рядпри этом для первых гармоник решение строится сравнительно легко. Однако с ростом их номера возрастают и вычислительные трудности. Метод решения основан на рассмотрении парных интегральных уравнений. В. И. Моссаковский, В. И. Онищенко, В. Л. Рвачев [П0]ука-зали путь решения данной задачи при помощи преобразования инверсии Кельвина. Ими построена матрица Грина, позволяющая довести решение задачи до квадратур. Там же показано, что, вводя некоторые вспомогательные функции и используя преобразование инверсии, решение задачи можно свести к изученной оеесимметричной задаче теории потенциала. В итоге вспомогательные функции получаются в виде интегралов от элементарных функций.

В.И.Моссаковский [Юб] предложил еще один способ решения рассматриваемой контактной задачи, согласно которому задача для полупространства с круговой зоной контакта сводится к задаче линейного сопряжения и затем легко решается методами теории функций комплексного переменного.

Н.А.Ростовцев [12б] рассмотрел общую смешанную задачу об определении смещений и напряжений в упругом полупространстве при давлении на него кругового в плане полиномиального штампа. Решение этой задачи он получил через некоторые комплексные гармонические функции, названные комплексными потенциалами. Использованием преобразования инверсии, им также получено комплексное представление функции Грина задачи о штампе круглом в плане. Его способ построения функции Грина проще по выкладкам и сильнее по результату, чем у Л. А. Галина.

К.Е.Егоров [75] контактную задачу для упругого слоя, подверженного действию кругового штампа, свел к парному интегральному уравнению, а затем к эквивалентному интегральному уравнению второго рода.

В.А.Пупырев, Я. С. Уфлянд [lis]рассмотрели общую смешанную задачу для упругого слоя, когда на одной из граничных плоскостей имеется круговая линия раздела граничных условий. Для решения этой задачи, они воспользовались некоторой системой парных интегральных уравнений.

В работах Г. Я. Попова [112−115] контактные задачи теории упругости с круговой областью контакта решаются с помощью разложений по ортогональным многочленам. Показано, что эти контактные задачи можно свести к интегральным уравнениям первого рода с так называемыми полиномиальными ядрами.

В.С.Губенко [62,64] предложил решать контактные задачи для круглых штампов на слое с помощью приема, основанного на дробном дифференцировании. В результате эти задачи приводятся к некоторым интегральным уравнениям второго рода. Окончательно полученные уравнения решаются приближенно, путем замены точных ядер вырожденными.

В.М.Александров [в] дал алгоритм преобразования интегрального уравнения контактной задачи для слоя с круговой областью контакта к эквивалентным бесконечным алгебраическим системам. Им показано, что при урезании этих бесконечных систем получаются конечные системы линейных алгебраических уравнений с почти треугольными матрицами, которые непосредственно могут иметь эффективное численное решение.

В тех случаях, когда область контакта не является круговой, но близка к кругу (в определенном смысле), также имеется целый ряд интересных результатов.

В работе В. И. Моссаковского [107] метод решения данной задачи основан на построении гармонической функции, удовлетворяющей приближенно граничным условиям внутри области контакта и точно — вне области контакта.

Дальнейшее развитие этот метод получил в работах В. И. Моссаковского [108] и С. С. Голиковой, В. И. Моссаковского [52]. Он позволяет осуществить единый подход к решению контактных задач для произвольной области контакта и составить универсальный алгоритм численного решения.

В работах В. И. Моссаковского, С. С. Голиковой [109], А.Б.Кову-ры, В. И. Моссаковского [85] и А. Б. Ковуры, В. И. Самарского [86] методом линейного сопряжения рассматриваются контактные задачи для полиномиальных штампов близких в плане к круговым. Причем в процессе решения задачи, из условия обращения в нуль на границе области контакта контактных давлений, определяется и неизвестная область контакта.

В работе В. М. Леоновой, А. К. Приварникова [95]производится оценка осадки штампа с плоским основанием. Для этой цели они применили известный прием, основанный на интерпретации подынтегрального выражения интегрального уравнения контактной задачи как площади поперечного сечения некоторого объемного тела.

В контактных задачах теории упругости достаточно широко используется метод функций Грина.

Первым метод функций Грина евклидова пространства в контактных задачах применил и разрабатывал М. Я. Леонов [89−91]. Для построения функции Грина он использовал преобразование инверсии. Этим путем им была решена контактная задача для кругового штампа и получены формулы для осадки границы полупространства вне этого штампа.

