Вероятности больших уклонений асимптотически однородных в пространстве эргодических цепей Маркова

Пусть Р (х, В), х Е R, В G <^®, — некоторая однородная во времени переходная вероятность в Rздесь и далее ?^® — сг-алгебра борелевских множеств в R. Всюду в настоящей диссертации параметр-время п принимает значения из множества целых неотрицательных чисел Z+ = {0,1, 2,.}. Рассмотрим цепь Маркова {Хп} со значениями в R и с переходной вероятностью Р (-,-), т. е.

Р{хп+1евхп = х} = Р (х, в).

Пусть тгп — распределение Хп: irn{B) = Pj-X^ G В}. Обозначим через случайную величину с тем же распределением, что и у скачка цепи {Хп} из состояния х:

P{x + ((i)E?} = Р (х, в), ВеЩ R).

Определение 1. Цепь Маркова X называется асимптотически однородной (в пространстве), если распределение скачка имеет слабый предел при х —> оо, т. е. найдётся такая случайная величина что £(х)? при х —> оо. Распределение? обозначается через F.

В настоящей диссертации рассматривается (главным образом) асимптотически однородная в пространстве цепь Маркова X. Предполагаем, что Хп — эргодическая Харрисова цепь, имеющая единственное инвариантное распределение 7 Г. Тогда распределение Хп сходится при п —>¦ оо к 7 Г в метрике полной вариации, т. е. тгп-7г|(К) = 2- sup |тгп (В)-тг (В)|-+0 (1).

ВеЩ R) здесь и далее для любой знакопеременной меры ц и множества В через ц (В) обозначаем полную вариацию меры ¡-л на множестве В). Для цепи Хп со счётным множеством состояний это имеет место автоматически, если цепь неразложимая, непериодическая и положительно возвратнаядля веществен-нозначных цепей соответствующие условия можно найти, например, в [6, 72].

Мера 7 Г доставляет решение уравнению оо.

P (x, B) ir{dx), тг (Н) = 1. (2) оо.

Ввиду сходимости (1) семейство распределений Хп относительно компактно, т. е. supP{Xn > х} —> 0 при х —> оо. О.

В настоящей диссертации исследуются условия, при которых асимптотическое поведение вероятности Wn (x) = Р{ХП > при п, х —> сю возможно выписать в явном виде в терминах «локальных характеристик» цепи, прежде всего в терминах распределения F предельного скачка В том числе, исследуется асимптотика хвоста тг (х) = тт (х, оо) инвариантной меры 7 г.

Для любого распределения G в R функцию G (x) = G (x, оо) называем хвостом распределения G.

Простейшим и одновременно с тем очень важным примером асимптотически однородной цепи Маркова является случайное блуждание Wn с задержкой в нуле (называемое в [87, 89] однородной в пространстве цепью Маркова), задаваемое рекуррентным равенством wn+l = (Wn + in+1)+,.

3) где ?2, • • • суть независимые копии случайной величины Положим Sq = О, Sn = & + • • • + ^ и.

Мп = m&x{So, Si,., Sn}. (4).

Известно (см. например, [29, гл. VI, § 9]), что распределение цепи Wn с нулевым начальным условием Wo = 0 совпадает с распределением Мп, т. е.

P{Wn>xW0 = 0} = Р {Мп>х}. (5).

В частности, если Wq = 0, то последовательность Wn является стохастически возрастающей и, следовательно, имеет слабый пределобозначим через W^ случайную величину с этим предельным распределением.

Известно (см. теорему 1 в [29, гл. XII, § 2]), что Mqq (эквивалентно, W0с) конечно почти наверное тогда и только тогда, когда Sn —> — 00 при п —> оо с вероятностью 1. Также известно, что если Етах (0, ?) конечно, то Sn —> —00 почти наверное при п —" оо тогда и только тогда, когда Е£ € [—оо, 0) — если Етах (0,^) = оо, то условия для почти наверное сходимости Sn —> —00 также давно известны, более подробно см. § 26. В диссертации почти всюду предполагается, что Е£ < 0.

Другой важный пример — частично однородная в пространстве цепь Маркова, занимающая в некотором смысле промежуточное положение между случайным блужданием с задержкой в нуле и асимптотически однородной цепью Маркова.

