Распространение упругих волн и резонансные эффекты в слоистых материалах с дефектами

Дифракция упругих волн на внутренних препятствиях используется в ультразвуковой дефектоскопии, сейсмологии, геофизике, медицинской томографии и многих других областях науки и техники. Анализ структуры отраженного и рассеянного ноля дает информацию как о внутренней структуре зондируемого материала, так и о самом препятствии (дефекте). Из всех типов неоднородностей наиболее опасны именно трещиноподобные дефекты, так как при статическом или циклическом воздействии у краев дефекта происходит рост напряжений, что может приводить к росту трещины и вызывать катастрофические разрушения.

У истоков механики разрушения стояли JI. да Винчи и Г. Галлилей, в дальнейшем А. Сен-Венан и О. Мор положили начало теории предельного равновесия, а А. А. Гриффите — теории хрупкого разрушения [72, 62]. На настоящий момент механика трещин уже являет собой обширный раздел механики сплошной среды, коему посвящено большое количество работ, см. например, монографии Н. Ф. Морозова [58], Дж.Ф. Нотта [59], В.В. Па-наскжа [61], В. З. Партона [62], Л. И. Слепяна [68], Г. П. Черепанова [72], Е. И. Шифрина [73], L.B. Freund [95] и др.

По Гриффитсу [104], существующая трещина станет лавинообразно распространяться, если скорость освобождения энергии упругой деформации превзойдет прирост поверхностной энергии трещины. Позже были предложены другие, более общие критерии разрушения, основанные на анализе характеристик поля раскрытия трещины у се кончика. Согласно [72] трещина растет при достижении коэффициентом интенсивности напряжений критического значения, но вязкость разрушения зависит от скорости нагружения. Иначе говоря, во многих приложениях для решения вопроса о развитии трещины необходимо из чисто упругой задачи найти коэффициенты интенсивности напряжений [95].

На практике, прежде чем решать вопрос о возможности развитии трещины, необходимо сначала определить ее геометрию, то есть форму и ориентацию в пространстве. Эффективная идентификация дефекта по измеренным на поверхности рассматриваемого тела полям составляет предмет дефектоскопии. Такие задачи относятся к классу некорректных задач математической физики, для решения которых производится замена некорректно поставленной задачи близкой ей корректной, использующей дополнительную информацию о решении (В.Я. Арсенин, Ю. И. Бобровницкий, А.Н. Тихонов). Так, задача об определении неизвестных поверхностных сил, действующих на упругое тело конечных размеров, по измеренному полю смещений на части поверхности решена Ю. И. Бобровпицким в [8, 9]. Методы определения размеров плоских приповерхностных трещин приводятся С. Alves, Т. На Duong в [78], а интерфейсных и криволинейных А. О. Ватульяном в [13].

В неразрушающих методах контроля для идентификации дефектов зачастую используют ноля смещений в дальней от дефекта зоне. В [106] было показано, что дальние поля выражаются через интегралы от скачков смещений по области трещины [73]. Иначе говоря, в задачах о колебаниях трещин необходимо определять функцию раскрытия берегов трещины, моделируемой, как правило, тонким математическим разрезом. Такая постановка задачи приводит к решению уравнений теории упругости с соответствующими граничными условиями, решение которых сопряжено с весьма серьезными математическими проблемами. Наиболее универсальными методами решения задач теории упругости для тел с трещинами являются, по-видимому, численные методы. Среди них выделяют такие, при которых решаются уравнения теории упругости во всем трехмерном теле [73], и такие, в которых уравнения предварительно сводятся на границу тела и затем уже решаются граничные уравнения (метод граничных интегральных уравнений).

