Применение метода изометрических преобразований к оценке полных рациональных тригонометрических сумм

Постановка задачи.

Настоящая диссертация посвящена оценкам сверху модуля полных рациональных тригонометрических сумм вида.

S (fх- q) = Е l (x)e (f (x)q~i), (1).

Х=1 где / eZ[a?], q.

S (fq) = Е e (f (x)q~l). (1').

Х=1.

Замечание JL Известно, что случай составного модуля q в (1') сводится к случаю модуля ра (например, [38], или [6], теоремы об умножении). Задача оценки величины IS (fра) тесно связана с задачей оценки числа решений полиномиального сравнения по modp" (например, [4]). Поэтому наряду с основной задачей в работе рассматриваются вопросы оценки числа решений полиномиальных сравнений.

Актуальность темы

q р 1.

Впервые суммы вида? е (ах q), где, а е Z, (a, q) = 1 х = 1.

4 р -1? изучал К. Ф. Гаусс [8], и получил, что Е efa? q j = + i *=i + i)(1 + i~4)q3. Со времен К. Ф. Гаусса до наших дней вопросам оценки сумм вида (1), (1') посвящено большое количество работ. Этими вопросами занимались в разное время такие известные зарубежные и отечественные ученые как Харди и Литтльвуд, Л. Морделл, А. Вейль, Л. К. Хуа, С. Б. Стечкин, Н. М. Коробов,.

A. В. Малышев, В. И. Нечаев, А. А. Карацуба, Г. И. Архипов,.

B.Н. Чубариков, Р. Смит, Дж. Локстон, Д. А. Митькин и многие другие.

Задача оценки тригонометрических сумм вида (1), (1') остается актуальной и в наше время.

Краткий исторический обзор.

Остановимся на основных результатах, полученных разными авторами в направлении решения задачи.

Используя метод Г. Вейля оценки тригонометрических сумм, Харди, и Литтльвуд покзали, что если (а « 0.

S (f-q) < Ai (nte)q1 П+е.

Более того, Харди и Литтльвуд рассмотрели суммы Гаусса порядка п.

Sn (aq) =? e (axnq~l), aeZ, (a, q) =1, — (2) n X=1 и показали, что имеют место следующие оценки.

IS (ар)I < (d — 1) р1/г, й =(п, р -1), (3).

IS (aq) I < AJn) q п .

Г1 Ct.

Л. Морделл [61] в 1932 г. при р > п получил оценку '.

S (fр) s 2пУп-п!р2п~1/(р — 1). Это позволило Л. К. Хуа [54], [38] получить в дальнейшем оценку.

1 — 1 + е.

S (f-q) ^ Ci (nfe)-q Отметим, в частности, что в 1940 г. Л. К. Хуа (см. 54], или [38], или [6], лемма 6, с.37) впервые рассмотрел корни сравнения p~lf (х) a 0 (mod p.), (4) n где Да?- = У ax eZLr], pl\ (ля,., a). Для многочлена «к Tl 1 к = О f (x) с условием р)[(а ,., а) при, а >21 + 2 Хуа Л. К. удалось показать, что.

S (f-pa) = Oipa (1 «1/n) +?), где константа в 0 зависит только от п, степени многочлена /, и от е.

В 1948 г. А. Вейль [ТО] доказал (др. доказательства см. в [46], [35]), что если р > тг, pfa. то IS (fр) <

½™ (п + d — 1) р, где dО, если % =1 и d =1, если х характер Дирихле по modp, поэтому.

IS (fр) < (п — 1) pi/2. (5).

Далее в оценке.

-(1 — 1).

IS (fрв)| < op п (6) последовательно уточняли постоянную с =c (f, p) как отечественные математики: В. И. Нечаев, С. Б. Стечкин, Г. И. Архипов, А. А. Карацуба, В. Н. Чубариков, так и зарубежные ([29], [55] [50], [30], [37], [57], [32], [60], [3]). В итоге (ср. [30], леммы 5, 6) выкристаллизовалась лемма о разбиении суммы S (f-pa) в следующей формулировке. п ь.

Для всех f (x) = У ах.

0<�Ь?р-1,.

Р-ТГ' (Ь)—О (р >

•E e ((f (x) -f (b))p~a),.

1<�х<�рН, х=Ь (р).

7).

Это позволило при п > 3, рИа, •., а) Стечкину С. Б. п 1.

37], уточьшть константу с в формуле (6). В [31 (с. 56) константу с заменили на с, где V п -1)п.

3/п.

Э/п п.

2/п при р < ппри п < р < (тг — 1) п/(п ~2) — при (п — 1) п/Ы р < (п — 1)2n/i'n -2);

2п/(п -2) п.

1 при р > (п — 1)'.

На основе этого в работе [3] доказана следующая теорема:. Пусть п > 3 — целое число и f (x) = а^хп + .а а? + aQмногочлен с целыми коэффициентами, натуральное число. Тогда имеем.

S (f-q)? c (n)-q1 «1/n где ехр{4п) при п > 70, cfnj = а,. а а) = 1, q.

П ¦, 1 ,.

8).

9) ехр (пА (тг)) при 3 < п < 9- = 6,1- А (4) = 5,5- А (5) = 5- А (6) = 4,7- А (7) = 4,4- А (8) = 4,2- А (9) = 4,05.

Там же (или в [41], лемма 5) получена оценка IS (f-pl) < пр1 ~ К где I и j определяются исходя из корней сравнения (0.4) спе.

1} циальным образом, рассуждая подобно тому, как Хуа .

1).

Нш Loo-Keng. On the number of solutions of Tarry’s problem // Acta.' Set. Sintca.-1952.-V. 1, N 1. P. 1−76.(или в Яш Loo-Keng. Selected papers, Ed. by H. Halberstam, N-Y, Berlin: Spr*tnger-Verlag, 1983. P. 201−276.

Суммы Гаусса определяются формулой (2), их свойства доказаны в [22], обзор можно найти в [36], где С. Б. Стечкин показал, что для (a, q) =1.

ISJaq) I 0 — абсолютная постоянная, ф () — функция Эйлера.

В случае п =2 суммы Гаусса от нескольких переменных подробно изучены А. В. Малышевым [27]. Н. М. Коробов ([22], с. 40) доказал оценку.

I SJa-q) I < c (n)q n, (11).

6 2) где с (п) = пп. И. Е. Шпарлинский в 1991 г. доказал, что.

— 1 + 1 lim max max IS (a-q)q n = 1. od q5:1 as (a, q)=l.

Л.К. Xya [39] впервые заметил, что a (i — -J—j +С S (f-pa)=0(p m+1), (12) где m — наивысшая кратность корней сравнения (4), а константа в 0 зависит только от / и от, е.

В 1980 г. Р. Смит [69], полагая х = у + psz, где 5 = = [а/2], 7 = а — б, получил лемму о разбиении S (f-pa) в виде.

S (f-pa)=ps-? е (f (u)p~a), (13).

I S (f-q) I < q½(Z)r/'-, q).dnirqj, (14) где d (q) — число представлений q в виде произведения п 2.

Шпарлинский И. Е. Об оценках сулж Гаусса //Мателот, залетш -1991. — Т. 50, N 1. С. 122 — 130. ' сомножителей..