Определение 2. Следуя [87], будем говорить, что цепь X со значениями в R является U-частично однородной в пространстве (или просто частично однородной), если для любого борелевского множества В С (U, оо) переходная вероятность Р (у, В) совпадает с вероятностью Р{у +? 6 В}, когда у пробегает множество (U, оо). Другими словами, в области (U, оо) поведение цепи X совпадает с процессом суммирования независимых случайных величин, имеющих общее распределение F. Очевидно, что однородная цепь (случайное блуждание с задержкой в нуле) является 0-частично однородной.

Можно трактовать частично однородную цепь Маркова как возмущённое в некоторой окрестности нуля случайное блуждание, а асимптотически однородную цепь, в свою очередь, как ещё более сильно возмущённое случайное блуждание.

Асимптотическое поведение вероятностей больших уклонений асимптотически однородной цепи Маркова Хп самым существенным образом определяется тем обстоятельством, допускает или нет предельный скачок? конечный экспоненциальный момент с положительным показателем. Это хорошо известно на примере Wn — случайного блуждания с задержкой в нуле. Кратко напомним основные факты, известные для стационарного распределения Wn, т. е. для Woo.

Преобразование Лапласа ц>(Х) = Еел^ случайной величины? есть функция выпуклая, причём </?(0) = 1 и '(()) = Е£ < 0. Поэтому множество {Л: </?(А) ^ 1} представляет собой отрезок вида [0, /3], где.

3 = sup{A: <�р{А) < 1}.

Всюду предполагаем, что Р{£ > 0} > 0. Поэтому число (3 конечно. Возможны лишь три случая: а) ?3 > 0 и ip ((3) = 1 — «крамеровский» случайб) ?3 > 0 и <р{/3) < 1 — «промежуточный» случайв) (3 = 0 — случай «тяжёлых хвостов», когда ЕеЛ^ = оо для любого Л > 0.

В работе рассматриваются все три случая, при этом основными являются крамеровский случай и случай тяжёлых хвостов.

Если имеет место крамеровский случай, то хорошо известна оценка, восходящая к Лундбергу и Крамеру: для любого х ^ 0 справедливо.

P{WQ0>x} < е~@х.

Если, кроме того, а = <р'((3) = ЩеР* конечно, то (см., например, [29, гл. XII, § 5]).

Р{?00>х} ~ при х —> оо, (6) где р = Р{Моо>0}, а = Е{5те/35тг < оо}, где, в свою очередь, г = тт{п ^ 1: 5П > 0}.

Поскольку Е£ < 0, то р < 1, ат и 5 Т — несобственные случайные величины.

Если имеет место случай тяжёлых хвостов, когда (3 = 0, то асимптотическое поведение вероятности Р{И^оо > х} совершенно другое, и при некоторых условиях субэкспоненциальности (подробнее см. § 25) имеет место эквивалентность.

1 Г°° —.

Р{]¥-00 > х} ~ щ j Е (у)<1у при х —>¦ оо. (7).

Если же имеет место промежуточный случай, когда (/?) < 1, то асимптотическое поведение вероятности Р{И/00 > х} также своеобразно, и при некоторых условиях принадлежности классу (подробнее см. § 49) имеет место эквивалентность.

Ее/^оо.

Р{Жх> > х} ~ —-ггГ{х) при х^ оо. (8).

1 — (р[Р).

Крамеровский случай и случай тяжёлых хвостов сильно отличаются не только асимптотическим поведением вероятностей больших уклонений супремума, но и самой природой формирования этих больших уклонений. В крамеровском случае наиболее вероятными траекториями, приводящими к маловероятным большим уклонениям, являются траектории более или менее равномерного движения вверхв формировании события Р{,!?п > ж} свой вклад вносят все скачки случайного блуждания, причём в приблизительно равной мере. В случае же тяжёлых хвостов наиболее вероятный способ формирования больших уклонений — это присутствие одного большого скачка, сразу приводящего к уровню выше х.