К числу первых относятся метод конечных разностей, который не нашел широкого применения в приложении к механике трещин и метод конечных элементов (МКЭ), получивший наибольшее распространение в инженерных приложениях и продолжающий активно развиваться, но сей день. К достоинствам МКЭ относятся слабая чувствительность к усложнению геометрии тела, ленточная структура матрицы системы, а также ясный механический смысл. Недостатки МКЭ — большие вычислительные затраты и трудности, возникающие при вычислении коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) для задач динамики. Последняя проблема частично решается применением гибридных схем МКЭ, которые вблизи контура трещины используют сингулярные элементы. Например, при решении задач статики в работах S.N. Atluri и К. Kathiresan [79, 80] использовались гибридные элементы в перемещениях, в работах М. Кипа — смешанные гибридные элементы [111]. Сингулярные и полосовые элементы использовали в [117] G.R. Liu и J.D. Achenbach для задачи о гармонических колебаниях слоя, ослабленного полосовой трещиной.

Ко второй группе относятся лучевые методы, метод граничных элементов (МГЭ), вариационно-разностный метод и др. Лучевые методы, разработанные в 60−70 гг. XX века [7, 11] и адаптированные для практического применения R.K. Chapman [91], являются простыми и физически наглядными, но могут использоваться только для плавно неоднородных сред и гладких участков границы дефекта, характерный размер которого должен быть больше длины волны. МГЭ не имеет такого недостатка, а ио сравнению с МКЭ имеет меньшую размерность задачи, поскольку дискретизируется только поверхность тела, но в то же время приводит к более сложным сингулярным интегральным и интегродифференциальным уравнениям. Кроме того, МГЭ позволяет более эффективно решать задач динамики как о плоских [77, 108, 118, 122] так и о криволинейных трещинах [14]. Так, А. О. Ватульян [14], В. В. Михаськив [57] и др. в своих исследованиях упрощали задачу, примененяя к уравнениям преобразования Фурье или Лапласа, а, например, S. Hirose и J.D. Achenbach [107] записывали и решали граничные интегральные уравнения (ГИУ) относительно пространственных и временной переменных.

Дифракция упругих волн имеет многочисленные приложения в неразрушающих методах контроля и определении характеристик материала [8, 9, 10, 15]. Так как преобразование Лапласа, но временной переменной переводит нестационарную задачу в гармоническую и наоборот, то построение гармонической можно считать основным этапом получения нестационарной задачи. Для более полного осмысления физической сути явлений естественно прибегать к аналитическим или иолуаиалитическим методам решения. Именно таким методом является метод граничных интегральных уравнений, как правило, использующий разложение скачка смещений на берегах трещины по ортогональным полиномам или сводящийся к МГЭ.

Наиболее простым случаем гармонических колебаний являются SH-волны — в этом случае уравнения движения в упругом материале сводятся к скалярному уравнению Гельмгольца. Решение задачи о SH-колебаниях слоистого изотропного полупространства и изотропного двухслойного волновода с одной и двумя интерфейсными трещинами дано F.L. Neerhoff [121] и Т. Kundu [112, 113], а трещины круговой формы изучены Yang Y. и Norris А. [129]. Анизотропная трехслойная пластина с наклонной трещиной рассмотрена Т. Grahn [103], а радиально-аиизотропное полупространство с круговой трещиной в [87]. Рассмотрение P-SV волн, приводящее к решению уравнений относительно векторных величин, выполнено H.J. Yang и D.B. Bogy для слоистого полупространства с интерфейсной трещиной [128], для интерфейсной трещины между двумя полупространствами S. Iton [109], а круговые трещины рассмотрены в [130].

Для дифракции упругих волн на полосовых трещинах в изотропной полуплоскости на основе различных подходов J.H.M.T. Van der Hijden и F.L. Neerhoff [126, 127], Achenbach J.D. [74, 75], P. Bovik и A. Bostrom [89], B.A. Бабешко [3], В. А. Александров, И. И Ворович [17] получили эффективные методы решения. Для анизотропных материалов аналогичная проблема также была успешна решена Т. Grahn [103] и в более общем случае криволинейной трещины А. О. Ватульяном [14].

С использованием разложения скачка смещений берегов трещины по ортогональным полиномам были исследованы и трещины круговой формы. В работах Krenk S. и Schmidt Н. [110] было изучено рассеяние объемных волн, падающих на круговую трещину под произвольным угломA. Bostrom, P. Bovik, A. Eriksson, S.K. Datta и Т. Kundu, представлявшие решение в виде суммы сферических волн, построили решение задач о колебаниях двух круговых трещин [86] и группы трещин [94], в случае анизотропии такой подход развит Kundu Т. [114]. При рассмотрении прямоугольных трещин L. Guan и A. Norris [105], а также S. Itou [108] использовали схему аналогичную примененной к задаче о полосовой трещине в [89], приближая неизвестную функцию скачка смещений полиномами Чебышсва по каждой из пространственных координат [84].

