Задача 2. Требуется доказать неравенство: [5]Решение, пусть Неравенство, при любыхx верно. Значит неравенство верно. Рассмотрим следующую теорему: Пусть функцияy=f (x) непрерывна напромежутке (a, b) и дана точка с из (a, b), что на (a, c) и на (c, b). Тогда при любом хЄ(a, b) справедливо неравенство причем равенство имеет место лишь приx=c. 2]Задача 3. Требуется проверить, справедливо ли следующее неравенство:
при всех действительных значениях х. 4]Решение:
Найдем производную функции и определим промежутки монотонности функции. Получаем:
Видно, что на и на Следовательно, в силу теоремы, т. е. неравенство справедливо, причем равенство имеет место лишь при .
4.2. Производнаяи доказательство тождеств.
Доказательства тождества можно достигнуть иногда, если воспользоваться одним очевидным замечанием: если на некотором интервале функция тождественно равна постоянной, то ее производная на этом интервале постоянно равна нулю:
Задача 1. Доказать или опровергнуть тождество:[5]Решение:
Рассмотрим функцию вида:
Далее вычислим ее производную (по х):Так как. Следовательно,, что равносильно исходному тождеству.
4.3. Производнаяи упрощение алгебраических и тригонометрических выражений.
Прием использования производной для преобразования алгебраических и тригонометрических выражений основан на том, производная иногда имеет значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря чему, она легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование исходного выражения:
Задача 1. Упростить выражение:[5]Обозначив данное выражение f (a), будем иметь:
Таким образом, заданное выражение равно. 4.
4.Производнаяи разложение выражения на множители.
Задача 1. Требуется разложить на множители выражение: [6]Решение: Пусть xпеременная, аyи zпостоянные (параметры), обозначим заданное выражение через f (x), будем иметь:
Поэтому, где — постоянная, т. е. в данном случае — выражение, зависящее от параметровyи z. Для нахожденияс в равенствах положим x=0 тогда4.
5. Производной и вопросы существования корней уравнений.
С помощью производной можно определить, сколько корней имеет уравнение. Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство монотонных функций:
если функцияf возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнениеf (x)=0 имеет не более одного корня. Задача 1.Требуется найти решение уравнения [6]Решение: Область определения данного уравнения — промежуток.
Положим Тогда, Таким образом, функцияfвозрастающая, так что данное уравнение не может иметь более одного решения.
Заключение
.
Рассмотренные методы дифференциального исчисленияоткрывают новый подход к многим преобразованиям в математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или разрешимы, но громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера являются новыми и необыкновенными, что позволяет расширить кругозор учащихся и повыситьих интерес к изучению производной. В результате проведенного исследования вдном реферате можно сделать следующие выводы: геометрический смысл производной: производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0;физический смысл производной: производная функции y = f (x) в точке x0 — это скорость изменения функции f (х) в точке x0;экономический смысл производной: производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора;
производная находит широкое приложение в физике для нахождения скорости и ускорения, для нахождения наибольших и наименьших величин;
производная является важнейшим инструментом экономического анализа, который позволяет углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул;
наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.); производная применяетсяв экономической теории, именно многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем;
знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии. В ходе написания работы были использованы такие ключевые понятия дифференциального исчисления как производная, геометрический и физический смысл производной, касательная к графику функции и многое другое, которые используются для решения прикладных задач в математике, физике, экономике. Таким образом, поставленные цель и задачи достигнуты в полном объеме.
Литература
.
Баврин И. И. Основы высшей математики. — М.: Высшая школа, 2013.
Башмаков М. И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. — М.: Издательский центр «Академия», 2016.
Богомолов Н.В., Самойленко И. И. Математика. — М.: Юрайт, 2015.
Богомолов Н. В. Практические занятия по математике. — М.: Высшая школа, 2013.
Богомолов Н. В. Сборник задач по математике. — М.: Дрофа, 2013.
Виноградов Ю.Н., Гомола А. И., Потапов В. И., Соколова Е. В. Применение производной в различных областях науки- М.:Издательский центр «Академия», 2010.
Григорьев В.П., Дубинский Ю. А, Элементы высшей математики. — М.: Академия, 2014.
Рыбников К. А. История математики, «Издательство Московского университета», М, 1960.
Ресурсы сети Интернет:
https://ru.wikipedia.org/wiki.
http://dic.academic.ru/.
http://urokmatem.ruwww:egetutor.rumatematika-na5.norod.ru.