В работах М. Д. Мартыненко [100−102] и А. Б. Ефимова, В. Н. Воробьева [78] для решения смешанной задачи теории упругости применяются функции Грина двулистного риманова пространства, линией ветвления которой является граница области контакта. В работе [101] исследовалась контактная задача с двусвязной областью контакта и получена приближенная формула для контактных напряжений, когда один контур мал, а другой близок к окружности.

Н.А.Кильчевский [84], Б. А. Галанов [50] и Ф. М. Бородич с различных подходов рассмотрели контактную задачу для штампа с поверхностью основания, описываемой положительной, гладкой, положительно-однородной функцией степени^з > 4 • Суть полученных ими результатов состоит в том, что в данном случае при возрастании вдавливающей силы Р нагружение развивается в определенном направлении в каждой точке полупространства.

Наиболее эффективным аналитическим методом решения контактных задач теории упругости являются асимптотические методы и в частности метод «больших 1 «и метод «малых Я и.

Впервые метод «больших Я «появился в работе И. И. Воровича, Ю. А. Устинова [49], в которой рассматривалась задача о давлении осесимметричного штампа на упругий слой относительно большой толщины.

Метод «малых X» «применительно к пространственным контактным задачам, а именно, к задаче о вдавливании произвольного в плане штампа в упругий слой относительно малой толщины, был впервые использован в работе В. М. Александрова [ю].

Развитие рассматриваемые методы получили в работе В. М. Александрова, И. И. Воровича [14] и затем в работах В. М. Александрова [4−6,8-Ю], В. А. Бабешко [27,28] и их учеников. Результаты подытожены в совместной монографии И. И. Воровича, В. М. Александрова и В. А. Бабешко [48].

В работах В. М. Александрова [8], В. М. Александрова, И. И. Воровича [15] установлен характер давлений под произвольным в плане штампом вблизи границы области контакта, и в общем случае аналитически выявлена особенность решения вида Х1^ .

Контактные задачи для кольцевых в плане штампов решаются теми или иными приближенными методами.

В.М.Александров, А. С. Соловьев [20], А. С. Соловьев [l33j рассмотрели задачу о вдавливании в упругое полупространство без трения кольцевого штампа силой Р и моментом М. Построенные ими асимптотические решения задачи для больших значений параметра S * cl it (сс, / - радиусы) и малых его значений в широком диапазоне изменения параметра? перекрывают друг друга.

Ю.Д.Колыбихин, Г. Я. Попов [87] рассмотрели контактную задачу о кольцевом штампе путем сведения задачи к интегральным уравнениям с полиномиальными ядрами.

Г. М.Валов [45L Ю. Н. Палюлин [ill] для решения указанной задачи пользовались тройными интегральными уравнениями, и в результате эта задача сводилась к уравнению второго рода.

A.Б.Ройтман, С. Ф. Шишканова [125] нашли решение задачи о кольцевом штампе в форме двойного ряда, коэффициенты которого определяются из рекуррентных соотношений.

Большой прогресс достигнут при решении контактных задач о клиновидном штампе. Здесь принципиальным является вопрос об определении характера особенности вблизи вершины угла, образующего этот штамп.

Первым рассмотрел задачу о давлении клиновидного в плане штампа на упругое полупространство Л. А. Галин [5l}. Однако для нахождения решения задачи он предполагал присутствие догрузки специального вида вне штампа.

B.Л.Рвачев [l22j усовершенствованным методом Л. А. Галина решил эту задачу без введения какой бы то ни было дополнительной пригрузки.

В.М.Александров, В. А. Бабешко [12] асимптотическими методами решили задачу о действии на упругое полупространство штампа, имеющего в плане форму узкого клина с углом при вершине .

Оказалось, что в окрестности точки г." О функция распределения контактных давлений <р) ведет себя как ъ" 3^* *соъ (9&-7£.<) «где 9 —, если форма основания штампа описывается функцией, исчезающей при? о°. Особенности, выделенные Л. А. Ралиным и В. Л. Рвачевым, также имеют место в полученном решении, но содержатся в следующих членах асимптотики функции О, <Р) при г О. Если штамп имеет плоское основание, то доминирующей становится особенность, выделенная В. Л. Рвачевым.

