Теорема типа Левинсона — Щёберга. 
Квазианалитические классы функций. 
Применения

1. Обзор результатов и постановка задач.

Диссертация посвящена изучению вопросов, связанных с квазианалитичностью классов Карлемана на дугах и двойственной задачей о компактности семейства Ем = {/} аналитических в некоторой области Б функций /, удовлетворяющих вне некоторой дуги 7 из Б оценке вида.

И|<�М (^(г, 7)), (1) где ???<�§?(2, 7) = т? г — М = М (р) ~ убывающая на.

О, оо) функция, не ограниченная в окрестности нуля. Предполагается, что функция М удовлетворяет некоторому би-логарифмическому условию, которое называется условием Левинсона. Данное условие естественно возникает во многих вопросах комплексного анализа, спектральной теории и теории операторов, в теории целых и субгармонических функций, рядов экспонент, в теории интерполяции (см., н-р, в [1]).

Пусть В — область в С, Н (Б) — пространство функций /, аналитических в И, наделенное топологией компактной сходимости, то есть топологией, определяемой системой норм = вцр|/(*)1, гек где К С С D, то есть К — компактное подмножество области D, К С D. Эта топология может быть задана и при помощи счетного семейства норм = max f (z), zEKn где.

Кп = z < n [ n.

Следовательно пространство H{D) метризуемо. Компактные подмножества в H (JD) называются компактными семействами аналитических функций. Другими словами, семейство N = {/} функций / Е H (D) называется компактным в D) если из каждого бесконечного подмножества Т множества N можно выделить последовательность, равномерно сходящуюся на каждом компактном множестве К С С D. Предельная функция / по теореме Вейерштрасса будет аналитичной в D, но, вообще говоря, не принадлежащей семейству N.

Имеет место следующий критерий компактности, обычно называемый принципом компактности (теорема Монтеля) [2], [3]: семейство N = } функций / Е H (D) компактно в D тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено внутри Z), то есть для любого компактного множества К, К С СD, существует число С = С (К), такое, что \/\к < С для всех / € N.

В 1938 году Н. Левинсон [4] доказал теорему, которая явилась &bdquo-далеко идущим обобщением принципа максимума модуля для аналитических функций" [5].

Теорема (Н. Левинсон). Пусть М (у) положительная, монотонно убывающая в полуинтервале (0, b] функция, М (у) t оо при у i О, М (Ъ) = е. Пусть, далее, Fm — семейство функций, аналитических в прямоугольнике.

Р = { z = х + iy: х < а, у < b }, удовлетворяющих в Р оценке < М (у). Если ь.

J lnlnM (y)dy < ос, (2) о то для любого 5 > 0 существует постоянная С, зависящая только от 5 и М (у), такая, что для всех функций / ^ Fm в прямоугольнике.

Р§- = {z = х + iy: х < а — S, у < Ь) справедлива оценка f (z) < С.

Отметим, что независимо от Левинсона (по-видимому, одновременно с ним) эту теорему в несколько иной форме доказал Шёберг (N. Sjoberg) [б]. Впоследствии, Ф. Вольф (F. Wolf) распространил теорему Левинсона-Шёберга на более широкий класс функций [7]. Имеются другие варианты и различные обобщения этой теоремы. В [5] предложено другое, более простое доказательство этой теоремы Левинсона. Приведем одну из версий данной теоремы.

Теорема (Y. Domar). 8],[9] Пусть D = { z = х + iy: а < х < a',—b < у < b}, а Ь (у) — измеримая по Лебегу функция, Ь (у) > е (—6 < у <Ь), и ь 1п1пЬ (у)4у <00. (3).

— ъ.

Тогда имеется убывающая функция т (5), зависящая только от Ь (у) и конечная для 5 > 0, такая, что если /(г) аналитична в Б и <Щтг), (4) то.

Следствие. Пусть J = {/} — семейство аналитических в И функций, удовлетворяющих условию (4). При условии (3) семейство функций 3 является компактным.

Как показано П. Кусисом, условие (2) для справедливости теоремы Левинсона и необходимо [8].

Теорема Левинсона нашла многочисленные применения в различных областях анализа, в первую очередь в комплексном анализе, спектральной теории функций и теории операторов (см., н-р, в [8]-[14]).

