О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет Курсовая работа

О МИНИМАЛЬНЫХ -ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ НЕ -ФОРМАЦИЯХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Исполнитель:

Студентка группы М-32 Макаренко Л.А.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Сафонов В.Г.

Гомель 2006

• Введение
• 1. Определения и обозначения
• 2. Используемые результаты
• 3. Основные результаты
• Заключение
• Литература
• Введение

Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Используемую терминологию можно найти в [1, 2].

При изучении внутреннего строения, а также классификации насыщенных формаций важную роль играют так называемые минимальные насыщенные неформации иликритические формации. Напомним, что насыщенная формация, называется минимальной насыщенной неформацией, если все собственные насыщенные подформации содержатся в классе групп. Задача изучения формаций такого рода впервые была поставлена Л. А. Шеметковым на VI симпозиуме по теории групп. Ее решение, в классе насыщенных формаций, получено А. Н. Скибой.

В теории тотально насыщенных формаций изучение минимальных тотально насыщенных неформаций было начато А. Н. Скибой в книге [2], где было дано описание разрешимых минимальных тотально насыщенных неформаций (- формация всех разрешимых групп нильпотентной длины). В работах автора [6−10] теория минимальныхзамкнутых тотально насыщенных неформаций получила свое дальнейшее развитие. Основными результатами в этом направлении являются следующие теоремы.

Теорема 1 [10]. Пусть и - -замкнутые тотально насыщенные формации, . Тогда и только тогда — минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда, где - такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1) — группа простого порядка ;

2) — неабелева группа и, где - совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3) ,

где — самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех, а либо группа простого порядка, либо такая монолитическаяминимальная негруппа с неабелевым монолитом, что, совпадает скорадикалом группы и

где - совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Теорема 2 [10]. Пусть и - -замкнутые тотально насыщенные формации, . Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация когда удовлетворяет одному из следующих условий:

1), где - такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что справедливо включение, где - совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

2) ,

где и ;

3) ,

где , а - такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что совпадает с -корадикалом группы , и .

В настоящей работе, основываясь на результатах работы [10], мы даем описаниекритических формаций для некоторых наиболее известных формаций .

1. Определения и обозначения Напомним, что всякую формацию групп называют 0-кратно насыщенной. При формацию называют -кратно насыщенной, если она имеет такой локальный экран, все непустые значения которого — -кратно насыщенные формации. Формациюкратно насыщенную для любого целого неотрицательного называют тотально насыщенной.

Подгрупповым функтором называют отображение сопоставляющее каждой группе такую систему ее подгрупп, что: 1); 2) для любых групп и и любого эпиморфизма имеет место и

Тотально насыщенную формацию называют -замкнутой, если для любой группы. -Замкнутую тотально насыщенную формацию называют минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией (или, иначе, -критической), если, но все собственныезамкнутые тотально насыщенные подформации из содержатся в классе групп .

Пусть — -замкнутая формация. Группа называется -минимальной не -группой, если, но для любой собственной подгруппы из .

Для всякой совокупности групп через обозначают -замкнутую тотально насыщенную формацию, порожденную классом групп, т. е. пересечение всехзамкнутых тотально насыщенных формаций, содержащих. Если, то называют однопорожденной -замкнутой тотально насыщенной формацией. Для любыхзамкнутых тотально насыщенных формаций и полагают. Частично упорядоченное по включению множество всехзамкнутых тотально насыщенных формаций с операциями и образует полную решетку. Формации из называют -формациями. Экран, все непустые значения которогоформации, называют -значным. Если — -формация, то через обозначают её минимальный -значный локальный экран.

Для произвольной последовательности простых чисел и всякой совокупности групп класс групп определяют следующим образом:

1); 2) .

Последовательность простых чисел называют подходящей для, если и для любого число. Множество всех подходящих для последовательностей обозначают через. Символом обозначают совокупность всех таких последовательностей из, у которых при всех .

Пусть — некоторая подходящая для последовательность. Тогдазначный локальный экран определяют следующим образом:

1); 2) .