В.А.Бабешко, ЕЛЗ. Глушков, Н. В. Глушкова [29] разработали общий метод изучения порядков особенностей контактных напряжений в угловых точках пространственных штампов. Их исследование основано на сведении краевых смешанных задач к системам интегральных уравнений первого рода с параметром, порождающим положительно определенные операторы в некоторых весовых пространствах. Применение к этим уравнениям метода Галеркина обеспечивает описание контактных напряжений в угловых точках в равномерных метриках с весом. Развитый ими метод дал исчерпывающие сведения о характере контактных напряжений в окрестности угловой точки для всех основных смешанных задач изотропной теории упругости.

По-видимому, первыми работами по контактным задачам для прямоугольного штампа явились работы М. Я. Леонова, С.А.Посацко-го, А. Н. Иващенко [93], М. Я. Леонова, К. И. Чумака [94~|, М. Я. Леонова, В. М. Леоновой 1?2]. В этих работах рассматриваемая задача решается с использованием формулы для давлений под круговым штампом при наличии нормальной догрузки. Окончательно давления определяются из условия их непрерывности вдоль области контакта.

Н.М.Бородачев [41], Н. М. Бородач ев, Л. А. Галин [43] рассмотрели задачу о вдавливании в упругое изотропное полупространство штампа с основанием в виде узкого прямоугольника.

В работе Н. М. Бородачева [42]предлагается метод решения задачи о прямоугольном штампе с произвольным отношением сторон, основанный на сведении задачи к двумерным парным интегральным уравнениям и указан метод преобразования этих уравнений к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.

Гораздо раньше Й. И. Смоловик [132]на основании представления напряжений и перемещений через функции напряжений Максвелла рассматриваемую задачу также свел к двумерным парным интегральным уравнениям. Однако он не смог предложить эффективный способ их решения.

В.М.Александров, М. А. Сумбатян [21] на основе развиваемого ими асимптотического подхода, основанного на методе «малых X», построили эффективное приближенное решение исходного уравнения задачи об узком прямоугольном штампе в аналитическом виде.

М.А.Сумбатян [134] нашел один интересный аналитический подход к контактным задачам теории упругости. Согласно его методу, к основному интегральному уравнению контактной задачи для полупространства применяется специальная аппроксимация ядра, в результате чего для широкого класса областей контакта его удается свести к виду, содержащему только одномерные сингулярные интегралы типа Коши. В случае прямоугольной области контакта получающееся уравнение распадается на два одномерных интегро-дифференциальных уравнения, которые имеют аналитическое решение.

В.Л.Рвачев [120.121] решил задачу о давлении плоского штампа, ограниченного двумя пересекающимися прямыми. Его метод решения задачи основан на одном способе построения гармонической в полупространстве функции и (смещения вдоль оси 2) по ее известному семейству поверхностей одного уровня.

В.Л.Рвачевым [124] с помощью аппарата функций Матье решены задачи о полосовом штампе, действующем на упругое полупространство, а также задачи для штампов, очерченных в плане гиперболой или параболой. Затем В. М. Александров [и]дал полное аналитическое решение задачи о полосовом штампе с помощью асимптотических методов «больших и малых Xй. В. М. Александровым [п]мето-дом «малых X» также построено приближенное решение задачи для плоского штампа, область контакта которого представляет собой в плане эллипс с круговым отверстием.

В.Л.Рвачевым [123] при помощи преобразования инверсии решена задача о давлении под штампом, очерченным в плане двумя соприкасающимися окружностями. Обращается внимание, что в окрестности точки соприкосновения окружностей давление имеет существенную особенность.

А.Е.Андрейкив, В. В. Панасюк [24,25] рассмотрели давление системы круговых штампов на упругое полупространство. Смешанная задача теории потенциала ими сводится к двумерным парным интегральным уравнениям и далее — к системе двумерных интегральных уравнений второго рода. Показано, что в случае больших относительных расстояний между штампами решение можно искать методом последовательных приближений.

А.Е.Андрейкив, С. А. Дубецкий [22] рассмотрели давление системы четырех штампов на упругое полупространство. Ими задача сводится к некоторому интегральному уравнению второго рода и затем решается методом последовательных приближений.

Б.М.Марзицын, Г. Я. Попов [98] рассмотрели смешанную задачу для полупространства с круговыми линиями раздела граничных условий (два круговых в плане штампа). Ими получено приближенное аналитическое решение этой задачи при малом относительном расстоянии между штампами.

Наиболее интересны контактные задачи с неизвестной заранее зоной контакта. В этих задачах необходимо принимать в расчет некоторое дополнительное условие, обеспечивающее возможность вместе с решением интегрального уравнения контактной задачи вычислить и неизвестную площадку контакта.

