Сильная асимптотика аппроксимаций Паде и интерполяционных многочленов

Понятие локально наилучших рациональных аппроксимаций степенного ряда впервые возникло в конце XIX в. в работах Фробениуса [27] и Паде [35]. Классические результаты Чебышёва, Маркова и Стилтьеса о фундаментальных свойствах таких рациональных функций, сформулированные в терминах непрерывных дробей, положили начало развитию новой области в теории рациональных приближений. Во второй половине XX в. появилось большое количество работ, связанных с аппроксимациями Паде и их обобщениями. Такой интерес объясняется широким применением рациональных приближений в задачах механики, теоретической физики, технических расчетах (см. [23], [29], [36], [37], [33], [28], [12]). В ряде случаев хорошо известно поведение физической величины в локальной окрестности одной или нескольких точек и необходимо ее вычислить на некотором интервале значений. Аппроксимации Паде строятся только по локальным данным и позволяют эффективно приближать и вычислять соответствующую функцию. Асимптотическое поведение аппроксимаций Паде позволяет проводить анализ глобальных свойств локально заданной функции: находить расположение и распознавать характер ее особенностей, исследовать свойства аналитического продолжения и т. п.

Настоящая диссертация посвящена сильной асимптотике диагональных аппроксимаций Паде и интерполяционных многочленов, являющихся частным случаем рациональных приближений. Сильная асимптотика дает возможность определить поведение отклонения аппроксимаций от приближаемой функции при увеличении порядка аппроксимаций. Такая асимптотика позволяет делать выводы о скорости сходимости, поведении нулей и полюсов аппроксимаций, получать результаты теоретико-числового характера.

Диссертация состоит из трех глав, в начале каждой из которых приведены основные определения, дан краткий исторический обзор и сформулированы основные результаты. Первая глава тесно связана с изучением явления так называемых ложных полюсов, препятствующих равномерной сходимости аппроксимаций Паде. На основании теоретических выводов о поведении таких полюсов предлагается конструкция, включающая в себя две соседних аппроксимации Паде и приближающая мероморфную функцию марковского типа равномерно.

Вторая глава посвящена выводу формул сильной асимптотики двухточечных аппроксимаций Паде мероморфных функций марковского типа.

В третьей главе главе изучается интерполяция многочленами функций, голоморфных на произвольном континуме, не разбивающим комплексную плоскость. При некотором естественном условии на таблицу интерполяции выводится асимптотика интерполяционных многочленов в области расходимости интерполяционного процесса. В качестве следствия устанавливается обобщение классических теорем Иенча-Сеге о поведении нулей этих многочленов.

1. А. И. Аптекарев, «Точные константы рациональных аппроксимаций аналитических функций», Матем. сб., 193:1, 3—72, 2002.

2. Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис, Аппроксимации Паде, М., Мир, 1986.

3. В. И. Буслаев, «Соотношения для коэффициентов и особые точки функции», Матем. сб., 131: 3, 1986, 357−384.

4. В. И. Буслаев, «О теореме Фабри об отношении для ортогональных рядов», 253: Труды мат. института им. Стеклова, 14−29, 2006.

5. В. И. Буслаев, «О гипотезе Бейкера-Гаммеля-Уиллса в теории аппроксимаций Паде», Матем. сб., 193:6, 25−38, 2002.

6. Голузин Г. М., «Геометрическая теория функций комплексного переменного», Москва, 1966.

7. А. А. Гончар, «Полюсы строк таблицы Паде и мероморфное продолжение функций», Матем. сб., 115(157): 4, 1981, 590−613.

8. А. А. Гончар, «О сходимости аппроксимаций Паде для некоторых классов мероморфных функций», Матем. сб., 97(139):4(8) 607−629, 1975.

9. А. А. Гончар, Г. Лопес Лагомасино, «О теореме Маркова для многоточечных аппроксимаций Паде», Матем. сб., 105(147):4 512— 524, 1978.

10. Гончар A.A., Суетин С. П., «Об аппроксимациях Паде мероморфных функций марковского типа», Совр. пробл. матем., 5, МИАН, М., 367, 2004.