В настоящей диссертации показывается, каким образом приведённая классификация для стационарного распределения случайного блуждания с задержкой в нуле может быть перенесена на асимптотически однородную в пространстве цепь Маркова. При этом также исследуются и достационарные распределения, а кроме того приводятся локальные асимптотики, изучение которых оправдано в случае тяжёлых хвостов. Естественно, что при этом техника доказательств, как и для однородных случайных блужданий, в каждом из трёх случаев принципиально различная, и потребовалось разработать новые подходыподробнее см. соответствующие главы.

Выделение класса асимптотически однородных в пространстве цепей в качестве основного объекта исследования продиктовано тем обстоятельством, что среди эргодических цепей этот класс представляется максимально широким, для которого возможно вычисление вероятностей больших уклонений. Если не предполагать асимптотической однородности в пространстве, то известны лишь весьма грубые верхние оценки типа Р{ХП > х} ^ х6(х), где 6(х) — функция, определяемая по общей мажоранте хвостов скачков цеписм. теоремы 3.1 и 25.1 в [6]. Тесно связанная с этим проблематика существования моментов стационарного распределения в терминах пробных функций подробно рассмотрена Майном и Твиди в [72, гл. 14]. Из их результатов в силу неравенства Чебышёва легко выводятся верхние оценки (также несколько грубые) для вероятностей больших уклонений цепи как в случае степенных хвостов, так и в случае хвостов с конечными экспоненциальными моментами.

Диссертация организована следующим образом.

Известно, что важнейшую роль при исследовании вероятностей больших уклонений, особенно в крамеровском случае, играют различные предельные теоремы в области нормальных уклонений. Поэтому глава I, основанная на работе [92], посвящена предельным теоремам для цепей Маркова со значениями в измеримом пространствепри этом однородность во времени переходных вероятностей, вообще говоря, не предполагается. В различных предположениях о природе пространства состояний цепи получены утверждения типа закона больших чисел, интегральной и локальной центральной предельной теоремы. Полученные результаты являются наиболее содержательными для невозвратных цепей Маркова.

В главе II изучаются асимптотически однородные в пространстве цепи Маркова в крамеровском случае, когда предельный скачок? удовлетворяет условию: существует? > 0 такое, что.

В теореме 14 принцип больших уклонений доказывается для достационарного распределения. Далее основные усилия направлены на поиск условий, позволяющих вычислить точную асимптотику вероятностей больших уклонений асимптотически однородной цепи Маркова. Оказывается, чтобы найти точную асимптотику, недостаточно знать лишь, что цепь асимптотически однородна. Необходима дополнительная информация о скорости сближения распределения скачка к предельному распределению F. Показывается, что упомянутая скорость сближения должна быть, грубо говоря, интегрируемой функцией. Тогда хвост инвариантной меры асимптотически эквивалентен.

7 г (х, оо) ~ се~@х при х —> оо.

Также найдена точная асимптотика хвоста достационарного распределенияосновными являются теоремы 19 в § 20 и 20 в § 22. В частности, найдена зона значений времени п, в которой вероятность Т*{Хп > х} асимптотически эквивалентна хвосту 7 г (гг, оо) инвариантного распределения. Основные результаты главы II опубликованы в работах [86], [87], [88], [89] и [95].

В главе III исследуется случай тяжёлых хвостов. Основными являются теоремы 24 и 25 в § 26 об асимптотике хвоста супремума, когда скачки имеют бесконечное среднее значениетеорема 35 в § 37 об асимптотике конечного, но времени максимума частичных сумм типа.

Р{Мп>х} ~ Щ-J F (u)du при х —> оо равномерно по п ^ 1- теорема 28 в § 32 о локальной асимптотике распределения суммы, остановленной в случайный момент времении, наконец, теорема 36 в § 42, утверждающая, что при весьма общих естественных условиях асимптотически однородная цепь Маркова в случае тяжёлых хвостов имеет следующую асимптотику вероятностей больших уклонений: гх+пЩ.

Р{Хп >х} ~ с F (u)du.

Jx при п, х —> оо. Также в § 45 рассматривается случайное блуждание с зависимыми приращениями, когда скачки представляют собой процесс скользящих средних. Изложение в главе III основано на работах [87], [88], [90], [93], [94], [96] и [97].