Одним из таких дополнительных условий является гипотеза ограниченности контактных напряжений на границе неизвестной области контакта. Она использовалась при решении многих пространственных контактных задач с подвижной границей области контакта, например, в работах Г. Герца [зм], И. Я. Штаермана [138], А. И. Лурье?96].

Гипотеза конечности контактных давлений, только в несколько другой форме, успешно применялась и в работах В. Н. Воробьева [46,47], А. Б. Ефимова, В. Н. Воробьева [76,77,79,80], В. И. Малого, А. Б. Ефимова, В. Н. Воробьева [97] в контактных задачах с неизвестной областью контакта.

Первым в рассматриваемых задачах вариационные принципы в качестве дополнительного условия применил Н. А. Кильчевский ^83,.

3.

Еще одно дополнительное условие выдвинул В. И. Керчман [81, 82] - условие максимума суммарной вдавливающей силы. Оно позволяет выделить истинную площадку контакта из множества возможных реализуемых зон контакта.

Как известно, А. А. Гриффите [112,14 3] первым в теории упругости применил вариационный принцип Гамильтона к определению длины равновесных трещин (о принципе Гамильтона см., напр.,[53]).

В работе Г. И. Баренблатта [зз] показано, что условие конечности контактных напряжений на конце линии контакта следует из принципа Гамильтона. В теории контактных задач с неизвестной областью контакта, следуя Г. И. Бареблатту, использовать этот принцип предложил В. М. Александров [п], а также Р. В. Гольдштейн [59].

В работах [145−1473 с помощью вариационных принципов механики решаются контактные задачи с неизвестной площадкой контакта методом конечных элементов. Однако, численные методы в рассматриваемых задачах пока не являются эффективными.

В.И.Довнорович [74] показал «эквивалентность» контактной задачи для полупространства и задачи о трещине нормального разрыва в упругом пространстве в случае одной и той же линии смены граничных условий, в том смысле, что по решению одной из них легко определить решение другой задачи.

В работах В. С. Губенко [бЗ, 6*Г| и М. Д. Мартыненко [к)2] обе из рассматриваемых задач решаются по существу эквивалентными методами. Именно, для решения смешанных задач с кольцевой линией смены граничных условий в [632 применяются интегральные уравнения, в [б^ - дробное дифференцированиев [1О2] смешанные задачи для симметричных областей решаются методом функций Грина двулистного риманова пространства.

В.М.Александров, Б. И. Сметанин [18,19] асимптотическими методами рассмотрели плоскую и осесимметричную задачи о равновесной трещине в слое малой толщины с различными краевыми условиями на гранях слоя.

Б.И.Сметанин [130], используя асимптотический метод, решил осесимметричную задачу о растяжении упругого пространства, ослабленного плоской кольцевой щелью.

В.Т.Гринченко, А. Ф. Улитко при помощи парных интегральных уравнений рассмотрели задачу о кольцевой трещине в упругом пространстве.

А.Е.Андрейкив, В. В. Панасюк 2Э~ путем преобразования к системе парных интегральных уравнений решили задачу о системе концентрических трещин в упругом пространстве.

Р.В.Гольдштейн [54,55] задачу о трещине произвольного очертания в плане на границе соединения двух полупространств с различными упругими свойствами сводит к системе трех интегро-диф-ференциальных уравнений относительно скачков смещений вдоль поверхности трещины.

Р.В.Гольдштейн, В. М. Ентов, А. Ф. Зазовский [5б] вариационными методами решили задачу о прямоугольной трещине в упругом пространстве и задачу о прямоугольном в плане штампе, действующем на упругое полупространство.

Р.В.Гольдштейн, А. А. Спектор [57] методами вариационных неравенств рассмотрели контактные задачи для полупространства с неизвестной площадкой контакта и задачи о трещине нормального разрыва в безграничной упругой среде в предположении, что область налегания поверхности трещины заранее неизвестна. Установлено, что вдавливающая сила при заданной осадке (осадка при заданной силе) для штампа без острой кромки с произвольным основанием представляет собой верхнюю (нижнюю) грань величин вдавливающих сил (осадок), соответствующих семейству штампов с тем же основанием и острой кромкой. Зто дает способ построения нижних (верхних) оценок для вдавливающих сил (осадок). Доказано, что для объемлющей трещины область налегания не больше, чем для объемлемой, если приложенные нагрузки в первом случае не меньше нагрузок, действующих во втором. Далее, если трещина с частично налегающими поверхностями расширяется вдоль некоторой части контура и внешние нагрузки при этом не уменьшаются, то не уменьшается коэффициент интенсивности напряжений в неподвижных точках ее исходного контура. Эти утверждения позволяют строить двусторонние оценки коэффициентов интенсивности напряжений и областей налегания для трещин сложной формы с помощью соответствующих решений более простых задач.

