Содержание и методические особенности изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе

Достаточно высокий уровень системы образования в стране является непременных! условием ее прогрессивного развития.

Кудрявцев Л. Д.

Современный период развития общества характеризуется стремительным прогрессом научного знания, быстрой сменой технических идей, математизацией не только науки, но и большинства практических видов деятельности человека, всесторонним применением точных математических методов в самых разнообразных областях. Математика предлагает общие и достаточно четкие модели для изучения окружающей действительности. Роль математических моделей, описывающих взаимосвязь количественных характеристик различных явлений и процессов, возрастает в связи с расширяющимися возможностями компьютерной обработки данных. Довольно часто и в повседневной практике используются математические знания. И это не только простые математические расчеты, но и элементы высшей математики, анализа, теории вероятности. Таким образом, все более широкий спектр математических знаний становится сегодня обязательным элементом общей культуры современного человека.

Возросшая роль математики поднимает ее значение как учебного предмета в средней школе и выдвигает перед ней задачу воспитания людей, способных оперировать не только готовыми знаниями, извлеченными из своей памяти, но и умеющих ориентироваться в нарастающем потоке научной информации, владеющих общими идеями и методами, позволяющими охватить с общей точки зрения многообразные факты и явления. Поэтому одна из задач, которая стоит перед школой — это задача сближения содержания школьного курса математики с достижениями современной науки, повышения уровня математической культуры, уровня математического развития школьников.

На математическом образовании не могли не сказаться и преобразования, происходящие в системе российского образования в целом. Среди главных тенденций, оказывающих наиболее сильное влияние на содержание и организацию обучения математике, можно выделить: гуманизацию, гуманитаризацию, профилизацию образования, направленность на развитие ребенка. Очевидно, эти тенденции должны найти отражение в методике обучения математике и внести коррективы в преподавание отдельных линий школьного курса математики, в частности.

Одной из тем школьного курса математики, которая вызывает много споров, является «Определенный интеграл». Интеграл появился в школе вследствие реформ школьного математического образования конца 60-хначала 70-х годов XX века, вводивших в школе элементы математического анализа. Многие специалисты, в частности Гнеденко Б. В., Канторович JI.B., Колмогоров А. Н., Кудрявцев Л. Д., Маркушевич А. И., Понтрягин JI.C., Хинчин А. Я., подчеркивали, что ознакомление учащихся с понятиями и методами математического анализа даже на уровне общих представлений имеет для них большое познавательное, развивающее, общекультурное значение.

Такая точка зрения не утратила своей актуальности и в настоящее время. Специфика рассуждений, свойственная математическому анализу, привносит диалектичность в мышление учащегося, способствует формированию представлений о математике как развивающейся науке, позволяет учащимся совершить следующий шаг в обобщении полученных ими знаний из курса элементарной математики, а также открывает перспективу дальнейшего расширения имеющихся знаний. Все это способствует формированию качеств мышления, необходимых в настоящее время каждому образованному человеку, и отвечает социальным требованиям концепции модернизации российского образования на период до 2010 года [71], которые заключаются в ориентации образования не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и развитие личности, познавательных и созидательных способностей, успешной социализации в обществе.

Вопросы содержания, методики изложения темы «Определенный интеграл и его приложения» являлись объектом исследований, начиная с момента введения этого материала в программу средней школы по математике. Этому посвящены работы Баврина И. И., Виленкина Н. Я., Галицкого МЛ., Дорофеева Г. В., Ивашева-Мусатова О.С., Колмогорова А. Н., Колягина Ю. М., Корешковой Т. А., Кудрявцева Л. Д., Маркушевича А. И., Монахова В. М., Мордковича А. Г., Ованесова Н. Г., Цукермана В. В., Шварцбурда С. И., Яковлева Г. Н. и др., диссертационные исследования Баранова И. А., Вакилова Ш. М., Ветрова В. В., Глушковой А. И., Ионина Ю. И., Кисельникова И. В., Кулаевой З. А. и др.