Цель диссертации — доказать теорему типа Левинсона в случае, когда семейство ^ = {/} аналитических функций / вблизи некоторой дуги 7 подчинено оценке (1). Эта задача представляет особый интерес с точки зрения её применения к известным проблемам квазианалитичности классов Карлемана и полноты систем экспонент на дугах. Как известно, в случае отрезка 7 = [а, Ь исчерпывающие ответы на эти проблемы получены в теоремах Мюнца [15] и Данжуа-Карлемана [16].

Пусть {Мп} — положительная последовательность, I — отрезок вещественной оси. Классом С/(МП) называется множество всех бесконечно дифференцируемых на отрезке I функций /, удовлетворяющих условию тах|/^(х)| < С]Мп (п > 0).

В общей ситуации в качестве I можно брать любой интервал, полуинтервал (конечный или бесконечный). Отметим, что при Мп = п класс С/(МП) совпадает с множеством аналитических на I функций.

В 1912 году в [17] Адамар поставил следующую проблему [18]: «Указать такие условия, которым должны быть подчинены Мп, чтобы всякая бесконечно дифференцируемая функция класса С/(МП) на интервале /, обращающаяся в нуль вместе со всеми производными в некоторой точке из /, была тождественно равна нулю». Такой класс называется квази аналитическим.

Таким образом, класс С/(МП) называется квазианалитическим, если для некоторого жо? I из условий п>(го) = 0(п=1,2,3,.) следует, что / = 0 на I.

В [19] Данжуа показал, что при Мп = (ппп.Лпрп)п (1пр п — р-ая итерация логарифма) класс С/(МП) будет квазианалитическим. Им была высказана гипотеза, что условие 2^=1 ~ШГ = 00 достаточно для квазианалитичности класса. Карлеман [16] полностью решил проблему Адама-ра, указав необходимые и достаточные условия квазианалитичности.

Справедлива.

Теорема (Данжуа-Карлеман)[16]. Класс С/(МП) ква-зианалитичен тогда и только тогда, когда.

00 I / А™

Позже А. Островским (1930), С. Мандельбройтом (1942) и независимо Т. Бангом (1946) в различных терминах были получены эквивалентные условия (см., н-р, в [18]).

Классическая проблема квазианалитичности в дальнейшем обобщалась в разных направлениях. В работах М. М. Джрбашяна и его учеников разработана теория, а — квазианалитичности, которая при, а = 0 совпадает с обычной квазианалитичностью (см., н-р, [20]).

Пусть С — некоторая область в С. Через Н (С, Мп) обозначим класс функций /, аналитических в области С и удовлетворяющих оценкам г)| <�С-Мт ?6С (Я> 0).

Класс .Н" (Сг, Мп) называется квазианалитическим в точке ¿-о е дв, если из того, что / б Я (<7, Мп), = 0 (п >

0) следует, что / = 0.

Проблема квазианалитичности класса #(Д7, Мп), где Д7 — угол.

7 Г.

Д7 = { г: argz] < —, 0 < г < ос }, была впервые поставлена и решена Салинасом [21]: класс Я (Д7, Мп) квазианалитичен в точке г = 0 тогда и только тогда, когда.

Следует заметить, что известное условие квазианалитичности А. Островского (см., н-р, [18]) для класса С/(МП) формально является предельным случаем условия (5) (при 7 —>• оо).

Задача о квазианалитичности класса Н (К7 Мп) (К — круг) решена Б. И. Коренблюмом [22]. В [23] P.C. Юлму-хаметовым доказан критерий квазианалитичности класса H (D, Мп) в граничной точке произвольной выпуклой области D. В последние годы было получено описание классов Карлемана для ограниченных односвязных областей со спрямляемой жордановой границей [24], [25].

В работах А. Бёрлинга [26], Бреннана [27], В. Мацаева и М. Содина [28] и других исследованиях обнаружена тесная связь квазианалитичности с задачами аналитического продолжения и аппроксимации полиномами в различных весовых пространствах. В [29] A.A. Гончар исследовал задачи, связанные с понятием квазианалитического продолжения через дугу. Полученные в данной работе результаты применимы к исследованию особенностей и единственности представления функций рядами вида.

Вопросам квазианалитической продолжаемости или непродолжаемости функций, представляемых рядами Дирихле или рядами экспонент посвящены работы А. Ф. Леонтьева [30]-[32]. В [33] А. И. Павловым приведен пример функции, которая квазианалитически продолжается через прямую голоморфизма на всюду плотном множестве.