В главе IV изучается промежуточный случай. Основной является теорема 42 в § 50 об асимптотике вероятностей больших уклонений асимптотически однородной цепи Маркова в промежуточном случае, в которой выясняются условия, обеспечивающие при n, х —> оо выполнение асимптотики.

P{Xn>x} ~ cF (x).

Результаты опубликованы в работах [87], [88] и [89].

С точки зрения приложений отметим следующие области применения полученных результатов. а) Во многих приложениях Хп описывает «нагрузку» некоторой физической системы и необходимо знать вероятность того, что эта нагрузка превзойдёт некоторый заданный большой уровень х. Это и есть вероятность Тп (х), приближённое значение которой изучается. Например, в одноканальной системе обслуживания GI/GI/1, в которой n-й вызов приходит после (п — 1)-го через время тп и требует обслуживания в течении времени сгп, время ожидания Wn п-го вызова удовлетворяет реккурентному соотношению.

Wn+i = (Wn + (тп ~ rn+i)+.

Полагая ?n = crni — тп, приходим к случайному блужданию с задержкой в нуле (3). Если же скорость обслуживания зависит от текущей нагрузки (текущего времени ожидания) в системе, то мы получаем марковскую последовательность вида Wn+1 = {Wn + х}, где? п+х = Ап — стП: см. (4). Если же пересматривать страховые взносы (т. е. значение интенсивности с) в зависимости от текущего капитала страховой компании после наступления очередного страхового случая, то мы опять приходим к процессу, скачки которого зависят от его состояния. в) Случайные блуждания и цепи Маркова, скачки которых обладают экспоненциальными моментами, часто возникают при решении статистической задачи о разладке. Например, знание асимптотики стационарного распределения асимптотически однородной в пространстве цепи Маркова оказывается полезным при исследовании последовательных процедур определения разладки, см. [4]. г) Полученные результаты позволяют установить существование «моментов» Е/(Хп) для заданного класса растущих функций /, оперировать этими моментами в разного рода задачах оптимизации и оценивать эти моменты с помощью метода Монте-Карло. Кроме того, если установлено, например, что Т (х) ~ сх~ае~@х, где какие-либо из параметров с, а или р в явном виде неизвестны, то с помощью метода Монте-Карло можно оценивать также и эти параметры (см., например, [2, гл. 5, § 68], [50, 62, 21]) — при этом для получения более полной информации об оценках полезно знать также следующий член асимптотики Т (х), т. е. асимптотическое поведение п (х) — сх~ае~@х при х —> оо (вопрос оценки этой разности затрагивается в § 11).

Несколько слов относительно примыкающей (но другой) тематике по большим уклонениям для цепей и процессов Маркова. Большое число работ посвящено многомерным эргодическим цепям Маркова (см.

список литературы

в [12]). Наиболее совершенные результаты в этом направлении, в том числе точные асимптотики, получены Боровковым и Могульским в [12]. При этом рассматриваются только частично однородные в пространствах И, 2 и К3 цепи Марковаисследование асимптотически однородных цепей в многомерном случае представляется весьма затруднительным. В одномерном случае ситуация более благоприятная, и в настоящей диссертации удалось разработать подходы к исследованию асимптотически однородных цепей Маркова со значениями в R.

Другое обширное направление исследований — грубые (в основном) теоремы о вероятностях больших уклонений в функциональных пространствах для марковских процессов, связанные с именами Вентцеля и Фрейдлина (см. книгу Вентцеля [14]- см. также § 5.4 в книге Пухальского [77]). В этих монографиях результаты, известные для классических случайных блужданий (т. е. для последовательностей частичных сумм независимых слагаемых), обобщаются на более общие марковские процессы. Достигаемая при этом общность ограничена процессами с так называемыми непрерывными статистиками. Однако эргодические цепи Маркова, например, однородное случайное блуждание на полуоси или осциллирующее блуждание, не удовлетворяют соответствующим условиям непрерывности некоторых характеристик, как это предполагается в [14].