Однако практика показывает, что трудности, возникающие при изучении этой темы в средней школе, сохраняются. Об этом говорят в своих работах Дорофеев Г. В., Цукерман В. В. и др. [46, 124, 126] Причины трудностей — высокий уровень абстракции понятий, сложная логическая структура их определений, недостаточность времени для осмысления сложных вопросов и многое другое. Поэтому изучение темы «Определенный интеграл» зависит от необходимости решения многочисленных проблем, связанных как с определением целей изучения курса, с отбором содержания, так и с особенностями методики. Минимизация этих проблем традиционно считалась сложной задачей. В результате их наличие приводит к тому, что знания школьников по теме носят формальный характер, отсутствует структурность знаний. У учащихся не складывается целостного представления о понятии определенного интеграла, а остаются разрозненные, часто не связанные между собой сведения, что не только не способствует развитию математической культуры, но и затрудняет дальнейшее обучение в вузе.

Известно, что для непрерывной функции эквивалентны три подхода к понятию определенного интеграла: интеграл как.

— единственное разделяющее число множеств нижних и верхних сумм Дарбу;

— предел интегральных сумм;

— разность значений первообразной.

При этом суммы Дарбу и их свойства играют важнейшую роль в построении теории определенного интеграла во всех достаточно серьезных учебниках по математическому анализу [76, 99, 116, 120]. Чаще всего определенный интеграл как предел интегральных сумм сводится к единственному числу, заключенному между всеми нижними и всеми верхними суммами Дарбу. Прямое определение: «Определенный интеграл — есть единственное число, заключенное между всеми нижними и всеми верхними суммами Дарбу» использовалось Н. Я. Виленкиным. [27].

Отметим, что сочетание (комплекс) указанных выше подходов обеспечивает удобство и эффективность приложений понятия определенного интеграла.

В средней школе к настоящему времени сложились два основных способа введения интеграла.

Первый способ, идущий от вузовских курсов математического анализа, предполагает определение интеграла как предела интегральных сумм. Моделирование многих процессов приводит к одной процедуре, результатом которой и является построение интеграла указанным способом. При таком определении интеграл появляется как закономерная необходимость. Однако такое определение, рассматриваемое как исходное, оказывается достаточно сложным и для понимания учащимися, и для дальнейшего построения теории. Поэтому в целях упрощения изложения приходится жертвовать строгостью курса, оставлять значительное число фактов без доказательства.

Другой способ определяет интеграл как приращение первообразной подынтегральной функции. При таком подходе к определению интеграла достаточно просто доказываются его свойства, однако возникают трудности при рассмотрении приложений интегрального исчисления.

Все это приводит к тому, что используемые подходы оказываются недостаточно связанными между собой и не создают четкого и ясного представления о понятии «интеграл», богатстве его содержания и широких возможностях приложений.

Таким образом, можно говорить, что в средней школе реализация единства указанных выше подходов для общей непрерывной функции на доказательном уровне представляется очень проблематичной, так как возникают трудности сочетания логической строгости рассуждений, с доступностью и наглядностью излагаемого материала.

Итак, в настоящий момент изучение темы «Определенный интеграл» в средней школе характеризуется наличием серьезных методических проблем, связанных с определением содержания темы «Определенный интеграл», формальностью усвоения основных понятий этой темы учащимисяа также наличием противоречий между научностью изложения темы и доступностью ее для учащихся, между задачей повышения эффективности и качества образования и недостаточной разработанностью методики изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе.

Необходимость решения указанных проблем и противоречий обосновывает выбор темы нашего диссертационного исследования и определяет ее актуальность.

Исходя из названных положений, проблемой исследования является недостаточная разработанность методической системы изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе, одновременно сочетающей и доказательность изложения, и доступность для учащихся, реализующей единство трех подходов к понятию определенного интеграла, учитывающей основные тенденции концепции модернизации образования.

Объект исследования: процесс обучения элементам математического анализа в средней школе.

Предмет исследования: методика обучения теме «Определенный интеграл» в средней школе.