В 1982 г. Дж. Локстон и Р. Смит [58] приняли во внимание все корни f'(x). Пусть е — максимальная кратность корней f'(x) над полем комплексных чисел. Авторы, используя лемму о разбиении (13), показали, что.

S (f-q) s g1 «1/(2e)(A, g)1/(2e)-dnt (q), (15) где A — полудискриминант многочлена f'(x) = тJ](x -»? равный.

А = (па)3п «2п (t — П J^X (16).

В 1983 г. Д. А. Митькин [28], развивая идеи Хуа^*, обобщил лемму о разбиении и получил следующую оценку.

S (f-pa) < 2ns/3 р m+i. (17).

В 1984 г. С.А. Степанов^* получил оценку рациональных тригонометрических сумм вдоль кривой для случая составного модуля..

В 1983 г. Г. И. Гусев [11], используя канонические представления функций многих переменных в полях р-адических чисел, получил оценки сверху для достаточно широкого класса тригонометрических сумм. В частности, им показано, что если f (x) = Y. — степенной ряд с целыми р-адическими коэф-k=i к.

Ниа Loo-Keng. On exponential sums. Science record.-1957.-V. 1, N 1. P. 1−4. (или в Hua Loo-Keng. Selected papers, Ed. by H. Halberstam, N-Y, Berlin: Springer-Verlag, 1983. P. 277−280.).

Степанов С. Л. Рациональные тригонометрические сулилы вдоль кривой// Зап. науч. семинаров Л0МИ.-1984, Т. 134. С. '232−251. фициентами такой, что lim la I = О и если f обозначает k4oo k Р максимальную кратность целых р-адических корней производной f'(x), то существует (локальная.) постоянная С, зависящая р только от f (x), такая, что при всех положительных, а е IN справедлива оценка.

02Kl*Cx)V| s с, а (1 — + I)).

1< а р.

1 SxSp.

Позже Г. И. Гусев [12] для оценок суммы S (f-pa) использовал метод, называемый в работе изометрическим. Кратко об этом методе..

Отображение ю: О о, для которого имеет место рар р венство 0^: ordp (.

О таких, что х — y (moclpa.), всегда имеет место сравнение (р (х) — f (y)(mod ра) и обратно. Изометрическим преобразованием является, например, отображение (см. [10], формула (2)) х' = ex + pf (x), где е — р-адическая единица, т. е. е €U, а ¦ f (x) — многор член над О. р.

Два многочлена Р (х) и Q (x) из О [х] называются р изометрически эквивалентными: Р (х) s Q (x), если существует такое изометрическое преобразование в: 0 -" О, что р р.

Р (х) = Q (.

Заменой многочлена Р (х) на изометрически ему эквивалентный многочлен производится упрощение в решении тех или иных задач теории чисел, в частности, в задачах, имеющих дело с кольцами вычетов по mod ра, где, а > 2. В таких задачах изометрическое преобразование обычно ассоциируется с переставляющей функцией, рассматриваемой чаще всего на заданной системе вычетов..

Этот метод получил применение и в данной диссертации..

Метод изометрических преобразований позволил Гусеву [12] показать, что для всякого многочлена f gZ[x] существует конечное эффективно определяемое множество Р простых чисел такое, что для всякого простого р, р г Р.

J, (k + 1)^Q j.

S (f-p•) — г e (f (Sjp-").Sk tj (•, ¦, p"), (18) в=1 в 4 в ' где a >2, впробегает все целые р — адические корни производной f'(x), k — кратность корня в и г — колив в.

Чество этих попарно не равных корней, а сумма Гаусса S (а-ра) определена формулой (2). Эта теорема использует только целые радические корни многочлена f'(x) и позволяет получить правильный порядок оценки S (f-pa) в массовом случае..

Далее, в [13] рассматривалась сумма с характером по модулю р.

S = Е %(x)e (f (x)p~B), x.

S|? m2pse/(e + (19) где е — максимальная кратность целых р-адических корней В, 6^ производной f'(x), принадлежащих U (f)> l/(e +1) m = max (e + 1) l.

Как уже отмечалось раньше, оценка полных рациональных тригонометрических сумм тесно связана с задачей оценки числа решений сравнений. Поэтому остановимся, но обзоре соответствующих библиографических источников..

Исследования, посвященные решению сравнения F = F (x) = а хп+ .+ а х + а = О (mod q), (20).

О п -1 п 1 где F — целочисленный многочлен степени п, п > 2, q > 1 целое, восходят к работам Ж. Лагранжа и К. Ф. Гаусса. Обозначим через V (f-q) множество решений сравнения (20):.

V (f-q) = faraod qI F (x) = О Cmod q)}, и через N (F-q) число элементов множества V (f-q) :.

N (F-q) = card V (f-q). Если.(a, a ,., a) = h >1 и hq, то.

О 1 n.

N (F-q) = h-N (F/h-q/h). Поэтому в дальнейшем полагаем, что (a, a ,., a, q) — 1..

0 1 n.

Ж. Лагранж в 1768 г. показал, что если р простое число и р|а, то N (F-p) < п. С учетом неравенства N (F-p) < р отсюда следует, что N (F-p) < minfn, р). Отсюда и из малой теоремы Ферма просто следует оценка.

N (F-pa) < minfn, р}ра К. Ф. Гаусс высказался ([9], стр.803) о важности исследо вания сравнения (20) в случае q = ра с «> 1. Основные приемы исследований сравнений закладывались К. Ф. Гауссом в работе [9], где красной нитью проходит мысль о разложении многочлена на множители в полиномиальном сравнении..

Поскольку N (F-q) мультипликативен по q ([7], с. 60):.

N (F-q) = п N (F-pa), то целесообразно сначала вычислить р ° II ч или оценить N (F-pa)..

Теория р-адических чисел К. Гензеля [53] дала подход к непосредственному вычислению N (f-pa). Так в 1921 г. независимо друг от друга 0. Оре ([66], [67]) и Т. Нагелл ([-62] или [63], теорема 54) оценили N (f-pa) в случае, когда дискриминант D многочлена F отличен от нуля. А именно, они показали, что если F (x) примитивный многочлен с целыми коэффициентами степени п > 2 и 8 = ordp D, то N (F-pa) < пр26 (если, а > 25). В 1924 г. Э. Камке [56], используя иной подход, показал, что 1 1 i 1 — —.

N (F-q) < (^(q))ndn ~1(q)q (21) где A (g) = (q, a, a ,., a), d (q) — число делителей.

F⁰¹ n-1 числа q..

В 1940 г. Хуа ([38], лемма 2.3) рассмотрел сравнение f (x,., x) — 0(modpa), где f (x ,., х) — многочлен k — ой степени с целыми.

1 п коэффициентами, и где не все коэффициенты делятся на р. Тогда число решений этого сравнения будет < с f&, rOfa + 1) п ~ 1 • •pna «a/k. Доказательство опирается на оценки полных рациональных тригонометрических сумм..

В 1952 г. Г. Шандор [68] усилил результат Нагелла и Оре. Он доказал, что если F (x) целочисленный многочлен степени п, п > 1 с дискриминантом D фО и 8 = ord В, то р ps/3, если, а >5,.

N (F-pa) < пР если, а > 1.

22).

В 1973 г. Г. И. Гусев фактически установил наличие точного значения для числа решений N (f-pa) для всех а, начиная с некоторого Lq= L (f) >0. А именно, им было доказано следующее утверждение ([10], лемма 1)..