11. Э. И. Зверович, «Краевые задачи теории аналитических функций в гёльдеровских классах на римановых поверхностях», УМН, 26:1, 113— 179, 1971.

12. В. А. Ильина, П. К. Силаев, Численные методы для физиков-теоретиков, Ч. 1, М., Ижевск, ИКИ, 2003.

13. Г. Л. Лопес, «Об асимптотике отношения ортогональных многочленов и сходимости многоточечных аппроксимаций Паде», Матем. сб., 128(170):2(10), 216−229, 1985.

14. В. И. Смирнов, Н. А. Лебедев, «Конструктивная теория функций комплексного переменного», М., Наука, 1964.

15. С. П. Суетин, «О полюсах т-й строки таблицы Паде», Матем. сб., 120(162): 4, 1983, 500−504.

16. Суетин С. П., «Аппроксимации Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда», У МИ, 57:1, 45−142, 2002.

17. С. П. Суетин, «О сходимости чебьтшевских непрерывных дробей для эллиптических функций», Матем. сб., 194:12, 63−92, 2003.

18. С. П. Суетин, «О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде для гиперэллиптических функций», Матем. сб., 191: 9, 81−114, 2000.

19. С. П. Суетин, «Об интерполяционных свойствах диагональных аппроксимаций Паде эллиптических функций», УМН, 59: 4, 201−202, 2004.

20. Дж. Уолш, «Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области», М., ИЛ, 1961.

21. О. Форстер, Римановы поверхности, М., Мир, 1980.

22. Ле Ба Кхань Чинь, «Обратные теоремы для многоточечных аппроксимаций Паде», Матем. сб., 181: 10, 1990, 1306−1319.

23. Шатров A.B., «Соединение асимптотик с помощью Паде-аппроксимант в переходных слоях гидрогазодинамики», Дис. д-ра физ.-мат. наук, 05.13.18: Киров, 2002 280 с. РГБ ОД, 71:05−1/80.

24. L. Baratchart, М. Yattselev, «Multipoint Pade approximants to complex Cauchy transforms with polar singularities», Journal of Approximation Theory, 156, p. 187−211, 2009.

25. Rajendran, «Two-point, Pade approximation of mass transfer rate at mi-crodisc electrodes in a channel flow for all Peclet numbers», Electrochimica Acta, 51: 25, 5407−5411, 2006.

26. Rajendran, M. V. Sangaranarayanan, «A two-point Pade approximation for the non-steady-state chronoamperometric current at ultramicrodisc electrodes», Journal of Electroanalytical Chemistry 392: 1−2, 75−78, 1995.

27. H. Stahl, «The convergence of Pade approximants to functions with branch points», J. Approx. Theory, 91:2, 139−204, 1997.

28. H. Stahl, «Diagonal Pade approximants to hyperelliptic functions», Ann. Fac. Sei. Toulouse Math., Special issue, 121−193, 1996.

29. H. Stahl, «Spurious poles in Pade approximation» J. Comput. Appl. Math., 99:1−2, 511−527, 1998.

30. G. Szego, «Uber orthogonale Polynome, die zu einer gegebenen Kurve der komplexen Ebene gehoren», Math. Z., 9: 3−4, 1921, 218−270.

31. G. Szego, «Uber die Nullstellen von Polynomen, die in einem Kreise gleichmassig konvergieren», Sitzungsberichte Berlin Math. Ges., 59−64, 1922.

32. V. Totik, «Orthogonal polynomials with respect to varying weights», Journal of Computational and Applied Mathematics, 99: 1−2, 373−385, 1998.

33. Д. В. Христофоров, «О явлении ложной интерполяции эллиптических функций диагональными аппроксимациями Паде», Матем. заметки, 87:4 604−615, 2010.

34. Д. В. Христофоров, «О сходимости диагональных аппроксимаций Паде для эллиптических функций», Матем. сб., 200:6, 143—160, 2009.

35. Д. В. Христофоров, «Об асимптотических свойствах интерполяционных многочленов», Матем. заметки, 83:1, 129—138, 2008.

36. Д. В. Христофоров, «Асимптотика двухточечных аппроксимаций Паде», материалы Международной научной конференции, посвященной 105-летию С. М. Никольского, 87, 2010.