Блуждание типа осциллирующего рассмотрено в работе Дюпии и Эллиса [51], а в несколько более общей постановке в книге тех же авторов [52, Chapter 7]. Изучена цепь Маркова со значениями в Rd, фазовое пространство которой разделено на две области D = {х G Rd: х ^ 0} и D2 = {х G Hd: х > 0}. В области D цепь имеет скачки с общим распределением Fi, а в области D2 — с F2. Дюпии и Эллис нашли функцию уклонений 1(a) случайного блуждания такого типа. В случае эргодического одномерного блуждания (т. е. когда Fi имеет положительное среднее значение, a F2 — отрицательное) она имеет вид.

Здесь ?i < 0 и ?2 > О — ненулевые решения уравнений относительно Л eXuF (du) = 1,.

J R f eXuF2(du) = 1 J R соответственно. Функция 1(a) выпуклая и кусочно линейная в областях [?i, 0] и [0, При выполнении некоторых дополнительных технических условий авторы доказали принцип больших уклонений типа limпР{Хп > па) = 1(a), п—юо 71 lim ilnP{Xn < -na} = /(-a). n-+oo n.

С точки зрения нашего подхода одномерное осциллирующее случайное блуждание есть частный случай 0-частично однородных цепей Маркова. Тем самым из наших результатов для [/-частично однородных цепей Маркова напрямую вытекает принцип больших уклонений, причём при существенно более слабых ограничениях на скачки (см. § 15).

1. Боровков А. А., Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972.

2. Боровков А. А., Математическая статистика. Новосибирск: НаукаИзд-во Института математики, 1997.

3. Боровков А. А., Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.

4. Боровков А. А., Асимптотически оптимальные решения в задаче о разладке. Теория вероятн. примен. 43 (1998) 625−654.

5. Боровков А. А., Новые предельные теоремы в граничных задачах для сумм независимых слагаемых. Сиб. мат. жури. 3 (1962) 645−694.

6. Боровков А. А., Эргодичность и устойчивость случайных процессов. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

7. Боровков А. Л., О преобразовании Крамера, больших уклонениях в граничных задачах и условном принципе инвариантности. Сиб. мат. журн. 36 (1995) 493−509.

8. Боровков А. А., Об условных распределениях, связанных с большими уклонениями. Сиб. мат. журн. 37 (1996) 732−744.

9. Боровков А. А., Боровков К. А, О вероятностях больших уклонений для случайных блужданий. I. Распределения с правильно изменяющимися хвостами. Теория вероятн. примен. 46 (2001) 211−232.

10. Боровков А. А., Могульский А. А., Вторая функция уклонений и асимптотические задачи восстановления и достижения границы для многомерных блужданий. Сиб. мат. журн. 37 (1996) 745−782.

11. Боровков А. А., Могульский А. А., Большие уклонения для цепей Маркова в положительном квадранте. Успехи мат. наук 56 (2001) 3−116.

12. Боровков А. А., Фосс С. Г., Оценки для перескока случайного блуждания через произвольную границу и их применения. Теория вероятн. примен. 44 (1999) 249−277.

13. Вентцель А. Д., Предельные теоремы о больших уклонениях для марковских случайных процессов. М.: Наука, 1986.

14. Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей. 5-е изд. М.: Наука, 1969.

15. Годованчук В. В., Вероятности больших уклонений для сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения устойчивого закона. Теория вероятн. примен. 23 (1978) 624−630.

16. Добрушин Р. Л" ., Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова. I. Теория вероятн. и её примен. 1 (1956) 72−89.

17. Добрушин Р. Л., Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова. II. Теория вероятн. примен. 1 (1956) 365−425.

18. Добру шин Р. Л., Печерский Е. А., Большие уклонения для случайных процессов с независимыми приращениями на бесконечном интервале. Проблемы передачи информации 34 (1998) 76−108.

19. Дынкин Е. Б., Некоторые предельные теоремы для сумм независимых случайных величин с бесконечными математическими ожиданиями. Изв. Академии Наук СССР, Сер. Матем. 19 (1955) 247−266.

20. Новак С. Ю., Утев С. А., Об асимптотике распределения отношения сумм случайных величин. Сиб. мат. журн. 31 (1990) 92−101.

