Динамическое взаимодействие системы штампов и упругого полупространства

Многочисленные проблемы строительной механики, геофизики, акустики, горного дела, задачи контакта деталей машин требуют изучения процессов взаимодействия тел, контактирующих по нескольким удаленным областям. При этом нередко встречаются ситуации, когда размер зон контакта много меньше расстояний между ними, а характерный временной масштаб внешнего воздействия сравним со временем пробега упругой волны между областями контакта (и значительно превышает время пробега вдоль зоны контакта).

В настоящее время существуют различные способы описания контактного взаимодействия. Этот процесс является сложным и при его моделировании необходимо, вообще говоря, учитывать не только упругие, но и пластические деформации, а также микроразрушения и термодинамические эффекты. Однако в ряде задач возможно получить адекватное описание процесса, ограничиваясь рамками линейной трехмерной задачи динамической теории упругости.

В случае, когда размеры одного из рассматриваемых тел намного превышают размеры другого, например при изучении взаимодействия сооружения с грунтом (основанием), или в случае, когда за время протекания процесса возмущения не успевают достичь границ одного из тел, широко применяется модель упругого полупространства.

При изучении динамического взаимодействия тел, имеющих несколько удаленных областей контакта, часто рассматривают модельную контактную задачу о динамическом взаимодействии нескольких удаленных штампов и упругого полупространства. Жесткий штамп является хорошо изученным объектом, для которого легко выписываются уравнения движения, и обладает, в отличие от объектов с распределенными параметрами, конечным числом степеней свободы. Но несмотря на это, использование модели жесткого штампа позволяет описать с достаточной достоверностью многие реальные объекты.

Трехмерные динамические задачи контакта тел конечных размеров успешно решаются численно методами конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей и другими. Эти решения являются достаточно трудоемкими. Например, решение задачи методом интегральных уравнений предусматривает, во-первых, расчет ядер, выражающихся кратными несобственными интегралами от осциллирующих функций, и, во-вторых, решение сингулярных интегральных уравнений. В случае же нескольких удаленных областей контакта реализация численных решений сопряжена с принципиальными трудностями. Они связаны с необходимостью точного учета многочисленных отражений упругих волн от границ областей контакта. По этой причине актуальной является разработка новых подходов.

Перспективным представляется обращение к асимптотическим методам. Последние, с одной стороны, дают адекватное описание динамического процесса, а с другой стороны приводят к существенно более простым уравнениям, чем уравнения исходной трехмерной динамической задачи теории упругости (в соответствующем диапазоне изменения параметров). Асимптотический подход основывается на использовании малого геометрического параметра, равного отношению малого геометрического размера (диаметра области контакта) к большому характерному размеру (расстоянию между областями контакта). В силу предположения о сравнимости характерного временного масштаба внешнего возмущения и времени пробега упругой волны между областями контакта в данной задаче указанный малый параметр будет единственным.

Целью настоящей работы является построение новой модели динамического взаимодействия системы штампов и упругого полупространства при длинноволновом возмущении, а также решение ряда конкретных динамических задач, имеющих как иллюстративное, так и самостоятельное значение.

Методика исследования состоит в использовании аппарата функции Грина для построения граничных интегральных уравнений рассматриваемой трехмерной динамической контактной задачи теории упругости, а также в применении асимптотических методов для упрощения построенной системы уравнений.

Необходимо подчеркнуть, что при изучении контактного взаимодействия предполагается, что в рассматриваемые моменты времени не нарушается условие контакта, т. е. не происходит отскок штампа от поверхности полупространства. Это условие (непрерывности контакта) будет выполняться в тех случаях, когда на систему действует статическая нагрузка достаточной величины. В реальных системах такое статическое нагружение осуществляется силой тяжести.

При анализе опубликованных в литературе результатов исследований по данной тематике прежде всего необходимо остановиться на различных подходах и методах решения задач динамического контактного взаимодействия круглых штампов и упругого полупространства.

В рамках статической задачи теории упругости контактное взаимодействие штампов и полупространства изучалось И. Я. Штаерманом [1], Л. А. Галиным [2], А. И. Лурье [3], G. Gladwell [4], K. Johnson [5] и многими другими. В указанных фундаментальных монографиях были заложены основы теории контактных задач. К настоящему времени для изолированного штампа построено точное решение задачи, а для системы удаленных штампов — асимптотические решения. Строгое обоснование асимптотических разложений выполнено И. И. Аргатовым и С. А. Назаровым [6].