В дальнейшем через будем обозначать некоторое непустое множество простых чисел.

2. Используемые результаты

Лемма 2.1 [9]. Пусть - монолитическая группа, — неабелева группа. Тогда имеет единственную максимальную -подформацию, где — совокупность всех собственных -подгрупп группы . В частности, .

Лемма 2.2 [2, c. 33]. Пусть, где - непустой класс групп. Тогда если - минимальный -значный экран формации , то справедливы следующие утверждения:

1) ;

2)

при всех простых числах ;

3) если - произвольный -значный экран формации , то при любом имеет место

Следующая лемма является частным случаем теоремы 2.5.5 [2, c. 94].

Лемма 2.3. Пусть , - -замкнутые тотально насыщенные формации, , - канонический экран формации . Тогда является -критической формацией в том и только в том случае, когда, где - такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что для всех формация -критична.

3. Основные результаты Теоремы 1 и 2 могут быть использованы для нахождения описания минимальныхзамкнутых тотально насыщенных неформаций для большинства «классических», наиболее часто используемых в приложениях классов групп, поскольку большинство из них являются наследственными тотально насыщенными формациями. Приведем описаниекритических формаций для некоторых конкретных классов групп.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -разрешимые формации.

Напомним, что группу называютразрешимой, если для каждого ее главногофактора. Пусть — формация всехразрешимых групп. Тогда, очевидно,. Класс всехразрешимых групп является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.1. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда, где - монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа -разрешима.

Доказательство. Необходимость. Пусть — минимальнаязамкнутая тотально насыщенная неразрешимая формация. По теореме 1 имеем, где — такая монолитическаяминимальная неразрешимая группа с монолитом, что выполняется одно из следующих условий:

1) — группа простого порядка ;

2) — неабелева группа и, где — совокупность всех собственныхподгрупп группы ;

3) ,

где — самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех, а либо группа простого порядка, либо такая монолитическаяминимальная негруппа с неабелевым монолитом, что, совпадает скорадикалом группы и

где — совокупность всех собственныхподгрупп группы .

Поскольку, то — неабелева группа и. Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.

Достаточность. Пусть, где — группа из условия теоремы. Ввиду леммы 2.1 формация имеет единственную максимальнуюзамкнутая тотально насыщенную подформацию, где — совокупность всех собственныхподгрупп группы. Поскольку и, то. Следовательно, — минимальнаязамкнутая тотально насыщенная неразрешимая формация. Теорема доказана.

Следствие 3.1.1. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда, где - монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа -разрешима.

Следствие 3.1.2 [9]. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная неразрешимая формация, когда, где - монолитическая -минимальная неразрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что группа разрешима.

Если — тривиальный подгрупповой функтор, т. е. из теоремы 3.1 вытекает

Следствие 3.1.3. Тогда и только тогда — минимальная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда, где — монолитическая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа -разрешима.

Следствие 3.1.4 [7]. Тогда и только тогда — минимальная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда, где - монолитическая группа с таким неабелевым монолитом , что группа разрешима.

В случае, когда — совокупность всех подгрупп группы из теоремы 3.1 получаем

Следствие 3.1.5. Тогда и только тогда - минимальная наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда, где - простая неабелева минимальная не -разрешимая группа.

Следствие 3.1.6. Тогда и только тогда - минимальная наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда, где - простая неабелева минимальная не -разрешимая группа.

Следствие 3.1.7. Тогда и только тогда - минимальная наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда, где - простая неабелева минимальная неразрешимая группа.

Если — совокупность всех нормальных подгрупп группы имеем

Следствие 3.1.8. Тогда и только тогда - минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда, где - простая неабелева -группа.

Следствие 3.1.9. Тогда и только тогда - минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда, где - простая неабелева -группа.

Следствие 3.1.10. Тогда и только тогда - минимальная нормально наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда, где - простая неабелева группа.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -нильпотентные формации.

Группа называетсянильпотентной, если она имеет нормальнуюхолловскую подгруппу для каждого. Класс всехнильпотентных групп совпадает с произведением и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.2. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда, где - не -нильпотентная группа Шмидта.