В работах Р. В. Гольдштейна, А. А. Спектора [58,59] показано, как для решения и исследования задач о трещинах с неизвестной заранее границей может быть использован принцип Гамильтона.

Б.И.Сметанин, Б. В. Соболь [131] рассмотрели задачу об упругом равновесии полупространства, ослабленного плоской трещиной, которая расположена перпендикулярно к поверхности полупространства. Задача сводится к решению интегрального уравнения первого рода.

А.Ф.Улитко [136] с помощью интегрального преобразования на полуоси по функциям Лежандра второго рода с чисто мнимым верхним индексом смешанную граничную задачу теории упругости о растяжении пространства, содержащего две круговые трещины, расположенные в одной плоскости, свел к нахождению решения системы регулярных интегральных уравнений Фредгольма второго рода с ядрами простого вида при различных правых частях.

М.А.Мартыненко, А. Ф. Улитко ?99] исследовали осесимметрич-ную задачу теории упругости для пространства, ослабленного разрезом по части эллипсоидальной поверхности. С помощью разложения по функциям Лежандра эта задача ими сводится к системе двух интегро-дифференциальных уравнений. Определяются коэффициент интенсивности и поле напряжений и перемещений в окрестности границы разреза.

В работах А. Н. Гузя [бб-70], А. Н. Гузя, С. Ю. Бабича ?31,32, 71], С. Ю. Бабича [зо] рассматривается постановка и решение смешанных задач в рамках линеаризованной (именно, линеаризованной относительно малых возмущений основного нелинейного однородного поля напряжений и деформаций) теории упругости. Ими показана совершенная аналогия в постановке и выборе методов решения линеаризованных смешанных задач и смешанных задач гуковской теории упругости.

В.М.Александров, С. Р. Брудный [13] в рамках линеаризованной теории упругости рассмотрели равновесие слоя из несжимаемого гиперупругого материала, в случае плоской деформации, под действием силы тяжести и приложенных на бесконечности сил р. Ими решены контактная задача и задача о вертикальной трещине, выходящей на поверхность.

Л.М.Филиппова [137], используя линеаризацию уравнений, рассмотрела контактную задачу для преднапряженного геометрически нелинейного полупространства.

Имеется ряд других важных для практики результатов по пространственным контактным задачам теории упругости для неоднородных сред. Эти задачи тесно примыкают к рассматриваемым в данной диссертации контактным задачам, ибо возникающую (после линеаризации) связь между малыми возмущениями напряжений и деформаций можно рассматривать как уравнения состояния некоторой неоднородной среды.

В.А.Свекло [127,128] и В. А. Свекло, Н. С. Торубарова [129] изучали вопрос о действии штампа на ортотропное полупространство. Их метод исследования основан на построении комплексной функции нагружения, соответствующей заданной нагрузке.

С.М.Айзикович, В. М. Александров [2] рассмотрели вдавливание круглого штампа в упругое, неоднородное полупространство, представляющее неоднородный слой с произвольным изменением неоднородности по глубине, сцепленный с упругим однородным полупространством. Ими предлагается асимптотический метод решения этой задачи.

В работе [148] рассмотрена контактная задача об антиплоской деформации неоднородного изотропного упругого полупространства, модуль упругости которого определяется полиномом четвертой степени от координат. Задача решается методом парных интегральных уравнений.

В диссертационной работе рассмотрены смешанные задачи для преднапряженного физически нелинейного упругого слоя.

Для постановки задач использован подход, основанный на линеаризации уравнений состояния нелинейно-упругого тела, относительно малых возмущений начального однородного нелинейного поля напряжений и деформаций. В качестве основного метода решения смешанных задач использован известный метод «больших и малых X Математически обосновано применение этого метода к рассматриваемым задачам и указаны границы его применимости для преднапряженного слоя.

Выявлена зависимость основных характеристик контактной задачи от степени преднапряжения. Показано как преднапряжение меняет эксцентриситет области контакта в задаче о вдавливании пара-боловдного штампа в преднапряженное (неодинаково по двум ортогональным осям) физически нелинейное полупространство. Указано, что при относительно большой толщине слоя решение основного интегрального уравнения контактной задачи для упругого слоя может быть построено методом последовательных приближений.