Основные методы решения динамической контактной задачи о взаимодействии изолированного круглого штампа и полупространства рассмотрим более подробно. Первые попытки построения решения данной задачи были сделаны в работах E. Reissner [7], О. Я. Шехтер [8] - [11], R. Arnold, G. Bycroft, G. Warburton [12], [13], T. Sung [14], P. Quinlan [15], В. А. Ильичева [16] и др., где принимались некоторые допущения о характере распределения контактных напряжений под штампом (равномерное или квазистатическое), а контактное условие на перемещение удовлетворялось приближенно либо в одной точке, либо в среднем по площади.

Техника интегральных преобразований (Лапласа по времени и Ханкеля по координате) использовалась при построении решения в более поздних исследованиях. Полученные парные интегральные уравнения преобразовывались в интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Последнее решалось различными приближенными методами (Н.М.Бородачев [17] - [24], В. Б. Поручиков [25], В. Н. Закорко, Н. А. Ростовцев [26], [27], I. Robertson [28], G. Gladwell [29], M. Gutzwiller [30], Ю. С. Яковлев, В. Л. Лобысев [31] -[33], R. Westmann, J. Luco [34], T. De [35], T. Liu, X. Zhang [36] и др.).

В работах В. М. Сеймова [37] - [40], M. Oien [41], S. Krenk, H. Schmidt [42], Г. Я. Попова [43], [44] и др. после выполнения преобразования Лапласа по времени задача сводилась к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений на основе разложения решения в ряд по специально выбранной системе ортогональных многочленов.

В практических приложениях указанной тематики наибольший интерес вызывает движение штампа, вызванное силой, приложенной в некоторой точке границы среды, и взаимодействие нескольких штампов, расположенных на упругом основании. Решения динамической задачи о двух жестких штампах на полупространстве при различных предположениях были получены в работах О. Я. Шехтер [45], В. А. Ильичева [46], [47], G. Warburton, J. Richardson, J. Webster [48], [49], T. Triantafyllidis [50], [51] и др. Гармонические колебания штампа под действием упругих волн, распространяющихся от силы, приложенной на большом расстоянии от штампа, исследованы Г. Б. Муравским [52], [53].

С развитием вычислительной техники большое распространение получили численные решения трехмерных динамических контактных задач методами конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей и др. (C.Duns [54], H. Wong, J. Luco

55], ХЬувшег [56], М. ОЬш, К. Тоэака [57], M. Ottenstrener [58], КагаЬаИв Б., Вевкоэ Б. [59] и др.).

Особый вклад в развитие динамических контактных задач внесен ростовской школой механики (И.И.Ворович [60], В. А. Бабешко [61], В. М. Александров [62], Ж. Ф. Зинченко, Е. В. Глушков [63], О. Д. Пряхина и др.). Ими были разработаны эффективные методы решения смешанных задач и получен целый ряд новых решений для слоя.

Ключевым моментом при выводе граничных интегральных уравнений эластодинами-ки является построение фундаментальных решений соответствующих задач. Различные формы фундаментальных решений задачи Лэмба для полупространства получены в работах Г. И. Марчука, К. И. Огурцова, Г. И. Петрашеня [64], [65], Е. И. Шемякина [66], С. Рекеш [67], Р. ШсИагс^ [68] и др.

Более полные обзоры можно найти в посвященных контактным задачам монографиях, например [60], [62], [63], [37] - [39], [69] - [71].

К настоящему времени достаточно подробно изучены все четыре формы стационарных колебаний изолированного круглого штампа, расположенного на упругом полупространстве: колебания вдоль и вокруг вертикальной и горизонтальных осей. Найдено решение целого ряда задач динамики. Однако при изучении большинства из них принимались упрощающие допущения, например о характере распределения контактных напряжений. Взаимодействие нескольких штампов рассматривалось приближенно при дополнительных упрощающих предположениях. Таким образом, проведенное в настоящей диссертационной работе исследование динамики системы штампов на упругом полупространстве в рамках трехмерной динамической теории с применением асимптотических методов представляется актуальным. Основные результаты диссертационной работы были опубликованы в [72] - [74].