Применяя метод основанный на решении одной экстремальной задачи в неквазианалитическом классе Карлема-на C/(Mn), A.M. Гайсину удалось получить точную оценку роста ряда Дирихле с вещественными коэффициентами на положительном луче [34].

Особую актуальность вопросы квазианалитичности (неквазианалитичности) классов Карлемана приобретают в связи с задачами аппроксимации системами экспонент на тех или иных континуумах (например, на дугах) комплексной плоскости.

В [35] А. Ф. Леонтьевым доказана теорема:

Пусть 7: у = f (x) — непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких дуг 7s: у = fs (x), причем f’s (x) < 1. Если оо ^.

0 < Xk t 00, Afc+1 — Хк > h > 0, Т~¦ = 00> к=1 к то система {eXkZ} не полна на 7 в метрике С.

Данная теорема основана на замечательной &bdquo-теореме о стирании особенностей" [35], доказательство которой сводится к обоснованию квазианалитичности класса Карлемана С7(МП), п ос / 2 на кусочно-гладкой кривой 7. Отметим, что приведенный результат А. Ф. Леонтьевым ранее был доказан для аналитических дуг в [36]. В [37] Кореваром показано, что для полноты системы {ел^} на кусочно-гладкой кривой 7 достаточно лишь условия оо ^.

— = оо. (6) к=1 К.

Используя те же соображения квазианалитичности класса С7(МП), ученик Коревара II. Zeinstra в [38] перенёс результат из [37] на случай кривых ограниченного наклона.

А.Ф. Леонтьевым показано [35], что условие (6), следовательно, соответствующие условия Карлемана, А. Островского, Мандельбройта и Банга достаточны для того, чтобы класс С7(МП) был квазианалитическим.

Проблема заключается в следующем: будет ли для полноты системы {еА^} в С (7) (С (7) — пространство непрерывных функций с нормой.

11/11 =тах|/(г)|) 7 условие (6) необходимым?

Для аналитических дуг 7 ответ положительный [39]. В общем случае задача весьма сложная и, как следует из [40], всё сводится к двойственной проблеме о квазианалитичности класса Карлемана С7(МП).

В настоящей диссертации полностью решена задача о квазианалитичности регулярных классов Карлемана на дугах ограниченного наклона.

В качестве применения изучается свойства систем {еХпг} (последовательностей полиномов и рядов экспонент), показатели которых подчинены условиям: оо п 1.

Ап > 0 < ¿-¿-п Т — 0, — < оо. (7) п=1.

Как известно, группа условий (7) сильнее, чем требование [1] оо ^.

Ег<~ оп 1 П п=1.

В диссертации показано, что при выполнении условий (7) система {еХпг} усиленно не полна и усиленно свободна на семействе дуг ограниченного наклона (в частности, система не полна в С (7)). Наконец, решена задача аналитического продолжения и представимости рядами Дирихле функций / из замыкания линейной оболочки системы {еА^} в С (7) — доказана теорема единственности о поведении рядов Дирихле п на системе дуг, уходящих определенным образом в бесконечность и образованных движением (сдвиг, поворот) дуги 7. Этот круг результатов обобщает и дополняет известные результаты Бёрлинга [26], Коревара, Диксона [40], А.Ф.

Леонтьева [35], М. А. Евграфова [42], А. Е. Фрынтова [43], A.M. Гайсина [44].

1. Koosis P. The logarithmic integral I. Cambridge: University Press, 1988 (1998).

2. Domar Y. On the existence of a largest subharmonic minorant of a given function // Arkiv for Mat. 1958. N5 3. P.429−440.

3. Дынькин E.M. О росте аналитической функции вблизи множества её особых точек // Записи научн. семин. ЛОМИ АН СССР. 1972. Т.ЗО. С.158−160.

4. Дынькин Е. М. Функции с заданной оценкой на Ц и теорема Н. Левинсона // Матем. сб. 1972. T.84.JV2 2.С.181−190.

5. Мацаев В. И. Некоторые теоремы полноты и компактности, связанные с класической квазианалитичностью. Дисс. .докт. физ.-мат. наук. Харьков, 1964.

6. Павлов А. И. Квазианалитическое продолжение и ди-офактовы приближения // Analysis Math. 1975. T. l, mi. P. 63−73.