21. Петров В. В., Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

22. Петров В. В., О вероятностях больших уклонений сумм независимых случайных величин. Теория вероятн. примен. 10 (1965) 310−322.

23. Пинелис И. Ф., Одна задача о больших уклонениях в пространстве траекторий. Теория вероятн. примен. 26 (1981) 73−87.

24. Рогозин Б. Л., О постоянной в определении субэкспоненциальных распределений. Теория вероят. примен. 44 (1999) 455−457.

25. Рогозин Б. А., Сгибнев М. С., Банаховы алгебры мер на прямой. Сиб. мат. журн. 21 (1980) 160−169.

26. Рогозин Б. А., Сгибнев М. С., Сильно субэкспоненциальные распределения и банаховы алгебры мер. Сиб. мат. журн. 40 (1999) 1137−1146.

27. Сгибнев М. С., Банаховы алгебры функций, обладающих одинаковым асимптотическим поведением на бесконечности. Сиб. мат. журн. 22 (1981) 179−187.

28. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т. 2. М.: Мир, 1984.

29. Чистяков В. П., Теорема о суммах независимых положительных случайных величин и ее приложения к ветвящимся процессам. Теория ве-роятн. примен. 9 (1964) 710−718.

30. Ширяев А. Я., Вероятность. М.: Наука, 1989.

31. Asmussen S., Applied Probability and Queues. John Wiley & Sons, Chichester, 1987 (2nd ed., Springer, New York, 2003).

32. Asmussen S., Ruin Probabilities. World Scientific, Singapore, 2000.

33. Asmussen SA probabilistic look at the Wiener-Hopf equation. SI AM Review AO (1998) 189−201.

34. Asmussen S., Henriksen L. Fl0e, Kliippelberg C., Large claims approximations for risk processes in a Markovian environment. Stochastic Process. Appl. 54 (1994) 29−43.

35. Asmussen S., H0jgaard В., Ruin probability approximations for Markov-modulated risk processes with heavy tails. Theory Random Proc. 2 (1996) 96−107.

36. Asmussen S., Kalashnikov V., Konstantinides D., Kliippelberg C., and Tsi-tsiashvili G., A local limit theorem for random walk maxima with heavy tails. Statist Probab. Letters 56 (2002) 399−404.

37. Asmussen S., Schmidli H., Schmidt V., Tail probabilities for non-standard risk and queueing processes with subexponential jumps. Adv. Appl. Probab. 31 (1999) 422−447.

38. Athreya К., Ney P., Branching Processes. Springer: Berlin, 1972.

39. Baccelli F., Schlegel S., Schmidt V., Asymptotics of stochastic networks with subexponential service times. Queueing Systems. Theory Appl. 33 (1999) 205−232.

40. Bertoin J., Doney R. A., On the local behaviour of ladder height distributions. J. Appl. Prob. 31 (1994) 816−821.

41. Bertoin J., Doney R. A., Some asymptotic results for transient random walks, Adv. Appl. Prob. 28 (1996) 207−226.

42. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L., Regular Variation. Cambridge University Press, 1987.

43. Borovkov A. A., Large deviations probabilities for random walks in the absence of finite expectations of jumps, Probab. Theory Relat. Fields 125 (2003) 421−446.

44. Callaert H., Cohen J. W., A lemma on regular variation of a transient renewal function. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 24 (1972) 275−278.

45. Chover J., Ney P., Wainger 5., Functions of probability measures. J. d Analyse Mathematique 26 (1973) 255−302.

46. Chover J., Ney P., Wainger S., Degeneracy properties of subcritical branching processes, Ann. Probability 1 (1973) 663−673.

47. Cohen J. W., Some results on regular variation for distributions in queueing and fluctuation theory. J. Appl Probab. 10 (1973) 343−353.

48. Cramer H., Collective risk theory. Stockholm: Esselte, 1955.

49. Csorgo S., Deheuvels P., Mason D. M., Kernel estimates of the tail index of a distribution. Ann. Statist 13 (1985) 1050−1077.

50. Dupuis P., Ellis R. 5., Large deviations for Markov processes with discontinuous statistics, II: random walks, Probab. Th. Rel. Fields 91 (1992) 153−194.