Пусть Zкольцо целых р-адических чисел, I = p5Z ,.

Р <5 р где б — любое целое неотрицательное число и пусть Р (х) п произвольный многочлен с целыми р-адическими коэффициентами,. не равный тождественно нулю, п — degP^. Обозначим через N число решений сравнения Р (х) =0(modp"), принадлежащих I. п о.

Тогда существует такое число I. = ?Р (Р j >0, что при о on.

5) всех a > L. N.

S).

0, если Р (х) не имеет р-адических о a п корней, принадлежащих Г.. Если же Р (х) имеет р-адические о п 1 корни ц кратностей к., 1 s t < я, принадлежащие' I., 1 10 0 то при всех, а > L..

N (S) = Е с^р i = i 1 г L.

— А.

5).

1 j.

23) где, А ~ (в).

5).

1 * i * п8) целые положительные постоянные,.

1 < i < nt) — целые неотрицательные постоянные. о.

Это утверждение было доказано используя метод изометрических преобразований в кольце целых р-адических чисел. Основным было применение леммы о линеаризации функций многих переменных, определенных над кольцом целых р-адических чисел. Подчеркнем здесь, что существенно то, что величина L выбирается так, чтобы Lq a L — А + 1, где.

1 (V v ц1 (1 м ordpr^J Р (Ц{))..

В [10] показано, что такое целое число, А существует..

В 1977 г. С. Б. Стечкин [37], а в 1979 г. С. В. Конягин [21], используя оценки полных рациональных тригонометрических сумм, уточняли константу с в оценке N (F-q) < eg1 ~1/п. в частности, в [21] показано, что с = с (п) = п/е + 0(lri2ri), при условии и >2 и (q, а, а ,., а) = 1, что уточнило оценку (21)..

В 1982 г. Дж. Локстон и Р. Смит ([58], теорема 2) доказали, что если р — простое, F zZ[x], F степени п >2 такой,.что F (x) не обращается в тождественный ноль по modp и над полем комплексных чисел имеет место разложение F (x) = а хп+. + а = а (х — I)&l.(x — I)*т, (24).

О п О 1 ш где F ,., 1 попарно различные корни с соответствующи.

1 m ми кратностями е ,., е, то.

1 m.

N (F-pa) < тра ~ ы -5>/в ((25) где е = max е, 5 — некоторая величина, зависящая от l .

5(l{) = = opdp f 1 (1 < I < т), (26) в [58] замечено, что <5 = max 5(1)>0 и число 6 оценено с.

1<1<ш помощью полудискриминантa A (F) многочлена F ([44], с.15). Легко заметить, что 6(LJ = ord, а + Е е ord (Г — F). (27) р l.

В [58] доказано, что если / нелинейный многочлен в Z[x], имеющий т различных корней над С с наивысшей кратностью корней е и полудискриминантом А, то для любого положительного целого q.

N (F-q) < q1 «1/в (Л, qz) l/2octJq), (28) где djq) обозначает число представлений q в виде произведения т сомножителей..

В 1983 г. Д. А. Митькин [28] получил оценку числа решений сравнения (20) по неполной системе вычетов:.

Пусть п >2, q >1, Р >1 — целые, Р < q, F (x) = а хп+.

1 * п .-.+ а^х + aQ — многочлен с целыми коэффициентами, (q, а «., а) = 1. Тогда для числа N решений сравнения F (х) modq), 1 < х < Р справедлива оценка.

1 1.

— — + е 1 — — — р + с.

N «Pq п + q п где р = (п — 1)/(n (nz — п +1)) и постоянная входящая в символ «, зависит только от п и е..

В [3] доказана следующая оценка числа решений сравнения (с. 78, лемма 9 или [40], лемма 2):.

Пусть f (x) = а + а х +.+ а хп — многочлен с целыми.

0 1 п коэффициентами, (а, а, ., а, р) = 1 и пусть N (а, в).

0 1 п 1 р ' ' число решений сравнения f (x) — О (mod рр), игр, 1 < х < ра..

Тогда имеем ff/MJ < 3ci (n)pa ~ (29) где c^fn) — постоянная из теоремы 1 в [3]..

В 1988 г. Д. Шалк [48] получил такую верхнюю границу числа решений N (F-pa) сравнения F (x)^а (modp°J, :rmod ра, которая не зависит от aeZ, где F (x) многочлен степени п..

Обозначим t = t (F) = ord C (F'). Пусть попарно различные р р корни сравнения р~ьР'(х) =0 (modр) имеют кратности ги кл ,., к и т = к+ к +.+ к, к — шах к, где.

12' г 1 2 г' i г =r (F') >0, к >1. Тогда для всех a² ([48]).

NJF-pa) < (2 + 21/2)mnpt/(}A + upa<1 «C1/(k + u 5). (30) с-.

Оценку Д. А. Митькина уточнил И.Е. Шпарлинский^ в 1991 г. Для натуральных чисел п, q и Р пусть N (f, P, q) обозначает п число целых решений х, О < х s Р — 1, сравнения f (x) = О (modq), где f (x) = а хп + .+ а х + a zZ[x], (а п 10 п a, aQf (l) =1 • Тогда И. Е. Шпарлинский доказал, что для любого е > О справедливо неравенство.

1 -/п — е.

NJf, P, q) «РС (Р п + Pq~1/n) с в = (п — 1)/п (п3 — п2 + 1), где константа в символе «зависит только от п и е..

Основные результаты диссертации.

Остановимся на методах решения поставленной задачи и на основных результатах, полученных в диссертации автором..

Диссертационная работа состоит из 4 глав и приложения. В главе I доказаны необходимые подготовительные утверждения. Укажем основные. Доказан модифицированный вариант теоремы об Si.

— Shparllnsklj I.E. On polynomial congruences // Acta ar I timet lea. — 1991. — V. 58, N 2. P. 153 — 156.. умножении тригонометрических сумм. Если q = q^-q ••-q t где (q[f q) = 1 при i ф j, 1 < i, j < s, то справедлива Теорема 1.1.1. Для любого многочлена f (х) с целыми рациональными коэффициентами справедливо равенство.

S (fх- q) — П X (т и)-S (m fх — q.), i=i qi qi где (m{, q{) = 1, m^ Z (1 < i < s ,)..

Как уже отметили раньше, изометрический метод основан на лемме о линеаризации. Она приняла следующий вид..

Если f (x) — многочлен, то введем обозначение X = = X (p, f) = ord C (f'), так что многочлен p~lf'(x) будет со примитивным над О. Если же f (x) = У, а х* <е О [[х]] - анали.

Р k р н к = 0 н тическая функция, то положим х = X (p, f) = minford (to))> р k kSti н тогда функция p~xf'(x) — примитивная. Очевидно, для всех х из О ord (p~lf'(x))>0. Положим р р ^ сг h =.

О, если 1=0,.

V = 1 + hfrjorcl 2. t 1, если х > 1, р.

Лемма 1.2.3. Об изометрической линеаризации аналитической со функции. Пусть р — простое, f (x) —? е 0 С’Сл?]3″ к = О Р хп е О такие, что im ord (а) = +<х>. к—1+оэ.

