Исследование и численное решение многомерных обратных граничных задач теплопроводности, обладающих полугрупповой симметрией

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИЙ.

I. Установлена эквивалентность абстрактной и интегральной формулировок некоторых обратных граничных задач теплопроводности для тонкой прямоугольной пластины и трехмерного бруса. При этом выявлена полугрупповая симметрия, присущая данным задачам.

II. С учетом полугрупповой симметрии интегральных уравнений построены их разностно-аналитические аппроксимации, допускающие экономное решение с использованием устойчивых разностных схем.

III. Разработан метод численного решения таких сеточных уравнений, основанный на факторизации сеточных операторов. Метод реализован в виде комплекса программ. Получено экспериментальное подтверждение эффективности метода.

Заключение

.

В настоящей работе исследованы некоторые обратные граничные задачи теплопроводности (ОГЗТ) на тонкой прямоугольной пластине и трехмерном брусе с постоянными коэффициентами теплои температуропроводности и линейными температурными стоками. Задачи рассматриваются в виде абстрактных обратных краевых задач для дифференциально-операторных уравнений и в виде интегральных уравнений первого рода, получаемых на основе представления решений прямых задач через функцию Грина. В абстрактной постановке доказаны единственность и отсутствие непрерывной зависимости от входных данных решений задач. Установлена эквивалентность абстрактной и интегральной постановок рассматриваемых ОГЗТ в пространстве I. Показано, что интегральные уравнения допускают представление в виде векторных интегральных уравнений с операторными ядрами, выраженными через некоторые сильно непрерывные однопараметрические полугруппы ограниченных операторов. Генераторами таких полугрупп являются дифференциальные операторы, порождающие соответствующие абстрактные краевые задачи.

На основе операторных методов и с учетом полугрупповой симметрии интегральных операторов построены сеточные уравненияразностно-аналитические аппроксимации интегральных уравнений, допускающие экономное решение в алгебре формальных полиномов. Структура сеточных уравнения такова, что разностные схемы при решении уравнений используются для аппроксимации только устойчивых блоков, соответствующих некоторым частным прямым задачам. Показано, как на основе решений таких сеточных уравнений и некоторых спектральных проекторов в пространстве I, связанных со спектральным разложением интегральных операторов и соответствующих компактным спектральным множествам, могут быть построены аппроксимации регуляризованных решений соответствующих интегральных уравнений.

Разработан комплексный метод решения сеточных уравнений, реализованный в виде программ. В основу алгоритма положена численная факторизация, позволяющая осуществлять эффективное переобусловливание сеточных уравнений. Практически показано, что переобусловленные уравнения могут быть решены на основе метода сопряженных градиентов за существенно меньшее число итераций, чем исходные. Экспериментально установлена возможность использования для стабилизации решений низкочастотной цифровой фильтрации, завершающей численное решение сеточных уравнений. На основе результатов численного сравнения предлагаемой здесь разностно-аналитической и традиционной квадратурной аппроксимаций, а также квазиэкспериментов по решению сеточных уравнений сделан вывод о возможности применения исследованных сеточных уравнений для численного решения ОГЗТ в интегральной постановке.

1. Тарасов Р. П. Численное обращение причинных операторов Винера-Хопфа и метод цифровых фильтров в обратных задачах теплопроводности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993.

2. Т. 33, № 11. С. 1603−1625.

3. Иванов Д. Ю., Тарасов Р. Я. Численное решение интегральных уравнений с однопараметрической полугруппой симметрий //Ж. вычисл, матем. и матем. физ., 1996, Т. 36, J? 7. С. 54−76.

4. Иванов Д. Ю. О краевых задачах с граничными условиями первого и второго рода для дифференциально-операторного уравнения в эллиптическом случае / МГУ. М., 1998. — 14 с. — Деп. в ВИНИТИ, 1 107 — В98.