51. Dupuis P., Ellis R. S., A weak convergence approach to the theory of large deviations. Wiley, 1997.

52. Embrechts P., Goldie C. M., On closure and factorization properties of subexponential distributions, J. Austr. Math. Soc., Ser. A 29 (1980) 243 256.

53. Embrechts P., Goldie C. M., On convolution tails, Stochastic Process. Appl. 13 (1982) 263−278.

54. Embrechts P., Goldie C. M., Veraverbeke TV., Subexponentiality and infinite divisibility. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 49 (1979) 335−347.

55. Embrechts P., Kliippelberg C., Mikosch T., Modelling Extremal Events. Springer, Berlin, 1997.

56. Embrechts P., Omey E., A property of longtailed distributions, J. Appl. Prob. 21 (1984) 80−87.

57. Embrechts P., Veraverbeke N., Estimates for the probability of ruin with special emphasis on the possibility of large claims, Insurance: Math, and Economics 1 (1982) 55−72.

58. Erickson K. B., Strong renewal theorems with infinite mean, Transactions of the American Mathematical Society 151 (1970) 263−291.

59. Erickson K. B., The strong law of large numbers when the mean is undefined, Transactions of the American Mathematical Society 185 (1973) 371−381.

60. Foss S., Zachary S., The maximum on a random time interval of a random walk with long-tailed increments and negative drift. Ann. Appl. Prob. 13 (2003) 37−53.

61. Haeusler E., Teugels J. L., On asymptotic normality of Hill’s estimator for the exponent of regular variation. Ann. Statist. 13 (1985) 743−756.

62. Harris T., The Theory of Branching Processes. Springer, Berlin, 1963.

63. Hoffman-J0rgensen J., Pisier G., The law of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces. Ann. Probab. 4 (1976) 587−599.

64. Hoglund T., A unified formulation of the Central Limit Theorem for small and large deviations from the mean. Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb. 49 (1979) 105−117.

65. Jelenkovid P. R., Lazar A. A., A network multiplexer with multiple time scale and subexponential arrivals. In Stochastic Networks: Stability and Rare Events. New York: Springer, 1996. P. 215−235.

66. Karlin S., Taylor H. M., A First Course in Stochastic Processes. 2nd Edition. New York, London, etc.: Academic Press, 1975.

67. Kliippelberg C., Subexponential distributions and integrated tails, J. Appl. Probab. 25 (1988) 132−141.

68. Kliippelberg C., Subexponential distributions and characterization of related classes. Probab. Th. Rel. Fields 82 (1989) 259−269.

69. Kliippelberg C., Kyprianou A. E., Mailer R. A., Ruin probabilities and overshoots for general Levy insurance risk processes. Submitted for publication (2003).

70. Korshunov D. A., Transition phenomena for real-valued Markov chains. Sibirian Adv. Math. 3 (1993) 53−100.

71. Meyn S. P., Tweedie R. L., Markov Chains and Stochastic Stability. London, Berlin, etc.: Springer-Verlag, 1993.

72. Mikosch T., Samorodnitsky G., The supremum of a negative drift random walk with dependent heavy-tailed steps, Ann. Appl. Probab. 10 (2000) 10 251 064.

73. Pakes A. (?., On the tails of waiting-time distribution, J. Appl. Probab. 12 (1975) 555−564.

74. Pinelis /., Optimum bounds for the distribution of martingales in Banach spaces. Ann. Probab. 22 (1994) 1679−1706.

75. Pisier G., Martingales with values in uniformly convex spaces. Israel J. Math. 20 (1975) 326−350.

76. Puhalskii A., Large deviations and idempotent probability. Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, 2001.

77. Rolski T., Schmidli H., Schmidt V., Teugels J., Stochastic Processes for Insurance and Finance. Wiley, Chichester, 1998.