В первой главе диссертации рассмотрено динамическое взаимодействие круглого штампа и упругого полупространства при длинноволновом внешнем возмущении. В 1.1 сформулирована динамическая трехмерная контактная (со смешанными граничными условиями) задача теории упругости. В 1.2 на основе сделанного предположения о характере приложенного внешнего воздействия проведен асимптотический анализ интегрального уравнения контакта. В 1.3 построено уравнение для поступательного смещения центра масс штампа, описывающее взаимодействие рассматриваемого штампа со средой в случае длинноволнового возмущения. В 1.4 рассмотрены некоторые тестовые задачи, позволяющие проверить адекватность описания предложенной асимптотической моделью известных динамических процессов. Проведено сравнение полученных результатов с известными решениями В. М. Сеймова, G. Bycroft, C. Duns, I. Robertson, Liu Tierang и Zhang Xiangzhou.

Во второй главе диссертации рассмотрено динамическое взаимодействие (контакт) упругого полупространства и нескольких штампов, расположенных на границе. В 2.1 приведена постановка задачи о контакте системы гладких удаленных штампов и полупространства. В 2.2 приведен асимптотический анализ уравнения контакта на основе сделанных предположений о характере внешнего воздействия и об удаленности штампов. В 2.3 построено асимптотическое решение задачи о динамическом взаимодействии системы штампов и полупространства.

В третьей главе диссертации асимптотическая модель взаимодействия системы штампов и полупространства протестирована, а также решен ряд новых динамических задач. В 3.1 рассмотрена тестовая задача о динамическом переходе системы штампов в статическое состояние. В 3.2 исследована стационарная задача о колебаниях системы штампов на полупространстве. В 3.3 изучена реакция системы штампов на вертикальный сейсмический импульс. В 3−4 рассмотрено взаимодействие двух одинаковых штампов, в случае, когда перемещение одного из них задано.

В заключении подведен краткий итог работы. Сформулированы основные результаты и выводы диссертации.

Выводы: Результаты решения поставленной динамической задачи показывают, что заданные колебания одного из штампов, вследствие взаимодействия штампов через среду, приводят к возникновению колебаний другого штампа, которые, в свою очередь, вносят некий вклад в контактное усилие под штампом с заданным перемещением. Необходимо подчеркнуть, что при этом волна Рэлея оказывает существенно большее воздействие на штамп, чем волны растяжения и сдвига. = 0.1

Рисунок 3.26: Зависимость перемещения и2 от времени т. = 0.1

Л 0 5? = 0.1

11 111 111 Л /? = 50 — - А Р = юо— М ?3 = 150

0 1

О 1 2 3 4 5 6 7 8. //г! 9

Рисунок 3.28: Зависимость контактного усилия Д от времени т. = 0.1

Заключение

Модельная задача о динамическом взаимодействии системы штампов и упругого полупространства широко используется в практических приложениях. В рамках инженерного подхода существуют разнообразные способы вычисления перемещений и контактных напряжений при длинноволновом возмущении.

Анализ существующих в настоящее время моделей динамического взаимодействия штампов и среды позволяет проследить внутреннюю логику их развития.

Наиболее простое приближенное решение задачи можно получить, рассматривая движение изолированного штампа и полагая распределение напряжений под штампом либо равномерным, либо квазистатическим. Поскольку приложенное внешнее воздействие медленно меняется во времени (его временной масштаб много больше времени пробега упругой волны сдвига под штампом), такой подход хотя и не является строгим, но вполне обоснован с физической точки зрения. Таким образом для штампа решаются уравнения динамики твердого тела, при чем действующие на него со стороны упругого полупространства легко находятся, поскольку распределение напряжений является заданным. Неизвестное перемещение и центра масс круглого штампа радиуса К при предположении о квазистатическом распределении напряжений под штампом определяется при решении следующей системы уравнений: мщ0 = -^) в

Первое уравнение данной системы представляет собой решение статической задачи, построенное Л. А. Галиным, коэффициент при суммарном контактном усилии Р (1/Т) является статической податливостью системы круглый штамп — полупространство, при этом распределение напряжений под штампом имеет вид:

ЧГ') 2тг/*

Оставаясь в рамках модели безынерционной упругой среды, т. е. используя решения статических задач, можно рассмотреть всю систему штампов и учесть взаимное влияние между ними. Как и в предыдущем случае, распределение напряжений под каждым из штампов считается заданным (таким же как в статической задаче). При построении решения можно воспользоваться результатами решения статической задачи о нескольких штампах на полупространстве.