Цель исследования — разработка содержания темы «Определенный интеграл» в средней школе, раскрывающей возможности проблемного, доказательного и доступного ее изложения, и определение методических особенностей изучения этой темы, способствующих повышению качества образования.

Гипотезу исследования составили предположения о том, что можно одновременно и доказательно, и доступно рассмотреть в средней школе тему «Определенный интеграл», при этом сформировать многосторонний подход к понятию определенного интеграла, познакомить школьников с богатством приложений интеграла, повысить уровень математического развития учащихся, если.

— при введении основных понятий интегрального исчисления использовать эвристический метод, опирающийся на знания и опыт учащихся;

— ограничить класс рассматриваемых функций: рассматривать функции, монотонные, имеющие первообразную;

— в качестве исходного подхода к введению интеграла принять подход к интегралу как единственному числу, разделяющему множества верхних и нижних сумм Дарбу.

Исходя из сформулированной гипотезы, для достижения цели исследования необходимо было решить следующие задачи:

1. Провести анализ научной, учебно-методической, психолого-педагогической литературы по теме исследования.

2. Рассмотреть становление и развитие понятия интеграла в математике и преподавании начал анализа в системе российского образовании.

3. Выявить особенности различных подходов к введению понятия определенного интеграла в общем среднем образовании.

4. Разработать содержание темы «Определенный интеграл».

5. Выделить методические аспекты изучения темы «Определенный интеграл».

6. Осуществить экспериментальную проверку разработанной системы изучения темы «Определенный интеграл».

Проблема, цель и задачи исследования обусловили выбор следующих методов исследования: анализ учебной, научно-методической, психолого-педагогической литературы, школьных программ, учебников и учебных пособий, используемых в школе сборников задачизучение и обобщение опыта преподавания темы «Определенный интеграл» в средней школебеседы с учителямианализ письменных работ и устных ответов учащихсяорганизация и проведение экспериментаобработка данных, полученных в ходе эксперимента.

Методологическую и теоретическую основу исследования составляют: теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина) — психологическая концепция деятельностного подхода к проблеме усвоения знаний (JI.C, Выготский, А.Н. Леонтьев) — общие положения теории и методики обучения математике в средней школе (В.Г. Болтянский, Г. Д. Глейзер, Я. И. Груденов, В. А. Гусев, Н. Я. Виленкин, М. Б. Волович, В. А. Далингер, Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, Г. Л. Луканкин, А. Г. Мордкович, Г. И. Саранцев и др.) — основные положения теории интегрального исчисления (Кудрявцев Л.Д., Никольский С. М., Смирнов В. И., Фихтенгольц Г. М. и др.), — исследования в области преподавания начал анализа в средней школе (М. И. Башмаков, Н. Я. Виленкин, М. Б. Волович, Г. В. Дорофеев, О.С.

Ивашев-Мусатов, А. Н. Колмогоров, А. И. Маркушевич, А. Г. Мордкович С.М. Никольский и др.), и др.

Научная новизна и теоретическая значимость результатов исследования состоит в том, что.

— разработан эвристический подход к введению основных понятий интегрального исчисления: сумм Дарбу (как границ поиска искомой величины), интегральных сумм (как приближенных значений искомой величины с определенной границей точности), самого понятия определенного интеграла, сначала как единственного числа, разделяющего множества нижних и верхних сумм Дарбу, а затем как разности значений первообразной и предела интегральных сумм, опирающийся на опыт и знания, имеющиеся у учащихся, и возникающий как естественное разрешение проблемных ситуаций;

— у школьников формируется многосторонний подход к понятию определенного интеграла;

— ограничение класса рассматриваемых функций позволило доказательно и одновременно доступно и наглядно построить процесс изучения темы «Определенный интеграл»;

— задача о площади криволинейной трапеции впервые в средней школе рассмотрена с позиции теории квадрируемости, в результате, понятие площади криволинейной трапеции связано с понятием площади квадрируемой фигуры при сохранении требования доказательности и доступности изложения.

В результате исследования создана целостная методическая система изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе, что вносит существенный вклад в методику обучения математике.