78. Stadje W., A note on the maximum of a random walk, Statistics & Probability Letters 23 (1995) 227−231.

79. Stone C., On characteristic functions and renewal theory. Trans. Amer. Math. Soc. 120 (1965) 327−342.

80. Stone С., On moment generating functions and renewal theory. Ann. Math. Statis. 36 (1965) 1298−1301.

81. Teugels J. The class of subexponential distributions, Ann. Probab. 3 (1975) 1000−1011.

82. Varadhan S. R. 5., Large Deviations and Applications. Philadelphia: Soc. for industr. and appl. math., 1984.

83. Veraverbeke Nn Asymptotic behavior of Wiener-Hopf factors of a random walk. Stochastic Process. Appl. 5 (1977) 27−37.

84. Woodroofe M., Nonlinear Renewal Theory in Sequential Analysis. CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, 39. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, Pa., 1982. Работы автора по теме диссертации.

85. Боровков А. А., Коршунов Д. A., Ergodicity in a sense of weak convergence, equilibrium-type identities and large deviations for Markov chains. Probability Theory and Mathematical Statistics, Proceedings of the Sixth Vilnius Conference (1993) P. 89−98.

86. Korshunov D., On distribution tail of the maximum of a random walk. Stochastic Processes Appl. 72 (1997) 97−103.

87. Foss S., Korshunov D., Sampling at a random time with a heavy-tailed distribution. Markov Processes and Related Fields 6 (2000) 543−568.

88. Коршунов Д. А., Предельные теоремы для общих цепей Маркова. Сиб. мат. журн. 42 (2001) 354−371.Перевод на английский: Limit theorems for general Markov chains. Sib. Math. J. 42 (2001) 301−316.

89. Assmusen S., Foss S.- Korshunov D., Asymptotics for sums of random variables with local subexponential behaviour. J. Theoretical Probab. 162 003) 489−518.

90. Коршунов Д. А., Одномерные асимптотически однородные цепи Маркова: преобразование Крамера и вероятности больших уклонений. Математические труды 6 (2003) 102−143.

91. Foss S., Denisov D., Korshunov D., Tail asymptotics for the supremum of a random walk when the mean is not finite. Queueing Systems 46 (2004) 15−33.Препринты автора по теме диссертации.

92. Боровков А. А., Коршунов Д. А., Вероятности больших уклонений одномерных цепей Маркова. 1. Стационарные распределения. Препринт № 10, Институт математики СО РАН (1995) 35 с.

93. Korshunov D., Schlegel S., Schmidt К, Asymptotics for random walks with dependent heavy-tailed increments. Eurandom Report 2000;043 (2000).Тезисы конференций по теме диссертации.

94. Коршунов Д. А., Об асимптотике распределения супремума частичных сумм. Предельные теоремы и смежные вопросы, Тезисы докладов международного семинара, Омск (1995) 32−34.

95. Korshunov D., Large deviations for one-dimensional Markov chains with subexponential jumps. Abstracts of the Workshop Heavy tails and queues, Eurandom, Eindhoven University of Technology, The Netherlands (1999).

96. Korshunov D., Asymptotics for random walks with dependent heavy-tailed increments. Abstracts of the Workshop Modern Problems in Applied Probability, Novosibirsk, Russia (2000) p. 12.

97. Korshunov D., Large deviation probabilities for one-dimensional Markov chains. Abstracts of the 27th Conference on Stochastic Processes and their Applications, Cambridge, UK (2001).

98. Korshunov D., Large deviations for sums and Markov chains: heavy-tailed case. Abstracts of reports of the Ukrainian Congress of Mathematics, Section Probability Theory and Mathematical Statistics, Kiev, Ukraine (2001) 18−19.

99. Korshunov D., Subexponential distributions revisited: local properties. Abstracts of the Workshop The mathematics of stochastic networks, Eindhoven, The Netherlands (2001).

100. Korshunov D., Subexponential distributions revisited: local behaviour of convolutions. Abstracts of the Advanced Concentrated Course on Long Range Dependence, Heavy tails and Rare Events, Copenhagen, Denmark (2002).

101. Korshunov D., Large deviation calculations for Markov chains via Cramer transform and CLT. Abstracts of the LMS/ICMS Workshop Modern Problems in Applied Probability, Edinburgh, UK (2002).

102. Korshunov D., Tail asymptotics for the supremum of a random walk when the mean is not finite. Abstracts of the Workshop Applied Probability and Advanced Communication Networks, Bcdlewo, Poland (2003) p. 10.