Р к' ord^(p~zf'(xQ)) = д, О < ц = ц (ха) < +00. Тогда для любого з целого, з > ц + и существует изометрия (1) (7:0 —> О такая что, если х = х + pBz, то в р р О 1 f (xQ + psz) = f (xQ) + f'(xQ).pB-ojz), (где о (О) = О), что равносильно записи f (xQ + pBz) Й f (xQ) + f (xQ)-pb'z. (2) 0* компакта К (x) такая, что для каждого х из К s в О в fix) = fix) + f (x)'(Q*(x) — X), и us и и где °*в (х0) -х0' что равносильно записи.

V х € Кв fix) * f (xQ) + ftxo)'tx — xQ)..

Лемма о линеаризации была доказана в [16] при р, а 3 для многочленов. Авторами было отмечено, что теорема обобщается и на случай аналитических функций над кольцом О и даже над р кольцом нормирования конечного расширения поля Q. В § 1.2 р детализированы те утверждения, которые были сформулированы при написании статьи [16]. Используя лемму о линеаризации модифицирована лемма Гензеля о подъеме:.

03 и.

Теорема 1.3−1- Пусть р — простое, а е О и / = Е а±х е р к=0 е О [[а?]] - аналитическая функция такие, что lim ord (а) =.

Р —, Р К.

F к—"-/-«> нfco, ord (p~lf (а))= ц, где г = minfordffc)), и = 1 + р, >» к hi г-ord 2 и р ord f (a) > 2ord f'(a) — г + v. p p.

Тогда в компакте К (а) существует и притом единственное в целое р-адическое число в такое, что f (d) = О, где s = ord а^ > fi + и > 1. р f’ta).

Первый этап в подходе Хуа Лоо-Кена в задаче оценки модуля S (fi- ра) основан на модификации леммы о разбиении..

В § 1.4 доказана теорема 1.4.1 о приближении к носителям суммы S (f-%:pa) — модифицированная лемма о разбиении. Отсюда получены другие формулировки этой леммы, в частности те, что уже были известны, но при иных условиях. со.

Пусть р простое и f = Т, а х € О [[а?]] такие, что k=o k р lim ord (а) = +со, minford (а)}= 0, х = minford (ka)), k->+® р k k>i р k k>i p k f О, если 1=0, h (x) = 1 U если Г Ы, v = = 1 + h (l)oM/> ~ либо характер Дирихле по модулю р, либо % = 1. Пусть, а > l + 1 + V и ?<[fa-T + l> -1)/2]. Тогда для каждого фиксированного t из Z введем обозначение.

A (s, t) = (х t < х < t + рв-1, ord (p~lf'(x)) * з — V +1 }. p.

При указанных выше условиях справедлива следующая Теорема 1.4.1. s (f-x-pa) = 7.

-e (f (x)р-а) м, X €A (s, t) s г e ((f (x + рвх) — f (x))р~а). не.

Kmodp.

В частности, если сравнение p~zf'(x) = 0(mod pB+i~u имеет решения, то S (f- %- ра)= О. Часто используется следующее.

Следствие 1.4.1. Пусть р простое и / = У ах е О [т].

—i. ы Jj р k = 0 Н такие, что п >2, minford (а)} =0, х = miru’ord (in)}, h (X) = k>i p k k>i p k.

I U если 1=0, если x > 1, V = >p) = 1 + %(x) либо характер Дирихле по модулю р, либо 1=1. Тогда.

1) Если’и

L о xmod р l (x)e (f (x)p ~а)..

2) (о разбиении). Если a>Z + V = l + 2 + hftjord 2, то р для каждого фиксированного t из Z S (f-%-pa) = I * %(Ь)t < ь ^ t+p-1, ord f'(b) >• г p.

E * B e (f (x)p~a). xmodp, x=b (modp).

В частности, если сравнение p~lf'(x) ~ Ofmodp.) не имеет решения, то S (f- %- ра) = О. ..

В этом следствии вместо известного условия, а и 21 +2 получено новое условие, а >1+2 (для р нечетных). В п. (2) следствия частный случай (при t = О) для р нечетного простого получили Г. И. Гусев и автор в 1985 г.(опубликовано в 1990 г.) и в 1988 г. в случае, когда t = О и %(х) — характер по modp, получили Г. И. Гусев и автор..

Поскольку суммы S (f-pa) выражаются в массовом случае через суммы Гаусса, то подробное описание свойств сумм Гаусса — важная задача. Этому посвящена II глава. Стандартная оценка сумм Гаусса S^(a-pa) основана на свойстве рекурсии ([22], формула (72) на с. 39). Свойства сумм Гаусса систематизированы в § 2.1. Там же проведены вычисления и оценки сумм Гаусса, используя следствие 1.4.1..

Теорема 2.1.1. Пусть р > 3 простое, а € О, ord, а = О, п >2. р р.

Тогда.

S (ар, а) I < с (п, р, г)-ра (1.~ 1/п), п 1 где i minCd -1, pi/3)pn 2, если r = 1, cjn, p, r) = pr/n, если 2 < r < ord n + 1, i p v r/n -1 если n + 2< Г? n. P.

Теорема 2.1.2. Пусть p — 2, a e 0, ord a = 0, n > 2. ы — p p целые, aQ =aCraod 4,), 0 < aQ < 3 и г удовлетворяет (2.7). Тогда.

S (а- 2 а) — 2а C1 «1/n> + г/п «1 • п г О, если г = 1- 1, если п.- нечетное, 2 < г < па.

1 + I, если п = 2, г = 2- е (2~эа), если п = 2f г = 3 (а > 3) — 1 + е (2~га), если пчетное, п >4 и 2 < г < г ^ п. v 2.

В частности, в следствиях 2.1.1 и 2.1.2 получены оценки, которые возможно в таком виде не записывались..

Следствие 2.1.1. Пусть р > 3 простое, а 3. а > 1-целое, d = (р -1,п). Тогда.

IS (ар, а) < с (n)-pa (l ~ 1/п), где рп)1/п, если р < пр1/п, если d < р <(d-1)2, р > пс (п)= р.

1 1 d -1)рп 2, если (d -1)3<р <(d р >п. ^ 7, если (d -1)3п/(п «2>< р> р >72..

Следствие, 2.1.2. Пусть р =2, а € О, ord, а = 0, п >2. а >1pp. целые. Тогда.

1) Если п >3, a — rfmodn-, f < г < п, то.

S (a- 2 a) < 2a (1 «1/n) n О, если r = 1- card n + 2)/n ord n + 2.

2 2 I cosf Jta/2 2), если 2 < r < ord nf 2- 2.

2>r/n -1 ^ n + 3? Г s 11. 2.

2) IS fa- 2 аЛ < 2oos (n/16)-2 a (1 -1/n)? 2 2 W2 -2а (1 «1/n> - Параграф 2 главы II посвящен изучению сумм S (aq) при q составном и оценке сверху этих сумм. Введем обозначения. Положим.

Ра, q, = Па.

Р «ч» ord n Р ра> % = тт ра> q.

Р Nq,.

3 =П..

Р Hq ,.

2.

4 = П Р.

Р Nq, г = 1 = «а, Р р и q» r=ard n +2 Р.

Если условия не позволяют определить какое-то q, то это q положим равным единице. Тогда q = q q q q q, где.