5. Иванов Д. Ю. Обоснование одного алгоритма численного решения обратных граничных задач теплопроводности, построенного с учетом полугрупповой симметрии таких задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1998. Т. 38, 1 12. С.2029;2043.

6. Иванов Д. Ю. Экономный метод решения одной многомерной обратной граничной задачи теплопроводности // Тез. докл. пятой конференции «Обратные и некорректно поставленные задачи». Москва, МГУ, 1999. — С. 29.

7. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988.

8. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена. М.: Наука, 1988.

9. Алифанов О. М., Занцев В. К., Панкратов Б. М. и др. Алгоритмыдиагностики тепловых нагрузок летательных аппаратов/ Под ред. акад. В. П. Мишина. М.: Машиностроение, 1983.

10. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена в исследовании тепловых процессов и проектировании технических систем// Инженерно-физический журнал, 1977. Т.33. Я6. С.9Т2−981.

11. Алифсшов О. М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена). -М.: Машиностроение, 1979.

12. Алифанов О. М., Артотн Е. А., Тр&нин А. П. Определение плотности теплового потока на границе пористого тела из решения обратной задачи// Теплофизика высоких температур. -1983. Т.21, 116. С.1160−1168.

13. Мишин В. П., Алифанов О. М. Обратные задачи теплообменаобласти применения при проектировании и испытаниях технических объектов// Инженерно-физический журнал, 1982.1. Т.42, Л2. С.181−192.

14. Мишин В. П., Алифанов О. М. Повышение качества обработки теплонагруженных конструкций и обратные задачи теплообмена.

15. Общие вопросы теории// Машиноведение. 1986, 15. С.19−29.

16. Мишин В. П., Алифанов О. М. Повышение качества обработки теплонагруженных конструкций и обратные задачи теплообмена.1. Практические приложения// Машиноведение. 1986, 16. С.11−21.

17. Коэдоба Л. А., Круковский И. Г. Методы решения обратных задач теплопереноса. Киев: Наукова думка, 1982.

18. ЛабеШ В. Т. Жидкостное охлаждение высокотемпературного металла. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1983.

19. Мацевижый Ю. М. Электрическое моделирование нелинейных задачтехнической теплофизики. Киев: Наукова думка. 1982.

20. Кошкин В. К., Калинин Э. К., Дрейцер Г. А. и др. Нестационарный теплообмен. М.: Машиностроение, 1973.

21. Преображенский E.V., Пикетов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибирск: Наука, 1982.

22. Симбирский Д. Ф. Температурная диагностика двигателей. Киев, Техника, 1976.

23. Тихонов А. Н., Калънер В. Г., Гласно В. Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990.

24. Шумаков Е. В. Метод последовательных интервалов в теплометрии измерительных процессов. М.: Атомиздат, 1979.

25. Ddm В. М. Распространение тепла в стеклопластиках// Труды ЦАГИ. Вып. 1267. М.: Изд-во ЦАГИ, 1970.

26. Теплообмен и тепловой режим космических аппаратов/ Пер. с англ. Под. ред. д-ра техн. наук H.A. Анфимова. М.: Мир, 1974.

27. Тихонов А. Е. Об устойчивости обратных задач// Докл. АН СССР, 1943. Т.39, 15. С.195−198.

28. Положий Т. Н. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 1964.

29. Тихонов А. Е., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

30. Карслоу У., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964.

31. Тихонов А. Е., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

32. Лаврентьев M.M., Романов В.P., Шиитский C.II. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

33. Ландис Е. М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических и параболических уравнений// Успехи математических наук, 1959. Т.14. J61. С.21−85.

34. Aronszajn Я. A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differential equations or inequalities of second order// J. Math. Pures et Appl, 1957. V.9, if 36.1. P.235−249.

35. Cordes Я. uber die eindeutige Bestimmtheit der Losungen elliptischer Differentialgleichungen durch Anfangsvorgaben// Nachr. Akad. Wiss. Guttingen, 1956. B.11. S.239−258.