Доказательство. Пусть формацию всехнильпотентных групп.

Необходимость. Пусть — минимальнаязамкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация. В силу теоремы 1 имеет место, где — такая монолитическаяминимальная ненильпотентная группа с монолитом, что выполняется одно из следующих условий:

1) — группа простого порядка ;

2) — неабелева группа и, где — совокупность всех собственныхподгрупп группы ;

3) ,

где — самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех, а либо группа простого порядка, либо такая монолитическаяминимальная негруппа с неабелевым монолитом, что, совпадает скорадикалом группы и

где — совокупность всех собственныхподгрупп группы .

Поскольку, то первые два случая невозможны. Поэтому — абелевагруппа, где. По лемме 2.2 имеем. Поэтому, где — группа простого порядка. Таким образом, — ненильпотентная группа Шмидта.

Достаточность. Пусть, где — ненильпотентная группа Шмидта. Поскольку насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что. Поэтому, где — минимальная нормальнаяподгруппа группы, а — группа простого порядка. Так как группа и все собственные подгруппы из нильпотентны, а следовательно, инильпотентны, то — -минимальная ненильпотентная группа и — -нильпотентный корадикал группы. Используя теперь теорему 1 заключаем, что — минимальнаязамкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация. Теорема доказана.

Используя теорему 2, получим

Следствие 3.2.1. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда, где и - различные простые числа, .

В случае, когда из теорем 3.2 и 2 вытекают

Следствие 3.2.2. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда, где - не -нильпотентная группа Шмидта.

Следствие 3.2.3. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда, где - отличное простое число.

Если теперь — множество всех простых чисел из теоремы 3.2 получаем

Следствие 3.2.4. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда, где - некоторая группа Шмидта.

Следствие 3.2.5. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда, где и - различные простые числа.

Следствие 3.2.6 [7]. Тогда и только тогда — минимальная тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда, где и — различные простые числа.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -замкнутые формации.

Напомним, что группа называетсязамкнутой, если она имеет нормальнуюхолловскую подгруппу. Формация всехзамкнутых групп, очевидно, совпадает с произведением и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.3. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда, где - не -замкнутая группа Шмидта.

Доказательство. Обозначим через формацию всехзамкнутых групп.

Необходимость. Пусть — минимальнаязамкнутая тотально насыщенная незамкнутая формация. По теореме 1 имеем, где — такая монолитическаяминимальная незамкнутая группа с монолитом, что выполняется одно из следующих условий:

1) — группа простого порядка ;

2) — неабелева группа и, где — совокупность всех собственныхподгрупп группы ;

3) ,

где — самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех, а либо группа простого порядка, либо такая монолитическаяминимальная негруппа с неабелевым монолитом, что, совпадает скорадикалом группы и

где — совокупность всех собственныхподгрупп группы .

Так как, то. Если — неабелева группа, то по лемме 2.2 имеем. Значит, Противоречие. Поэтому — абелевагруппа, где. Значит, для некоторой максимальной подгруппы группы. В силу леммы 2.3 получаем, что — -критическая формация. Согласно лемме 2.2 имеем. Так как, то — группа простого порядка. Таким образом, — незамкнутая группа Шмидта.

Достаточность. Пусть, где — незамкнутая группа Шмидта. Так как — насыщенная формация, то не ограничивая общности можно считать, что. Поэтому, где — минимальная нормальнаяподгруппа, , — группа простого порядка. Так как группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а значит, изамкнуты, то — -минимальная незамкнутая группа и еёзамкнутый корадикал. Теперь, в силу теоремы 1, мы можем заключить, что — минимальнаязамкнутая тотально насыщенная незамкнутая формация. Теорема доказана.

Следствие 3.3.1. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда, где и .

В случае, когда из теоремы 3.3 вытекает

Следствие 3.3.2. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда, где - не -замкнутая группа Шмидта.

Следствие 3.3.3. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда, где - отличное от простое число.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -специальные формации.