В случае произвольной формы дефекта J. Achenbach, D. Budrek [90], L. Keer, W. Lin [115], C. Alves, T. Ha-Duong [76, 77] используют сеточную аппроксимацию, но при дискретизации возникают трудности из-за многократных интегралов с гиперсингулярными ядрами. Вариационно-разностный метод, предложенный Р. В. Гольдштейном, И. С. Клейном и Г. И. Эскиным [44] для решения двумерных интегральных уравнений типа свертки и хорошо зарекомендовавший себя при решении динамических контактных задач, модифицирован в работах В. А. Бабешко, Е. В. Глушкова, Н. В. Глушковой и других [5, 6, 18, 21, 22, 23, 24, 25, 40, 82, 101] для пространственных трещин произвольной формы.

Одной из основных задач ультразвуковой дефектоскопии является определение размеров и формы дефекта по отраженному волновому нолю (см. например [41, 88]). При решении такой задачи, являющейся по сути обратной, на каждом шаге минимизации некоторой целевой функции решается прямая задача. Кроме того, обратные задачи относятся к классу некорректных, требующих специальной регуляризации, основанной на сужении допустимых форм трещины [92]. Такое сужение возможно путем учета информации о распределении резонансных полюсов рассеянного поля в комплексной плоскости частоты. Поэтому объем информации, необходимый для идентификации формы трещины по рассеянному полю, может быть резко уменьшен, если 1) предварительно получить распределение полюсов в зависимости от формы, 2) уметь выделять резонансные частоты из регистрируемого отраженного сигнала.

Данные соображения легли в основу так называемого метода сингулярных разложений (Singularity Expansion Method — SEM), первоначально возникшего в связи с задачами локации объектов электромагнитными волнами в исследовании С.Е. Baum [81]. В 70−80-е годы XX века появилось множество работ, предлагающих различные способы использования резонансных частот рассеяния скалярных электромагнитных и акустических волновых полей для определения формы и свойств рассеивателя (см. обзор [124]). Позже G. Bollig и K.J. Langenberg [83] развили метод для упругих волн, однако достигнутые здесь успехи значительно скромнее, что в первую очередь объясняется сложностью решения соответствующих прямых задач.

Хорошо разработанный математический аппарат позволил решить ряд спектральных задач для внутренних трещин. Для дифракции на пространственных трещинах к настоящему времени значения резонансных частот для круговых и эллиптических трещин получены A.S. Eriksson [93], для трещин сложных форм С. Alves [76], А. В. Капцовым и Е. И. Шифриным [51], Е. В. Глушковым и Н. В. Глушковой [25]. Помимо практических задач дефектоскопии колебания бесконечно протяженных тел с внутренними или поверхностными неоднородностями на резонансных частотах представляют отдельный интерес еще и ввиду определения дискретных значений сингулярных операторов, имеющий смешанный спектр.

При этом резкий рост напряжений происходит только на резонанс-пых частотах, зависящих от размеров, формы и расположения дефекта, а также от упругих свойств и строения волновода. Поэтому такие объекты получили название «вирусов вибропрочности», разрушительное действие которых не проявляется до тех пока не сложатся благоприятные условия.

В.А. Бабешко). Наряду с ростом коэффициентов интенсивности напряжений, резонансный отклик может сопровождаться захватом и локализацией волновой энергии в окрестности дефектов в форме ловушечных мод (trapped modes [125]). Изучение механизма возникновения ловушечных мод в различных системах является актуальной задачей, привлекающей интерес широкого круга исследователей. Это явление известно также под названиями резонанса неоднородных волн, «вирусов вибропрочности», собственных решений, соответствующих изолированным точкам спектра (В.А. Бабешко, И. И. Ворович [18, 4, 19], Д. А. Индейцев [48], F. Ursell, D.V. Evans, С.М. Linton [116, 125]).