При упрощенном подходе, учитывая удаленность штампов, для оценки вклада в перемещения от соседних штампов можно заменить напряжения, распределенные по площадкам контакта, сосредоточенными силами, приложенными в центрах соседних областей контакта (суммарными контактными усилиями): «.(*) -«>.(¦) = igft (*) + (2). М"й"(?) = -F"(i)

Использование замкнутой формы фундаментального решения динамической задачи Лэмба позволяет построить более сложную модель, в которой взаимное влияние штампов учитывается динамически по действию суммарных контактных усилий. При этом распределение контактных напряжений под рассматриваемым штампом по-прежнему считается статическим:

Mi) — Mi) = ¿-ЙЗД) +EfG (t-1>, I* - x^F^df гфк о (3) мкйк{$) = -Fk (*О

Основным недостатком указанных моделей, позволяющих с большей или меньшей точностью описать динамический процесс, является прежде всего их неспособность учесть перенос энергии упругими волнами на бесконечность. Вообще говоря, этот недостаток является принципиальным, поскольку при этом реально существующие процессы распространения энергии в среде (т.е. качественные эффекты) не могут быть описаны корректно.

Предложенная в диссертационной работе асимптотическая модель построена при использовании асимптотического подхода к решению точных уравнений линейной трехмерной динамической теории упругости. Она позволяет адекватно описать динамическое взаимодействие системы удаленных штампов и упругого полупространства: учесть перенос энергии при распространении упругих волн вглубь среды и взаимное влияние штампов.

Сравнение результатов расчета динамики системы двух одинаковых штампов по асимптотической модели и по квазистатической модели (2) приведено на рис. 1. Легко видеть, что перемещение, рассчитанное по квазистатической модели (2), при внешнем воздействии вида v0(т) = Н (т)Н{ 1 — г) sin2(Trr). (4) г = 0.1

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0 1 2 3 4 5 6

Рисунок 1: Зависимость перемещения V от времени 1/Т. представляет собой незатухающие во времени колебания. Таким образом, модель (2), в отличии от предложенной асимптотической модели, искажает реальную динамику штампов, т.к. в реальной системе колебания, как известно, будут затухать.

Сравнение результатов расчета по асимптотической модели и по инженерным моделям (1), (3) показало, как и в случае модели (2), недостаточность описания динамического процесса этими моделями.

Наиболее близкими к предложенной асимптотической модели являются приближенные модели В. Л. Лобысева и В. А. Ильичева, в основе которых лежит аппроксимация импульсной переходной функции системы штамп — полупространство.

В.А.Ильичев [46] предложил для описания перемещения IV изолированного квадратного штампа (сторона квадрата 2Ь, масса М) под действием вертикальной динамической нагрузки /(?), не создающей внешнего момента, использовать уравнение вида: Ь

М-7Т7Г + т, о 1 -ТГ + -™ = /(*) ш гу^с2о- <�м го54

5)

71 а = 1.12.

32тт/л4Ь'

При аппроксимации импульсной переходной функции, на основе которой построена модель (5), В. А. Ильичев использовал фундаментальное решение динамической задачи Лэмба в замкнутой форме, полученное Пекерисом [67]. Рассматривая абсолютно гибкий штамп, на основе известного фундаментального решения он вычислял в некоторые моменты времени перемещения в определенных точках штампа. Затем, осреднив по площади полученный набор значений в каждый момент времени, он аппроксимировал среднее перемещение, подбирая коэффициенты, некоторой временной функцией, и таким образом получил приближенное выражение для импульсной переходной функции системы квадратный штамп — полупространство. Существенным ограничением предложенной В. А. Ильичевым приближенной модели является тот факт, что решение Пекериса было построено только для одного значения коэффициента Пуассона v = 0.25.