Группа называетсяспециальной, если она обладает нильпотентной нормальнойхолловской подгруппой. Понятно, что совокупность всехспециальных групп совпадает с классом и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.4. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда, где - не -специальная группа Шмидта.

Доказательство. Пусть обозначает формацию всехспециальных групп.

Необходимость. Если — минимальнаязамкнутая тотально насыщенная неспециальная формация, то по теореме 1 имеет место, где — такая монолитическаяминимальная неспециальная группа с монолитом, что выполняется одно из следующих условий:

1) — группа простого порядка ;

2) — неабелева группа и, где — совокупность всех собственныхподгрупп группы ;

3) ,

где — самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех, а либо группа простого порядка, либо такая монолитическаяминимальная негруппа с неабелевым монолитом, что, совпадает скорадикалом группы и

где — совокупность всех собственныхподгрупп группы .

Поскольку, то случай 1) не имеет место и. Если — неабелева группа, то в силу леммы 2.1 имеем. Поэтому и. Пусть и. Тогда в силу леммы 2.1 имеет место включение. Противоречие. Поэтому невозможен и случай 2). Следовательно, — абелевагруппа. Так как имеют место равенства, то, где — группа порядка. Таким образом, — неспециальная группа Шмидта.

Достаточность. Пусть, где — неспециальная группа Шмидта. Тогда. Поскольку — насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что. Поэтому, где — минимальная нормальнаяподгруппа, а — группа простого порядка. Ввиду того, что группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а следовательно, испециальны, то — -минимальная неспециальная группа и еёспециальный корадикал. Привлекая теперь теорему 1 заключаем, что — минимальнаязамкнутая тотально насыщенная неспециальная формация. Теорема доказана.

Следствие 3.4.1. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда, где и - различные простые числа, .

В случае, когда из теоремы 3.4 вытекает

Следствие 3.4.2. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда, где - не -специальная группа Шмидта.

Следствие 3.4.3. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда, где - отличное от простое число.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -разложимые формации.

Группа называетсяразложимой, если она одновременноспециальна изамкнута.

Класс всехразложимых групп совпадает с пересечением и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.5. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда, где - не -разложимая группа Шмидта.

Доказательство. Обозначим через формацию всехразложимых групп.

Необходимость. Пусть — минимальнаязамкнутая тотально насыщенная не — разложимая формация. В силу теорем 3.3 и 3.4 имеем, где — такая группа Шмидта, что. Таким образом, — не — разложимая группа Шмидта.

Достаточность. Пусть, где — неразложимая группа Шмидта. Поэтому. Ввиду насыщенности формации можно считать, что. Значит,, где — минимальная нормальнаяподгруппа, а — группа простого порядка. Поскольку группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а значит, иразложимы, то — -минимальная неразложимая группа и еёразложимый корадикал. В силу теоремы 1 имеем — минимальнаязамкнутая тотально насыщенная неразложимая формация. Теорема доказана.

Следствие 3.5.1. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда, где .

В случае, когда из теоремы 3.24 вытекает

Следствие 3.5.2. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда, где - не -разложимая группа Шмидта.

Следствие 3.5.3. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда, где - отличное от простое число.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -формации.

Класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной не превосходящей совпадает с произведением (число сомножителей равно) и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.6. Тогда и только тогда - минимальная тотально насыщенная не -формация, когда, где - минимальная не -группа, - самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех и - группа простого порядка.

Доказательство. Обозначим через формацию .

Необходимость. Пусть — минимальнаязамкнутая тотально насыщенная неформация. По теореме 1, где — такая монолитическаяминимальная не -группа с монолитом, что выполняется одно из следующих условий:

1) — группа простого порядка ;

2) — неабелева группа и, где — совокупность всех собственныхподгрупп группы ;

3) ,

где — самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех, а либо группа простого порядка, либо такая монолитическаяминимальная негруппа с неабелевым монолитом, что, совпадает скорадикалом группы и где — совокупность всех собственныхподгрупп группы .