1 1 a J 4? q{>q= 1 Г1РИ t > 1- J — Обозначим a г d n p = p P. = П p p I q j n П ' P> J =1,., 5, p I q j тогда g In, n = n n n n n. Положим 0=1. Пусть в.

3 3 1 2 3 4r S.

1, если mla, этом параграфе, как обычно, б (а).

О, если mat где m >1, m, ацелые..

Теорема 2.2.1. Пусть п >5, q >1, (a, q) =1. Тогда.

1 — — -IS (aq) |< q n{(q) п (йд)пооз (п/2 n I l J d i.

2 3 2 j 1 1 2 rdan + 2. W.

•П [pn SJaр) Ьпв)п (qs)n [200s (n/2.

-1.

-1 где числа a^ из Z, p|cip, определяются однозначно..

Из теоремы 2.2.1, используя, в частности, некоторые рассуждения Стечкина [36], удается получить значение для с (п) в оценке (10), зависящую от арифметических свойств чисел п и q. Доказанная в теореме 2.2.3 оценка повторяет результат С. Б. Стечкина, но для некоторых классов чисел q, которые определяются природой числа п, эта оценка уточняется. В частности, в следующем утверждении..

Следствие 2.2.1. Если п >5, q >1, a — целые такие, что (a, q) = 1, и для любого р, делителя q ord^q (mod 11), то.

-7= 1 1 -1 /-1 -1.

IS Caq) < V 2 2 +S2 пп q п < 2S 2 +Vy2 +V2 q n ..

Достижимые оценки сумм Гаусса порядков 3 и 4 вычислены в параграфе 2.3..

После применения леммы о разбиении в тех стандартных рассуждениях, восходящих к Хуа Л. К., необходимо оценивать число решений специального полиномиального сравнения. Усиления оценок здесь достигаются вследствие 1) отбрасывания всех дробных р-адических корней- 2) учета в множестве локально целых корней только целых р-адических корней производной полинома. Это обосновывается теоремами, доказанными в III главе диссертации. Рассмотрим их..

Многочлен F над Z рассматриваем над О, учитывая р вложение Z сО. Пусть К — поле разложения многочлена р.

F (x), К — алгебраическое расширение поля Q. Простые р элементы полей Q и К обозначим, соответственно р и р л. Показатель элемента й, О) из поля К, относительно простого элемента я принято обозначать через ord^M, измеряя О) в таком масштабе, что ord^p =1. В дальнейшем ради удобства вместо ord, а будем писать ord 0), поскольку я р здесь и далее в работе это не приведет к ошибкам. Обозначим.

V = {х cKlord х >0} - кольцо нормирования поля К. Многочлен р.

F из Ъ[х] или из О [я] назовем локально примитивным или р-примитивным, если ov&C (F) -О или иначе (а^,., aQ, p) =1 •.

Теорема 3.1.1. Пусть F (x) из О [х], F (x) — степени п, — р п > 1. Тогда существует однозначное разложение.

F (x) = C (F)-FJx)-Ffx)-FJx), о 1 * где Fq, F± приведенные (унитарные) многочлены над Ор, Ft примитивный многочлен над О такие, что F, F, F" имеют корни соответственно, в О, р.

V О, KW. р.

Сравнение.

F (x) — 0(mod ра), а > 1) равносильно сравнению.

С (F)-FQ (x)-Fi (x) = О (mod ра) 0L, а 1), где С (F) = р, х = min{ord а,} = ord C (F). р i>o р 1 р.

Теорема 3.1.2. Существует эффективно вычислимое aQ > 0 целое такое, что для всех a >aQ сравнение.

F (х) — О (mod ра) решения не имеет..

В теореме 3.1.3, лемме 3.1.3 и в следствии 3.1.3 установлены соотношения между параметрами, участвующими в оценках и оценки, используемые для еффективизации доказанных утверждений..

Пусть.

F (x) = а -(х — С Г1 .(х — ^ /т, n 1 т где? попарно различные корни с соответствующими.

1 m кратностями е ,., е, п = deg F >1. Обозначим.

1 m в) F 1 (LJ б (£.)= $ (FI.) = ord -1 (Л * t s т),.

I р 1 р 1.

5 = 5 (р) = 5 (F-p) = max 5 (Fv v 5ieV P 1 e = e (p) = e (F-p) = max e. ,.

V V V TT i.

1<1<Ш! J m = m (p) = m (F-p) = ?.

1. l.

Эти обозначения вводятся для корней из V. Соответствующие обозначения с индексами О ж К введем, соответственно, для корней из 0 и К. Для этих характеристик верна р.

Теорема 3.1.3. 1) О s т s т, s m. 2) О < е < е < е ..

О V К О V к.

3) Если eQ > 1, то справедливы неравенства О < 5q < < <5r..

Если eQ = О и > 1, то О < < б. Если же = О, то 5 > О..

1ч.

Лемма 3−1.5. Пусть многочлен g над О степени п, п > 2, р локально примитивный и имеет простые корни, причем только из.

V. Тогда для всех, а из О (в частности, aeZj спра-р р ведливы оценки.

1) ord g (a) < 2ord D (g) — Z (2degg -1) + h (l)ord 2, p p p где D (g) — дискриминант многочлена g, l = ordJ0(g')',.

2) ord g (a) s Pord D (g). p p.

Следствие 3−1.3- Если примитивный неприводимый над О многор член g степени п, п > 2 тлеет корни только из V, то р для любого его корня в и для всех, а из О (в частности, р aeZ) справедлива оценка ord (ва)? f2ord D (g) — t (2degg -1) + h (Tjord p]/degg. p I. p P).

В параграфе 3−2 доказана.

Теорема 3.2.1. Пусть р простое и F многочлен из Z[x] степени п, п, а 2. Тогда если degp. F = '0, то N (F-pa)=0..

При всех a? 1.

N (F/Q (f) — ра) < ту-р m 1 n (a -1, a — (a -6)/o).

Для применений теорему удобно сформулировать иначе..

Следствие 3.2.1. (1) Если 1 < a.

2) Если a >ord C (F) и deg (F/C (F)) =0, .то N (F, pa) =0. p p.

3) Если a >ord C (F) и deg (F/C (F)), то p p.

N (Fpa) < mv-p (4) В итоге, если a > 1, то min{a -1, a — (a.

N (Fpa) < max (1fm)-p mlnfa, a — (a.

Для случая составного модуля введем обозначения е = max е (р), q = п р I q p|qioc = ard q Sord С (Г) P P.

Тогда справедлива.

Теорема 3.2.2. Пусть F нелинейный многочлен из Z[x]. Тогда.

1) если з pq: m (р) =0 и ord q >ord C (F), то N (F-q) =0..

V р 1 р.

2) N (Fq) < qc (q/qjl~i/a-ll (mx (1, my (p))-p*v (P>.

В § 3−3 получено уточнение оценок § 3.2, разобран случай многочлена с простыми корнями. В частности, доказаны Теорема 3−3.1. Пусть справедливы условия теоремы 3−2.1. Тогда существует целое число aQ = a (F, p) гО такое, что для всех, а > aQ: если eQ = О, то N (F-pa)=0- если же е > 1, то о, а — (ос -5)/е.

N (Fра) < тр а.

Следствие 3−3-1. Пусть F (x) нелинейный многочлен из Ъ[х] с ненулевым дискриминантом D (F)..

1) Пусть ос >ord C (F) и п = degF > 3. Тогда р.