36. Mizoiiata S. Unicite du prolongement des solutions pour quelques operateurs differentiels paraboliques// Mem. Coll. Sei. Univ. Kyoto. Ser.A. 1958. ?.31. P.219−239.

37. Frotter M.H. Properties of solutions of parabolic equations and inequalities// Canad. J. Math., 1961. Vol. 13.1. P.331−345.

38. Garleman T. Sur un probleme d’unicite pour les systemes d’equations aux derivees partielles a deux variables independantes //Arkiv for Matematik, Astronom! och Fysik, 1939. V.26B. 117. S.1−9.

39. Денисов A.M.

Введение

в теорию обратных задач. Изд-во Москов. ун-та, 1994.

40. Бухгейм А. Л. Об одном классе операторных уравнений Вольтерра первого рода // Функц. анализ и его прил., 1972. Т. 6, вып.1. С.1−9.

41. Бухгейл А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. -Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ие, 1983.

42. Крейн М. Р. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов // Успехи мат. наук, 1958. Т. 13, 1 5. С.3−120.

43. Пресдорф 3. Линейные интегральные уравнения. Итоги науки итехн. М.: ВИНИТИ. Серия «Современные проблемы математики», 1988. Т. 23. С.5−130.

44. Тихонов А. Н. 0 решении некорректно поставленных задач и методе регегуляризации//Докл. АН СССР, 1963. Т. 151, 13. С.501−504.

45. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач// Докл. АН СССР, 1963. Т. 153, 11. С.49−52.

46. Тихонов А. Н. О нелинейных уравнениях I рода//Докл. АН СССР, 1965, Т, 161,, 15= С. 1023−1026.

47. Сергеев В. О. Регуляризация уравнений Вольтерра I рода//Докл. АН СССР, 1971. Т. 197, 13. С.531−534.

48. Денисов A.M. О приближенном решении уравнения Вольтерра 1-го рода//Ж. вычисл. матем. и матем. физ, 1975. Т. 15, 14. С.1053−1056.

49. Бек Дх., Блсшуэлл Б., Сет-Клэр Ч. Некорректные обратные граничные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989.

50. Тихонов А. Н., Гласко В. Б. К вопросу о методах определения температуры поверхности тела//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1967. Т.7, 14. С.910−914.

51. Алифанов 0.1., Артюхин Е. А. Регуляризованное численное решение нелинейных обратных задач теплопроводности//Инж.-физ. журн., 1975. Т.29, 14. С.159−164.

52. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах//Докл. АН СССР, 1962. Т.145, вып.2. С.270−272.

53. Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах//Мат. сб., 1963. Т.61, вып.2. С.211−223.

54. Иванов В. К. О приближенном решении операторных уравнений I рода/Д. вычисл. матем. и матем. физ., 1966. Т.6, 16. С.1089−1093.

55. Иванов В. К. О величине параметра, а при решении условно-корректных задач методом регуляризации. В кн.: Методы решения условно-корректных задач. Свердловск, 1975. С.3−13.

56. Голъдшн H.I., Успенский A.B., Соболева E.H., Шадек Е.Г.

57. Численный метод определения граничного режима на поверхности непрерывного слитка по профилю фронта затвердевания// Мнж.-физ. журн., 1974. Т.27, М. С.707−713.

58. Лсжес Р., Лионе 1.-31. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.

59. Пашков Л. Т. Применение метода квазиобращения к обратной задаче теплопроводности в трубе//Тр. Моск. энерг. ин-та, 1975, вып.239. С.100−108.

60. Бут E.H. Сплайн-идентификация как метод решения некорректно поставленных обратных задач теплопроводности общего вида // Тепломассообмен. Минск: Наука и техника, 1980. Т.IX. С.128−131.

61. Алифанов O.E., Артюхин Е. А., Логинов С. П., Малозелов В. В. К вопросу решения обратной задачи теплопроводности методом динамической фильтрации // Инженерно-физический журнал, 1981. Т.41, JK. С.906−911.