Поскольку, то случай 1) невозможен. Если группа неабелева, то по лемме 2.1, что невозможно. Следовательно, имеет место случай 3). Поскольку группа разрешима, то, где — самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех, а группа простого порядка. Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.

Достаточность вытекает из теоремы 1. Теорема доказана.

Следствие 3.6.1 [2, с. 94]. Пусть — разрешимая формация. Тогда и только тогда - минимальная тотально насыщенная не -формация, когда, где - минимальная не -группа, - самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех и - группа простого порядка.

Следствие 3.6.2. Тогда и только тогда - минимальная тотально насыщенная не -формация, когда для некоторой последовательности из .

Следствие 3.6.3 [2, с. 94]. Пусть — разрешимая формация. Тогда и только тогда - минимальная тотально насыщенная не -формация, когда для некоторой последовательности из .

Отметим, что полученные результаты могут быть использованы для описаниякритических формаций и в случаях, когда формация не является тотально насыщенной.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -формации.

Класс всех групп с нильпотентным коммутантом, очевидно, совпадает с произведением, где — класс всех нильпотентных, а — класс всех абелевых групп. Формация не является тотально насыщенной, но содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию. Следовательно, любая минимальнаязамкнутая тотально насыщенная неформация является минимальнойзамкнутой тотально насыщенной неформацией. Таким образом, привлекая следствия 3.2.4 и 3.2.5, получим

Теорема 3.7. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда, где - некоторая группа Шмидта.

Следствие 3.7.1. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда, где и - различные простые числа.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные несверхразрешимые формации.

Пусть формация всех сверхразрешимых групп. Как известно (см., например, [2, с. 28]), формация не является тотально насыщенной. Однако содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию. Поэтому любая минимальнаязамкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация является минимальнойзамкнутой тотально насыщенной ненильпотентной формацией. Значит, в силу следствий 3.2.4 и 3.2.5, имеют место

Теорема 3.8. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация, когда, где - некоторая группа Шмидта.

Следствие 3.8.1. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация, когда, где и - различные простые числа.

Заключение

В работе изучаются минимальныезамкнутые тотально насыщенные неформации конечных групп. При этомзамкнутую тотально насыщенную формацию называют минимальнойзамкнутой тотально насыщенной неформацией иликритической, если, но все собственныезамкнутые тотально насыщенные подформации из содержатся в классе групп. Получено описаниекритических формаций для таких классов групп, как классы всехразрешимых, -нильпотентных, -замкнутых, -специальных, -разложимых групп (- некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел), класс разрешимых групп нильпотентной длины не превосходящей (- некоторое натуральное число), класс всех групп с нильпотентным коммутантом, класс всех сверхразрешимых групп.

1. Шеметков, Л. А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба // М.: Наука, 1989.

2. Скиба, А. Н. Алгебра формаций / А. Н. Скиба // Мн.: Беларуская навука, 1997.

3. Шеметков, Л. А. Экраны ступенчатых формаций / Л. А. Шеметков // Тр. VI Всесоюзн. симпозиум по теории групп. — Киев: Наукова думка, 1980. — С. 37−50.

4. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1980. — № 4. — С. 27−33.

5. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993. — С. 258−268.

6. Сафонов, В.Г. О тотально насыщенных формациях конечной длины / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2004. — № 6. — С. 150−155.

7. Сафонов, В.Г. О двух задачах теории тотально насыщенных формаций / В. Г. Сафонов // Докл. НАН Беларуси, 2005. — Т. 49, № 5, — C. 16−20.

8. Сафонов, В.Г. О приводимых тотально насыщенных формациях нильпотентного дефекта 3 / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2005. № 4 (31). — С. 157−162.

9. Сафонов, В. Г. Характеризация разрешимых однопорожденных тотально насыщенных формаций конечных групп / В. Г. Сафонов // Сибирский матем. журнал, 2007 — Т. 48, № 1. — С. 185−191.

10. Сафонов, В.Г. -критические формации / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2008. № 2 (47). — С. 169−176.