N (Fра) < deg (F/C (F))• ш i n (a -1, ford D (F> - (n -3)ord (Ic (F5)j/2) •P P P ..

2) Пусть a >ord C (F) и n = degF > 2. Тогда p ш i n (a -1, (ord D (F))/2).

N (F-pa) < deg (F/C (F))-p p ,.

3) Пусть a >1, n > 3 и deg (F/C (F)) > 1. Тогда p pa) < deg (F/C (F))• ord D (F) — (n -3)ord (lc (F))j/2 •p P P. (3.18).

4) Пусть a >1 и n = degF > 2. Тогда mints, (ord D (F))/2).

N (F-pa) < тах (1,т)-p p.

V 1 или иначе rnlnta, (ord D (F))/2).

5) N (F-pa) < imx (1 ,.

Используя нижеследующую лемму доказывается утверждение об оценке числа решений в случае, а > ord C (F). р.

Лемма 3−3-1- Пусть многочлен F из О [х] степени п, р п >3, со старшим коэффициентом lo (F), имеет ненулевой дискриминант D (F). Тогда для любого локально целого корня? многочлена F ord F'(F) < р (½)(ord D (F) — (п — 3Jord lc (F) — (n — 1) ord С (ф')), p p P где 'F (x) = (x — I) -tp (x) ..

Следствие 3.3.2. Пусть F (x)1 и его дискриминант D (F) Ю. Тогда если, а > ord C (F), то р.

N (F', pa) < &egp (F/C (F))'(D (F)1/3, ра) ..

Правильный порядок числа решений сравнения дается следующей теоремой. Пусть dQ — количество тех корней многочлена F (х), кратность которых равна eQ — максимальной кратности корней из кольца целых р-адических чисел..

Теорема 3−3-2. Для любого е >0 существует а*= а*(e, F, p) >О такое, что для всех, а > а* а (1 -1/е) + S /о.

N (F-, pa) < (dQ + Е) р 0 0 0, если eQ >1. Если же eQ = 0, то N (F-pa) =0..

Последнее утверждение уточняет оценки Шалка и Смита (ср. [49], п. З) и Локстона и Смита (25), а полученное в следствии 3−3.1 оценка усиливает результат Шандора [68]..

В главе IV получены новые оценки IS (f- %- ра) сверху. I.

Работы [11] - [15] имеют дело с точными соотношениями вида (18), которые справедливы для всех простых чисел р и, а > 2, но начиная либо с некоторого простого числа pQ, либо с некоторого aQ. Поэтому актуальным является оценка S (f-pa) сверху при начальных значениях р и при, а таких, что 1 < а < aQ. С этой целью в диссертационной работе уточнены известные оценки IS (f-pa)I, полученные до 1988 г..

Эти оценки явились, в основном, следствием уточнения свойств корней f'(x). Используя лемму о разбиении в модификации 1.4.1 доказана.

Теорема 4.1.1. Пусть рпростое, / € Z{x] -многочлен степени п >2, p)(C (ff (0)) и максимальная кратность корней сравнения (4) не превышает к, 1< к < п. Тогда.

I S (fх- ра) < c (f, p) -шахП, N Cf'))p (1 k + 1 где N (f} -число неконгруэнтных корней сравнения (4) с р учетом кратностей, а.

X (Г') + 1 + ord, а р.

C (f, p) р k + 1 min (n + d -1, р2) р к +1 если р <п- 1 1 2 если р > п..

Следствие 4.1.1. Пусть рпростое, / е Ъ[х] -многочлен степени п а2, phC (ff (0)) и максимальная кратность корней сравнения (4) не превышает к, 1< k < п. Тогда.

IS (f- %- ра) I < с (п, р, к)-р где с (п, р, к) = а (1 k + 1.

Z + 1 + ard 2) / (к + 1) f (2 + 2) mp p с 2 mp (1/(k + U) + ½/Cp½ m (n — 1) pl/(k + u /(p1/3 если p s n-.

1), если n < p < (n-1)2- 1), если (n-1)z< p < ((n — 1) m).

2(к + 1)/(k.

1) p½/fp½ — fj, если p > ((n — 1) m)3lk + 1)/(k «15 ..

Коэффициент (2 + 2l/2)mnpt/(k +1) в оценке (30), таким образом, заменен меньшей величиной, причем улучшение результата достигается при всех рассмотренных значениях тг, р, ос. Оценка (30), а в некоторых случаях и оценка, полученная в теореме 4.2.1, уточняется в теореме 4.2.2, для которой приведена схема доказательства..

Пример 4.2.1 показывает, что теоремы 4−2.1 и 4−2.2, вообще говоря, друг друга не перекрывают в случае, когда множество целых р-адических корней /' не пусто. Чтобы показать насколько существенно применение теоремы 4−2.2, необходимо сначала описать множество простых Р, чего в работе не делается. Другой подход к оценке N (f-pa) был реализован в главе III..

В § 4−3 рассмотрен частный случай сумм и доказана Теорема 4−3-1- Пусть рпростое, /еZ[x] -многочлен степени п аЗ такой, что p)(C (ff (0)) и дискриминант производной D (f') Тогда за исключением случая, когда р = 2, а нечетное,.

1) для всех a >2 справедлива оценка.

Is (f: %- ра) I * msLX{i Aegp (f'/c (f))) pa/z (D (f)l/2, ра/2) —.

2) если кроме того of > 2ord C (f), то р.

S (f- %- pa) I ^.

Если же р =2 и, а >3 — нечетное, то.

3) S (f-i-2a) <тах (1,degJf'/CCf)))2a/2(2D (f), 2а) а ,½.

4) если кроме того, а > 2or& C (f), то.

IS (f- %- 2аЛ s &eg2(f'/C (f'))2a/2-((2D (f'))i/2, 2а/2 1, если mlаОбозначим 8Ja) = | Qj если ^.

Теорема 4−3.2. Пусть f (x) — f (О) примитивный многочлен с целыми коэффициентами степени п аЗ" такой, что D (f') Пусть q >1 -целое,.

О = ТТ Р > Я, р I q п р* q2 = g’v р I q, ard q = l Р.

Пусть %(х) — характер Дирихле по модулю либо %(х) -7. Тогда s (fх- q) *.

½ Г 1 Г W 11/2 q½('n п-[п max{-Megpr/VCr/'—J[2 2 2q2j. р I q р I q.

1 2.

В § 4−4 доказаны теоремы 4.4.1, 4.4.2 и 4.4.3. Оценка по примарному модулю доказана в следующей теореме, Теорема 4−4.1. Пусть р простое, а > 2 целое, f многочлен из Z[x] степени п, п > 2. Тогда.

1) если deg (f'/C (f)) = 0 и a >2ord 0(f) +1, то р р.

S (f-i-pa) = 0-.

2) если deg (f'/C (f')) = 0 и, а <2ord 0(f), то р р.

S (f-i-pa) < ра-.

3) если же deg (f'/Cif)) >1, то р ord р)/2 а -(а/2 — S)/в.

S (f-i-pa ,)| <2 2 ту (р)-р v v..

Здесь и ниже ш (р), § v и еу вычисляются для f'(x). Есть примеры, показывающие, что этот результат уточняет оценку (15).

Обозначим е = max е (р), а = П.

1 х 1 Г • р I q q = II о л ^.