Цель работы.

1) разработка эффективной математической модели, описывающей распространение упругих волн в слоистых волноводах и их дифракцию как на горизонтальных интерфейсных так и на наклонных полосовых прямолинейных трещинах;

2) реализация разработанных методов в виде пакета программ, обеспечивающих быстрый параметрический анализ волновых и энергетических характеристик;

3) анализ зависимости характеристик прохождения и отражения нормальных мод от размеров, расположения и ориентации трещины, а также от частоты колебаний и параметров волновода;

4) определение динамических коэффициентов интенсивности напряжений и исследование их зависимости от указанных факторов;

5) изучение резонансных и блокирующих свойств полосовых трещин в слоистых волноводах;

6) исследование спектральных свойств упругих волноводов, содержащих внутренние полосовые трещины и характер локализации волновой энергии на частотах собственных колебаний.

В первой главе диссертации дается общая постановка краевых задач динамической теории упругости. Излагается техника применения интетральных преобразований для построения решения на основе матриц Грина для слоя, на поверхностях которого заданы нагрузки. Обсуждаются дисперсионные свойства слоя и полуплоскости.

Вторая глава посвящена построению с использованием интегрального подхода волновых полей для двухслойного волновода с горизонтальной интерфейсной полосовой трещиной, построению для них же асимптотик в дальней зоне и выводу ГИУ относительно скачка смещений на берегах трещины. Вводятся коэффициенты прохождения и отражения, указывается особенность поведения решения в окрестности краев трещины, соответственно вводятся коэффициенты интенсивности напряжений.

В третьей главе приводятся методы решения ГИУ для интерфейсной трещины: метод Галеркипа и схема сведения к бесконечным алгебраическим системам. Дается сравнительный анализ эффективности использования каждого из методов в зависимости от параметров задачи. В случае метода Галеркина описана эффективная схема определения резонансных частот слоя с трещиной.

Четвертая глава содержит анализ прохождения и дифракции упругих волн в однородном волноводе с горизонтальной трещиной для разных типов падающих воли. Рассматривается возможность блокирования рэле-евской волны приповерхностной трещиной в зависимости от глубины ее залегания и частоты колебаний. Для слоя производится сравнение блокирующих свойств трещины для набегающей симметричиой и антисимметричной нормальных мод. Устанавливается связь между резонансом волновода, содержащего трещину, ростом коэффициентов интенсивности напряжений и блокированием падающего волнового поля.

В пятой главе выводятся интегральные представления для колебаний однородного изотропного волновода, ослабленного наклонной трещиной, сведение проблемы к ГИУ и схема решения последнего. Проверяется работоспособность полученной модели сопоставлением с моделью, описанной во второй главе, и другими известными результатами. Также обсуждаются резонансные и блокирующие свойства наклонной трещины. В частности, рассматриваются закономерности прохождения упругих воли мимо вертикальных трещин.

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

1. На основе интегрального подхода построена и реализована в виде пакета программ новая математическая модель, описывающая процессы распространения упругих волн и их дифракцию на полосовых трещинах произвольной ориентации в слое, полупространстве или пакете слоев, включающая в себя описание волнового поля источника, решение задачи дифракции и анализ волнового поля всего волновода в целом.

2. Метод сведения интегральных уравнений к бесконечным системам алгебраических уравнений применен к задаче о дифракции упругих воли па горизонтальных интерфейсных трещинах, предложены различные схемы регуляризации получающихся систем.

3. Для построенной модели разработана и реализована в виде пакета программ схема построения линий тока энергии, определения коэффициентов интенсивности напряжений, коэффициентов прохождения, а также определения резонансных полюсов в комплексной плоскости частоты.

4. Изучены два механизма блокирования прохождения трещиной рэ-леевской волны (резонанс и экранирование), для резонансного блокирования трещиной набегающих упругих воли выявлена локализация и захват энергии.

5. Для широкого диапазона изменения размеров и глубины залегания трещины проанализирована зависимость характеристик отраженного поля от вида падающего поля, соотношения упругих свойств волновода и частоты колебаний.