7. Гайсин A.M. Ряды Дирихле с вещественными коэфи-циентами, неограниченные на положительном луче // Матем. сб. 2007. Т.198. № 6. С.41−64.

8. А. Ф. Леонтьев. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.

9. Леонтьев А. Ф. О полноте системы экспонент на кривой// Сиб. матем. журн. 1973. т. 15. JV5 5. с. 1103 -1114.

10. Korevaar J. Approximation on curves by linear combinations of exponentials// Approximation theory. New York and London 1973. p. 387 399.

11. R. Zeinstra. Zeros and regular growth of Laplace transforms along curves //J. reine angew. Math. 1992. V. 424. P. 1−15.

12. Malliavin P. Siddiqi J. Approxmation polynomiale sur un arc analutique dans le plan complexe// Comptus rendus Acad. Sci. 1971. v. 273. № 2. p. 105 108.

13. Korevaar J. and Dixon M. Nonspanning sets of exponentials on curves// Acta Math. Acad. Sci. Hungaricae 1979. v. 33. № 1 2. p. 89 — 100.

14. Korevaar J. Dixon M. Interpolation, strongly nonspanning powers and Macintyre exponents// Indag. Math. (N.S.) 1978. v. 40. № 2. p. 243 258.

15. М. А. Евграфов. Об одной теореме единственности для рядов Дирихле. // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. № 3. С. 169−175.

16. А. Е. Фрынтов. Операторы, сохраняющие субгармоничность, и некоторые задачи класического комплексного анализа. Докторская диссертация. ФТИНТ НАН Украины. Харьков: 1995.

17. Гайсин A.M. Усиленная неполнота системы экспонент и проблема Макинтайра// Матем.сб. 1991. т. 182. № 7. с. 931 945.

18. Т. Bang. От quasianalytiske fnnctioner. Thesis. Univ. of Copenhagen. 1946.

19. P. Неванлинна. Однозначные аналитические функции. М.: Гостехиздат, 1941.

20. Г. М. Голузин. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

21. J. Korevaar. Approximation on curves by linear combinations of exponentials // Approxim. Theory. New York, London: Acad, press, 1973. P. 387−399.

22. M. Dixon, J. Korevaar. Nonspanning sets of powers on curves: analyticity theorem // Duke Math. J. 1978. V. 45. № 3. P.543−559.

23. A. Baillette, J. A. Siddiqi. Non-totalitedexponentielles sur un arc rectifiable // Comptus rendus Acad. Sci. 1979. T. 289. P. 177−179.

24. Siddiqi J. Non spanning sequenses of exponentials on rectifiable plane arcs // Linear and complex analysis. Problem book. 1984. 1043. Springer — Verlag. Berlin. Heidelberg. NewYork. Tokyo.

25. Korevaar J. Muntz approximatioon on arcs and Macintyre exponents// Lecture notes in Mathematics 1978. v. 747. p. 205 -218.

26. Siddiqi J. Baillete A. Approxmation polynomiale sur un arc analutique dans le plan complexe// Comptus rendus Acad. Sei. 1975. v. 281. № 10. p. 791.

27. Гольдберг A.A. Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука. 1970.

28. Кацнельсон В. Э. Целые функции класса Картрайт с нерегулярным поведением// Функциональный анализ и его приложения. 1976. т. 10 № 4. с. 35 44.

29. Кинзябулатов И. Г. Обобщение теоремы Левинсона. // VI региональная школ а-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии.// Тезисы докладов. Математика. Уфа: РИО Баш ГУ, 2006. С. 6.

30. Кинзябулатов И. Г. Обобщение теоремы Левинсона. // VI региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии.// Сборник трудов. Математика. Уфа: РИО Баш ГУ, 2006. С. 1−10.92.

31. Гайсин A.M., Кинзябулатов И. Г. Теорема типа Ле-винсона и квазианалитические классы Карлемана // Вестник УГАТУ, Математика. Уфа. 2007. Т.9. № 3(21). С. 14−19.

32. Гайсин A.M., Кинзябулатов И. Г. Теорема типа Левин-сонаЩёберга. Применения // Матем. сб. 2008. Т.199. т. С. 41−62.

33. Гайсин A.M., Кинзябулатов И. Г. Неполные системы экспонент на дугах // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Выпуск I. Уфа. 2008. С.1−11.