20 p|q t dag (f'/C (f'))=0 2 p a = о г d q S 2ord С (f') P 2 p «P p: a г d q =1 g = g /g. 21 2 M20 p, q2= q/qit.

Теорема 4.4.2. Пусть / нелинейный многочлен из Ъ[х] такой, что (q, C (ff (Oj) =1. Тогда.

S (q) 2 '21.

S (f-x-q) * 2 р I q, degp/).

• П deg (f'/C (f'))-p.

I p.

Plq21.

8 (p)/в (p) V v.

Заметим, что e (p) < e ^ max e, , 0? v jjeOif' <(• >=o degp (f'/C (f')) < n — 1, 0 < 5v (p- < 5. Все ето приводит к тому, что оценка теоремы 4−4.2 существенно точнее оценки (15).

Дж. Локстона и Р. Смита..

Теорема 4−4-3. Пусть многочлен f (x) из Z[x] степени п >3 такой, что C (ff (0)) взаимно прост с q и дискриминант производной D (f') отличен от нуля. Тогда.

S (f-x-q) s 2.

•fn.

5 (q)/2 t л.

2 3 V^-n degp/. plq, i.

1 ½.

21 где C (/',) — содержание производной /', lcf/',) — старший коэффициент f ..

Теоремы 4.3.2 и 4.4.3 уточняют оценку Смита (14) и Лок-стона и Смита (15) для класса многочленов с ненулевым дискриминантом..

В параграфе 4.5 построен контрпример к работе [59] для р < п и рассмотрен пример, позволяющий сравнить полученные в главе IV результаты с известными оценками полных рациональных тригонометрических сумм..

В Приложении доказаны необходимые утверждения..

Результаты работы докладывались на Втором математическом чтении памяти М. Я. Суслина в Саратове (1991 г.), на Международных конференциях по теории чисел в Минске (1989 г.), Туле (1993, 2001 г. г.), Воронеже (1995 г.), на Международном конгрессе по теории чисел во Франции (Лилль, 2001) и на научно-исследовательском семинаре кафедры теории чисел под руководством профессоров А. Б. Шидловского, Н. М. Коробова в МГУ им. М. В. Ломоносова, на научном семинаре кафедры теории чисел под руководством профессоров В. И. Нечаева, А. А. Бухштаба, Д. А. Митькина в МШИ им В. И. Ленина..

Результаты диссертационной работы опубликованы в [16], [17], [713, [72], [73], [74], [75]..

Английский перевод статьи [73] в исправленном электронном виде доступен в Интернете по адресу ht tp: //www. sgu. ш/useris i/kum/.

Отмечу, что работа в основном была набрана к осени 1991 г. Редакции 1994 и 1996 г. г. структуру работы существенно не изменили..

Автор выражает признательность своему научному руково дителю, доценту Герману Ивановичу Гусеву, за постановку за дачи и полезные обсуждения..

Большая благодарность всем лицам, оказавшим помощь в этой работе..

1. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел.-М.: Мир, 1987. — 415 с..

2. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М., Мир, 1994. — 544 с..

3. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Тзория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1988. — 368 с..

4. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. 3-е изд., допол. — М.: Наука, 1985. — 503 с..

5. Ван дер Варден B.JI. Алгебра. М.: Наука, 1976. — 503 с..

6. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. -М.: Наука, 1971. 158 с..

7. Виноградов И. М. Основы теории чисел. 9-е изд., перераб. — М.: Наука, 1981. — 176 с..

8. Гаусс К. Ф, Суммирование некоторых рядов особого вида // Труды по теории чисел. М.: Иэд-во АН СССР, 1959. — С. 594 — 635..

9. Гаусс К. Ф. Учение о вычетах // Труды по теории чисел. М.: Изд-во АН СССР, 1959. — С. 773 — 806..

10. Гусев Г. И. К гипотезе о рядах Пуанкаре// Математические заметки. 1973. — Т. 14, N 3. — С. 453 — 463..

11. Гусев Г. И. О локальных оценках тригонометрических сумм //Тез. докл. Всес, конф. «Теория трансцендентных чисел и ее приложения» (2 4 февр. 1983 г.)/ Изд-во МГУ, 1983. С. 32..

12. Гусев Г. И. Изометрический метод оценок тригонометрических сумм // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. Всес. конф., Тбилиси, 17−19 сент. 1985 г. /Тбилиси, 1985. С. 56−58..

13. Гусев Г. И. Оценки тригонометрических сумм изометрическим методом // Матем. и ее прилож. Межвуэ. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. — С. 41 — 43..

14. Гусев Г. И., Кудрявцев М. В. Об оценке полной рациональной тригонометрической суммы со знаменателем ра // Матем. и ее прилож. Межвуз. науч. сб. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. С. 37 — 39..

15. Гусев Г. И. К лемме о разбиении рациональных тригонометрических сумм // Всесоюзная школа «Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел» (Минск, 10−16 сент. 1989 г.): Тез.докл.- Минск: Изд-во Ин-та Математ. АН ВССР, 1989. С. 45..

16. Гусев Г. И., Кудрявцев М. В. Изометрическая линеаризация многочленов в р-адических полях и ее приложения // Саратов, гос. ун-т. Саратов. — 1990. — 25 с. — Виблиогр. 26 назв. — Деп. в ВИНИТИ 11.04.90, N 2023; В90..

17. Гусев Г. И., Кудрявцев М. В. О модификациях леммы Гензеля // Матем. и ее прилож. Межвуз. науч. сб. -Вып. 2. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. С. 47 — 49..

18. Калтофен Э. Разложение полиномов на множители j j Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. М.: Мир, 1986. С. 126 150..

19. Карацуба А. А. Об оценках полных тригонометрических сумм // Ма-темат. заметки. 1967. — Т. 1, N 2. — С. 199 — 208..

20. Коблиц Н. Р-адические числа, р-одический анализ и дзетафункции.- М.: Мир, 1982. 192 с..

21. Конягин С. В. О числе решений сравнения га-й степени с одним неизвестным // Матем. сб. 1979. — Т. 109(151), N 2. — С. 171 — 187..

22. Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения.- М.: Наука, 1989. 240 с..

23. Кудрявцев М. В. Теорема Штрассмана для многочленов// Саратов, гос. педагогич. институт. Саратов. — 1988. — 7 с. Библиогр. 3 назв.-Депон. в ВИНИТИ 27.04.88 N 3240- В88..

24. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. 10-е изд. М.: Наука, 1971. — 431 с..

25. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968. — 564 с..

26. Ленской Д. Н. Функции в неархимедовски нормированных полях. СаратовИзд-во Сарат. ун-та, 1962. — 110 с..

27. Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Труды МИАН СССР. 1962. — Т. 65. — 212 с..

28. Митькин Д. А. Об оценках и асимптотических формулах для рациональных тригонометрических сумм, близких к полным // Матем. сб. 1983. — Т. 122(164), N 4(12). — С. 527 — 545..

29. Нечаев В. И. О представлении натуральных чисел суммой слагаемых веда Фн-iMs+n-i) ц р1зв Ан СССР 1953 т 17} N б. с 485. 493.

30. Нечаев В. И. Оценка полной рациональной тригонометрической суммы // Математ. заметки. 1975. — Т. 17, N 6. — С. 839 — 849..