6. Получено распределение резонансных полюсов рассеяния в зависимости от геометрии трещины и проанализировано их влияние на прохождение упругих волн, а также па коэффициенты интенсивности напряжений.

7. Обнаружены чисто вещественные точки дискретного спектра в задаче о гармонических колебаниях слоя, ослабленного горизонтальной трещиной, построены соответствующие им собственные формы колебаний, описывающие локализацию волнового процесса.

Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в работах [26, 27, 28, 29, 30, 31, 36, 37, 38, 39, 97, 99] и докладывались па XXXII Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» (St. Petersburg, 2004)[100], 2nd Conference on Mathematical Modelling of Wave Phenomena (Vaxjo, Sweden, 2005) [97], International Workshop «Research in Mechanics of Composites 2006» (Bad Herrenalb, Germany, 2006)[98], на IX и X международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2005;2006) [31, 35], VII международной конференции «Mathematical Problems of Mechanics of Non-homogeneous Structures» (г. Львов, Украина, 2006) [33], международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (г. Харьков, Украина, 2006) [34], на Всероссийской конференции «Волновая динамика машин и конструкций» (г. Нижний Новгород, 2004) [27], па заключительной конференции грантодержателей регионального конкурса РФФИ и администрации Краснодарского края «р2003юг» (г. Сочи, 2005), V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (г. Саратов, 2005) [30], па IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г. Нижний Новгород, 2006) [32] и на семинарах кафедры численного анализа Кубанского государственного университета.

Работа выполнена при поддержке администрации Краснодарского края, фонда поддержки науки, культуры, образования и здравоохранения О. Дерипаска «Вольное дело», Российского фонда фундаментальных исследований (проекты NN. 03−01−520, 04−01−801, 06−01−96 607, 03−01−96 618-р2003;а), гранта для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов вузов федерального агентства по образованию А04−2.10−838 и Международной ассоциации INTAS (проект No. 05−1 000 008−7979).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В рамках выполнения диссертационной работы были получены следующие результаты:

1. На основе интегрального подхода построена и реализована в виде пакета программ новая математическая модель, описывающая процессы распространения упругих волн и их дифракцию на полосовых трещинах произвольной ориентации в слое, полупространстве или пакете слоев, включающая в себя описание волнового поля источника, решение задачи дифракции и анализ волнового поля всего волновода в целом.

2. Метод сведения интегральных уравнений к бесконечным системам алгебраических уравнений применен к задаче о дифракции упругих волн па горизонтальных интерфейсных трещинах, предложены различные схемы регуляризации получающихся систем.

3. Для построенной модели разработана и реализована в виде пакета программ схема построения линий тока энергии, определения коэффициентов интенсивности напряжений, коэффициентов прохождения и отражения, а также определения резонансных полюсов в комплексной плоскости частоты.

4. Изучены два механизма блокирования прохождения трещиной рэлеевской волны (резонанс и экранирование), для резонансного блокирования трещиной набегающих упругих волн выявлена локализация и захват энергии.

5. Для широкого диапазона изменения размеров и глубины залегания трещины проанализирована зависимость характеристик отраженного поля от вида падающего поля, соотношения упругих свойств волновода и частоты колебаний.

6. Получено распределение резонансных полюсов рассеяния в зависимости от геометрии трещины и проанализировано их влияние на прохождение и отражение упругих волн, а также на коэффициенты интенсивности напряжений.

7. Обнаружены чисто вещественные точки дискретного спектра в задаче о гармонических колебаниях слоя, ослабленного горизонтальной трещиной, построены соответствующие им собственные формы колебаний, описывающие локализацию волнового процесса.

Примечание. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в публикациях [26, 27, 28, 29, 30, 31, 35, 36, 37, 38, 39, 97, 100] и получены автором совместно с Е. В. Глушковым и Н. В. Глушковой. Постановку задачи и общее руководство исследованием осуществляли Н. В. Глушкова и Е. В. Глушков. Автор также благодарит С. Н. Сошенкова за внимательное прочтение рукописи и ряд ценных замечаний.