Качественное сравнение приближенной модели (5) (квадратный штамп) и асимптотической модели, предложенной в диссертационной работе (круглый штамп): d2u 8h2uAi du Aha «, .

HiMI I (/=0.25 = 124 показывает, что коэффициенты соответствующих уравнений являются достаточно близкими (для и = 0.25). Легко видеть, что инерционные и упругие силы в обеих моделях (6) и (5) определяются одинаково (первые — массой штампов, вторые — статической податливостью системы штамп — полупространство), отличие в коэффициентах демпфирования составляет не более 15% (для более точной оценки необходимо сравнить модели для штампов одинаковой формы).

В.Л.Лобысев [80] получил следующее представление для реакции упругого полупространства на вертикальное движение по закону w (t) круглого плоского штампа, расположенного на его границе:, 7Гuh2 dwкак2 } d2w (t -1'), (c2t'

Щ = + + (XJ dt> (7)

1 8 / с2

0.25 = - 1 1

7 г cf>

0.25

0 16 Зтг'

0.25 = 1−346,

Ф^) = (— - е) ехр (—Ав), АI&bdquo-=0.25 = 1−866

Входящие в (7) коэффициенты б, А и функция определяются свойствами упругой среды (соответствующие формулы приведены в [80]). В основе данного представления лежит аппроксимация импульсной переходной функции системы штамп — полупространство, полученная следующим образом: после выполнения интегрального преобразования Лапласа исходных уравнений динамики среды (уравнений Ляме) импульсную переходную функцию в изображениях заменяется некой дробно-рациональной функцией, при этом коэффициенты квадратных трехчленов в числителе и знаменателе подбираются так, чтобы асимптотическое поведение данной дробно-рациональной функции и оригинала совпадало при t.—> 0 и t —У оо. Искомая аппроксимация получается после выполнения обратного преобразования данной дробно-рациональной функции.

Используя представление (7) для реакции упругой среды, можно построить приближенную модель, описывающую движение штампа при заданной вертикальной внешней силе:, d? w 7так2 } d2w (t — t'), (c2t',. nah2 dw, ,

Легко видеть, что в отличие от предложенной асимптотической модели (6), уравнение (8) содержит в левой части дополнительное слагаемое.

Резюмируя вышесказанное, необходимо отметить, что существующие на данный момент простые инженерные модели (1), (2) и (3) не всегда позволяют правильно описать динамические процессы в рассматриваемой системе. Приближенная модель В. А. Ильичева (5), адекватно описывающая динамическое взаимодействие изолированного штампа и среды, имеет ограниченную область применимости (среда с коэффициентом Пуассона v = 0.25). Приближенная модель В. Л. Лобысева (8) также, как и модель (5), получена только для изолированного штампа.

Построенная в диссертационной работе на основе асимптотического анализа точных уравнений линейной трехмерной динамической теории упругости простая модель для описания динамического взаимодействия системы удаленных штампов и упругого полупространства позволяет учесть перенос энергии упругими волнами на бесконечность (вглубь среды) и взаимное влияние штампов.

Таким образом на основании проведенных исследований можно сформулировать следующие основные результаты диссертации:

1. Разработана длинноволновая модель динамического взаимодействия изолированного круглого штампа, а также системы удаленных круглых штампов и упругого полупространства. Модель позволяет описать диссипацию энергии в среде за счет уноса энергии упругими волнами.

2. Рассчитан отклик системы удаленных круглых штампов на вертикальное гармоническое воздействие и на вертикальный импульс (возбуждение силовое, волновое и кинематическое). Проведено сравнение результатов расчета по асимптотической модели с результатами численных решений, выполненных другими авторами (в той области изменения параметров, где такое сравнение возможно). Сравнение показало эффективность предложенной асимптотической модели.

3. Изучены зависимости динамических свойств системы от инерции штампов, их размеров и взаимного расположения. Рассмотрены различные варианты размещения штампов на границе. Показано, как выбором конфигурации и рациональным распределением массы можно отстраивать систему от резонанса (в определенном диапазоне частот).

4. Проведено сравнение результатов расчета динамических процессов на основе предложенной асимптотической модели и на основе простых инженерных моделей. Сравнение указало на недостаточность описания динамического процесса простыми моделями.