31. Нечаев В. И. О точной верхней границе модуля полных тригонометрических сумм третьей и четвертой степени // Исследования по теории чисел. Вып. 10. — Саратов: Изд-во СГУ.- 1988. — С. 71 — 76..

32. Нечаев В. И., Топунов B.JI. Оценка модуля полных рациональных тригонометрических сумм 3-й и 4-й степени // Труды МИАН СССР. -1981. Т. 158. — С. 125 — 129..

33. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967. — 511 с..

34. Серр Ж. П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969. — 375 с..

35. Степанов С. А. Об оценке рациональных тригонометрических сумм с простым знаменателем // Труды МИАН СССР. 1971. — Т. 112. — С. 340 — 371..

36. Стечкин С. Б. Оценки сумм Гаусса j j Матем. заметки.- 1975. Т. 17, N 4. — С. 579 — 588..

37. Стечкин С. Б. Оценка полной рациональной тригонометрической суммы // Труды МИ АН СССР. 1977. — Т. 143. — С. 188 — 207..

38. Хуа JI.K. Аддитивная теория простых чисел // Труды МИАН СССР.- 1947. Т. 22. — С. 8 — 14..

39. Хуа JI.K. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. М.: Мир, 1964. — 187 с..

40. Чубариков В. Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Математ. заметки. 1976. — Т. 20, N1. С. 61 — 68..

41. Чубариков В. Н. Об асимптотических формулах для интеграла И. М. Виноградова и его обобщения// Труды МИАН СССР. -1981. Т. 157.-С. 214 — 232..

42. Чудаков Н. Г.

Введение

в теорию Lфункций Дирихле. М, — JI.: Го-стехиздат. — 1947. — 203 с..

43. Чудаков Н. Г. О существовании V кольца в бесконечном поле // Научный ежегодник за 1954 г. Саратов: Изд-во «Коммунист», 1955. С.- 675..

44. Чудновский Г. В. Некоторые аналитические методы в теории трансцендентных чисел //Препринт. ИМ 74−8. Киев, 1974. — 48 с..

45. Birch В. J., Mc Cann К. A criterion for the p-adic solubility of diofhantine equations // Quart. J. Math. (2). 1967. — V. 18, N 69. — P. 59 — 63..

46. Carlitz L., Uchiyama S. Bounds for exponential sums // Duke Math. J. -1957. У. 24, N 1. — P. 37 — 41..

47. Chalk J.H.H. On Hua’s estimates for exponential sums // Mathematika.- 1987. V. 34, N 2. — P. 115 — 123..

48. Chalk J.H.H. Quelques remarques sur les congruences polynomes modulo pa //C.R. Acad. Sci. Paris. Ser.l. 1988. T. 307. — N 10. — P. 513 — 515..

49. Chalk J.H.H., Smith FLA. Sandor’s theorem on polynomial congruences and Hensel’s lemma// Math. Repts. Acad. Sci. Canada. 1982. — V. 4, N 1. — P. 49 — 54..

50. Chen C.J. On the representation of natural number as a sum of term of the form // Acta Math. Sinica. 1959. — V. 3, N 3. — P. 264- 270..

51. Chen C.J. On professor Hua’s estimate of exponential sums // Sci. Sinica.- 1977. V. 20, N 6. — P. 711 — 719..

52. Hardy G.H. Collected papers. V.l. — Oxford: Clarendon press, 1966. — 12 + 700 pp..

53. Hensel K. Theorie der algebraischen Zahlen. Berlin: B.G. Teubner, 1908. 349 s..

54. Hua L.K. On a exponential sums // J. Chinesse Math. Soc.- 1940. P. 301- 312..

55. Hua L.K. Additive Primzahltheorie. Leipzig: B.G. Teubner, 1959. — P. 6 -7..

56. Катке E. Zur Arithmetik der Polynome // Mathematische Zeitschrift. -1924. V. 19. — S. 247 — 264..

57. KOrner O., Stfihle H. Remarks on Hua’s estimate of complete trigonometrical sums // Acta Arithmetica. 1979. — V. 35, N 4. — P. 353 — 359..

58. Loxton J.H., Smith R.A. On Hua’s estimate for exponential sums// J. London Math. Soc.(2). 1982. — V. 26, N 1. — P. 15 — 20..

59. Loxton .J.H., Vaughan R.C. The estimation of complete exponential sums// Canadian Math. Bull. 1985. — V. 28, N 4. — P. 440 — 454..

60. Lu Minggao. A note of the estimate of a complete rational trigonometric sum// Acta Math. Sin./Шусюэ сюэбао. Китай/ 1985. — V. 27, N 6. — P. 817- 823..

61. Mordell L. On a sum analogous to a Gauss’s sum // Quart. J. Math. -1932. V. 3. — P. 161 — 167..

62. Nagell T. Generalisation d’un theoreme de Tchebicheff j j Jorn. de Math.- 1921. V. 8, N 4. — S. 343 — 356..

63. Nagell T. Introduction to number theory. Stockholm: Almqvist к Wiksell, 1951.-305 p..

64. Odoni R.W.K. On gauss sums (modpn) n > 2 // Bull. London Math. Soc.- 1973. V. 5, N 3(15). — P. 325 — 327..

65. Odoni R.W.K. Trigonometric sums of Heilbronn’s type // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1985. — V. 98. — P. 389 — 396..

66. Ore O. Ober hohere Kongruenzen // Norsk Mathem. Forenings Skrifter. Ser. 1. 1922. — V. 7. — S. 1 — 15..

67. Ore O. Ober den Zusammenhang zwischen den defmierenden Gleichungen und der Idealtheorie in algebraischen Korpen. 1 // Math. Ann. 1927. -V. 96. S. 313 — 352..

68. Sandor G. Uber die Anzahl der Losungen einer Kongruenz // Acta Math.- 1952. V. 87, N 1. — S. 13 — 17..

69. Smith R.A. Estimates for exponential sums// Proceed. Amer. Math. Soc.- 1980. V. 79, N 3. — P. 365 — 368..

70. Weil A. On some exponential sums // Proceed. Nat. Acad. Sci. USA. -1948. V. 34, N 5. — P. 204 — 207..

71. Кудрявцев М. В. О числе решений сравнения f (x) = 0(modpa) // Всесоюзная школа «Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел» (Минск, 10−16 сент. 1989 г.): Тез. докл. Минск: Изд-во Ин-та Математ. АН БССР, 1989. — С. 81..

72. Кудрявцев М. В. Оценки сумм Гаусса порядков 3 и 4 // Вторые мате-мат. чтения памяти М. Я. Суслина. (Саратов, 23 28 сект. 1991 г.)/Тез. докл. — Саратов: Изд-во СГПИ. — 1991. — С. 90..

73. Кудрявцев М. В. Оценка полной рациональной тригонометрической сум> мы.1 //Матем. заметки. 1993. — Т. 53, N 1. — С. 59 — 67..

74. Кудрявцев М. В. Оценки полных рациональных тригонометрических сумм // Между народ, конф. «Современ. пробл. теории чисел». (Россия/Тула, 20 25 сент. 1993 г.) — Тш. докл. — Тула, 1993. — С. 93..

75. Кудрявцев М. В. О числе решений полиномиального сравнения по модулю // Изв. вузов. Математика. 1993. — N 6. — С. 22 — 25..

.