Выделена зависимость коэффициента интенсивности нормальных напряжений в окрестности трещины нормального разрыва от величины начальных напряжений для преднапряженного физически нелинейного упругого слоя.

Получены новые необходимые условия ограниченности контактных давлений на контуре области контакта в задачах с неизвестной заранее областью контакта. Показано, что если основание штампа есть специальный полином степени 2р, то решение контактной задачи для слоя, ограниченное на контуре эллиптической области контакта может быть получено при больших Я лишь с точностью до членов 0(Х. Доказано, что в случае переменной области контакта для параболовдного штампа, действующего на упругий слой конечной толщины, при достаточно большой относительной толщине слоя или достаточно малой относительной толщине область контакта оказывается эллиптической.

Результаты работы могут быть использованы при реализации методов неразрушающего контроля начальных напряжений, для оценки напряженно-деформированного состояния в окрестности «целиков» горных выработок, а также при расчете тех или иных элементов конструкций, с учетом начальных напряжений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ.

I. На основании известных асимптотических методов «больших и малых Я «, в рамках линеаризованной (именно, линеаризованной относительно малых возмущений основного нелинейного однородного поля напряжений и деформаций) теории рассмотрены конкретные смешанные пространственные задачи для преднапряженно-го физически нелинейного упругого слоя. Выявлена зависимость основных характеристик контактной задачи и коэффициента интенсивности нормальных напряжений в задаче о щели нормального отрыва в слое от степени начальных напряжений. Именно, показано следующее:

а) увеличение начальных напряжений уменьшает несущую способность того или иного элемента конструкции;

б) коэффициент интенсивности нормальных напряжений для преднапряженного упругого пространства (не слоя!) не зависит от степени начальных напряжений;

в) коэффициент интенсивности нормальных напряжений у «шар-нирно» соединенного к основаниям слоя относительно большой толщины меньше, чем у пространства, а с увеличением степени преднапряжения слоя интенсивность нормальных напряжений в окрестности трещины увеличивается;

г) коэффициент интенсивности нормальных напряжений у свободно лежащего слоя относительно большой толщины больше, чем у пространства, причем с ростом преднапряжения слоя интенсивность нормальных напряжений в окрестности трещины уменьшается;

д) при малой относительной толщине слоя коэффициент интенсивности нормальных напряжений возрастает с увеличением преднапряжения (не зависимо от вида краевых условий на гранях.

слоя). ;

2. Математически обосновано применение м.б.Х и м.м.^. и установлены границы их применимости в контактных задачах и задачах о трещине нормального разрыва для преднапряженного физически нелинейного упругого слоя.

3. Показано, что при достаточно большой относительной толщине слоя решение интегрального уравнения контактной задачи для преднапряженного физически нелинейного упругого слоя может быть получено методом последовательных приближений.

Показано, как преднапряжение меняет эксцентриситет эллиптической области контакта в задаче о вдавливании штампа с параболоидным основанием в преднапряженное (неодинаково вдоль двух ортогональных осей) физически нелинейное упругое полупространство. Именно, выявлено, что увеличение начальных напряжений вдоль одной из этих осей приводит к «вытягиванию» эллиптической области контакта в том же направлениипричем, чем меньше эксцентриситет площадки контакта и чем больше среднее начальное напряжение, тем сильнее проявляется этот эффект.

5. Получены новые необходимые (по-видимому, и достаточные) условия ограниченности контактных давлений на контуре области контакта, представляющие собой счетное множество определенных интегральных соотношений.

6. Уточнено дополнительное условие Н.А.Кильчевского-Г.И. Баренблатта для определения площадки давления упругих тел в контактных задачах с подвижной линией смены граничных условий.

7. Рассмотрена контактная задача для «полиномиального» штампа, действующего на преднапряженный физически нелинейный упругий слой конечной толщины в случае эллиптической области.

контакта. Показано, что если основание штампа есть специальный полином степени Хр то решение контактной задачи для слоя, ограниченное на контуре эллиптической области контакта, может быть получено при большой относительной толщине слоя Я лишь с точностью до членов Показано, что в случае.

переменной области контакта для штампа с параболовдным основанием, действующем на преднапряженный физически нелинейный упругий слой, при достаточно большой относительной толщине слоя или достаточно малой относительной толщине область контакта оказывается эллиптической.

Результаты работы могут быть использованы при реализации методов неразрушающего контроля начальных напряжений, для оценки напряженно-деформированного состояния в окрестности «целиков» горных выработок, а так же для расчета тех или иных элементов конструкций с учетом преднапряжения.