62. Мацевитый D.M., Мултановский A.B. Идентификация в задачах теплопроводности. Киев: Наукова думка. 1982.

63. Алифанов О. М., Егоров Ю. В. Алгоритмы и результаты решения граничной обратной задачи теплопроводности в двумерной постановке // Инженерно-физический журнал, 1985. Т.48, М.1. С.658−666.

64. Тарасов Р. П. Вычисление функций в алгебре формальных полиномов и алгоритмы цифровой обработки многомерных сигналов/Ли вычисл. матем. и матем. физ., 1992. Т. 32, Л 10. С. 1523−1544.

65. Балакрштн А.

Введение

в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1974.

66. Бситкрштн 4. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1967.

67. Данфорд Я., Шварц Дх. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

68. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

69. Кото Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

70. Клелент Ф., Хейманс X., Ангенешп С., Дуайн К., Патер Б. Однопараметричеокие полугруппы. Абстрактные дифференциальные уравнения с приложениями. М.: Мир, 1992.

71. Красносельский М. А. Забрейко Я. Я., Пусшыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.

72. Рид I., Сайлон Б. Методы современной математической физики. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978.

73. XIше Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. -М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

74. Функциональный анализ (серия «Справочная математическая библиотека»), коллектив авторов, ред. С. Г. Крейн. М.: Наука, 1972.

75. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

76. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука, 1995.

77. Тарасов Р. П. Вычисление функций в алгебре треугольных теплицевых матриц и численное обращение преобразования Лапласа // I. вычисл. матем. и матем. физ., 1990. Т.30, 112. С.1827−1833.

78. Тарасов Р. П. Численное обращение интегральных операторов Винера-Хопфа с причинным операторным ядром в многомерных обратных задачах нестационарной теплопроводности// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1996. Т.36, 1 11. С.44−72.

79. Марчук P.M. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

80. Самарский A.A., Гумм A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989.

81. Крейн С. Г., Лаптев P.E. Граничные задачи для дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве, I // Дифференциальные уравнения. 1966, Т.2, 13.

82. Ерейн С. Т., Лаптев Г. И. Граничные задачи для дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве, II // Дифференциальные уравнения. 1966, Т.2, Ж.

83. Balakrishnan A.Y. An operational calculus for infinitesimal generators of semigroups // Trans. Amer. Math. Soc, 1959. V.91, $ 2. P.330−353.

84. Kato T. Note on fractional powers of linear operators// Proc. Japan Acad, 1960.V.36, * 3. P.94−96.

85. Треногим, В. А. Краевые задачи для абстрактных эллиптических уравнений. ДАН ССОР. Т.170, JS6, 1966. С.1028−1031.

86. Деч Р. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и^{-преобразования.} М.: Мир, 1972.

87. Атезер Н. И., Глазжан И. Мё Теория линейных операторов. М.: Наука, 1966.

88. Данфорд Е., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: Мир, 1966.

89. Данфорд Е., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральные операторы. М.: Мир, 1974.

90. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977.

91. Рисс Ф., Секефалъви-Еадъ Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

92. Маркушевич A.M. Теория аналитических функций. М. — Л.: Гостехтеориздат, 1950.

93. Привалов И. И.

Введение

в теорию функций комплексного переменного. М. — Л.: Гостехтеориздат, 1948.

94. Янчевский С. А. Функции комплексного переменного. Л.: Изд-во ЛГУ, 1934.

95. Секефсиьви-Надъ БФот Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1970.

96. Отенгейж A.B., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979.

97. Ярославский J1.H. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии.

Введение

в цифровую оптику. М.: Радио и связь, 1972.

98. Нашерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. -М.: Мир, 1990.

99. Рвачев В. А. Представление сплайнов финитными функциями // ДАН УССР, сер. А, 1973. С.123−125.1. Содержание работы.

100. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.2.