Практическая значимость исследования состоит в том, что разработанная система изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе методически доведена до возможности непосредственного использования учителями на уроках математики: разработано содержание темы, приведено поурочное планирование материала, представлена система задач, подготовлены методические рекомендации для учителей по подготовке и проведению уроков. Результаты исследования могут быть использованы преподавателями математики в средних школах, колледжах, училищах, вузах, на курсах повышения квалификации учителей.

Достоверность результатов исследования обеспечивается методологической и теоретической обоснованностью исходных данных, опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, методики преподавания математики, результатами экспериментальной проверки, подтвердившей на качественном уровне справедливость основных положений диссертации.

На защиту выносятся положения:

— Основные понятия интегрального исчисления вводятся эвристически, опираясь на знания и опыт, уже имеющиеся у учащихся или возникающие в процессе изучения темы, как разрешение проблемных ситуаций, возникающих при рассмотрении известных задач в определенной последовательности, способствует формированию многостороннего подхода к определенному интегралу, обеспечивающему богатство его приложений.

— Сочетание доказательности и доступности изложения темы «Определенный интеграл» в средней школе достигается за счет рассмотрения функций, монотонных и имеющих первообразную.

— Использование разработанных методических рекомендаций для проведения уроков по теме «Определенный интеграл» способствует повышению качества и эффективности образования.

Апробация результатов исследования проводилась в 11 классах средних общеобразовательных школ №№ 911, 582 г. Москвы в 2001 — 2004 годах. По результатам исследования был сделан доклад на заседании научно-методического семинара «Передовые идеи в преподавании математики в.

России и за рубежом", работающем на базе Московского государственного областного университета в феврале 2006 года.

Результаты исследования отражены в следующих публикациях:

— Гераськина, Е. В. Определенный интеграл в средней школе: возможность проблемного, доказательного и доступного рассмотрения темы / Е. В. Гераськина // Математика в школе. — 2006. — № 6. — С. 79.

— Гераськина, Е. В. Интеграл и общее среднее образование: проблема и вариант ее решения / Е. В. Гераськина, В. В. Цукерман // Математическое образование — 2002 — № 4 — с. 76−89.

— Гераськина, Е. В. Определенный интеграл в средней школе (вариант изучения темы, поурочное планирование) / Е. В. Гераськина // Математика. — 2003. — № 41. — С. 28−32- № 46. — С. 30−32. — 2004. — № 2. — С. 19−22- № 3. — С. 25−28- № 11. с. 29−30- № 13. — С. 30−32.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Итак, в ходе проведенного исследования была построена целостная методическая система доказательного и доступного изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе. Ее особенностями являются:

— эвристический подход к введению основных понятий интегрального исчисления: они вводятся как естественное разрешение проблемных ситуаций, опираясь на знания и опыт, имеющиеся у учащихся;

— последовательность рассмотрения известных задач формирует многосторонний подход к определенному интегралу;

— ограничение использованием функций монотонных и имеющих первообразную, позволяет доказательно, одновременно доступно и наглядно построить процесс изучения темы «Определенный интеграл»;

— понятие площади криволинейной трапеции впервые в средней школе рассмотрено с позиции теории квадрируемости и площади квадрируемой фигуры.

В результате исследования разработано методическое обеспечение изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе: поурочное планирование, система задач, методические рекомендации для учителей, электронное представление теоретического материала (CD).

Представленная методическая система доведена до возможности использования учителями на уроках математики и может существенно повысить качество и эффективность обучения, что подтверждается результатами проведенной экспериментальной работы.

Внедрение разработанной методической системы в учебный процесс позволит достаточно полно познакомить школьников с понятием определенного интеграла, будет способствовать повышению прочности знаний по этому вопросу, позволит продемонстрировать широкие возможности применения определенного интеграла в различных областях науки, тем самым подготовит их к пониманию современных научных идей и их применения, что приблизит школьное преподавание к современной науке и ее приложениям.

Полученные результаты дают основание заключить, что поставленная цель достигнута, задачи исследования решены, гипотеза исследования подтверждена.